hrw9

pují, nebotquoteright
podle třetího Newtonovazákonajejejichsoučetrovennule:
summationtext
F
int
= 0.
2. M je celková hmotnost soustavy. Předpokládáme, že
nedochází k výměně hmoty mezi soustavou a jejím oko-
lím, takžeMje konstantní. Takovásoustava se nazýváuza-
vřená.
3. a
T
je zrychlení těžiště soustavy. Vztah (9.16) nedává
žádnou informaci o zrychlení jiných bodů soustavy.
Jako každá vektorová rovnice je i rov.(9.16) ekviva-
lentní třem rovnicím skalárním pro složky vektorů
summationtext
F
ext
a a
T
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic:
Ma
T,x
=
summationdisplay
F
ext,x
,
Ma
T,y
=
summationdisplay
F
ext,y
, (9.17)
Ma
T,z
=
summationdisplay
F
ext,z
.
Vratquoterightme se nyní k původnímu problému a zkoumejme
chování soustavy dvou kulečníkových koulí. Po uvedení
první koule do pohybu je výsledná vnější síla působící
na soustavu nulová, tj.
summationtext
F
ext
= 0. Podle rov.(9.16) je
tedy nulové i zrychlení těžiště soustavy (a
T
= 0). Těžiště
soustavy koulí se tedy před srážkou pohybuje konstantní
rychlostí. Při srážce na sebe koule působí silami, které jsou
z hlediska soustavy silami vnitřními. Tyto síly mají sice
vliv na pohyb každé z koulí, neovlivní však pohyb těžiště
soustavy.Nepřispívajítotiž k výrazu
summationtext
F
ext
, jehož hodnota
* Její první název pochopíme později z jejího ekvivalentního zápisu
(9.28). Druhý název souvisí s rovnicí (10.4).
tak zůstává stále nulová.Těžiště soustavy se i po srážce po-
hybuje konstantní rychlostí, shodnou s jeho rychlostí před
srážkou.
Rov.(9.16) platí nejen pro soustavu částic, ale i pro
tuhé těleso, jakým je např. baseballová pálka na obr.9.1b.
V tomto případě značí M v rov.(9.16) hmotnost pálky
a
summationtext
F
ext
představuje tíhovou síluMg, jíž na pálku působí
Země.
Obr.9.7 ukazuje jiný zajímavý případ. Raketa vystře-
lená při ohňostroji se pohybuje po parabolické dráze a na-
jednou se roztrhne na malé části. Kdyby k explozi nedošlo,
raketa by pokračovala v pohybu po parabole, vyznačené
v obrázku. Síly, které způsobily explozi, jsou z hlediska
soustavy, tvořené nejprve raketou a poté všemi jejími část-
mi, silami vnitřními, tj. silami vzájemného působení jed-
notlivých částí soustavy. Zanedbáme-li odporvzduchu, je
výslednice vnějších sil působících na soustavu určena vý-
hradně silou tíhovou:
summationtext
F
ext
=Mg, bez ohledu na to, zda
raketa explodovala či nikoliv. Z rov.(9.16) je tedy zřej-
mé, že zrychlení těžiště soustavy úlomků (pokud jsou ještě
všechny v pohybu ve vzduchu) je g a těžiště opisuje tutéž
parabolickou trajektorii, po jaké by se pohybovala raketa,
kdyby se neroztrhla.
Obr.9.7 Při ohňostroji exploduje raketa během letu. Zane-
dbáme-li odporvzduchu, opisuje těžiště soustavy úlomků pů-
vodní parabolickou dráhu rakety, dokud některý z úlomků nedo-
padne na zem.
Při figuře „grand jeté“, zvedne baletka ruce a napne
nohy do vodorovné polohy (obr.9.8). Tím posune těžiště
uvnitř svého těla co nejvýše.Těžiště samozřejmě věrně sle-
duje parabolickou trajektorii. Hmotnost tanečnice je však
vůči němu rozložena tak, že se její hlava a trup pohybují
takřka vodorovně.
Odvození věty o hybnosti
Věta o hybnosti je jednou ze dvou významných pohybo-
vých rovnic soustavy částic. V tomto odstavci se věnu-
jeme jejímu odvození. Uvažujme soustavun částic. Podle
9.3 VĚTA O HYBNOSTI 215
trajektorie
hlavy tanečnice
trajektorie
těžiště
Obr.9.8 Baletní skok „grand jeté“. (Převzato z Kennet Laws, ThePhysicsofDance, Schirmer Books, 1984.)
rov.(9.8) pro ni platí
Mr
T
=m
1
r
1
+m
2
r
2
+m
3
r
3
+…+m
n
r
n
, (9.18)
kdeM je její celková hmotnost, r
T
polohový vektorjejího
těžiště. Derivováním rov.(9.18) podle času dostaneme
Mv
T
=m
1
v
1
+m
2
v
2
+m
3
v
3
+ …+m
n
v
n
. (9.19)
Symbolem v
i
(= dr
i
/dt)jsme označili rychlosti-té částice
a v
T
(= dr
T
/dt)představuje rychlost těžiště.
Dalším derivováním rov.(9.19) vzhledem k času již
dospějeme ke vztahu
Ma
T
=m
1
a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
+…+m
n
a
n
, (9.20)
kde a
i
(= dv
i
/dt)je zrychleníi-té částice a a
T
(= dv
T
/dt)
zrychlení těžiště. Znovu si uvědomme, že těžiště je pouze
geometrickým bodem. Má však smysl mu kromě polohy
připisovati rychlost a zrychlení,jako by se jednalo o hmot-
nou částici.
Podle druhého Newtonova zákona je součin m
i
a
i
ur-
čenvýslednicí F
i
všechsilpůsobícíchnai-toučástici.Vztah
(9.20) můžeme tedy přepsat do tvaru
Ma
T
= F
1
+ F
2
+ F
3
+ …+ F
n
. (9.21)
Pravá strana rov.(9.21) zahrnuje kromě vnějších sil, jimiž
na jednotlivé částice soustavy působí její okolí, i interakční
síly, jimiž na sebe částice působí navzájem (vnitřní síly).
Podle třetího Newtonova zákona je však součet vnitřních
sil nulový, nebotquoteright je tvořen dvojicemi typu akce — reakce,
tj. dvojicemi stejně velkých opačně orientovaných sil. Na
pravé straně rov.(9.21) tak zůstane pouze vektorový sou-
čet vnějších sil působících na soustavu, ve shodě s větou
o hybnosti (9.16).
K
ONTROLA 2: František a Eva bruslí ve dvojici. Drží
přitom v rukou opačné konce dlouhé tyče. František
má dvakrát větší hmotnost než Eva, hmotnost tyče je
zanedbatelná. Tření mezi bruslemi a ledem rovněž za-
nedbáváme. Bruslaři jsou zpočátku v klidu. (a) Potom
František začne ručkovatkEvě,zatímcoona držípevně
v rukou svůj konec tyče. Určete polohu bodu, v němž
se setkají. (b) Řešte tutéž úlohu za předpokladu, že
se Eva přitahuje k Františkovi, a (c) za předpokladu,
že ručkují oba. Soustavu souřadnic volíme tak, že její
počátek umístíme do počátečnípolohytěžiště soustavy
a jednu z os namíříme podél tyče.
PŘÍKLAD 9.5
Na obr. 9.9a je soustava tří částic, které jsou zpočátku v klidu.
Na každou z nich působí vnější síla, která je v obrázku rovněž
vyznačena. Určete zrychlení těžiště soustavy.
ŘEŠENÍ: Podle př. 9.1 vypočteme počáteční polohu těžiště
soustavy (obr. 9.9a). Jak napovídá obr. 9.9b, zacházíme s ním
jako s částicí o hmotnosti M, shodné s celkovou hmotností
soustavy (16 kg), na niž působí všechny vnější síly působící
na soustavu.Výslednice všech vnějších sil působících na sou-
stavu
summationtext
F
ext
představuje tedy výslednici všech sil působících
na těžiště. Jejíx-ová, resp.y-ová složka jsou
summationdisplay
F
ext,x
=(14 N)−(6,0N)+(12 N)cos 45
◦
= 16,5N,
resp.
summationdisplay
F
ext,y
=(12 N)sin45
◦
= 8,49 N.
216 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
Výsledná síla má velikost
summationdisplay
F
ext
=
radicalbig
(16,5N)
2
+(8,49 N)
2
= 18,6N
a svírá s osoux úhel
tgθ =
parenleftbigg
8,49 N
16,5N
parenrightbigg
= 0,515,
θ = 27
◦
. (Odpovědquoteright)
Tímto úhlem je určen směr zrychlení těžiště a
T
, jehož veli-
kost je podle rov. (9.16)
a
T
=
summationtext
F
ext
M
=
(18,6N)
(16 kg)
= 1,16 m·s
−2
.
=
.
= 1,2m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
x
y
1
2
3
−1
−2
−3
−3 −2 −1
−3 −2 −1
12345
12345
1
2
3
45
◦
M=16 kg
8,0 kg
4,0 kg
4,0 kg
12N
12N
14N
14N
6,0 N
6,0 N
a
T
F
ext
T
T
θ
(a)
(b)
Obr.9.9 Příklad 9.5. (a) Na tři částice, které jsou zpočátku v kli-
du, působí vnější síly. Těžiště soustavy je v bodě označeném T.
(b) Vnější síly umístíme do těžiště. Jeho pohyb se řídí stejnými
zákonitostmi jako pohyb částice o hmotnosti M shodné s celko-
vou hmotností soustavy. Obrázek zachycuje výslednici vnějších sil
i zrychlení těžiště soustavy částic.
Pohyb každé z částic na obr. 9.9a je přímočarý a rov-
noměrně zrychlený, stejně jako pohyb těžiště celé soustavy.
Jednotlivá zrychlení jsou však navzájem různá. Poněvadž
zpočátku byly částice v klidu, bude se každá z nich pohybo-
vat s rovnoměrně rostoucí rychlostí ve směru síly, která na
ni působí. Těžiště se bude pohybovat po přímce rovnoběžné
s vektorem a
T
.
9.4 HYBNOST
Hybnost částice p je vektorová veličina definovaná vzta-
hem
p =mv, (9.22)
kdemje hmotnost částice a v její rychlost. Hmotnost čás-
tice je kladná skalární veličina. Vektory p a v jsou tedy
souhlasně rovnoběžné. Z rov.(9.22) je také zřejmé, že jed-
notkou hybnosti v soustavě jednotek SI jekg·m·s
−1
.
PůvodníNewtonova formulacedruhého zákonajiž po-
jem hybnosti obsahovala:
Časová změna hybnosti částice je rovna výslednici sil,
které na částici působí.
Matematické vyjádření tohoto zákona má tvar
dp
dt
=
summationdisplay
F. (9.23)
Předpokládejme, že hmotnost částice je neproměnná. Do-
sazením za p z definičního vztahu (9.22) a úpravou pak
dostaneme
summationdisplay
F =
dp
dt
=
d
dt
(mv)=m
dv
dt
=ma.
Vztahy
summationtext
F = dp/dt a
summationtext
F = ma tedy představují dvě
ekvivalentnívyjádření druhého Newtonova zákona pro po-
hyb částice s konstantníhmotnostív rámci klasické mecha-
niky.
Hybnost při velmi velkých rychlostech
Víme již, že pro částice s rychlostmi blízkými rychlosti
světla nesouhlasí výsledky newtonovské mechaniky s ex-
perimenty. V takových případech musíme použít Einstei-
novu speciální teorii relativity. Vztah dp/dt = F zůstane
v platnosti i v rámci této obecnější teorie za předpokladu,
že změníme definici hybnosti takto:
p =
mv
radicalbig
1−(v/c)
2
. (9.24)
Člen
1
√
1−(v/c)
2
signalizuje relativistický charakter vztahu.
9.5 HYBNOST SOUSTAVY ČÁSTIC 217
Tabulka 9.1 Některé definice a zákony v klasické mechanice
DEFINICE NEBO ZÁKON JEDNA ČÁSTICE SOUSTAVA ČÁSTIC
Druhý Newtonův zákon ma =
summationtext
F (5.1) Ma
T
=
summationtext
F
ext
(9.16)
Hybnost p =mv (9.22) P =Mv
T
(9.26)
Druhý Newtonův zákon
dp
dt
=
summationtext
F (9.23)
dP
dt
=
summationtext
F
ext
(9.28)
Rychlosti běžných makroskopických objektů, jakými
jsou například míče, projektily nebo kosmické sondy, jsou
ovšem mnohem menší než rychlost světla, takže veličina
(v/c)
2
v rovnici (9.24) je prakticky nulová. V takovém
případě lze (9.24) nahradit klasickou definicí (9.22) a Ein-
steinova speciální teorie relativity se redukuje na newto-
novskou mechaniku. U elektronů a jiných subatomových
částic lze však snadno dosáhnout rychlostí velmi blízkých
rychlosti světla. Pakjenutné použít pro vyjádření hybnosti
vztahu (9.24), a to dokonce i při rutinních technických vý-
počtech.
9.5HYBNOST SOUSTAVY ČÁSTIC
Uvažujme nyní soustavu n částic, z nichž každá je cha-
rakterizovánasvou hmotností,rychlostí a hybností.Částice
mohou vzájemně interagovat a okolní objekty na ně mo-
houpůsobitvnějšímisilami.Soustavěpřisoudímecelkovou
hybnost P, definovanou jako vektorový součet hybností
jednotlivých částic:
P = p
1
+ p
2
+ p
3
+ …+ p
n
=
=m
1
v
1
+m
2
v
2
+m
3
v
3
+… +m
n
v
n
. (9.25)
Porovnáme-li tento vztah s (9.19), vidíme, že platí
P =Mv
T
. (9.26)
Hybnost soustavy částic můžeme tedy vyjádřit i jinak:
Hybnost soustavy částic je rovna součinu její celkové
hmotnostiM a rychlosti jejího těžiště.
Derivací rov.(9.26) dostaneme
dP
dt
=M
dv
T
dt
=Ma
T
. (9.27)
Porovnáním rov.(9.26) a (9.27) získáme nakonec ekviva-
lentní vyjádření věty o hybnosti ve tvaru
dP
dt
=
summationdisplay
F
ext
. (9.28)
Tento výsledek můžeme považovat za zobecnění dru-
hého Newtonova zákona pro částici, zapsaného ve tvaru
(dp/dt) =
summationtext
F, na případ soustavy částic. (Uvědomme
si, že jsme při formulaci tohoto zobecnění použili i třetího
Newtonovazákona.)Vtab.9.1jsou shrnutydůležitévztahy
platné pro jednu částici a odpovídajícívztahy odvozenépro
soustavu částic.
K
ONTROLA 3: Na obrázku je znázorněna časová zá-
vislost hybnosti částice pohybující se po přímce. Na
částici působí síla ve směru této přímky. (a) Seřadquoterightte
čtyřioznačenéoblastisestupněpodlevelikostitétosíly.
(b) V které oblasti je částice brzděna?
p
t
1
2
3
4
PŘÍKLAD 9.6
Obr. 9.10a zachycuje dětské autíčko o hmotnosti 2,0 kg
před a za zatáčkou. Velikost jeho rychlosti před zatáčkou
je 0,50 m·s
−1
, za zatáčkou 0,40 m·s
−1
. Určete odpovídající
změnu hybnostiDelta1P.
ŘEŠENÍ: Kvyjádřenípočátečníavýslednéhybnostiautíčka
použijeme vztahu (9.26). Nejprve však musíme vyjádřit vek-
torjeho rychlosti v
i
před zatáčkou a vektorrychlosti v
f
poté,
co autíčko zatáčkou projelo. Zvolíme-li soustavu souřadnic
podle obr. 9.10a, dostaneme
v
i
=−(0,50 m·s
−1
)j a v
f
=(0,40 m·s
−1
)i.
Pro odpovídající hybnosti P
i
a P
f
pak podle rov. (9.26) platí
P
i
=Mv
i
=(2,0kg)(−0,50 m·s
−1
)j =(−1,0kg·m·s
−1
)j
a
P
f
=Mv
f
=(2,0kg)(0,40 m·s
−1
)i =(0,80 kg·m·s
−1
)i.
Tyto hybnosti mají různý směr. Proto nemůžeme vyjádřit
změnu hybnosti Delta1P jako pouhý rozdíl velikostí vektorů P
f
a P
i
. Změna hybnosti je dána vektorovým vztahem
Delta1P = P
f
− P
i
, (9.29)
218 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
tj.
Delta1P =(0,80 kg·m·s
−1
)i −(−1,0kg·m·s
−1
)j =
=(0,8i +1,0j)kg·m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Na obr. 9.10b jsou vyznačeny vektoryDelta1P, P
f
a −P
i
. Připo-
meňme si,že P
i
odečítáme od P
f
tak,že k vektoru P
f
přičteme
vektor −P
i
.
x
y
Delta1P
P
f
−P
i
(a)(b)
Obr.9.10 Příklad 9.6. (a) Autíčko v zatáčce závodní dráhy.
(b) Změna hybnosti Delta1P autíčka je vektorovým rozdílem jeho
výsledné hybnosti P
f
a počáteční hybnosti P
i
.
9.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI
Uvažujme soustavu částic, na kterou nepůsobížádné vnější
síly (soustava je izolovaná), anebo je výslednice vnějších
silnulová.Předpokládejme,žečásticesoustavuneopouštějí
ani do ní nevstupují z okolí (soustava je uzavřená). S uvá-
žením skutečnosti, že
summationtext
F
ext
= 0, dostaneme z rov.(9.28)
vztah dP/dt = 0, tj.
P = konst. (9.30)
Tentodůležitývýsledekpředstavujezákonzachováníhyb-
nosti a lze jej vyjádřit také ve tvaru
P
i
= P
f
. (9.31)
Indexy (i), resp. (f) označují hybnost soustavy v počáteč-
ním, resp. koncovém okamžiku. Vztahy (9.30) i (9.31) vy-
jadřují, že celková hybnost soustavy částic se nemění, je-li
výslednicevnějšíchsil působícíchna soustavu nulová.Toto
tvrzení zahrnuje i méně obecnou, avšak rovněž důležitou
formulaci zákona zachování hybnosti: hybnost izolované
soustavy částic je stálá.
Podobně jako v případě zákona zachováníenergie,for-
mulovaného v kap.8, sahá platnost zákona zachování hyb-
nosti za rámec newtonovské mechaniky. Tento zákon totiž
platí i v mikrosvětě, kde již s Newtonovými zákony nelze
počítat. Nebude porušen ani pro soustavy částic pohybují-
cích se velkými rychlostmi, pro něž je nutné nahradit new-
tonovskou mechaniku Einsteinovou teorií relativity, pokud
hybnost vyjádříme vztahem (9.24) namísto (9.22).
Z rov.(9.26) (P =Mv
T
) je zřejmé, že v případě kon-
stantní celkové hybnosti P je stálá i rychlost těžiště sou-
stavy v
T
. Znamená to, že jeho zrychlení a
T
je nulové,
přesně ve shodě s větou o hybnosti uvedenou v tab.9.1.
Vztahy (9.30) a (9.31) mají vektorový charakter a kaž-
dý z nich je proto ekvivalentní třem skalárním rovnicím,
vyjadřujícím zachování jednotlivých složek vektoru cel-
kové hybnosti. V závislosti na silovém působení okolí na
uvažovanou soustavu částic mohou nastat i situace, kdy se
zachovává jen jedna nebo dvě složky celkové hybnosti:
Je-li některásložka výslednicevnějšíchsil působícíchna
uzavřenou soustavu nulová, pak se odpovídající složka
celkové hybnosti soustavy nemění.
Pro ilustraci si představme letící míč. Při zanedbatel-
ném odporu prostředí je jedinou silou, která na míč při jeho
pohybu působí, tíhová síla mg. Ta ovšem směřuje svisle
dolů. Svislá složka hybnosti míče se tedy mění, zatímco
její vodorovná složka se zachovává.
Znovu připomeňme, že celkovou hybnost uzavřené
soustavy lze změnit jen působením vnějších sil. Působení
vnitřních sil může sice vést ke změnám hybnosti jednotli-
vých částí soustavy, ke změně celkové hybnosti však ne-
přispívá.
K
ONTROLA 4: Předmět spočívající v klidu na vodo-
rovné dokonale hladké podložce explodoval a roztrhl
se na dvě části. Jedna z nich se dala do pohybu podél
kladné osy x. (a) Jaká byla celková hybnost soustavy
po výbuchu? (b) Mohla se druhá část pohybovat po
přímce svírající s osou x nenulový úhel? (c) Jaký byl
směr vektoru hybnosti druhé části?
PŘÍKLAD 9.7
Záhadná bedna o hmotnostim= 6,0 kg klouže po dokonale
hladké vodorovné podlaze podél kladné osy x. Velikost její
rychlostijev = 4,0m·s
−1
.Náhlebednavybuchnearozpadne
se na dvě části: jedna z nich, o hmotnosti m
1
= 2,0kg,
se dále pohybuje podél kladné osy x rychlostí o velikosti
v
1
= 8,0m·s
−1
. Jaká je rychlost druhé části?
ŘEŠENÍ: Soustava částic, kterou sledujeme, je tvořena nej-
prve bednou a po jejím roztržení oběma jejími částmi. Jedná
se sice o soustavu uzavřenou, nikoli však izolovanou. Na
9.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI 219
bednu samotnou i na každou její část působí totiž jednak tí-
hová síla, jednak tlaková síla podlahy. Všechny tyto síly jsou
svislé a nepřispějí proto ke změně vodorovné složky celkové
hybnosti soustavy. Síly, jimiž na sebe působí jednotlivé části
bedny při explozi, neovlivní celkovou hybnost vůbec, nebotquoteright
jsou vnitřními silami soustavy. Vodorovná složka hybnosti
soustavy se tedy zachovává a platí pro ni vztah (9.31).
Počáteční hybnost soustavy je určena hybností bedny
P
i
=mv.
Hybnost soustavy P
f
po roztržení bedny je dána vektorovým
součtem hybností obou částí:
P
1f
=m
1
v
1
a P
2f
=m
2
v
2
,
P
f
= P
1f
+ P
2f
=m
1
v
1
+m
2
v
2
.
Pro snazší vyjádření složek vektorů hybnosti spojíme sou-
stavu souřadnic s podlahou a osuxzvolíme ve směru pohybu
bedny. Všechny vektory hybnosti mají tedy směr osyx aje-
jich x-ové složky jsou dány přímo jejich velikostmi opatře-
nými příslušnými znaménky. Z (9.31) pak dostaneme
P
i,x
=P
f,x
,
tj.
mv
x
=m
1
v
1x
+m
2
v
2x
.
Uvážíme-li, že hmotnost druhé části bedny je m
2
= m−
−m
1
= 4,0 kg, a dosadíme-li do obecných vztahů vstupní
číselné údaje, dostaneme nakonec
(6,0kg)(4,0m·s
−1
)=(2,0kg)(8,0m·s
−1
)+(4,0kg)v
2x
,
odkud
v
2x
= 2,0m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Výsledná hodnota je kladná. Znamená to, že se druhá část
bedny pohybuje rovněž ve směru kladné osyx.
PŘÍKLAD9.8
Z děla o hmotnostiM = 1 300 kg byla ve vodorovném směru
vypálena koule o hmotnosti m= 72 kg (obr. 9.11). Rychlost
koule vzhledem k dělu je v a má velikost v = 55 m·s
−1
.
Při zpětnému rázu se dělo volně pohybuje vzhledem k Zemi
rychlostí V.
(a) Určete vektor V.
ŘEŠENÍ: Uvažujme soustavu složenou ze dvou těles, děla
a koule. Díky této volbě budou síly vzájemného působení
děla a koule při výstřelu vnitřními silami soustavy a není
třeba se jimi zabývat. Vodorovné složky vnějších sil půso-
bících na soustavu jsou nulové a vodorovná složka celkové
hybnosti soustavy se při výstřelu zachovává. Rychlost koule
vzhledem k Zemi v
Z
je rovna vektorovému součtu rychlosti
koule vzhledem k dělu a rychlosti děla vzhledem k Zemi, tj.
v
Z
= v + V.
Soustavu souřadnic spojíme se zemským povrchem a osux
namíříme ve směru hlavně (na obr. 9.11 vpravo). Všechny
rychlosti mají směr osy x. (V obrázku směřuje rychlost V
doleva, její skutečnou orientaci však dosud neznáme.) Pak
v
Z,x
=v
x
+V
x
. (9.32)
Před výstřelem má soustava nulovou hybnost P
i
= 0. Vodo-
rovnou složku její hybnosti po výstřelu označmeP
f,x
.Podle
(9.32) pro ni platí
P
f,x
=MV
x
+mv
Z,x
=MV
x
+m(v
x
+V
x
).
První člen na pravé straně této rovnosti představuje vodorov-
nousložkuhybnostidělaadruhývodorovnousložkuhybnosti
koule vzhledem k Zemi.
Vodorovná složka celkové hybnosti se ovšem nemění,
tj.P
f,x
=P
i,x
. Platí tedy
0 =MV
x
+m(v
x
+V
x
).
Řešením této rovnice vzhledem k neznáméV
x
dostaneme
V
x
=−
mv
x
M+m
=−
(72 kg)(55 m·s
−1
)
(1 300 kg+ 72 kg)
=
=−2,9m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Záporné znaménko potvrzuje očekávání, že se dělo při zpět-
ném rázu pohybuje v opačném směru než koule (v obr. 9.11
vlevo).
x
m
M
v
Z
V
vymezení soustavy
Obr.9.11 Příklad 9.8. Dělo o hmotnos