hrw7

lay
C
4dy =
y
f
integraldisplay
y
i
4dy =
0
integraldisplay
3
4dy = 4
0
integraldisplay
3
dy.
Integrály můžeme vyhledat vdod. E.Dostaneme
W = 3[
1
2
x
2
]
3
2
+4[y]
0
3
=
3
2
[3
2
−2
2
]+4[0−3] =
=−4,5J
.
=−5J. (Odpovědquoteright)
Zápornývýsledekukazuje,žekinetickáenergiečástice,atedy
i velikostjejí rychlosti, klesne.
7.6 PRÁCEPRUŽNÉSÍLY
V tomto článku se budeme zabývat výpočtem práce, kte-
roukonáproměnnásíla speciálníhotypu,tzv.pružnásíla.
Jednáseosílu,jížnačásticipůsobínataženánebostlačená
pružina. Řada silových zákonů v přírodě má stejný mate-
matický zápis jako zákonpro pružnousílu. Rozbor tohoto
konkrétního případu nám tedy umožní učinit si představu
o celéskupinědalšíchsilsanalogickýmvyjádřením.
7.6 PRÁCEPRUŽNÉSÍLY 153
Pružnásíla
Pružinana obr.7.11aje v nenapjatém stavu,tj. neníprota-
ženaanistlačena.Jedenjejíkonecje upevněna s druhým,
volným koncem je spojen bodový objekt, řekněme malá
kostka.Naobr.7.11bnapínámepružinutak,žekostkutáh-
nemesměremvpravo.Naopak,podlezákonaakceareakce
táhne pružina kostku směrem vlevo „ve snaze“ obnovit
nenapjatý stav. (Sílu pružiny proto někdy nazýváme vrat-
nou silou.)Naobr.7.11cstlačujemepružinutak,žekostku
posouvámevlevo.Pružinanaopaktlačíkostkuvpravo,aby
došlokobnovenínenapjatéhostavu.
0
0
0
x
x
x
x
x
x=0
F=0
d
d
F
F
kostka
napružině
prodlouženíxkladné
složkaF záporná
prodlouženíx záporné
složkaF kladná
(a)
(b)
(c)
Obr.7.11 (a)Pružinavnenapjatémstavu.Počátekosyxjezvo-
lenvpolozevolnéhokoncenenapjatépružiny.Kvolnémukonci
jepřipojenamalákostka.(b)Kostkaseposuneovektor d apru-
žina se prodlouží o délku x. Všimněte si vyznačeného směru
vratnésíly F,jížpůsobípružinanakostku.(c)Pružinajestlačena
odélkux.Opět sivšimněte vyznačené vratné síly.
VceléřaděpraktickýchpřípadůjevratnásílapružinyF
v dobrém přiblížení úměrná jejímu prodloužení, tj. posu-
nutí d volnéhokoncepružinyvůčijeho polozev nenapja-
témstavu. Síla pružiny jetedydánavztahem
F =−kd (Hookův zákon), (7.37)
známýmpodnázvemHookůvzákon(anglickývědecRo-
bert Hooke patří k nejznámějším fyzikům druhé poloviny
17.století).Znaménkominusvevztahu(7.37)upozorňuje,
že síla pružiny má vždy opačný směr než posunutí jejího
volnéhokonce.
Konstantak se nazývátuhostípružiny a je skutečně
míroutoho,jakjepružina„tuhá“.Většíhodnotakznamená
tužší pružinu, tj. větší pružnou sílu při daném prodlou-
žení. Jednotkou tuhosti v soustavě SI je newton na metr
(N·m
−1
).
Osax na obr.7.11 je zvolena rovnoběžně s pružinou,
její počátek(x = 0)splývás polohouvolnéhokoncepru-
žiny v nenapjatém stavu. Pro toto běžné uspořádání má
vztah(7.37)tvar
F =−kx (Hookův zákon). (7.38)
Symbolem F je v předchozím vztahu označena x-ová
složkasílyF,zbývajícísložkyjsoutrvalenulové.Všimněte
si, že pružná síla je proměnná, závisí na poloze volného
konce pružiny.Podobně jako v čl.7.5 lze psátF =F(x).
Uvědomte si také, že Hookův zákon představuje lineární
závislostveličinyF naproměnnéx.
Prácepružnésíly
V dalších úvahách zanedbáme tření mezi kostkou a pod-
ložkou a budeme předpokládat, že pružina má ve srov-
nánískostkouzanedbatelnouhmotnost(nehmotnápružina)
a řídí se přesně Hookovým zákonem (ideální pružina).
Představme si, že jsme do kostky prudce udeřili směrem
vpravo a udělili jí tak jistou kinetickou energii. Kostka se
začne pohybovatsměremvpravo.Pružná síla F její pohyb
zpomaluje a kinetická energie kostky klesá. Experimen-
tálně lze ověřit, že při splnění předpokladůo vlastnostech
pružiny a podložky je změna kinetické energie kostky ur-
čena výhradně prací pružné síly F. K výpočtu této práce
musíme ovšem použít vztahu (7.27), nebotquoteright pružná síla je
proměnná a řídí se silovým zákonem (7.38). Přesune-li
se kostka z polohy x
i
do polohy x
f
, vykoná pružná síla
práci
W
p
=
x
f
integraldisplay
x
i
Fdx =
x
f
integraldisplay
x
i
(−kx)dx=−k
x
f
integraldisplay
x
i
xdx =
=(−
1
2
k)[x
2
]
x
f
x
i
=(−
1
2
k)(x
2
f
−x
2
i
), (7.39)
tj.
W
p
=
1
2
kx
2
i
−
1
2
kx
2
f
(práce pružné síly). (7.40)
Práce W
p
pružné síly může být jak kladná, tak záporná
a souvisí s celkovou změnou kinetické energie kostky při
154 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
jejím přemístění z polohy x
i
do polohy x
f
.Prox
i
= 0
obvykleznačímex
f
=x.Zevztahu(7.40)pakplyne
W
p
=−
1
2
kx
2
(práce pružné síly). (7.41)
Vdalšímmyšlenémexperimentusipředstavme,žeposou-
váme kostku podél osy x a přitom na ni stále působíme
silou F
a
. Síla F
a
koná práci W
a
a pružná síla práci W
p
.
Podle (7.15)je změna kinetickéenergie kostky dána prací
oboutěchtosil,tj.
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
=W
a
+W
p
, (7.42)
kdeE
k,f
aE
k,i
značí kinetickou energiina konci a na po-
čátkuposunutí.Je-li rychlostkostkyna počátkuina konci
posunutí nulová, jsou hodnoty E
k,f
i E
k,i
nulové a vztah
(7.42)se zjednodušínatvar
W
a
+W
p
= 0,
tj.
W
a
=−W
p
. (7.43)
Tento výsledek znamená, že práce vykonaná silou F
a
je
rovnazáporněvzatéprácipružnésíly.
Všimněte si, že délka pružiny přímo nevystupuje ani
ve vyjádření pružné síly ((7.37) a (7.38)), ani ve vztazích
pro její práci ((7.40) a (7.41)). Je však jedním z faktorů,
které určují tuhost pružiny k a v uvedených vztazích je
tedyobsažena„skrytě“,implicitně.
PŘÍKLAD7.8
Abychompružinunaobr.7.11budrželiprotaženouo12mm,
musímenakostku,uchycenounajejímvolnémkonci,působit
silou F
a
ovelikosti 4,9N.
(a)Jaká je tuhost pružiny?
ŘEŠENÍ: Protažená pružina působí na kostku silou F =
=−4,9N. Pro hodnotu x = 12mm dostaneme ze vztahu
(7.38)
k=−
F
x
=−
(−4,9N)
(12·10
−3
m)
=
= 408N·m
−1
.
= 410N·m
−1
. (Odpovědquoteright)
Znovu si uvědomte, že k určení tuhosti k není třeba znát
délku pružiny. Grafické znázornění závislosti (7.38) pro
tuto pružinu je na obr.7.12. Grafem je přímka se směrnicí
−410N·m
−1
.
(b) Jakou silou bude působit pružina na kostku, jestliže ji
protáhneme o17mm?
01020−10−20
−8
−4
4
8
W
p
x(mm)
F (N)
směrnice=−k
Obr.7.12 Grafzávislostipružnésílynaprodlouženípružinyvjed-
norozměrnémpřípadě(příklad7.8).PružinavyhovujeHookovuzá-
konu(vztahy(7.37)a(7.38)).Jejítuhostjek=410N·m
−1
.Význam
červeně vyznačeného bodu grafu a vybarvené plochy je objasněn
v příkladu7.8 (b, c).
ŘEŠENÍ: Zevztahu (7.38) plyne
F =−kx=−(408N·m
−1
)(17·10
−3
m)=
=−6,9N. (Odpovědquoteright)
Bod vyznačenývgrafu na obr.7.12 odpovídá vypočtené síle
apříslušnémuposunutíx.Všimnětesi,žeposunutíxjeklad-
né,zatímcohodnotaF jezáporná,právě tak,jaktovyžaduje
vztah (7.38).
(c)Jakouprácivykonápružnásílapřiprotaženípružinyzne-
napjatého stavuo 17mm (úloha (b))?
ŘEŠENÍ: Vzhledemktomu,žepružinabylazpočátkuvne-
napjatém stavu,použijeme vztahu (7.41):
W
p
=−
1
2
kx
2
=−
1
2
(408N·m
−1
)(17·10
−3
m)
2
=
=−5,9·10
−2
J =−59mJ. (Odpovědquoteright)
Barevně vyznačená plocha v obr.7.12 představuje velikost
vypočtenépráce.Tatoprácejezáporná,nebotquoterightpružnásílaapo-
sunutí kostky mají v dané úloze opačný směr. Kdybychom
pružinumístoprotaženío17mmostejnoudélkustlačili,byla
by práce vykonaná pružnou silou stejná.
(d)Pružinustlačenouo17mmuvolňujeme,ažsekostkavrátí
do polohy x = 0 (obnoví se nenapjatý stav pružiny). Poté
pružinu stlačíme o 12mm. Jakou práci vykonala pružná síla
při celkovém posunutí kostky?
ŘEŠENÍ: Vpopsanémpřípaděplatí:x
i
=+17mm(vpočá-
tečnímstavujepružinanapjatá)ax
f
=−12mm(vkoncovém
stavu je pružina stlačená).Zevztahu (7.40) dostáváme
W
s
=
1
2
kx
2
i
−
1
2
kx
2
f
=
1
2
k(x
2
i
−x
2
f
)=
=
1
2
(408N·m
−1
)[(17·10
−3
m)
2
−(−12·10
−3
m)
2
] =
= 0,030J = 30mJ. (Odpovědquoteright)
7.6 PRÁCEPRUŽNÉSÍLY 155
Celková práce vykonaná pružnou silou je kladná. Kladná
práce při posunutí kostky z polohy x
i
=+17mm do po-
lohy x = 0 byla větší než absolutní hodnota záporné práce
vykonané při posunutí kostky z polohy x = 0 do polohy
x
f
=−12mm.
K
ONTROLA 4: Pro soustavu pružina + kostka znázor-
něnounaobr.7.11uvažujteotřechsituacíchsrůznými
počátečními a koncovými polohami kostky (x
i
,x
f
)
a v každé z nich rozhodněte, zda je práce pružné
síly kladná, záporná, nebo nulová: (a)(−3cm,2cm),
(b)(2cm,3cm),(c)(−2cm,2cm).
PŘÍKLAD7.9
Kostka o hmotnosti 5,7kg klouže po vodorovném dokonale
hladkémstolekonstantnírychlostíovelikosti1,2m·s
−1
.Na-
razínavolnýkonecpružiny(obr.7.13)astlačujeji.Vurčitém
okamžikujerychlostkostkynulová.Vypočtětedélkud,okte-
rou je pružina vtomto okamžiku stlačena.Tuhost pružiny je
k= 1500N·m
−1
.
ŘEŠENÍ: Podle vztahu (7.41) je práce vykonaná silou, jíž
působí pružina na kostku, při stlačenípružiny od rovna
W
p
=−
1
2
kd
2
.
Změna kinetické energie kostky od okamžiku jejího nárazu
na pružinu do okamžiku, kdyje její rychlost nulová, je
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
= 0−
1
2
mv
2
.
Podlevztahu(7.4)mezipracíakinetickouenergiíjsousityto
veličinyrovny.Jejichporovnáním ařešenímzískanérovnice
vzhledemk neznáméd dostaneme:
d =v
radicalbigg
m
k
=(1,2m·s
−1
)
radicalBigg
(5,7kg)
(1500N·m
−1
)
=
= 7,4·10
−2
m = 7,4cm. (Odpovědquoteright)
v
m
k
beztření
Obr.7.13 Příklad7.9.Kostkasepohybujesměremkpružiněrych-
lostí v,narazínaniastlačujeji.Vokamžiku,kdyjerychlostkostky
nulová,je pružinastlačena odélkud.
RADYANÁMĚTY
Bod7.1: Derivace a integrál, směrnice a plochy
Pro zadanou funkciy =F(x)umíme vypočítat hodnotu její
derivace v libovolném bodě x i hodnotu jejího určitého in-
tegrálu vdanýchmezíchproměnnéx.Není-li funkce zadána
analyticky(vzorcem),nýbržgrafem,lzezjištquoterightovathodnotyde-
rivaceiurčitéhointegrálugraficky.Způsobgrafickéhourčení
derivace bylvyloženvbodě 2.5.Protosinyní všimneme jen
grafické metody nalezení hodnoty určitého integrálu.
Na obr.7.14je znázorněn graf jisté funkce F(x). Řekně-
me, že tato funkce představuje závislost x-ové složky síly,
která působí na částici pohybující se po ose x,na(x-ové)
souřadnici částice. Zaměříme se na grafické určení práce,
kterou síla vykoná při posunutí částice z počáteční polohy
x
i
= 2,0cm do koncové polohy x
f
= 5,0cm. Podle vztahu
(7.27) lze tuto prácivyjádřit integrálem
W =
x
f
integraldisplay
x
i
F(x)dx,
jehož hodnota je rovna obsahu vybarvené plochy ležící pod
křivkou grafu a mezizadanými krajními polohamix
i
ax
f
.
0
10
20
30
40
50
12345678
1
244N
W
x (cm)
F(
x
)
(N)
Obr.7.14 Graf síly F(x)v jednorozměrném případě. Vybarvená
plocha pod křivkou (její obsah představuje práci síly F)jena-
hrazena obdélníkem vytvořeným vyjmutím plochy 2 a přidáním
plochy 1,jejichž obsahyjsou přibližně shodné.
Tuto plochu lze přibližně nahradit obdélníkem, který
vznikne doplněním obrázku o vodorovnou přímku, vedenou
v takové poloze, aby obsahy plošek označených „1“ a „2“
byly shodné. Vyslovenému požadavku celkem dobře vyho-
vuje hodnotaF = 44N. Odpovídající vodorovná přímka je
vobr.7.14rovněžvyznačena.Obsah„náhradního“obdélníka
(=W)je
W = výška·základna =(44N)(5,0cm−2,0cm)=
= 132N·cm
.
= 1,3N·m = 1,3J.
Obsah plochy představující práciW můžeme určit také tak,
žespočítámevšechnyčtverečky,kteréležípodkřivkougrafu
156 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
ve vybarvené části plochy. Je jich asi 260 a každý z nich
představuje (2N)(0,25cm) = 0,5N·cm. Práce W má tedy
hodnotu
W =(260čtverečků)
parenleftbigg
0,5N·cm
1čtvereček
parenrightbigg
= 130N·cm = 1,3J,
stejně jako při výpočtu obsahu obdélníka z délek jeho stran.
Pamatujte: V dvojrozměrném grafickém znázornění funkce
jedné proměnné je derivace určena směrnicí grafu a integrál
obsahemplochy pod křivkou grafu.
7.7 VÝKON
Nastavbějetřebazvedatbalíkycihelzchodníkunastřechu
budovy.Na staveništi je k dispozici naviják. Není obtížné
spočítatpráci,kteroumusípřikaždémvyzvednutínákladu
vykonat síla působící na naviják. Je zde však ještě jeden
problém: majiteli stavební firmy jde také o to, jak rychle
bude tato práce vykonána. Za přijatelnou považuje dobu
nejvýše5minut.Stihneseto?
Mírou toho, jak „rychle“ koná určitá síla práci, jevý-
kon. Vykoná-li síla F práciDelta1W za dobu Delta1t,jejejíprů-
měrnývýkon v daném časovém intervalu definován po-
měrem
P =
Delta1W
Delta1t
(průměrný výkon). (7.44)
OkamžitývýkonP odpovídá„okamžitérychlosti“konání
práceajetedylimitnímpřípademprůměrnéhovýkonupro
Delta1t → 0:
P =
dW
dt
(okamžitývýkon). (7.45)
Jednotka výkonu v soustavě SI je joule za sekundu. Tato
jednotka se užívá tak často, že dostala samostatný název.
Nazývá sewatt(W) podle Jamese Watta, jenž se v histo-
rii zasloužilo velmivýraznézdokonaleníčinnosti parních
strojů.Vbritskémsystémujejednotkouvýkonustopa·libra
za sekundu. Někdy se užívá i jednotky zvané koňská síla.
Některévztahymezijednotkamivýkonu:
1watt= 1W= 1J·s
−1
= 0,738ft·lb·s
−1
(7.46)
a
koňskásíla = 1HP= 550ft·lb·s
−1
= 746W. (7.47)
Ze vztahu (7.44) vidíme, že práci lze vyjádřit jako součin
výkonua času a získat tak její běžně užívanou praktickou
jednotku,kilowatthodinu.Platí
1kilowatthodina= 1kW·h =(10
3
W)(3600s)=
= 3,60·10
6
J = 3,6MJ. (7.48)
Někdo si možná při vyslovení slov watt nebo kilowatt-
hodina vybaví spíše elektrické jednotky. Jedná se však
ojednotkuvýkonuajednotkuenergie,používanénaprosto
obecně. Kdybychom třeba učebnici, kterou právě držíme
vruce,zvedlizpodlahyapoložilijinastůl,mohlibychom
vykonanoupráciklidnězapsatúdajem4·10
−6
kW·h(nebo
lépe4mW·h).
Výkonmůžemetakévyjádřitpomocísíly,kterápůsobí
na částici a koná tak práci, a rychlosti částice. Předpoklá-
dejme,žesečásticepohybujepoosexapůsobínanisílaF,
kterásosoux svírásúhelϕ.Ze vztahu(7.45)dostáváme
P =
dW
dt
=
Fcosϕdx
dt
=Fcosϕ
parenleftbigg
dx
dt
parenrightbigg
,
tj.
P =Fvcosϕ. (7.49)
Po úpravěpravéstranyrovnosti(7.49)dotvaruskalárního
součinu F · v můžemepsát
P = F · v (okamžitý výkon). (7.50)
Dejmetomu,žetahačnaobr.7.15působínanaloženýpřívěs
silouF.Rychlostpřívěsuvdanémokamžikujev.Okamžitý
výkon síly F, vyjádřený vztahy (7.49) a (7.50),udává, jak
Obr.7.15 Výkon síly,jíž působí tahač na přívěs snákladem, je
„rychlost“, s jakoutato síla koná práci.
„rychle“ koná síla F práci právě v tomto okamžiku. Za
přijatelnélzepovažovatito,budeme-limístoovýkonusíly
hovořito„výkonutahače“.Musímevšakmítstálenamysli,
o co skutečně jde: výkon je „rychlost“, s jakou síla koná
práci.
7.7 VÝKON 157
PŘÍKLAD7.10
V obr.7.16 jsou vyznačeny síly F
1
a F
2
působící na krabici,
kterákloužepodokonalehladkévodorovné podlazesměrem
vpravo. Síla F
1
je vodorovná a má velikost 2,0N, síla F
2
je
odpodlahyodkloněnao60
◦
ajejívelikostje4,0N.Rychlost
krabice má vurčitém okamžiku velikostv= 3,0m·s
−1
.
(a) Jaký je výkon každé z obou sil v tomto okamžiku? Jaký
je jejich celkový výkon? Interpretujte získanou hodnotu cel-
kového okamžitého výkonu.
ŘEŠENÍ: Výkon jednotlivých sil zjistíme pomocí vztahu
(7.49). Síla F
1
svírá s rychlostí v úhelϕ
1
= 180
◦
,takže je
P
1
=F
1
vcosϕ
1
=(2,0N)(3,0m·s
−1
)cos180
◦
=
=−6,0J·s
−1
=−6,0W. (Odpovědquoteright)
Tentovýsledekukazuje,žesílaF
1
spotřebovávápráci„srych-
lostí“ 6,0 joulů za sekundu neboli s výkonem 6,0W. Úhel
mezisilou F
2
a rychlostí v jeϕ
2
= 60
◦
. Platítedy
P
2
=F
2
vcosϕ
2
=(4,0N)(3,0m·s
−1
)cos60
◦
=
= 6,0W. (Odpovědquoteright)
Z výsledku plyne, že síla F
2
koná (kladnou) práci s výko-
nem6,0W.
Celkový výkon je součtem obouzískaných hodnot:
P
celk
=P
1
+P
2
=−6,0W+6,0W= 0. (Odpovědquoteright)
Celkový okamžitý výkon sil F
1
a F
2
je v daném okamžikut
nulový. To znamená, že elementární práce dW vykonaná
oběmasilamispolečněvčasovémintervaludtodokamžikut
dookamžikut+dtjenulová.VýslednicesilF
1
aF
2
nepřispívá
v daném okamžiku ke změně kinetické energie krabice. Ze
skutečnosti,žehodnotaP
celk
=P
1
+P
2
je v daném okamžiku
nulová,nelzečinitžádnédalšízávěry.Soustředquoterightmesevšakna
zadáníúlohypozorněji.KromězadanýchsilF
1
aF
2
působína
krabicisamozřejmě ještětíhovásíla G atlaková sílapodlahy
N.Tyjsoutrvale kolmé kposunutí krabice, aproto nekonají
práci. Ke změně kinetické energie krabice tedy přispívá jen
práce sil F
1
a F
2
.
Výsledná síla působícína krabici je
summationdisplay
F = F
1
+ F
2
+ G + N.
Zvolmesoustavusouřadnic tak,žeosaxjevodorovná amíří
vpravo a osa y směřuje svisle vzhůru. Pro složky výsledné
sílydostaneme
summationdisplay
F
x
=F
1
cosϕ
1
+F
2
cosϕ
2
=
=(2,0N)cos180
◦
+(4,0N)cos60
◦
=
=(−2,0+4,0·0,5)N = 0,
summationdisplay
F
y
=F
2
sinϕ
2
−mg+N =
=(4,0N)·
1
2
√
3−mg+N.
Zrovniceprox-ovousložkuplynea
x
= 0.Vzhledemktomu,
žejepohybkrabicevázánnavodorovnou podlahu,platítaké
a
y
= 0 (vazební podmínka). Z rovnice pro y-ovou složku
výsledné síly lze pak díky vazební podmínce určit tlakovou
sílu podložky
N =mg−(4,0N)·
1
2
√
3.
Celkově je
summationtext
F = 0. Rychlost krabice v je tedy konstantní,
stejně jako její kinetická energie. Celkový výkon P
celk
sil
F
1
a F
2
je tedy nulový trvale, nejen v jediném okamžiku
zmiňovaném vzadáníúlohy.
(b)Řešteúlohu(a)znovuzapředpokladu,ževelikostsíly F
2
je 6,0N.
ŘEŠENÍ: Provýkon síly F
2
nynídostáváme
P
2
=F
2
vcosϕ
2
=(6,0N)(3,0m·s
−1
)cos60
◦
=
= 9,0W. (Odpovědquoteright)
Výkon síly F
1
jsme určili už v úloze (a) a jehohodnota je
P
1
=−6,0W. (Odpovědquoteright)
Celkový výkon je tedy
P
celk
=P
1
+P
2
=−6,0W+9,0W=
= 3,0W. (Odpovědquoteright)
Kladná hodnota celkového výkonu znamená, že kinetická
energie i velikost rychlosti krabice v daném okamžiku ros-
tou. Ze vztahu (7.50) a ze skutečnosti, že síly F
1
a F
2
jsou
konstantní, plyne, že v daném okamžiku roste i jejich cel-
kový okamžitý výkon P
celk
. Ten nabývá vypočtené hod-
noty 3,0W právě jen v okamžiku, kdy je velikost rychlosti
krabice rovna 3,0m·s
−1
.
F
1
F
2
v
60
◦
bez tření
Obr.7.16 Příklad7.10.Síly F
1
a F
2
působínakrabici,kteráklouže
směremvpravopodokonalehladképodlaze.Rychlostkrabiceje v.
K
ONTROLA5:Kostkajeuvázánanaprovazeapohybuje
serovnoměrněpokružnici,vjejímžstředujedruhýko-
necprovazuupevněn.Rozhodněte,zdajevýkontahové
síly provazukladný,záporný,nebonulový.
158 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
7.8 KINETICKÁENERGIEPŘI
VYSOKÝCHRYCHLOSTECH
V čl.4.10 jsme se dověděli, že pro částice pohybující se
rychlostmi blízkými rychlosti světla newtonovská mecha-
nika selhává a musí být nahrazena Einsteinovou speciální
teorií relativity. Jedním z důsledků této skutečnosti je,
že již nemůžeme vyjadřovat kinetickou energii ve tvaru
E
k
=
1
2
mv
2
. Musímepoužítrelativistickéhovztahu
E
k
=mc
2


1
radicalBig
1−
v
2
c
2
−1


, (7.51)
kdecje rychlostsvětlavevakuu.
0
0
0,5
1,0
1,5
0,2 0,40,6 0,8 1,0
v/c
E
k
=
1
2
mv
2
=
1
2
mc
2
parenleftbig
v
c
parenrightbig
2
E
k
=mc
2
parenleftbigg
1
√
1−(v/c)
2
−1
parenrightbigg
E
k
(MeV)
Obr.7.17 Grafrelativistickéhoaklasickéhovyjádřeníkinetické
energie elektronu (viz (7.51), resp. (7.1)) v závislosti na podílu
v/c,kdevjevelikostrychlostielektronuacjerychlostsvětlave
vakuu. Všimněte si, že tyto dvě křivky při nízkých rychlostech
splývají. Při zvyšující se rychlosti v se však jejich odchylka
výrazně zvětšuje. Experimentální body (označené křížkem ×)
dokumentují souhlas relativistické křivky s experimentem při
vysokýchrychlostech.Odnerelativistickékřivkyseexperimen-
tálníhodnoty výrazně odchylují.
Obr.7.17ukazuje,žetytodvěformule,kteréjsouzcela
odlišné již na první pohled, dávají skutečně při vysokých
rychlostechvýrazněrůznévýsledky.Experimentpotvrzuje
mimo veškerou pochybnost,že relativistický výraz (7.51)
jesprávnýnarozdílodvýrazuklasického(7.1).Přinízkých
rychlostechvšakvýsledkyobouvzorcůpraktickysplývají.
Speciálně pro v = 0 dávají oba vztahy nulovou hodnotu
kinetic