hrw7

7
Pr·ce a kinetick· energie
P¯i soutÏûi vzpÏraˢ na olympijsk˝ch hr·ch v roce 1976 byl cel˝ sportovnÌ
svÏt doslova ohromen v˝konem Vasilije Aleksejeva. VzpÏraË dok·zal
zvednout 562librovou Ëinku (2500N) z podlahy nad hlavu do v˝öky
asi 2m. TÈmϯ o dvacet let p¯edtÌm mohli div·ci ûasnout nad v˝konem
Paula Andersona. Ten se sehnul pod n·kladnÌ ploöinu vyrobenou ze d¯eva
vyztuûenÈho ocelÌ, op¯el si ruce o stoliËku a z·dy nadzvedl asi o centimetr
ploöinu i s n·kladem 6270 liber (27900N)! Zd· se, ûe tyto dva v˝kony
snad ani nelze srovn·vat. A p¯ece: kdo vykonal p¯i zved·nÌ p¯edmÏt˘
vÏtöÌ pr·ci, Aleksejev nebo Anderson
?
142 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
7.1 KINETICKÁENERGIE
Pojem energie, jedné z klíčových veličin nejen mechani-
ky,ale celéfyziky,je velmiširoký.Slovo energie užíváme
vběžnéřečinaprostosamozřejměadoznačnémíryivolně.
Definovat energii jako fyzikální veličinu však vůbec není
snadné.Neníprostěschůdnévyslovitnějakoujednoduchou
definici,kterábyzahrnovalavšechnyaspektytohotopojmu.
Jetřebajejpostupněvybudovat,odjehonejjednoduššípo-
doby v mechanice až po úroveň zcela obecných úvah. Na
samém začátku se spokojíme s velmi hrubou a neúplnou
charakteristikoupojmuenergie:Energiejeskalárníveliči-
na, jejíž hodnota je určena stavem fyzikálnísoustavy (ob-
jektu).Pojemstavjsmevtétoformulacipoužilivobvyklém
významu:jetosouborpodmínek,vnichžseobjektnachází,
tj. soubor hodnot veličin (parametrů), jimiž je charakteri-
zován.Vtétokapitolesesoustředímenajedentypenergie,
kinetickouenergiiE
k
, kterásouvisí s pohybovým stavem
částice či tělesa. Pohybuje-li se těleso rychleji, má kine-
tickouenergiivětší. Je-li v klidu,je jeho kinetickáenergie
nulová.
Kinetickouenergiičásticeo hmotnostim,kterásepo-
hybuje rychlostí v velmi malou ve srovnání s rychlostí
světla,definujemevztahem
E
k
=
1
2
mv
2
(kinetická energie). (7.1)
Kinetická energie nemůže být nikdy záporná,nebotquoterightmani
v
2
zápornýchhodnotnenabývají.
Tutéž definici můžeme použít i pro těleso nezanedba-
telnýchrozměrů,pokudsevšechnyjehočástipohybujístej-
nourychlostív,tj.konajíposuvnýnebolitranslační pohyb.
(Tělesotedynesmírotovat,anise deformovat.)Zhlediska
definicekinetickéenergiesetakovétělesochovájakočásti-
ce.Někdyjenazývámebodovýmobjektemaojehokine-
tické energii vypočtené podle vztahu (7.1) hovoříme jako
otranslační kinetickéenergii.Úvahytétokapitolysetýkají
právěbodovýchobjektů.
Jednotkou kinetické energie (a každého jiného typu
energie) v soustavě SI je joule (J), pojmenovaný podle
anglickéhovědce18.stoletíJamesePrescottaJoula.Jeod-
vozenpřímoz jednotekhmotnostiarychlosti:
1joule= 1J= 1kg·m
2
·s
−2
. (7.2)
Vhodnoujednotkouenergievoblastiatomovéfyzikyafy-
zikysubatomovýchčásticjeelektronvolt(eV):
1elektronvolt= 1eV= 1,60·10
−19
J. (7.3)
Nečastěji užívanými násobky elektronvoltu jsou kiloelek-
tronvolt (1keV = 10
3
eV), megaelektronvolt (1MeV =
= 10
6
eV)a gigaelektronvolt(1GeV = 10
9
eV).
PŘÍKLAD7.1
Psal se rok 1896 a ve městě Waco v Texasu se odehrával
neobvyklýexperiment.Předzrakytřicetitisícdivákůjejpřed-
vedlpracovník železničníspolečnosti„Katy“WiliamCrush.
Postavil dvě lokomotivy na opačných koncích trati dlouhé
6,4km, roztopil jejich kotle a zablokoval záklopky strojů
tak,abyzůstalyotevřené.Pakpustillokomotivy plnouparou
proti sobě (obr.7.1). Čelný náraz měl nedozírné následky.
Stovky lidí byly zraněny odletujícími úlomky, několik osob
bylo dokonce usmrceno. Předpokládejme, že každá z loko-
motiv vážila 1,2·10
6
N a jejich zrychlení při rozjezdu mělo
konstantní velikost 0,26m·s
−2
. Jaká byla celková kinetická
energie oboulokomotiv těsně před srážkou?
Obr.7.1 Příklad 7.1. Následky srážkylokomotiv vroce1896
ŘEŠENÍ: Abychom určili kinetickou energii lokomotivy,
potřebujemeznátjejíhmotnostavelikostrychlostitěsněpřed
srážkou. Pro stanovení velikosti rychlosti v můžeme použít
vztahu (2.16), vněmž položímev
x
=v,v
0x
=v
0
aa
x
=a:
v
2
=v
2
0
+2a(x−x
0
).
Dosadímev
0
= 0ax−x
0
= 3,2·10
3
m (polovina počáteční
vzdálenosti lokomotiv) a dostaneme
v
2
= 0+2(0,26m·s
−2
)(3,2·10
3
m),
tj.
v= 40,8m·s
−1
.
= 147km/h.
Hmotnostlokomotivyzjistímevydělenímjejíváhy(tj.tíhové
síly, jíž na ni působí Země)tíhovým zrychlením:
m=
(1,2·10
6
N)
(9,8m·s
−2
)
= 1,22·10
5
kg.
7.3 PRÁCE AKINETICKÁENERGIE 143
Pomocí vztahu (7.1) nyní vypočteme celkovou kinetickou
energiiobou lokomotiv bezprostředně před srážkou:
E
k
= 2(
1
2
mv
2
)=(1,22·10
5
kg)(40,8m·s
−1
)
2
=
= 2,0·10
8
J. (Odpovědquoteright)
Tatoenergie je ekvivalentní výbuchu asi45kgTNT.
7.2 PRÁCE
Ikdyžjsmepřibudovánípojmuenergieučinilizatímpouze
první krůček (definovali jsme kinetickou energii částice),
zdásenámbýtnepochybné,žeenergieobjektuvobecném
smyslu musí mít jednu zcela přirozenou vlastnost: bude
se měnit při jeho interakci s okolím. Stejně samozřejmě
lze očekávat, že se bude měnit i energie okolí. Hovoříme
o výměně nebo přenosu energie mezi objektem a jeho
okolím.Přenosenergiemezijakoukolifyzikálnísoustavou
a jejím okolím může být zprostředkován silovým půso-
bením nebo tepelnou výměnou při různých dějích, které
mohou v soustavě probíhat.(Dějemneboli procesem jed-
noduše rozumímeposloupnoststavovýchzměn soustavy.)
Výměnouteplasebudemezabývatažvkapitole19,zdesi
všimnemepouzedějůsouvisejícíchse silovýmpůsobením
anazývanýchsouhrnněkonánímpráce.
Působíme-linatělesourčitousilou(silami)tak,ževeli-
kostjehorychlostipřitomroste,rosteijehokinetickáener-
gie(=
1
2
mv
2
).Anaopak,jestližesetělesovlivemvýsledné
síly zpomaluje,klesá i jeho kinetická energie.V takových
případech říkáme, že síla koná na částici (soustavě částic
či tělese) práciW.
Formálnějším způsobemmůžeme definovatpráci tak-
to: Kinetická energie částice se vlivem silového působení
jejíhookolíobecněmění.Říkáme,že síly působícínačás-
ticikonajípráci.Jestližesíla F zmenšila(nezměnila,zvět-
šila) kinetickou energii částice, říkáme, že vykonala klad-
nou (nulovou, zápornou) práci, případně říkáme, že síla
práci koná (nekoná, spotřebovává) a pak udáváme už jen
velikost práce v joulech, bez znaménka. (Je-li například
W =−6,0J,můžemeříci,žesílaspotřebovalapráci6,0J.)
Vnejširšímsmyslupředstavuje„práce“tučástenergie,
kterou těleso získává prostřednictvím silového působení
jeho okolí. Proces, při němž k takovému přenosu dochá-
zí, nazýváme obecně „konáním práce“. Práce je skalární
veličinouaměřímejivestejnýchjednotkáchjakoenergii.
Slovo„přenos“můžebýtněkdymatoucí,není-lispráv-
ně pochopena jeho souvislost se změnami energie tělesa
ajehookolí.Zatímznámepřenos hmoty –substance,která
se zachovává, nevzniká ani nezaniká a může se jen pře-
místquoterightovat v prostoru. Hovoříme-li však o přenosu energie,
neznamenáto,žesenatělesoneboztělesadookolípřenáší
nějaký „materiál“. Analogii bychom mohli hledat spíše
v proceduře elektronického převodu peněz mezi dvěma
bankovnímiúčty:údajnajednombankovnímúčtuvzroste,
zatímconadruhémpoklesne,apřitomse meziúčtynepře-
mistquoterightuje nic „hmatatelného“. Uvědomme si také, že slovo
„práce“ ve fyzice nemá svůj obvyklý význam, podle nějž
je prací jakákoli tělesná či duševní činnost. Kdybychom
například silně tlačili na stěnu, unaví nás udržovat svaly
napjaté.Vobvyklémsmyslutedy„pracujeme“.Nedochází
však ke změně energie stěny a to znamená, že síla našich
svalů nekoná ve smyslu předchozí definice žádnou práci.
(Ostatně stát delší dobu v pozoru je dost vyčerpávající,
i když se člověk přitom navenek ani nepohne. Fyzikální
práce jeprostěněcojinéhonež fyziologická námaha.)
7.3 PRÁCEAKINETICKÁENERGIE
Pokusmesenyníformulovatvztahmeziprací,kterousílaF
vykonalanastudovanémobjektu,azměnoujehokinetické
energie. Kinetickou energii částice či bodového objektu
jsme již jednoduše a jasně definovali. Mění-li se velikost
rychlosti částice, mění se podle této jednoduché definice
i její kinetická energie. Ke změně rychlosti částice však
nemůže dojít jinak než působením síly F. Je proto zcela
přirozenéprohlásit,žezměnakinetickéenergiečásticeDelta1E
k
je rovnapráciW vykonanésilou F:
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
=W
(vztahmezi prací
a kinetickou energií).
(7.4)
SymbolemE
k,i
jsme označilipočátečníkinetickouenergii
částice(=
1
2
mv
2
0
)aE
k,f
představujejejívýslednoukinetic-
kouenergii(
1
2
mv
2
).Pozdějiuvidíme,že vztah(7.4),který
vlastně definuje práci síly F, lze přirozeně zobecnit i na
případy, kdy na částici působí více sil. Znak F pak bude
symbolizovatjejichvýslednici.
Rovnost(7.4)můžemepřepsatvetvaru
E
k,f
=E
k,i
+W. (7.5)
Vztahy (7.4) a (7.5) představují ekvivalentní formulace
vztahumezipracíakinetickouenergií.
Při jejich používání je třeba mít neustále na paměti,
že byly formulovány pro částici nebo tzv. bodový objekt
a jejichplatnostjetakétímtopředpoklademomezena.
Zkusme posoudit, jakým způsobem může dojít k po-
rušeníjejichplatnosti,budeme-liuvažovatozcelalibovol-
ném tělese. U takového obecného objektu musíme přede-
vším respektovat,že se jeho různé části pohybujírůznými
rychlostmi.Stačí si představitrotující nebo deformujícíse
144 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
těleso.Pro výpočetjehokinetickéenergiesamozřejměne-
můžemepoužítvztahu(7.1),alemusímekinetickéenergie
jednotlivých částí nějak sečíst. Poté, co se nám podaří ki-
netickou energii obecného tělesa vyjádřit, přijdou na řadu
úvahy o jejích změnách prostřednictvím silového působe-
ní, tj. při procesu „konání práce“. Je zřejmé, že na tomto
procesu se budou podílet nejen vnější síly, jimiž na těleso
působíjehookolí,aleisílyvzájemnéhopůsobeníjednotli-
výchčástítělesa,tzv.síly vnitřní.Pozdějiuvidíme,žepráci
vnitřníchsilurčitéhotypu(gravitačních,elektrostatických,
silpnutíapod.)ječastomožnéadokoncevhodnépovažovat
zaurčitýtypenergietělesa.Vztahy(7.4)a(7.5)vtakových
případech platit nebudou,nebotquoteright práceW vykonaná vnější
silou F přispěje nejen ke změně kinetické energie tělesa,
aleikezměněostatních„druhů“energie.Uvedquoterightmepříklad:
uvažujme o bruslaři, který se odstrčil od mantinelu, nebo
oplavci,kterýsepřiobrátceodrazilodstěnybazénu.Brus-
lařovy dlaně či plavcova chodidla, na něž bezprostředně
působí tlaková síla stěny (vnější síla), jsou během odrazu
v klidu. Můžeme tedy usuzovat, že tlaková síla stěny ne-
konápráci.Apřestosekinetickáenergiesportovcezmění.
Ktétozměněpřispívápráce(vnitřních)silsvalstva,kterou
můžeme interpretovat jako jeden z druhů energie tělesa.
Podobná situace vzniká třeba při odrazu míče od stěny či
odpodlahy.Můžemetedyvyslovitpředběžnýzávěr:
Mění-li se vlivem působící síly i energie tělesa jiného
typu než kinetická, pak vztahy(7.4)a(7.5)nemusejí platit.
Samostatnou úvahu si zaslouží případy, kdy na pohy-
bující se těleso působí síly tření. Právem si můžeme klást
otázku, zda v takových případech zůstanou vztahy (7.4)
a(7.5)v platnosti,činikoliv.Z experimentutotižvíme,že
setělesopřipůsobenítřecíchsilzahřívá.Sevzrůstemjeho
teploty celkem přirozeně spojujeme další druh jeho ener-
gie, tzv. vnitřní energii. Tato veličina velmi úzce souvisí
s mikrostrukturoutělesa, konkrétněs náhodnýmpohybem
jehoatomůčimolekulajejichvzájemnýmivazbami.Ome-
chanismutřecíchsiljižleccosvímezkap.6,ataksiumíme
představit, že mikroskopické narušení materiálu troucích
se ploch je doprovázeno změnami či uvolněním vazební
energie mezi povrchovými atomy či molekulami a odpo-
vídajícím zvýšením jejich kinetické energie.V makrosko-
pickém měřítku se to projeví jako zvýšení teploty tělesa.
Pro naše další úvahy zahrnující působení sil tření je však
podstatné, že i přes zdánlivé komplikace s vnitřní ener-
gií můžeme vztahů (7.4) a (7.5) využívat. Mechanismus
třecích sil sice souvisí výhradně s mikroskopickou struk-
turou objektů, avšak nakonec je přece jen možné vyjád-
řit třecí síly mezi nimi makroskopickým silovým zákonem
F
d
= f
d
N, obsahujícím empiricky definovaný koeficient
tření.
Odynamickétřecísíle v souvislostise změnamiener-
giebudemepodrobnějiuvažovatvkap.8aovnitřníchpře-
měnáchenergiese zmínímevkap.9.
K
ONTROLA 1: Částice se pohybujepo osex. Rozhod-
něte,zda se jejíkinetickéenergiezvýší, sníží, nebose
zachová,změní-liserychlostčástice(a)z−3m·s
−1
na
−2m·s
−1
,(b)z−2m·s
−1
na 2m·s
−1
. (c) Pro každou
zuvedenýchsituacírozhodněte,zdajeprácevykonaná
silamipůsobícíminačásticikladná,záporná,nebonu-
lová.
Prácesíly
Uvedemenynído souvislosti změnukinetickéenergieob-
jektu Delta1E
k
se silou F, která tuto změnu způsobila. Všim-
nemesinejprvesituace,kdysledovanýmobjektemječásti-
ce.Jedinýmtypemenergie,kterýtomutonejjednoduššímu
objektupřísluší,jeenergiekinetická.Naobr.7.2sečástice
pohybujepodélosyx povodorovnédokonalehladképod-
laze. Působí na ni stálá síla F, která svírá s její trajektorií
úhelϕ. Zrychleníčástice podélosyx je dáno vodorovnou
složkoutétosílyFcosϕ.Rychlostčásticeatedyijejíkine-
tickáenergiesemění.Počátečnírychlostoznačmev
0
.Půso-
benísílysledujemevprůběhuposunutíčásticeo vektor d.
Velikost v výsledné rychlosti částice v lze určit pomocí
vztahu(2.16)
v
2
=v
2
0
+2a
x
d. (7.6)
Vynásobenímoboustranrovnice(7.6)hmotnostíčásticem
a úpravoudostaneme
1
2
mv
2
−
1
2
mv
2
0
=ma
x
d. (7.7)
F
vv
0
ϕ
x
d
E
k,i
E
k,f
částice
Obr.7.2 Načásticipůsobístálásíla F,kterásvírá svektorem d
posunutí částice úhel ϕ. Rychlost částice se změní z v
0
na v.
„Měrkakinetickéenergie“ukazuje,žedošlokezměněkinetické
energie částice z hodnotyE
k,i
na hodnotuE
k,f
.
Na levé straně rovnosti (7.7) vystupuje rozdíl kine-
tických energiíE
k,f
(=
1
2
mv
2
) a E
k,i
(=
1
2
mv
2
0
) přísluš-
ných koncovémua počátečnímupohybovémustavu části-
ce. Tento rozdíl představuje změnu kinetické energie čás-
tice vyvolanou působením síly F podél úseku trajektorie
7.3 PRÁCE AKINETICKÁENERGIE 145
spojujícího počáteční a koncovou polohu částice. Náhra-
dou součinu ma
x
výrazem Fcosϕ (v souladu s platností
druhéhoNewtonovazákona)dostaneme
Delta1E
k
=Fdcosϕ. (7.8)
Porovnáme-li nyní vztahy (7.8) a (7.4), vidíme, že pravá
strana rovnosti (7.8) vyjadřuje práci W, kterou vykonala
síla F při přemístění částice z počátečního do koncového
stavu.Můžemetedypsát
W =Fdcosϕ
(práce
konstantní síly).
(7.9)
Je-li úhelϕ menší než 90
◦
, je práceW kladná a kinetická
energie částice roste.Je-liϕ větší než 90
◦
(až do 180
◦
),
je práceW záporná a kinetická energie částice klesá. (Pro
ϕ = 90
◦
jeW = 0 a kinetická energiečástice se nemění.)
Síla F samozřejmě není v uvažovaném případě jedinou
silou působící na částici. Pohyb částice je totiž přímočarý
ajehosměrneníshodnýsesměremsíly F.Jeprotozřejmé,
ženačásticinutněpůsobíještěalespoňjednadalšísíla,která
kompenzujeprůmětsíly F do osyy. Celkovou prácidvou
kompenzujícíchsesilvšakmůžemezcelajistěpokládatza
nulovou.
Ze vztahu (7.9) je zřejmé, že kromě jednotky joule
můžemevsoustavěSIpoužívattakéjednotkuNewton·metr
(N·m).Odpovídajícíjednotkouvbritskémsystémujedno-
tek je stopa·libra (ft·lb). Vztah (7.2) tedy můžeme ještě
doplnittakto:
1J= 1kg·m
2
·s
−2
= 1N·m = 0,738ft·lb. (7.10)
Pravá strana rovnosti (7.9) představuje výraz pro skalární
součin F · d vektorů F a d. Vektorový zápis vztahu (7.9)
mátedytvar
W = F · d
(práce
konstantní síly).
(7.11)
(Vtomtomístětextujsmepoprvépoužiliskalárníhosouči-
nu.Prozopakováníjevhodnépřipomenoutsičl.3.7.)Vztah
(7.11)jezvláštěužitečný,jsou-livektoryF ad zapsánypo-
mocíjednotkovýchvektorůkartézskésoustavysouřadnic.
Vztahy (7.9)a (7.11)vyjadřujípráci konstantní síly F
působícína částicinebobodový objekt.Jejichplatnostvšak
lzerozšířitinapřípadkonstantnísílypůsobícínalibovolné
těleso,budeme-lisymbolem d rozumětposunutí působiště
síly F.Prácesíly F vykonanánatělesepakbudeopětdána
vztahy (7.9), resp. (7.11), nebude však již obecně rovna
změněkinetickéenergieuvažovanéhotělesa.
Zdůrazněmeještě jednu důležitou možnost zobecnění
vztahů(7.9)a(7.11).Přestožejsmejeodvodilipročástici,
kterásepohybujepřímočaře,zůstanouvpřípaděkonstantní
síly v platnosti i při pohybu po libovolné křivce. Budeme
se o tom mocipřesvědčitv čl.7.5,kde se budemezabývat
výpočtemprácezcelaobecně.
Úvahytýkajícíseprácesílypůsobícínatělesomůžeme
prozatímshrnouttakto:
Práce stálé síly F působícína dané těleso v bodě,jehož
posunutí je d, je dána vztahy (7.9) a (7.11).V případě,
že tělesem je částice nebo bodový objekt, je tato práce
rovnazměnějehokinetickéenergie.
Na obr.7.3je napříkladvyobrazenstudent,jakpohání
postel při školních závodech o nejrychlejšího běžce s po-
stelí.Vyjadřujívztahy(7.9)a(7.11)prácivykonanousilou,
jížpůsobístudentnapostel,je-litatosílakonstantní?Uve-
dených vztahů pro výpočet práce samozřejmě použít mů-
žeme. Snadno se přesvědčíme,že větší část této práce, ne
všakvšechna,skutečněpřispívákezměněkinetickéenergie
postele i s tučňákem, který se na ní veze. Jistá malá část
je však potřebná pro urychlení rotačního pohybu koleček.
Jestliže považujeme tento příspěvek za zanedbatelný,mů-
žeme postel považovatza bodovýobjekta použíti vztahů
(7.4)a(7.5).
F
Obr.7.3 Závodyspostelemi.Provýpočetpráce,kterouvykoná
student, stačínahradit postelhmotným bodem.
K
ONTROLA 2: Obrázek ukazuje čtyři možnosti půso-
bení síly na kostku, která klouže po vodorovné do-
konale hladké podložce směrem vpravo. Velikosti sil
jsou stejné, různé orientace jsou schematicky vyzna-
čeny v obrázcích. Uspořádejte obrázky podle práce
(sestupně), kterou působící síla vykoná při posunutí
kostkyovzdálenostd.
(a)(b)(c)(d)
Prácevykonanáněkolikasilami
Působí-li na částici několik sil F
j
, jejichž výslednice je
konstantní, můžeme jejich celkovou práci určit tak, že ve
146 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
vztahu(7.11)nahradímevýraz F toutovýslednicí
summationtext
j
F
j
,tj.
summationdisplay
j
F
j
= F
1
+ F
2
+…, (7.12)
kde F
j
jsoujednotlivésíly.
W =
parenleftbigg
summationdisplay
j
F
j
parenrightbigg
· d (7.13)
je tedy práce vykonanávýslednicísil při posunutí d části-
ce. Jsou-li konstantníi jednotlivé síly F
1
, F
2
, …, můžeme
vztah(7.13)přepsatpomocírov.(7.12)vetvaru
W = F
1
· d + F
2
· d + F
3
· d +… =
=W
1
+W
2
+W
3
+… (celková práce). (7.14)
Tento vztah vyjadřuje skutečnost, že celková práce vyko-
naná na částici je součtem pracívykonanýchjednotlivými
silami,kterénanipůsobí.Vztah(7.4)nynímůžemepřepsat
takto:
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
=W
1
+W
2
+W
3
+…. (7.15)
ZměnaDelta1E
k
kinetickéenergiečásticejetedyrovnacelkové
prácivykonanévšemisilami,kterénačásticipůsobí.
PŘÍKLAD7.2
Na obr.7.4a jsou nakresleni dva průmysloví špioni, kteří su-
nou sejf o hmotnosti 225kg po přímce do vzdálenosti 8,5m
kpřistavenémunákladnímuautu.(Zpočátkubylsejfvklidu.)
Špion 001 působí tlakovou silou F
1
o velikosti 12,0N, která
svírá s vodorovnou rovinou úhel 30
◦
a míří dolů. Špion 002
působí na sejf tahovou silou F
2
o velikosti 10,0N směrem
vzhůru pod úhlem 40
◦
vzhledem k vodorovné rovině. Sejf
klouže po podlaze bez tření.
(a) Jakou celkovou práci vykonají síly F
1
a F
2
při posunutí
sejfuo8,5m?
ŘEŠENÍ: Na obr.7.4b je silový diagram sil zkonstruovaný
pro sejf, který aproximujeme částicí. Celkovou práci sil F
1
a F
2
určíme tak, že vypočteme práci každé z nich a získané
hodnoty sečteme.Podle vztahu(7.9) je práce síly F
1
rovna
W
1
=F
1
dcosϕ
1
=(12,0N)(8,50m)cos30
◦
=
= 88,33J,
práce síly F
2
je
W
2
=F
2
dcosϕ
2
=(10,0N)(8,50m)cos40
◦
= 65,11J.
Podle (7.14) je celková práceW dána jejich součtem
W =W
1
+W
2
= 88,33J+65,11J =
= 153,4J
.
= 153J. (Odpovědquoteright)
Při posunutí sejfu o 8,5m tedy špioni vykonají práci 153J.
O tuto hodnotu se zvýšíkinetická energie sejfu.
(b)JakoupráciW
g
vykonápřiposunutí d tíhovásíla G ajaká
je práceW
N
normá