hrw9

tiM vypálilo kouli o hmot-
nostim. Koule má rychlost v
Z
vzhledem k Zemi a rychlost v vzhle-
dem k dělu. Rychlost zpětného rázu děla vzhledem k Zemi je V.
(b) Určete rychlost koule vzhledem k Zemi v
Z
.
ŘEŠENÍ: Z rovnice (9.32) vyplývá
v
Z,x
=v
x
+V
x
=(55 m·s
−1
)+(−2,9m·s
−1
)=
= 52 m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Vlivem zpětného rázu děla se koule pohybuje vzhledem
k Zemi poněkud pomaleji, než kdyby ke zpětnému rázu ne-
docházelo.
220 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
Při řešení této úlohy jsme si mohli uvědomit důležitost
vhodného vymezení studované soustavy částic (dělo+koule)
i vhodné volby vztažnésoustavy,vzhledem k níž vyjadřujeme
složky vektorových veličin. (Ze dvou přirozeně se nabízejí-
cích možností, spojit soustavu souřadnic budquoteright s povrchem
Země, nebo s pohybujícím se dělem, jsme rozumně zvolili
prvou možnost.)
PŘÍKLAD9.9
Představme si vesmírnou lodquoteright o celkové hmotnosti M vyba-
venou přepravním modulem, která letí vesmírem rychlostí
v
i
= 2 100 km/h vzhledem ke Slunci (obr. 9.12a). Poté, co se
přepravní modul o hmotnosti 0,20M odpoutá od lodi pomocí
malého výbuchu (obr. 9.12b), pohybuje se lodquoteright o 500 km/h
rychleji než modul. (Velikost relativní rychlosti lodi vůči
modulu je tedy v
rel
= 500 km/h.) Určete velikost rychlosti
lodiv
f
vzhledem ke Slunci.
xx
0,20M 0,80M
v
i
v
f
U
přepravní modul
(a)(b)
Obr.9.12 Příklad 9.9. (a) Vesmírná lodquoteright s přepravním modulem se
pohybuje rychlostí v
i
.(b) Přepravní modul se odpoutal od lodi. Lodquoteright
se nyní pohybuje rychlostí v
f
a modul rychlostí U.
ŘEŠENÍ: Soustava tvořená lodí a modulem je uzavřená
a izolovaná. Její celková hybnost se tedy zachovává, tj.
P
i
=P
f
. (9.33)
Indexy (i) a (f) označují hybnost soustavy před a po odpoutání
modulu. Soustava souřadnic je volena tak, že osax směřuje
ve směru pohybu lodi.Všechny vektorové veličiny popisující
pohyb jednotlivých částí soustavy ve všech jeho fázích mají
tedy nenulové pouze x-ové složky, které jsou navíc rovny
velikostem příslušných vektorů. Platí
P
i
=Mv
i
. (9.34)
Označíme-li symbolem U rychlost uvolněného modulu
vzhledem ke Slunci, můžeme výslednou hybnost soustavy P
f
vyjádřit vztahem
P
f
=(0,20M)U+(0,80M)v
f
. (9.35)
První člen na pravé straně odpovídá hybnosti modulu a druhý
hybnosti lodi.
Relativní rychlost v
rel
lodi vzhledem k modulu je rovna
rozdílu jejich rychlostí, tj.
v
rel
=v
f
−U.
Odtud
U =v
f
−v
rel
.
Dosazením tohoto výrazu do rov. (9.35) a využitím vztahů
(9.33) a (9.34) dostaneme
Mv
i
= 0,20M(v
f
−v
rel
)+ 0,80Mv
f
.
Odtud již snadno získáme výslednou rychlost lodi:
v
f
=v
i
+ 0,20v
rel
,
tj.
v
f
=(2 100 km/h)+0,20(500 km/h)=
= 2200km/h. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA 5: V následující tabulce vztahující se k pří-
kladu 9.9 jsou uvedeny některé hodnoty určující rych-
lost vesmírné lodi a přepravního modulu vzhledem ke
Slunci,resp. relativnírychlostlodivzhledem kmodulu.
Doplňte chybějící údaje.
RYCHLOSTI (km/h)
MODUL LOĎ
RELATIVNÍ RYCHLOST
(km/h)
(a) 1500 2000
(b) 3000 400
(c) 1000 600
PŘÍKLAD 9.10
Dvě tělesa na obr. 9.13 jsou spojena ideální pružinou a mohou
se pohybovat po dokonale hladké vodorovné podložce.Jejich
hmotnosti jsoum
1
am
2
. Tělesa nejprve oddálíme (pružina se
napne) a poté uvolníme.
x
k
v
1v2
m
1m
2
vymezení soustavy
bez tření
Obr.9.13 Příklad 9.10. Dvě tělesa spojená pružinou a ležící na do-
konale hladké vodorovné podložce nejprve oddálíme a poté uvol-
níme. Vektorový součet jejich hybností zůstává při jejich dalším
pohybu nulový. V obrázku je vyznačen i způsob vymezení sousta-
vy.
(a) Jaký je poměrrychlostí v
1
/v
2
přibližujících se těles?
9.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI 221
ŘEŠENÍ: Sledujeme soustavu obou těles spojených pruži-
nou.Vztažná soustava je spojena s podložkou a osaxsměřuje
podél pružiny.Počáteční hybnost P
i
soustavy před uvolněním
těles je nulová. V libovolném okamžiku po uvolnění těles lze
hybnost soustavy zapsat ve tvaru
P
f
=m
1
v
1
+m
2
v
2
.
Ze zákona zachování hybnosti plyne rovnost P
i
= P
f
, tj.
0 =m
1
v
1
+m
2
v
2
. (9.36)
S ohledem na speciální volbu soustavy souřadnic můžeme
psát
v
1,x
v
2,x
=−
m
2
m
1
. (9.37)
Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že rychlosti těles
mají v každém okamžiku opačný směr. Rov. (9.37) platí v li-
bovolném okamžiku po uvolnění těles bez ohledu na jejich
okamžitou rychlost.
(b)Jakýjepoměrkinetickýchenergií E
k,1
/E
k,2
přibližujících
se těles?
ŘEŠENÍ: PoměrE
k,1
/E
k,2
lze zapsat ve tvaru
E
k,1
E
k,2
=
1
2
m
1
v
2
1,x
1
2
m
2
v
2
2,x
=
m
1
m
2
parenleftbigg
v
1,x
v
2,x
parenrightbigg
2
.
Dosazením zav
1,x
/v
2,x
z rov. (9.37) a úpravou dostaneme
E
k,1
E
k,2
=
m
2
m
1
. (9.38)
Zatímco se tělesa k sobě přibližují, zmenšuje se prodlou-
žení spojovací pružiny. Pružná potenciální energie tak klesá
ve prospěch kinetických energií těles. Hodnoty veličin E
k,1
aE
k,2
rostou, jejich poměr se však nemění. Podle rov. (9.38)
je totiž v každém okamžiku určen podílem hmotností těles.
Kinetická energie obou těles je největší ve chvíli, kdy je pru-
žina opět nenapjatá. Poté se pružina začne stlačovat a pružná
energie soustavy poroste na úkor energie kinetické. Vztah
(9.38) však platí i v této fázi pohybu.
Vztahy (9.36) až (9.38) platí i v jiných situacích, kdy se
dvě tělesa přitahují (nebo odpuzují). Můžeme je použít napří-
klad při sledování pádu kamene k Zemi. V analogii s př. 9.10
a obr. 9.13 bude kámen představovat těleso 1 a Země těleso 2.
Vzájemné působení kamene a Země je ovšem popsáno nikoli
pružnými,nýbrž gravitačními silami.Vztažnou soustavu spo-
jíme s těžištěm dvojice kámen + Země (takzvaná těžištquoterightová
soustava). Z rov. (9.36) je vidět, že vzhledem k takto zvolené
vztažné soustavě jsou hybnosti kamene a Země v každém
okamžiku stejně velké. Z rov. (9.37) a (9.38) je pak zřejmé,
že padající kámen má vzhledem k těžištquoterightové soustavě mnohem
větší rychlost i kinetickou energii než Země,nebotquoterightm
2
greatermuchm
1
.
PŘÍKLAD 9.11
Uvnitř tělesa o hmotnosti M, které leží na vodorovné do-
konale hladké podlaze, je umístěna malá rozbuška. Výbuch
roztrhne těleso na tři části,které sedají do pohybu po podlaze.
Obr. 9.14 ukazuje pohled shora na situaci. Díl C o hmotnosti
0,30M má po výbuchu rychlost o velikostiv
f,C
= 5,0m·s
−1
.
x
y
A
B
C
A
B
C
50
◦
80
◦
100
◦
130
◦
v
f,A
v
f,B
v
f,C
v
f,A
v
f,B
v
f,C
(a)(b)
Obr.9.14 Příklad 9.11. Tři díly rozbitého tělesa se pohybují růz-
nými směry po dokonale hladké vodorovné podlaze. (a) Pohled na
situaci shora. (b) Totéž s vyznačením soustavy souřadnic.
(a) Jaká je rychlost dílu B o hmotnosti 0,20M?
ŘEŠENÍ: Zvolme soustavu souřadnic podle obr. 9.14b: zá-
porný směr osy x splývá se směrem vektoru rychlosti v
f,A
.
Osa x svírá s vektorem v
f,C
úhel 80
◦
a s vektorem v
f,B
úhel 50
◦
.
Obě složky celkové hybnosti soustavy, tvořené nejprve
tělesem a po rozpadu všemi jeho částmi, se zachovávají. Síly
působící při výbuchu jsou totiž vnitřními silami soustavy
a vnější síly (tíhová a normálová) jsou kolmé k souřadnicové
rovině xy. Při výpočtu rychlosti dílu B vyjdeme ze zákona
zachování proy-ovou složku celkové hybnosti:
P
i,y
=P
f,y
. (9.39)
Indexy (i) a (f) symbolizují jako obvykle počáteční a koncový
stav soustavy.
Složky počáteční hybnosti P
i
jsou nulové, nebotquoteright těleso
bylozpočátkuvklidu.AbychomzískaliP
f,y
,vyjádřímey-ové
složky výsledné hybnosti všech dílů tělesa:
p
f,A,y
= 0,
p
f,B,y
=−0,20Mv
f,B,y
=−0,20Mv
f,B
sin50
◦
,
p
f,C,y
= 0,30Mv
f,C,y
= 0,30Mv
f,C
sin80
◦
.
(Uvědomme si, že vzhledem k speciální volbě os soustavy
souřadnic je p
f,A,y
= 0.) Vztah (9.39) lze tedy přepsat do
tvaru
P
i,y
=P
f,y
=p
f,A,y
+p
f,B,y
+p
f,C,y
.
Dosazenímv
f,C
= 5,0m·s
−1
dostaneme
0 = 0−0,20Mv
f,B
sin50
◦
+(0,30M)(5,0m·s
−1
)sin80
◦
222 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
a odtud
v
f,B
= 9,64 m·s
−1
.
= 9,6m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(b) Jaká je rychlost části B?
ŘEŠENÍ: Vzhledem k tomu, že se zachovává ix-ová složka
celkové hybnosti, můžeme psát
P
i,x
=P
f,x
. (9.40)
PlatíP
i,x
= 0(tělesobylozpočátkuvklidu).Vyjádřímex-ové
složky výsledných hybností jednotlivých dílů tělesa (díl A má
hmotnost 0,50M):
p
f,A,x
=−0,50Mv
f,A
,
p
f,B,x
= 0,20Mv
f,B,x
= 0,20Mv
f,B
cos50
◦
,
p
f,C,x
= 0,30Mv
f,C,x
= 0,30Mv
f,C
cos80
◦
.
Vztah (9.40) nabývá tvaru
P
i,x
=P
f,x
=p
f,A,x
+p
f,B,x
+p
f,C,x
.
Dosadíme v
f,C
= 5,0m·s
−1
a v
f,B
= 9,64 m·s
−1
a dosta-
neme
0 =−0,50Mv
f,A
+ 0,20M(9,64 m·s
−1
)cos 50
◦
+
+ 0,30M(5,0m·s
−1
)cos80
◦
.
Odtud již získáme velikost rychlosti dílu A:
v
f,A
= 3,0m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA 6: Předpokládejme, že těleso v př.9.11 je
urychlováno ve směru záporné osy y (pohybuje se
například po nakloněné rovině). Rozhodněte, zda se
zachovává (a) x-ová složka jeho celkové hybnosti
(podle(9.40)) a (b)y-ovásložka jeho celkovéhybnosti
(vztah (9.39)).
RADY ANÁMĚTY
Bod 9.2:Zachováníhybnosti
Jevhodnévrátitsekbodu8.2,kterýsetýkalzákonazachování
mechanické energie. Otázky, které v něm byly formulovány,
stojí za zamyšlení i v souvislosti s úvahami o zákonu zacho-
vání hybnosti.
Přivýpočtechvycházejícíchzezákonazachováníhybnosti
se především vždy ujistíme, zda soustava, pro niž chceme
zákon zachování hybnosti použít, je uzavřená a izolovaná.
Uzavřenost znamená, že si soustava nevyměňuje částice se
svým okolím (žádná částice neprojde ze soustavy do okolí
ani naopak). Soustavu považujeme za izolovanou, je-li její
interakce s okolními objekty zanedbatelná.Z hlediska zákona
zachování hybnosti se jako izolovaná chová i soustava, na
kterou její okolí působí silami s nulovou výslednicí. Není-li
soustava uzavřená nebo izolovaná, vztahy (9.30) a (9.31)
neplatí.
Připomeňme si, že hybnost je vektorová veličina. Má tedy
smysl uvažovat o zachování každé z jejích složek odděleně.
Daná složka celkové hybnosti soustavy sezachovává za před-
pokladu, že odpovídající složka výslednice vnějších sil, jimiž
na částice soustavy působí její okolí, je nulová. V př. 9.8 byla
nulová vodorovná složka výslednice vnějších sil působících
na soustavu dělo + koule. Zachovávala se tedy vodorovná
složka hybnosti soustavy. Svislá složka výsledné vnější síly
ovšem nulová nebyla, nebotquoteright na letící kouli působila tíhová
síla. Svislá složka hybnosti soustavy byla proměnná.
Vybereme dva vhodné stavy soustavy (počáteční a kon-
cový) a vyjádříme její celkovou hybnost v každém z nich.
Přitom bychom si měli stále uvědomovat, v jaké vztažné
soustavě pracujeme. Musíme dát pozor, abychom do celkové
hybnosti neopomněli zahrnout hybnost některé z částí stu-
dované soustavy, nebo naopak do ní omylem nezapočítali
hybnost objektů, které do soustavy nepatří. Tak třeba v př. 9.8
jsme se nejprve museli rozhodnout, zda použijeme vztažnou
soustavu spojenou se Zemí, nebo s dělem, které se pohybuje
vlivem zpětného rázu.
Nakonec výrazy pro P
i
a P
f
porovnáme a řešením získané
rovnice najdeme neznámou veličinu, požadovanou v zadání
úlohy.
9.7 SOUSTAVY S PROMĚNNOU
HMOTNOSTÍ: RAKETA
Prozatím jsme se zabývali soustavami, jejichž celková
hmotnost byla konstantní. Tento předpoklad však ne-
bývá vždy splněn. Uvažujme například startující raketu
(obr.9.15).Převážnoučást její hmotypřed startem tvořípo-
honné látky, které se postupně spalují a proudí ven tryskou
raketového motoru.
Propopispohyburaketysproměnnouhmotnostípouži-
jeme větu o hybnosti, nikoli však pro raketu samotnou, ný-
brž pro soustavu, do níž kromě rakety zahrneme i zplodiny
vzniklé spálením pohonných hmot, které raketu opouštějí.
Hmotnost taktovymezenésoustavy se nemění.
Výpočet zrychlení rakety
Sledujme raketu v pozdější fázi jejího pohybu v mezi-
planetárním prostoru, kde zanedbáme gravitační sílu i od-
por prostředí. Přímočarý pohyb rakety budeme popisovat
9.7 SOUSTAVY S PROMĚNNOU HMOTNOSTÍ: RAKETA 223
Obr.9.15 Start rakety v projektu Mercury
x
x
v
v+dv
M
M+dM−dM
U
vymezení soustavy
vymezení soustavy
čas=t
čas=t+dt
(a)
(b)
Obr.9.16 (a) Zrychlený pohyb rakety o hmotnostiMsledujeme
v inerciální vztažné soustavě. Obrázek odpovídá okamžiku t.
(b) Raketa v okamžiku t + dt. Obrázek znázorňuje i odpad
vzniklý spálením pohonných hmot v časovém intervalu dt a vy-
puzený do prostoru.
v inerciální vztažné soustavě a souřadnicovou osu x zvo-
límevesměrutohotopohybu.OznačmeMhmotnostrakety
a v její rychlost (x-ová složka) v libovolném okamžiku t
(obr.9.16a).
Obr.9.16b zachycuje situaci v pozdějším okamžiku
t + dt. Raketa má nyní rychlost v+ dv a její hmotnost
je M + dM. Uvědomme si, že změna hmotnosti dM je
záporná. Zplodiny vzniklé spálením pohonných látek v ča-
sovém intervalu dt mají hmotnost−dM a opouštějí raketu
rychlostí U měřenou ve zvolené inerciální vztažné sou-
stavě.
Uvažujme nyní soustavu tvořenou raketou a zplodi-
nami, které ji opustily během časového intervalu dt.Tato
soustava je uzavřená a izolovaná. Její hybnost se tedy v in-
tervalu dt zachovává a platí
P
i
=P
f
. (9.41)
Indexy (i) a (f) označují celkovou hybnost soustavy na
začátku a na konci časového intervalu délky dt. Rov.(9.41)
můžeme přepsat do tvaru
Mv=−dMU+(M+dM)(v+dv), (9.42)
kde první člen na pravé straně představuje hybnost zplo-
din vzniklých v časovém intervalu dt a druhý člen značí
hybnost rakety na konci tohoto intervalu.
Vztah (9.42) lze ještě zjednodušit zavedením relativní
rychlostiuzplodin vzhledem k raketě. Tato rychlost je roz-
dílem rychlostiv+dvrakety na konci intervalu dt a rych-
losti zplodinU:
u=(v+dv)−U,
tj.
U =v+dv−u. (9.43)
Dosazenímtohotovýrazudo rov.(9.42)dostávámepo malé
úpravě
−dMu=Mdv. (9.44)
Vydělením rov.(9.44) délkou časového intervalu dt dosta-
neme:
−
dM
dt
u=M
dv
dt
. (9.45)
Výraz dM/dtvyjadřujerychlost ubýváníhmotnosti rakety.
Označme jej symbolem −R, kde R(R>0) je rychlost
spotřeby paliva v kg/s. Nakonec si uvědomme, že výraz
dv/dt v rov.(9.45) představuje zrychlenía rakety a přepí-
šeme rovnici ve tvaru
Ma=Ru (rovnice Měščerského). (9.46)
Rovnice (9.46) platí v libovolném okamžiku pro oka-
mžité hodnoty hmotnosti M rakety, rychlosti R spotřeby
paliva a zrychlenía rakety.
224 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
Její levá strana má rozměrsíly (kg·m·s
−2
= N) a závisí
pouze na vlastnostech raketového motoru (na rychlosti R
spotřeby paliva a na rychlosti u zplodin vzhledem k ra-
ketě). Výraz Ru na pravé straně rovnice nazveme tahem
raketovéhomotorua označímejejsymbolemT.Rov.(9.46)
získává při tomto označeníformální podobudruhého New-
tonova zákonaMa=T, kdeaje zrychlení rakety aM její
hmotnost.
Výpočet rychlosti rakety
Položme si nyní otázku,jak se mění rychlost rakety při spa-
lování pohonných hmot. Odpovědquoteright získáme integrací rov-
nice (9.44) upravené na tvar
dv=−u
dM
M
.
Dostaneme
integraldisplay
v
f
v
i
dv=−u
integraldisplay
M
f
M
i
dM
M
.
M
i
aM
f
představujípočátečníavýslednouhmotnostrakety.
Výpočtem integrálů dostaneme vztah
v
f
−v
i
=uln
M
i
M
f
(vzorec Ciolkovského), (9.47)
kterývyjadřujezměnurychlostiraketypři změnějejí hmot-
nosti z hodnoty M
i
na hodnotu M
f
.* Dokumentuje rov-
něž výhodnost konstrukce vícestupňových raket, jejichž
hmotnostM
f
klesá nejen spalováním pohonných hmot, ale
i uvolněním vyhořelých stupňů. Ideální raketu by v cíli
jejího letu měl tvořit pouze užitečný náklad.
PŘÍKLAD 9.12
Raketa, jejíž počáteční hmotnostM
i
je 850 kg, spotřebovává
palivo rychlostí R = 2,3kg·s
−1
. Zplodiny opouštějí raketu
relativní rychlostíu= 2 800 m·s
−1
.
(a) Jaký je tah motoru?
ŘEŠENÍ: Tah motoru je
T =Ru=(2,3kg·s
−1
)(2 800 m·s
−1
)=
= 6440 N
.
= 6 400 N. (Odpovědquoteright)
(b) Jaké je počáteční zrychlení rakety?
ŘEŠENÍ: Z pohybové rovnice rakety dostáváme
a=
T
M
i
=
(6 440 N)
(850 kg)
= 7,6m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
* Symbol „ln“ v rovnici (9.47) značí přirozený logaritmus, tj. logarit-
mus o základu e(=2,718…).
Při startu rakety z povrchu Země musí být tah T mo-
toru větší než tíhová síla, kterou na raketu působí Země. Ta
má v našem případě velikost M
i
g=(850 kg)(9,8m·s
−2
)=
= 8 300 N. Tah motoru je však pouhých T = 6 400 N, takže
naše raketa nemůže odstartovat. Může však být do mezipla-
netárního prostoru vynesena nějakou silnější raketou.
(c) Předpokládejme, že naše raketa startuje z vesmírné lodi,
která se již nachází v meziplanetárním prostoru. Gravitační
síly tedy můžeme zanedbat. Po vyčerpání paliva má raketa
hmotnostM
f
= 180 kg. Jaká je její rychlost vzhledem k lodi
v tomto okamžiku? Předpokládejme, že hmotnost vesmírné
lodi je tak velká, že start rakety její pohyb neovlivní.
ŘEŠENÍ: Počáteční rychlost rakety vzhledem k vesmírné
lodi jev
i
= 0. Z rov. (9.47) dostaneme
v
f
=uln
M
i
M
f
=
=(2 800 m·s
−1
)ln
(850 kg)
(180 kg)
=
=(2 800 m·s
−1
)ln 4,72
.
= 4 300 m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Všimněme si, že výsledná rychlost rakety může převýšit re-
lativní rychlost zplodinuvzhledem k raketě.
9.8 VNĚJŠÍ SÍLY A ZMĚNY
VNITŘNÍ ENERGIE
Krasobruslařkana obr.9.17ase odrážíod mantinelu.Tenna
ni působí silou F
ext
, svírající s vodorovnou rovinou úhelϕ.
Bruslařka, která byla zpočátku v klidu, získá vlivem této
síly určitou rychlost, s níž se pak vzdaluje od mantinelu
(obr.9.17b). Působením síly se tedy zvýšila kinetická ener-
gie bruslařky.
Případ bruslařky se liší od předchozích příkladů, kdy
docházelo ke změně kinetické energie tělesa vlivem půso-
bení vnějších sil, ve dvou podstatných rysech:
1. V předchozích příkladech byla rychlost všech částí tě-
lesa stejná (těleso jsme mohli při studiu jeho pohybu pova-
žovat za bodový objekt). V případě bruslařky již tomu tak
není. Například pohyb jejích paží se liší od pohybu jejího
trupu.
2. V předchozích příkladech se kinetická energie tělesa
měnila vlivem působení vnějších sil na úkorenergie okolí.
Vpřípadě bruslařky docházíkezměně jejíkinetické energie
na úkorenergie vnitřní (biochemické). Vnější síla v tomto
případě nekoná práci, nebotquoteright vektor posunutí jejího půso-
biště je po celou dobu jejího působení nulový (síla působí
na ruku bruslařky v pevném bodě mantinelu). Práci konají
síly napínající svalstvo, tj. vnitřnísílysoustavy.
9.8 VNĚJŠÍ SÍLY A ZMĚNY VNITŘNÍ ENERGIE 225
x
ϕ
ϕ
T
d
T
v
T,0
v
T
v
T
F
ext
F
ext
led
(a) (b)
(c)
Obr.9.17 (a) Bruslařka se odráží od mantinelu, který na ni pů-
sobí silou F
ext
. (b) Její těžiště má v okamžiku ztráty kontaktu
s mantinelem rychlost v
T
. (c) Vnější síla F
ext
působící na brus-
lařku při odrazu od mantinelu je zakreslena jako síla působící
na její těžiště. Při posunutí těžiště o vektor d
T
se jeho rychlost
změní z v
T,0
na v
T
. Tato změna je určena vodorovnou složkou
síly F
ext
.
Zdá se, že tyto rozdíly, odlišující popsaný případ brus-
lařky od všech ostatních příkladů změny kinetické energie
těles, kterými jsme se prozatím zabývali, jsou naprosto zá-
sadní. Přesto však je možnéformálně vyjádřit změnu kine-
tickéenergiebruslařkyjakoprácisíly F
ext
působícína části-
ci,jejímžpohybemlze nahraditpohybbruslařkyjakocelku,
tj. jejíposuvný nebolitranslačnípohyb. Touto „náhradní“
částicí je těžiště bruslařky.Situaci ukazuje obr.9.17c.Před-
pokládejme, že těžiště bruslařky se pohybuje vodorovně.
Svislá složka výslednice sil působících na bruslařku, daná
tíhovou silouMg, tlakovou silou ledové plochy N asvis-
lým průmětem síly F
ext
, je tedy nulová. Vodorovná složka
F
ext
cosϕ síly F
ext
určuje vodorovné zrychlení a
T
těžiš-
tě. Za dobu, po kterou tato síla působí, se rychlost těžiště
změní z počáteční rychlosti v
T,0
na výsledn