hrw8

8
Potenci·lnÌ energie
a z·kon zachov·nÌ energie
JednÌm z nebezpeËn˝ch Ñsport˘ì je bungee-jumping (v p¯ekladu ÑzaraûenÈ
sk·k·nÌì). Skokan, p¯ipoutan˝ za kotnÌky ke speci·lnÌmu pruûnÈmu lanu,
se vrh· dol˘ z velkÈ v˝öky, vÏtöinou z vysok˝ch mostnÌch konstrukcÌ.
NapÌnajÌcÌ se lano zp˘sobÌ zbrzdÏnÌ st¯emhlavÈho letu. Lze v˘bec zjistit, jakÈ
nejvÏtöÌ hloubky skokan dos·hne? OdpovÏÔ na tuto ot·zku je pochopitelnÏ
obecnÏ zajÌmav·, pro skokana vöak navÌc ûivotnÏ d˘leûit·.
170 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE
8.1 POTENCIÁLNÍ ENERGIE
Vkap.7jsmedefinovalikinetickouenergiičástice,resp.bo-
dového objektu a přesvědčili jsme se, že její změny bez-
prostředně souvisejí se silami, jimiž na částici působí její
okolí. Změna kinetické energie částice je totiž rovna vý-
sledné práci všech těchto sil. Uvědomili jsme si také, že
v případě soustavy částic či tělesa, které nelze považo-
vat za bodový objekt, přispěje ke změně kinetické energie
nejen práce sil, jimiž působí na částice soustavy její okolí,
ale i práce interakčních sil, jimiž na sebe částice soustavy
působí navzájem. V této kapitole se budeme problémem
práce těchto vnitřních sil zabývat podrobněji a ukážeme,
že za jistých podmínek lze pomocí ní definovat nový typ
energie soustavy,tzv.potenciální energii E
p
. Vzhledem
k její souvislosti s konfigurací soustavy (tj. uspořádáním
částic) hovoříme někdy o energii konfigurační. Mění-li se
konfigurace soustavy, mění se i její potenciální (konfigu-
rační) energie.
Jedním z typů potenciální energie je tíhová, případně*
gravitační potenciální energie, jež souvisí s konfigurací
soustavy částic, které na sebe působí tíhovými (gravitač-
ními) silami. Když Vasilij Aleksejev zvedal nad hlavu
562librovou činku, zvyšoval tím vzdálenost mezi činkou
a Zemí. Měnil tak konfiguracisoustavy činka+Země a tím
i její tíhovou potenciální energii (obr.8.1).
(a)(b)
Obr.8.1 Při zvedání činky nad hlavu zvyšoval V. Aleksejev její
vzdálenost od Země a měnil tak konfiguraci soustavy činka +
+Země z výchozí konfigurace (a) ve výslednou (b).
Jiným typem potenciální energie je pružná poten-
ciálníenergie,kterásouvisí se stavem napjatosti(protažení
či stlačení) pružných těles, například pružin. Silou, která
zde hraje podstatnou roli, je pružná síla. Stlačíme-li nebo
napneme-li pružinu, měníme tím vzájemné polohy jejích
závitů. Pružná síla působí proti takovým změnám a to vede
ke zvýšení pružné potenciální energie pružiny.
* Jemný rozdíl mezi nimi vyložíme v čl. 14.4.
Práce a potenciální energie
Pro úvahy o souvislostipráce vnitřníchsilpůsobícíchvsou-
stavě částic a změnách potenciální energie zvolíme nej-
prve nejjednodušší možný model, soustavu libovolné tě-
leso+Země. Vratquoterightme se proto k příkladu jablíčka,vrženého
svisle vzhůru podle obr.8.2. Pro jednoduchost zanedbejme
otáčení Země kolem Slunce i její rotaci kolem vlastní osy
a popisujme vše v takové inerciální soustavě, v níž jsou
obě tělesa Země+jablíčko zpočátku v klidu. V kap.7 jsme
konstatovali,že ve fázi výstupu je práceW
g
vykonanátího-
vou silou působící na jablíčko záporná a kinetická energie
jablíčka vzhledem k Zemi klesá.
tíhová síla
koná
zápornou práci
tíhová síla koná
kladnou práci
Obr.8.2 Rajské jablíčko je vrženo vzhůru. Při výstupu koná
tíhová síla zápornou práci a kinetická energie jablíčka vzhledem
k Zemi klesá. Roste však tíhová potenciální energie soustavy
jablíčko + Země. Při sestupu je práce tíhové síly působící na
jablíčko kladná, jeho kinetická energie vzhledem k Zemi roste
a tíhová potenciální energie soustavy klesá.
Můžeme zřejmě očekávat, že potenciální energie sou-
stavy jablíčko + Země, kterou se snažíme definovat jako
energii závislou na vzájemné poloze obou částic, roste
právě na úkor kinetické energie.
V další fázi pokusu se jablíčko zpomaluje, zastaví se
a začíná padat, nebotquoteright je k Zemi přitahováno tíhovou silou.
Při pádu se energiové poměry obrátí: práce W
g
vykonaná
tíhovousiloujenyníkladná,kinetickáenergiejablíčkaroste
atíhovápotenciálníenergiesoustavyjablíčko+Zeměklesá.
Úvahy z kap. 7 nyní zpřesníme.
Při pohybu tělesa v blízkosti povrchu Země je změna
Delta1E
p
tíhové potenciálníenergiesoustavy těleso+Země de-
finována jako záporně vzatá práce vykonaná interakčními
tíhovými silami F
g
a −F
g
. Píšeme
Delta1E
p
=−W
g
. (8.1)
Veličinu E
p
nazýváme tíhovou potenciální energií sou-
stavy těleso + Země nebo také potenciální energií tělesa
8.2 NEZÁVISLOST PRÁCE KONZERVATIVNÍCH SIL NA TRAJEKTORII 171
v tíhovém poli Země. Při užívání druhého z obou názvů
bychom si měli neustále připomínat, že potenciální ener-
gie přísluší soustavě obou objektů, tělesa i Země, nebotquoteright
je definována pomocí práce obou interakčních sil. Stejný
vztahplatíprosoustavukostka+pružinasupevněnýmkon-
cem (obr.8.3), přesněji řečeno pro soustavu kostka+Země
s přidanou pružnou interakcí, zprostředkovanou pružinou.
Jestliže náhle udeříme dokostkysměremvpravoauvedeme
jitak do pohybu,konápružnásíla působícínakostkuběhem
pohybu vpravo zápornou práci. Kinetická energie kostky
klesá a na její úkor roste pružná potenciální energie sousta-
vy.(Vzhledem k tomu,že tato potenciálníenergie je určena
výhradně změnou délky pružiny, hovoříme někdy stručně
o potenciálníenergiipružiny.)Kostkase zpomaluje,zastaví
se a začne se vlivem pružné síly pohybovat v opačném
směru. Směr energiovýchzměn se obrátí, kinetická energie
kostky roste na úkor pružné potenciální energie soustavy.
00
xx
(a)(b)
Obr.8.3 Kostka, která je připevněná k pružině a je zpočátku
v klidu v polozex = 0, je uvedena do pohybu směrem vpravo.
(a) Při pohybu kostky vpravo (vyznačeno šipkou) koná pružná
síla působící na kostku zápornou práci. Kinetická energie kostky
klesáapotenciálníenergiepružinyroste.Kostkasezastavívoka-
mžiku, kdy je její kinetická energie nulová. (b) Poté se kostka
pohybuje zpět směrem k poloze x = 0, pružná síla koná klad-
nou práci, kinetická energie kostky roste za současného poklesu
potenciální energie pružiny.
Konzervativní a nekonzervativní síly
Shrňmeklíčovéprvkydiskusetýkajícísepředchozíchdvou
situací:
1. Soustava se skládá ze dvou nebo více objektů.
2. Sledovanáčástice (jablíčko,resp.kostka)a zbytek sou-
stavy na sebe navzájem působí interakčnímisilami.
3. Mění-li se konfigurace soustavy, konají interakční síly
práciW
1
a kinetická energie soustavyE
k
se mění.
4. Obrátí-li se směr změn konfigurace soustavy, konají
interakční síly práciW
2
.
Jestliže za všech okolností platí W
1
=−W
2
, lze po-
mocí práce interakčních sil definovat potenciální energii
soustavy. O interakčních silách hovoříme v takovém pří-
padě jako o siláchkonzervativních. Jak se dalo tušit, jsou
tíhová i pružná síla silami konzervativními (jinak bychom
nemohli mluvit o tíhové či pružné potenciální energii).
Ne všechnysíly jsou ovšem konzervativní.Představme
si napříkladkostku,jak klouže po podlaze,která není doko-
nale hladká. Při pohybu kostky koná dynamická třecí síla
zápornou práci. Pohyb kostky se zpomaluje, její kinetická
energie klesá. Nakonec se kostka zastaví a její kinetická
energie je nulová. Práce třecích sil, jimiž na sebe navzájem
působí kostka a podlahapodél styčných ploch,se spotřebo-
vala na zvýšení vnitřní energie soustavy kostka+ podlaha
(dokladem toho je zahřátí obou těles). Experimentálně je
však prokázáno, že opačný proces není možný: kostku ne-
dokážemeuvéstdo pohybutím,žeji ochladíme.Ikdyžtedy
v soustavě kostka+ podlaha působí interakční (třecí) síly,
které konají práci na úkor kinetické energie soustavy, nelze
tuto práci vyjádřit jako změnu nějakého druhu potenciální
energie. Vnitřní energie soustavy kostka + podlaha není
energií potenciální, síly tření jsou silami nekonzervativ-
ními.
Působí-li na částici výhradně konzervativní síly, mů-
žeme jinak složitý problém jejího pohybu značně zjedno-
dušit. V následujícím článku formulujeme kritéria, na zá-
kladě nichž lze rozpoznat konzervativní síly, a vyjasníme
si, v čem zmíněné zjednodušení spočívá.
8.2 NEZÁVISLOST PRÁCE
KONZERVATIVNÍCH SIL
NA TRAJEKTORII
K formulaci základního kritéria umožňujícího rozhodnout,
zda daná síla je či není konzervativní, dospějeme postup-
nými úvahami: předpokládejme nejprve pro jednoduchost,
že na částici pohybující se po uzavřené trajektorii působí
jediná síla. Počátečnía koncovápoloha částice na uzavřené
trajektorii splývají, částice vykoná „okružní cestu“, která
začíná a končí v tomtéž bodě. Síla působící na částici je
konzervativní právě tehdy, je-li kinetická energie částice
na počátku i na konci tohoto okruhu stejná. Práce, kterou
síla vykonápři oběhu částice po uzavřené trajektoriije tedy
nulová. Jako jeden z přirozených příkladů takové situace
poslouží oběh Země kolem Slunce po prakticky kruhové
trajektorii (nebo i komety po protáhlé eliptické trajektorii),
který se skutečně děje vlivem jediné síly působící na pla-
netu. Tou je gravitační síla, jíž na planetu působí Slunce.
Jiným příkladem je pohyb jablíčka vrženého svisle vzhůru
v tíhovém poli Země.
Obecně bychom ovšem měli umět určit práci zkou-
mané síly F při pohybu částice po libovolné trajektorii.
Sama síla F však k zajištění takového předem naplánova-
ného pohybu obvykle nestačí. Musíme proto doplnit další,
vhodnězvolenousílu.Jevýhodné,je-litato síla kolmák po-
žadované trajektorii, protože potom nekoná práci. Typic-
172 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE
kým příkladem takové vazební síly je tlaková síla vhodně
tvarované podložky umístěné v tíhovém poli Země, po níž
pouštíme těleso jako po skluzavce.
Předpokládejme tedy, že jsme studovanou sílu F dopl-
nilivhodnězvolenouvazebnísilou.Sílu F nazvemekonzer-
vativní, je-li její příspěvek ke změně kinetické energie při
každém oběhu částice po jakékoli uzavřené cestě nulový.
Jinými slovy:
Práce vykonaná konzervativní silou působící na částici
pohybujícísepolibovolnéuzavřenétrajektoriijenulová.
Experimenty ukazují, že tíhová síla toto kritérium spl-
ňuje. Příkladem je hra s jablíčkem na obr.8.2. Jablíčko
opouští výchozí bod s rychlostí o velikostiv
0
a kinetickou
energií
1
2
mv
2
0
. Tíhová síla Země jablíčko zpomaluje až do
zastavení a jablíčko padá nazpět. V okamžiku návratu do
výchozího bodu je velikost jeho rychlosti opět v
0
akine-
tická energie má hodnotu
1
2
mv
2
0
.Tíhovásílatedy během vý-
stupu jablíčka spotřebovala stejně velkou práci (W
1
< 0),
jako vykonala při jeho zpětném pádu do výchozího bodu
(W
2
> 0, W
1
=−W
2
). Tíhová síla, jíž působí Země na
jablíčko,vykoná při jeho oběhu po uzavřené trajektoriicel-
kově nulovou práci.
1
2
1
2
BB
AA
(a)(b)
Obr.8.4 (a) Částice, na niž působí mj. konzervativní síla F,se
pohybuje po okruhu z bodu A do bodu B po cestě 1 a vrací se
zpět po cestě 2. (b) Částice může přejít z boduAdo boduB jak
po cestě 1, tak po cestě 2.
Obr.8.4a znázorňuje oběh částice po obecně zvolené
uzavřené trajektorii. Jednou ze sil působících na částici je
i síla F, jejíž konzervativnost studujeme. Částice se pohy-
buje z počátečního boduAdo boduB po cestě 1 a vrací se
do boduApo cestě 2. Síla F koná jistou práci při pohybu
částice po jakékoli trajektorii. Aniž bychom specifikovali,
pro které části vyznačené trajektorie je tato práce kladná,
resp. záporná, označme jako W
AB,1
práci, kterou uvažo-
vaná síla vykonala při pohybu částice z boduAdo boduB
po cestě 1, a jakoW
BA,2
práci vykonanou při pohybu zB
doApocestě2.Je-lisíla konzervativní,pakvýslednápráce,
kterou vykoná při pohybu částice po celém okruhu, musí
být nulová:
W
AB,1
+W
BA,2
= 0,
tj.
W
AB,1
=−W
BA,2
. (8.2)
Vyjádřeno slovy, práce, kterou síla vykoná při cestě částice
z bodu A do bodu B, musí být rovna záporně vzaté práci
vykonané při návratu částice.
Uvažujme nyní práci W
AB,2
, kterou síla vykoná při
pohybu částice z bodu A do bodu B, avšak po cestě 2
(obr.8.4b).
Je-li síla F konzervativní,je tato práce až na znaménko
rovna práciW
BA,2
:
W
AB,2
=−W
BA,2
. (8.3)
Dosazením W
AB,2
namísto −W
BA,2
do vztahu 8.2 dosta-
neme
W
AB,1
=W
AB,2
. (8.4)
Tato jednoduchá rovnost představuje velmi silný výsledek,
nebotquoteright umožňujezjednodušitobtížné problémypohybu čás-
tic v případě, že na ně působí pouze konzervativní síly. Vy-
plývá z ní totiž, že práce konzervativní síly při pohybu čás-
tice z určitého počátečního boduAdo koncového boduB
nezávisí na tom, po jaké konkrétní cestě se tento pohyb
děje.
Práce konzervativnísíly působící na částici při jejím po-
hybu mezidvěma bodyje nezávislá na trajektoriičástice.
Předpokládejme, že potřebujeme vypočítat práci kon-
zervativnísíly působícína částici přijejím pohybupo určité
trajektoriispojujícídva zadanébody.Můžese stát,že přímý
výpočet je pro tuto konkrétní trajektorii složitý. Výsledek
všaklzezískatprojinoutrajektoriispojujícíobabody,avšak
zvolenou způsobem, který vede k usnadnění výpočtu. Tuto
skutečnost dokumentuje př.8.1.
PŘÍKLAD 8.1
Obr. 8.5a znázorňuje balíček o hmotnosti 2,0 kg, jak klouže
po dokonale hladké skluzavce z boduAdo boduB. Celková
dráha, kterou po skluzavce urazí, je 2,0 m. Svislá vzdálenost
bodůAaBje 0,80 m. Jakou práci vykoná při pohybu balíčku
tíhová síla?
ŘEŠENÍ: Dejme tomu, že známe konkrétní tvar skluzav-
ky C. Počítejme práci tíhové síly podle vztahu (7.31):
W =
integraldisplay
C
mg· dr =
integraldisplay
C
(0 · dx+(−mg)dy)=
=−mg
y
f
integraldisplay
y
i
dy=−mg(y
f
−y
i
).
Integrál tedy na tvaru skluzavky vůbec nezávisí.
Protože je tíhová síla konzervativní, můžeme určit hle-
danou práci mnohem snadněji. Pro výpočet vybereme jinou
8.3 URČENÍ HODNOT POTENCIÁLNÍ ENERGIE 173
trajektorii spojující bodyAaB tak, abychom jej zjednoduši-
li. Zvolme trajektorii složenou ze dvou přímých úseků, které
jsou v obr. 8.5b vyznačeny přerušovanou čarou. Podél vodo-
rovného úseku je úhel ϕ konstantní a je roven 90
◦
. I když
neznáme posunutí balíčku ve vodorovném směru, můžeme
ze vztahu (7.16) usoudit, že práce tíhové síly po vodorovném
úseku je nulová:
W
h
=mgdcos 90
◦
= 0.
Posunutí balíčku podél svislého úseku jed = 0,80 m. Úhelϕ
mezi vektory d a mg je opět konstantní a roven 0
◦
. Podle
(7.16) je tedy práce vykonaná tíhovou silou při pohybu ba-
líčku po svislém úseku
W
v
=mgdcos0
◦
=(2,0kg)(9,8m·s
−2
)(0,80 m)(1)=
= 15,7J.
Celková práce vykonaná tíhovou silou působící na balíček
při jeho pohybu z bodu A do bodu B po cestě vyznačené
přerušovanou čarou je tedy
W =W
h
+W
v
= 0+ 15,7J
.
= 16 J. (Odpovědquoteright)
Tato práce je ovšem stejná jako při pohybu balíčku zAdoB
po skluzavce.
BB
AA
(a)(b)
Obr.8.5 Příklad 8.1. (a) Balíček klouže po dokonale hladké
skluzavce z bodu A do bodu B. (b) Výpočet práce vykonané při
tomto pohybu tíhovou silou je snažší pro případ trajektorie vyzna-
čené přerušovanou čarou než pro skutečnou trajektorii. Výsledky
jsou však stejné.
K
ONTROLA 1: Obrázek ukazuje tři cesty spojující
bodyAaB. Síla F působící na částici koná při pohybu
částicepojednotlivýchúsecíchpráci,jejížhodnotyjsou
v obrázku vyznačeny. Rozhodněte, zda je síla F kon-
zervativní.*
60 J
60 J
−60 J
B
A
* Dokázali byste rozhodnout i v případě, že by údaj u nejníže zakres-
leného úseku byl −60J?
8.3 URČENÍ HODNOT
POTENCIÁLNÍ ENERGIE
Uvažujme nyní bodový objekt (třeba meloun), který náleží
dosoustavy(řekněmemeloun+Země),vnížpůsobíkonzer-
vativní interakční síly F a −F. Změna potenciální energie
soustavyDelta1E
p
při přechodu z počáteční do koncové konfi-
gurace je rovna záporně vzaté práci, kterou při této změně
konfigurace vykonaly interakční síly. Tuto skutečnost jsme
již vyjádřili vztahem (8.1) (Delta1E
p
=−W). Práce,kterou vy-
konají konzervativní interakční síly uvnitř soustavy přitom
závisí pouze na její výchozí a výsledné konfiguraci, nikoli
však na způsobu,jakýmke změně konfiguracedošlo.V pří-
padě částice (meloun), jejíž pohyb neovlivní konfiguraci
zbytku soustavy (Země), je konfigurace určena polohovým
vektorem r(t) této částice vzhledem k vybranému bodu
zbytku soustavy (polohový vektormelounu vůči středu
Země). Změna potenciální energie soustavy při přesunu
částice z polohy r
i
do polohy r
f
po křivce C je
Delta1E
p
=−W =−
integraldisplay
C
F(r)·dr. (8.5)
Tento integrál však díky konzervativnosti interakčních sil
F(r) a −F(r) nezávisí na tvaru křivky C a změna poten-
ciální energie souvisí pouze s polohou jejího počátečního
a koncového bodu. Znamená to tedy, že každé konfiguraci
soustavy lze přisoudit určitou hodnotu potenciální energie
E
p
? Odpovědquoteright je kladná.
Velmi často se setkáváme se zvláštquoteright jednoduchými pří-
pady soustav, jejichž konfiguraci lze popsat jedinou ska-
lární veličinou, tzv. konfigurační proměnnou. Označme
ji pro jednoduchost symbolem x, i když nemusí nutně jít
ox-ovousouřadnici.(Vpřípaděsoustavymeloun+Zemějí
může být například vzdálenost melounu od povrchu Země,
pro soustavu vzniklou připoutáním tělesa k Zemi pružinou
může mít x význam prodloužení pružiny, u soustavy pla-
neta + Země pak význam vzdálenosti středů obou těles,
apod.) Závisí-li navíc konzervativní interakční síly F a −F
pouze na této jediné proměnné, velmi často se výpočet
změny potenciální energie zjednodušuje do tvaru analogic-
kého rov. (7.27):
Delta1E
p
=−
integraldisplay
x
f
x
i
F(x)dx. (8.6)
Tíhová potenciální energie
Uvažujme nyní částici o hmotnostimpohybující se v blíz-
kosti povrchu Země. Soustavu souřadnic zvolme tak, aby
osa y směřovala svisle vzhůru. Za konfigurační proměn-
nou soustavy částice + Země můžeme zvolity-ovou sou-
řadnici částice. Při pohybu částice z bodu (x
i
,y
i
,z
i
) do
174 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE
bodu (x
f
,y
f
,z
f
) závisí totiž práce interakčních sil mg
a −mg pouze na hodnotáchy
i
ay
f
(př. 8.1). Odpovídající
změnu tíhové potenciální energie soustavy lze tedy určit
užitím vztahu (8.6), v němž zaměnímex za y a dosadíme
F =−mg. Dostáváme
Delta1E
p
=−
integraldisplay
y
f
y
i
(−mg)dy=mg
integraldisplay
y
f
y
i
dy=mg[y]
y
f
y
i
,
atedy
Delta1E
p
=mg(y
f
−y
i
)=mgDelta1y. (8.7)
Fyzikálnívýznammá pouzezměnaDelta1E
p
tíhové potenciální
energie(či potenciálníenergie jiného typu).Abychomvšak
zjednodušili výpočet i další diskusi, můžeme požadovat,
aby s každou konfiguracísoustavy byla spojena určitá hod-
nota potenciální energie. Řekněme, že v případě soustavy
částice + Země označíme jako E
p
hodnotu tíhové poten-
ciální energie příslušnou té konfiguraci, při které je částice
v poloze o souřadniciy. Přepišme vztah (8.7) do tvaru
E
p
−E
p,i
=mg(y−y
i
). (8.8)
HodnotuE
p,i
pak chápemejako tíhovoupotenciálníenergii
soustavy v tzv. referenční konfiguraci, při níž se částice
nachází v referenčním bodě o y-ové souřadnici y
i
.Ob-
vykle klademeE
p,i
= 0proy
i
= 0. Podle vztahu (8.8) pak
je
E
p
−0 =mg(y−0),
atedy
E
p
(y)=mgy (tíhová potenciální energie). (8.9)
Ze vztahu (8.9) je vidět, že tíhová potenciální energie sou-
stavy částice+Zemězávisípouzena svislé polozeyčástice
vzhledem k referenční poloze o souřadnici y = 0 (tj. na
výšce částice nad referenčním bodem).
Pružná potenciální energie
Zabývejme se nyní soustavou kostka+(pružina)+Země,
znázorněnou na obr.8.3. Tuhost pružiny jek. Za konfigu-
rační proměnnou soustavy zvolíme souřadnici x. Při po-
hybu kostky z bodu x
i
do bodu x
f
vykonají interakční
pružné síly jistou práci. Odpovídající změna potenciální
energie soustavy je opět dána vztahem (8.6), do kterého
však tentokrát dosadímeF =−kx,
Delta1E
p
=−
integraldisplay
x
f
x
i
(−kx)dx=k
integraldisplay
x
f
x
i
xdx=
1
2
k
bracketleftbig
x
2
bracketrightbig
x
f
x
i
,
tj.
Delta1E
p
=
1
2
kx
2
f