hrw7

lové síly N, jíž působína sejf podlaha?
ŘEŠENÍ: Síly G a N jsou kolmé k posunutí. Podle vztahu
(7.9) je
W
g
=mgd·cos90
◦
=mgd·0 = 0 (Odpovědquoteright)
a
W
N
=Nd·cos90
◦
=Nd·0 = 0.
Práce vykonaná každou ze sil G a N je nulová. Působení
těchtosilpřiposunutísejfuovektor d nevedekezměnějeho
kinetické energie.
(c) Sejf byl zpočátku v klidu. Jak velká je jeho rychlost na
konci posunutí?
ŘEŠENÍ: Změnavelikostirychlostisejfusouvisísezměnou
jeho kinetické energie, a tedy i s celkovou prací vykonanou
silami, které na sejf působí. Spojením vztahů (7.4) a (7.1)
dostaneme
W =E
k,f
−E
k,i
=
1
2
mv
2
−
1
2
mv
2
0
.
Počátečnírychlostjenulová,celkovápráceW jerovna153J.
Řešením předchozí rovnice vzhledem k neznámé v dosta-
neme podosazenízadaných údajů
v=
radicalbigg
2W
m
=
radicalBigg
2(153,4J)
(225kg)
=
= 1,17m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
F
1
F
2
N
d
d=8,50m
mg
40
◦
30
◦
špion001
špion002
sejf
(a)
(b)
Obr.7.4 Příklad7.2.(a)Dvašpioniposouvajísejf.(b)Silovýdia-
gram s vyznačenímposunutí d.
7.4PRÁCETÍHOVÉSÍLY 147
PŘÍKLAD7.3
Ujíždějící bedna švestek klouže po vodorovné podlaze smě-
rem k ženě, která se ji snaží zbrzdit tak, že ji odtlačuje silou
F =(2,0N)i+(−6,0N)j austupujepřední(obr.7.5).Bedna
sepři tom posune o vektor d =(−3,0m)i.
x
y
d
F
Obr.7.5 Příklad7.3. Brzděníbednysilou F při posunutí d.
(a)Jakou prácivykonala síla F při posunutí d?
ŘEŠENÍ: Podle vztahu (7.11) je hledaná práce rovna
W = F · d = [(2,0N)i +(−6,0N)j]·[(−3,0m)i].
Ze všech skalárních součinů navzájem kolmých jednotko-
vých vektorů i, j, k jsou pouze tři nenulové, konkrétně i · i,
j · j, k · k (viz článek 3.7). Dostáváme tedy
W =(2,0)(−3,0m)i · i +(−6,0N)(−3,0m)j · i =
=(−6,0J)(1)+0 =−6,0J. (Odpovědquoteright)
Síla F vykoná práci−6,0J a kinetická energie bedny o 6,0J
klesne.
(b)Jakájekinetickáenergiebednynakonciposunutí,měla-li
na začátkuhodnotu 10J?
ŘEŠENÍ: Užitím vztahu (7.5) pro hodnoty E
k,i
= 10J
aW =−6,0J dostaneme
E
k,f
=E
k,i
+W = 10J+(−6,0J)= 4,0J. (Odpovědquoteright)
7.4 PRÁCETÍHOVÉSÍLY
Nyní se pokusíme zjistit, jakou práci koná síla zcela urči-
téhotypu.Konkrétněpůjdeosílu tíhovou.Rajskéjablíčko
o hmotnostim na obr.7.6, které lze považovat za bodový
objekt,vyhodímesvisle vzhůrupočátečnírychlostío veli-
kostiv
0
vzhledem k Zemi. Má tedy počáteční kinetickou
energiiE
k,i
=
1
2
mv
2
0
.Běhemvýstupusejehopohybpůso-
benímtíhovésílymg zpomalujea kinetickáenergieklesá.
Experiment potvrzuje, že je-li tíhová síla jedinou silou,
která na jablíčko působí (odporová síla vzduchu je něja-
kým způsobem eliminována),pak jedině práce tíhové síly
přispívá ke změně jeho kinetické energie. Abychom tuto
práci W
g
určili, dosadíme za F do vztahu (7.9) velikost
tíhovésílymg.Pak
W
g
=mgdcosϕ (práce tíhové síly). (7.16)
Jestliže sledovaná částice stoupá, jako je tomu v našem
případě,mířítíhovásílamgprotiposunutíd (obr.7.6).Pak
jeϕ = 180
◦
a
W
g
=mgd·cos180
◦
=mgd·(−1)=−mgd. (7.17)
Znaménkominussignalizuje,že kinetická energiestoupa-
jícíčásticeklesnepůsobenímtíhovésílypodrázed ohod-
notumgd.Tojezcelavsouhlasuseskutečností,žesepohyb
částicezpomaluje.
v
v
0
d
mg
E
k,i
E
k,f
Obr.7.6 Rajské jablíčko o hmotnostim(bodový objekt) je vr-
ženo svisle vzhůru počáteční rychlostí v
0
. Vlivem tíhové síly
mg se během posunutí d jeho pohyb zpomalí na rychlost v.
„Energiová odměrka“ znázorňuje výslednou změnu kinetické
energie jablíčka z počáteční hodnotyE
k,i
=
1
2
mv
2
0
na hodnotu
E
k,f
=
1
2
mv
2
.
Poté, co částice dosáhla maximálnívýšky a padá zpět
dolů,jeúhelϕmezitíhovousiloumgaposunutímdnulový.
Pak platí
W
g
=mgd·cos(0
◦
)=mgd·(+1)=+mgd. (7.18)
Znaménkoplusnásinformuje,ženyníkinetickáenergieob-
jektu vzrostla.Výsledek je opětv souhlasu se skutečností,
nebotquoteright velikost rychlosti tělesa při pádu roste. (Ve skuteč-
nosti se přesvědčíme v kapitole 8, že při stoupání či pádu
tělesa v tíhovém poli Země nestačí brát v úvahu změny
kinetickéenergiejentělesasamotného,nýbržjetřebauva-
žovato soustavě těleso + Země.Bez přítomnostiZemě by
slova „stoupání“ a „klesání“ samozřejmě pozbyla význa-
mu.)
Prácepřistoupáníaklesánítělesa
Představmesinyní,ženabodovýobjektpůsobímesilou F
azvedámejej.PřijehoposunutísměremvzhůrukonásílaF
kladnou práci W
a
, zatímco tíhová síla koná práci zápor-
nou,W
g
. To znamená, že síla F se „snaží“ zvýšit kinetic-
kouenergiiobjektu,působenísílytíhovéjinaopaksnižuje.
148 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
Vztah (7.15) umožňuje vyjádřit změnu kinetické energie
tělesazpůsobenouoběmauvažovanýmisilami:
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
=W
a
+W
g
, (7.19)
kde E
k,f
,resp.E
k,i
je kinetická energie tělesa na konci,
resp. na počátku posunutí. Tento vztah platí i v případě,
že těleso klesá. Působením tíhové síly se však nyní kine-
tická energietělesa zvyšuje,zatímco působenísíly F vede
kjejímupoklesu(síla F směřujestálevzhůru).
Obvyklásituacenastává,je-liobjektvklidunazačátku
inakonciposunutí(napříkladzvedneme-liknihuzpodlahy
apoložímejinapolici).PakjsouhodnotyE
k,i
iE
k,f
nulové
avztah(7.19)sezjednodušídotvaru
W
a
+W
g
= 0,
tj.
W
a
=−W
g
. (7.20)
Stejný výsledek dostaneme i při nenulových,avšak shod-
ných hodnotáchE
k,i
a E
k,f
. Má-li tedy těleso na počátku
inakonciposunutístejnoukinetickouenergii,jeprácevy-
konanásilouF přitomtoposunutírovnazáporněvzatépráci
vykonanétíhovousilou.Síla F vyvolástejněvelkouzměnu
kinetické energie tělesa jako síla tíhová, avšak opačného
znaménka.Užitím (7.16) můžeme vztah (7.20) přepsat do
tvaru
W
a
=−mgdcosϕ
(práce při vzestupu a pádu
tělesa přiE
k,i
=E
k,f
),
(7.21)
přičemžϕ je úhel mezi tíhovou silou mg a posunutím d.
Míří-li vektor posunutí svisle vzhůru (obr.7.7a), je ϕ =
= 180
◦
a práce vykonaná silou F je mgd. Při svislém
posunutí směrem dolů (obr.7.7b) je ϕ = 0
◦
a práce této
sílyje−mgd.
F
F
d
dmg
mg
(a)(b)
Obr.7.7 Na těleso působí tíhová síla mg a síla F.(a)Těleso
stoupá. Jeho posunutí d svírá úhel ϕ = 180
◦
s tíhovou silou
mg. Síla F koná kladnou práci. (b) Těleso klesá. Úhel mezi
posunutímd atíhovousiloumgjeϕ= 0
◦
.SílaF konázápornou
práci.
Vztahy (7.20) a (7.21) jsou použitelné pro stoupající
i klesající těleso, které je na počátku i na konci posunutí
vklidu.Jejichplatnostjenezávislánakonkrétnímprůběhu
velikostisílyF běhempohybu.KdyžnapříkladVasilijAlek-
sejev zvedal nad hlavu rekordní činku 2500N, musela se
síla, kterou na ni během tohoto úkonu působil, výrazně
měnit. Činka ovšem byla na začátku i na konci celé akce
v klidu. Vzpěrač tedy nepochybně vykonal práci danou
vztahy (7.20) a (7.21), kde mg představuje zátěž, kterou
zvedl,ad velikostjejíhoposunutí.
Pomocí postroje zvedá Paul Anderson 30 osob o celkové váze
2400lb.
PŘÍKLAD7.4
JeštějednousevratquoterightmekvýkonůmVasilijeAleksejevaaPaula
Andersona.
(a)Aleksejevzvedlčinkuováze2500Ndovýšky2,0m.Ja-
kouprácipřitomvykonalatíhovásílamg působícínačinku?
ŘEŠENÍ: Velikost tíhové sílymg jemg.Úhelϕ mezi vek-
torem tíhové síly a vektorem posunutí d má hodnotu 180
◦
.
Ze vztahu (7.16) vyplývá, že práce tíhové sílyje
W
g
=mgdcosϕ=(2500N)(2,0m)cos180
◦
=
=−5000J. (Odpovědquoteright)
(b)Jakouprácivykonalasíla,jížpůsobilnačinkuAleksejev?
ŘEŠENÍ: Protože byla činka v klidu na počátku i na konci
úkonu, můžeme použít vztah(7.20) a dostaneme
W
VA
=−W
g
=+5000J. (Odpovědquoteright)
(c) Jakou práci vykonala síla, kterou působil Aleksejev na
činku, když jidržel nadhlavou?
7.4PRÁCETÍHOVÉSÍLY 149
ŘEŠENÍ: Když vzpěrač držel činku nad hlavou, byla vkli-
du. Její posunutí bylo nulové a podle (7.9) byla tedy nulová
i práce působící síly (i když držet činku bylo jistě velmi
únavné).
(d) Jakou práci vykonala síla, jíž působil Paul Anderson při
zvednutí zátěže27900N o1cm?
ŘEŠENÍ: Užitím vztahu (7.21) a hodnot mg = 27900N
ad = 1,0cmdostaneme
W
PA
=−mgdcosϕ=−mgdcos180
◦
=
=−(27900N)(0,01m)(−1)= 280J. (Odpovědquoteright)
Andersonůvvýkon vyžadovalsiceobrovskou sílu,alevyko-
naná práce byla díky velmi malému posunutí nákladu pou-
hých280J.
PŘÍKLAD7.5
Bedna,kterábylazpočátkuvklidu,jetaženanalaněsměrem
vzhůrupodokonalehladkéšikmérampě.Pohybtažnéholana
se zastavil poté, co bedna urazila vzdálenost L = 5,70m
a zvedla se tak do výšky h = 2,50m nad počáteční úroveň
(obr.7.8a).
(a)Jakou prácipřitom vykonala tíhová síla?
ŘEŠENÍ: Hledanou práci vypočteme podle vztahu (7.16)
pro velikost posunutí d = L. Úhel mezi tíhovou silou mg
a posunutím je θ + 90
◦
(viz silový diagram na obr.7.8b).
Dostáváme
W
g
=mgLcos(θ+90
◦
)=−mgLsinθ.
Z obr. 7.8a vidíme, žeLsinθ je právě výška h, o kterou se
bedna zvedla.Je tedy
W
g
=−mgh. (7.22)
Znamená to, že práce vykonaná tíhovou silou závisí pouze
naposunutíbednyvesvislémsměru,zatímcovodorovné po-
sunutí není rozhodující. (K tomuto závěru se ještě vrátíme
v kapitole 8.) Dosazením zadaných údajů do rov. (7.22) do-
staneme
W
g
=−(15,0kg)(9,8m·s
−2
)(2,50m)=
=−368J. (Odpovědquoteright)
(b) Jakouprácivykonala tahová síla lana T?
ŘEŠENÍ: Bedna je na začátku i na konci posunutí v klidu,
změnajejíkinetickéenergieDelta1E
k
jetedynulová.Podle(7.15)
je pak
Delta1E
k
=W
1
+W
2
+W
3
+…. (7.23)
Vidíme,žecelkováprácevšechsilpůsobícíchnabednumusí
být nulová. Kromě tíhové síly působí na bednu pouze dvě
další síly: tahová síla lana T a normálová síla podložky N.
Síla N jekolmákposunutíaprotonekonápráci.Označíme-li
W
T
prácitahové sílylana,dostáváme užitím vztahu(7.23)
0 =W
g
+W
T
.
DosazenímW
g
=−368J získáme hledanou práciW
T
:
W
T
= 368J. (Odpovědquoteright)
h
L
θ
θ
θ
θ
T
T
N
L
mg
mgsinθ
bedna
bedna
lano
beztření
k navijáku
(a)
(b)
Obr.7.8 Příklad7.5.(a)Bednajetaženapodokonalehladkéram-
pě. Tahová síla lana je s rampou rovnoběžná. (b) Silový diagram
bedny s vyznačením všech sil, které na ni působí. Vyznačeno je
i posunutí L.
K
ONTROLA 3: Představme si, že jsme bednu z pří-
kladu 7.5 vytáhli do stejné výšky h, avšak po delší
rampě. (a) Je práce síly T nyní větší, menší, či stejná
jako v př.7.5? (b) Rozhodněte, zda je velikost síly T
větší,menší,čistejnájakovpř.7.5.
PŘÍKLAD7.6
Kabina výtahuohmotnosti500kgklesárychlostíovelikosti
v
i
= 4,0m·s
−1
. Tažné lano začne najednou klouzat a pokles
kabiny se urychluje, přičemž a = g/5(obr.7.9a).
(a) Jakou práci vykoná tíhová síla mg působící na padající
kabinu při posunutí o velikostid = 12m?
150 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
ŘEŠENÍ: Silovýdiagramkabinypřipoklesuo12mjezná-
zorněn na obr.7.9b. Úhel mezi posunutím d a tíhovou silou
mg je 0
◦
.Pomocírov. (7.16) dostaneme
W
1
=mgdcos0
◦
=(500kg)(9,8m·s
−2
)(12m)(1)=
= 5,88·10
4
J
.
= 5,9·10
4
J. (Odpovědquoteright)
(b)Jakouprácivykonápřitémžeposunutíkabinytahovásíla
lana?
ŘEŠENÍ: Situace se liší od př. 7.4a 7.5 tím, že kinetická
energie kabiny na začátku a na konci posunutí není stejná.
Rovnic (7.20) a (7.21) nelze použít: práce vykonaná silou T
nenírovna záporně vzaté prácitíhové síly.
a
d
d
m
mg
lano
výtahu
kabina
(a)(b)
T
Obr.7.9 Příklad 7.6. Kabina výtahu, klesající rychlostí o veli-
kosti v
i
, se najednou začne urychlovat směrem dolů. (a) Kabina
se posune o vektor d se zrychlením a= g/5. (b) Silový diagram
kabinysvyznačenímposunutí.
PráciW
2
síly T musíme určit pomocí vztahu (7.9)(W =
= Fdcosϕ). Nejprve zjistíme velikost síly T. Užitím dru-
héhoNewtonova zákona propohyb kabiny dostáváme
summationdisplay
j
F
j
=T −mg =ma.
Protože zrychlení a má velikostg/5a míří dolů, je
T =m(g+a)=m(g−g/5)=
=(500kg)(
4
5
)(9,8m·s
−2
)= 3920N.
Pro výpočet práce použijeme nyní vztahu (7.9). Úhel mezi
silou T a posunutím kabiny d je 180
◦
. Síla T má velikost
3920N,velikost posunutí je 12m. Dostáváme
W
2
=Tdcos180
◦
=(3920N)(12m)(−1)=
=−4,70·10
4
J. (Odpovědquoteright)
(c)Jaká je celková práce všechsilpůsobícíchna kabinu?
ŘEŠENÍ: Podle (7.14) je celková práce algebraickým sou-
čtem pracíobou sil:
W =W
1
+W
2
=(5,88·10
4
J)−(4,70·10
4
J)=
= 1,18·10
4
J
.
= 1,2·10
4
J. (Odpovědquoteright)
Běhemposunutíkabinyo12msejejíkinetickáenergiezvýší
o1,2·10
4
J.
PráciWmůžemeurčitijinak.UžitímdruhéhoNewtonova
zákona zjistíme nejprve výslednici silpůsobících na kabinu:
summationdisplay
F =ma=(500kg)
parenleftbigg
−
9,8m·s
−2
5
parenrightbigg
=−980N.
Výslednice míří dolů a svírá s posunutím úhel 0
◦
. Práce,
kterou vykoná,je
W =(980N)(12m)cos0
◦
=
= 1,18·10
4
J
.
= 1,2·10
4
J. (Odpovědquoteright)
(d) Jaká je kinetická energie kabiny na konci posunutí?
ŘEŠENÍ: Kinetickáenergienazačátkuposunutí,tj.přirych-
losti ovelikostiv
i
= 4,0m·s
−1
,je
E
k,i
=
1
2
mv
2
i
=
1
2
(500kg)(4,0m·s
−1
)
2
= 4000J.
Kinetická energie E
k,f
na konci posunutí je dána vztahem
(7.5):
E
k,f
=E
k,i
+W = 4000J +1,18·10
4
J =
= 1,58·10
4
J
.
= 1,6·10
4
J. (Odpovědquoteright)
(e) Jaká je velikost rychlostiv
f
na konciposunutí?
ŘEŠENÍ: Z (7.1) dostaneme
E
k,f
=
1
2
mv
2
f
,
odkud prov
f
máme
v
f
=
radicalbigg
2E
k,f
m
=
radicalBigg
2(1,58·10
4
J)
(500kg)
=
= 7,9m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
7.5 PRÁCEPROMĚNNÉSÍLY
Jednorozměrnýpřípad
Vratquoterightmese ksituacinaobr.7.2.Předpokládejmevšaknyní,
že síla F, která působí na částici a koná při jejím pohybu
jistou práci, směřuje podél osy x a její velikost se mění
s polohou částice. Síla je tedy proměnná. V uvažovaném
7.5 PRÁCE PROMĚNNÉSÍLY 151
W
0000
xxxx
x
i
x
i
x
i
x
i
x
f
x
f
x
f
x
f
F(x) F(x) F(x) F(x)
Delta1x Delta1x
Delta1W
j
F
j
(x)
(a)(b)(c)(d)
Obr.7.10 (a) Graf obecné závislosti síly působící na částici na její poloze. Částice se pohybuje po přímce (osa x), její poloha je
popsána souřadnicí x v intervalu mezi počátečním a koncovým bodem x
i
,resp.x
f
. Síla je rovnoběžná s osou x. (b) Obrázek (a)
svyznačenímrozděleníplochypodgrafemfunkceF(x)naúzképroužky.(c)Jemnějšídělenínežnaobr.(b).(d)Limitnípřípad.Práce
vykonaná působící silou je dána vztahem (7.27) a geometricky reprezentována vybarvenou plochou, omezenou osou x a grafem
funkceF(x)mezihodnotamix
i
ax
f
.
speciálním případě se však mění pouze její velikost, za-
tímco její směr je stálý. Velikost síly navíc závisí pouze
na souřadnicix, určující polohu částice, a není explicitní
funkcíčasu.
Takovýjednorozměrnýpříkladproměnnésíly znázor-
ňujeobr.7.10.Jakurčímeprácitétosílypřipřesunutíčástice
zpočátečnípolohyosouřadnicix
i
dopolohyx
f
?Vztah(7.9)
použítnemůžeme,nebotquoterightplatíjenprokonstantnísílu F.Vý-
počet vyžaduje nový přístup: rozdělíme celkové posunutí
částice na velký počet intervalů o šířce Delta1x. Zvolme tuto
šířkunatolikmalou,abychomfunkciF(x)mohlivkaždém
zintervalůpovažovatzakonstantní.NechtquoterightF
j
(x)jestřední
hodnotaveličinyF(x)vj-témintervalu.
Elementární práci Delta1W
j
vykonanou silou F v j-tém
intervalujižvztahem(7.9)můžemevyjádřit:
Delta1W
j
≈F
j
(x)Delta1x. (7.24)
Vgrafunaobr.7.10bjeF
j
(x)výškaj-téhoproužkuaDelta1x
jehošířka.ElementárnípráceDelta1W
j
ječíselněrovnaobsahu
proužku.
Celkovou práciW síly F působící na částici při jejím
přemístění z polohy x
i
do polohy x
f
vyjádříme přibližně
jakosoučetobsahůvšechproužkůležícíchmezix
i
ax
f
.Je
tedy
W =
summationdisplay
Delta1W
j
≈
summationdisplay
F
j
(x)Delta1x. (7.25)
Vztah (7.25) je přibližný, nebotquoteright přerušovaná modrá čára
tvořená horními základnami pravoúhlých proužků v ob-
rázku 7.10bpouzeaproximujeskutečnoukřivkuF(x).
Aproximaci můžeme zlepšit, zmenšíme-li šířku Delta1x
a zvýšíme tak počet proužků, jako je tomu na obr.7.10c.
V limitě se šířka proužků blíží nulové hodnotě a počet
proužkůroste do nekonečna.Získáváme tak přesný výsle-
dek
W = lim
Delta1x→0
summationdisplay
F
j
(x)Delta1x. (7.26)
TatolimitapředstavujeintegrálzfunkceF(x)vmezíchx
i
ax
f
. Vztah(7.26)mátedytvar
W =
x
f
integraldisplay
x
i
F(x)dx (práce proměnné síly). (7.27)
Známe-li funkci F(x), dosadíme ji do integrálu (7.27),
opatříme jej mezemi a provedeme integraci. Získáme tak
hledanoupráciW. (V dod. E je uveden soupisnejznáměj-
šíchintegrálů.)Geometrickyjeprácedánaobsahemplochy
omezené grafem funkceF(x)aosoux v intervalu s kraj-
nímibodyx
i
ax
f
(vobr.7.10vyznačenobarevně).
Trojrozměrnýpřípad
Uvažujmenyníočástici, nanižpůsobíobecnězadanásíla
F =F
x
i +F
y
j +F
z
k, (7.28)
jejížsložkyF
x
,F
y
,F
z
mohoubýtzávislénapolozečástice
(jsou funkcemi této polohy). Označme elementární posu-
nutíčásticejako
dr = idx+ jdy+ k dz. (7.29)
Elementární práce dW, kterou síla F vykoná při posunutí
částiceo dr,je podlevztahu(7.11)rovna
dW = F ·dr =F
x
dx+F
y
dy+F
z
dz. (7.30)
Celková práceW, vykonaná silou F při přesunutí částice
z počáteční polohy r
i
o souřadnicích (x
i
,y
i
,z
i
) do kon-
covépolohyr
f
osouřadnicích(x
f
,y
f
,z
f
),jepakvyjádřena
křivkovým integrálem
W =
integraldisplay
C
dW =
integraldisplay
C
F ·dr =
=
integraldisplay
C
(F
x
dx+F
y
dy+F
z
dz), (7.31)
152 KAPITOLA7 PRÁCEA KINETICKÁENERGIE
kde C je křivka, po níž se částice pohybuje mezi body
o polohových vektorech r
i
a r
f
.* Má-li síla F nenulovou
pouzex-ovousložku,jsouvýrazyobsahujícíF
y
aF
z
nulové
avztah(7.31)přejdenatvar(7.27).
Vztahmezipracíproměnnésílyazměnou
kinetickéenergie
Vztahem (7.27) je dána práce proměnné síly působící
na částici v jednorozměrném případě. Přesvědčíme se, že
jedná-li se o výslednici sil, je tato práce podle očekávání
rovnazměněkinetickéenergiečástice.
Uvažujme o částici s hmotností m, pohybující se po
osex. Na částici působí výsledná sílaF(x)směřující po-
dél osy x. Práce vykonaná touto silou při přesunu částice
zpočátečnípolohyx
i
dokoncovéx
f
jepodlevztahu(7.27)
rovna
W =
x
f
integraldisplay
x
i
F(x)dx =
x
f
integraldisplay
x
i
madx. (7.32)
Použili jsme druhého Newtonova zákona a nahradili vý-
slednou síluF(x)součinemma.Výrazmadx za integrá-
lemv(7.32)lzepřepsatve tvaru
madx =m
dv
dt
dx. (7.33)
Podlepravidlaoderivacisloženéfunkceplatí
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
=
dv
dx
v (7.34)
avrov.(7.33)lze psát
madx =m
dv
dx
vdx =mvdv. (7.35)
Dosazenímz rov.(7.35)do(7.32)dostáváme
W =
v
f
integraldisplay
v
i
mvdv=m
v
f
integraldisplay
v
i
vdv=
=
1
2
mv
2
f
−
1
2
mv
2
i
. (7.36)
* Praktický výpočet integrálu (7.31), takzvaného křivkového inte-
gráludruhéhotypu, lze snadno provést, známe-li závislost poloho-
véhovektoru částicena čase r(t).Paklzepsátdr =vdt a
W=
t
f
integraldisplay
ti
(F·v)dt,
kdet
i
at
f
představujíokamžiky,vnichžsečásticenacházívpočáteční
akoncovépoloze.
Uvědomme si, že při záměně proměnnéx novou proměn-
nouvmusímeprovéstiodpovídajícízáměnumezíintegrá-
lu. Hmotnostm jsme mohli vytknout před integrál proto,
že jipovažujemezakonstantní.
Ve výsledku na pravé straně (7.36) poznáváme rozdíl
kinetických energií částice v koncovém a počátečním po-
hybovémstavu.Můžemeprotoopětpsátznámývztahmezi
pracíakinetickouenergií
W =E
k,f
−E
k,i
=Delta1E
k
.
PŘÍKLAD7.7
Síla F = (3xN)i +(4N)j,kdex je dáno v metrech, působí
načásticipohybujícísevrovině.Počátečníakoncovápoloha
částicejsouurčenysouřadnicemi(2m,3m)a(3m,0m).Ja-
kouprácivykonásílaF?Rozhodněte,zdasevelikostrychlosti
částice zvětší,zmenší,čizůstane beze změny.
ŘEŠENÍ: Užitím vztahu(7.31) dostáváme
W =
integraldisplay
C
(3xdx+4dy)=
integraldisplay
C
3xdx+
integraldisplay
C
4dy,
kde C je křivka, po které se částice pohybuje. Vzhledem
ktomu,žex-ovásložkasílyF nezávisínasouřadniciyay-ová
složka nezávisínax,můžemepsát
integraldisplay
C
3xdx =
x
f
integraldisplay
x
i
3xdx =
3
integraldisplay
2
3xdx = 3
3
integraldisplay
2
xdx,
integraldisp