hrw5

ační síla F
ZD
, jíž působí družice na
Zemi.JejípůsobištěmůžemeumístitdostředuZemě.
Mohli bychom se domnívat,že malinká družice prak-
ticky nemůže Zemi přitahovat. Přesto tomu tak je, přesně
podle třetího Newtonova zákona. Pro velikosti sil platí
F
DZ
= F
ZD
. Síla F
ZD
udílí Zemi zrychlení, které je však
vlivem obrovské hmotnosti Země tak malé, že není měři-
telné.
Melounnastole
Obr.5.14aznázorňujemelounležícívklidunastole.*Země
působínamelounsvisledolůtíhovousilouF
MZ
.Melounse
neurychluje,nebotquoterighttatosílajekompenzovánastejněvelkou,
avšak opačnou, normálovou silou F
MS
, jíž na meloun pů-
sobí stůl (obr.5.14b).Síly F
MZ
a F
MS
však netvoří dvojici
akce–reakce, nebotquoteright působí na totéž těleso, meloun.
Reakcí k síle F
MZ
je gravitační síla F
ZM
, jíž působí
melounnaZemi.Tatodvojiceakce–reakcejeznázorněna
naobr.5.14c.
Reakcí k síle F
MS
je síla F
SM
, jíž působí meloun na
stůl.Tatodvojiceakce–reakcejeznázorněnanaobr.5.14d.
Dvojiceakce–reakce,vystupujícívtétoúloze,spoluspří-
slušnýmidvojicemitěles,jsoutedy
prvnídvojice: F
MZ
=−F
ZM
(melounaZemě)
a
druhádvojice: F
MS
=−F
SM
(melouna stůl).
K
ONTROLA6:Dejmetomu,žemelounastůlzobr.5.14
jsouvkabiněvýtahu,kteráserozjíždísměremvzhůru.
(a) Rozhodněte,zda velikosti sil F
SM
a F
MS
vzrostou,
klesnou,čizůstanoubezezměny.(b)Jsoutytodvěsíly
stále stejně velké a opačně orientované? (c) Rozhod-
něte,zda velikostisil F
MZ
a F
ZM
vzrostou,klesnou,či
* Nebereme vúvahumalékomplikace způsobenérotací Země.
F
MZ
(tíhová síla melounu)
F
MZ
F
ZM
F
MS
F
SM
F
MS
(tlaková síla stolu)
Země
Země
stůl
meloun meloun
(a) (b) (c) (d)
Obr.5.14 (a) Meloun leží na stole, který spočívá na zemském povrchu. (b) Na meloun působí síly F
MS
a F
MZ
. Meloun je v klidu,
nebotquoteright tyto síly jsou v rovnováze. (c) Dvojice akce – reakce při interakci melounu a Země. (d) Dvojice akce – reakce při interakci
melounu a stolu.
100 KAPITOLA5 SÍLAA POHYBI
zůstanoubezezměny.(d)Jsoutytodvěsílystálestejně
velkéaopačněorientované?
5.8 UŽITÍNEWTONOVÝCHZÁKONŮ
Zbývajícíčásttétokapitolytvořípříklady.Mělibystesenad
nimihloubějizamyslet.Neučtesedílčívýpočtyaodpovědi,
ale soustředquoterightte se na problém jako celek. Snažte se pocho-
pit postupy, které vedou k jeho vyřešení. Zvláštquoteright důležité
je vědět, jak přejít od schematického náčrtu situace k si-
lovému diagramu a vhodně volit soustavu souřadnic, aby
bylo možné aplikovat druhý Newtonův zákon. Začneme
př.5.5,kterýjepropracovándonejmenšíchdetailůformou
otázka–odpovědquoteright.
PŘÍKLAD5.5
Obr.5.15 znázorňuje kostku (klouzající kostka) o hmot-
nosti3,3kg.Kostka semůže volně pohybovat povodorovné
dokonalehladképodložce,např.navzduchovélavici.Kostka
je připojena nehmotným vláknem vedeným přes nehmotnou
kladku otáčející se bez tření k jiné kostce (zavěšená kostka),
jejíž hmotnost je 2,1kg. Zavěšená kostka klesá a klouzající
kostka se pohybuje s určitým zrychlením vpravo. (a) Určete
totozrychlení.(b)Určetezrychlenízavěšenékostkya(c)sílu
napínající vlákno.
M
m
klouzající
kostka
hladká
podložka
zavěšená
kostka
Obr.5.15 Příklad5.5.KostkaohmotnostiM navodorovnédoko-
nalehladképodložcejespojenaskostkouohmotnostimvláknem
vedeným přes kladku. Vlákno i kladka jsou nehmotné. Kladka se
otáčíbeztření.Šipkyvyznačujísměrpohybupouvolněnísoustavy.
? O co v úloze jde?
Mámedvahmotnéobjekty,klouzajícíazavěšenoukostku.
Nesmíme zapomenout, že je zde také Země, která oba tyto
objektypřitahuje.BezpřítomnostiZeměbysenicnedělo.Na
kostkypůsobí celkem pětsil,znázorněných na obr.5.16:
1. Vlákno táhne klouzající kostku vpravo silou T o veli-
kostiT.
2. VláknotáhnezavěšenoukostkusilouT
prime
otéževelikostiT.
Tatosílasměřujevzhůruabránívolnémupáduzavěšenékost-
ky, ke kterému by jinak samozřejmě došlo. Předpokládáme,
že vlákno je napjato po celé délce stejně. Kladka slouží ke
změněsměrusílynapínajícívláknobezezměnyjejívelikosti.
3. Země přitahuje klouzající kostkutíhovou silouMg.
4. Země přitahuje zavěšenoukostku tíhovou siloumg.
5. Stůltlačína klouzající kostku normálovou silou N.
Mg
mg
T
prime
T
N
Obr.5.16
|T|=|T
prime
|
Síly působící nadvěkostky
Uvědommesiještědalšídůležitévěci.Předpokládáme,že
vlákno je nepružné. Klesne-li tedy zavěšená kostka za jistou
dobu o 1mm, pohne se klouzající kostka v témže časovém
intervaluo1mmvpravo.Kostkysepohybujíspolečněajejich
zrychlení mají stejnouvelikosta.
? Jak máme tuto úlohu posuzovat? Nabízí se nám na základě
její formulace použití určitého fyzikálního zákona?
Ano, nabízí. Síly, hmotnosti a zrychlení jsou obsaženy
v druhém Newtonově pohybovém zákonuma =
summationtext
F.
? Chceme-li použít tento zákon při řešení úlohy, na jaké
těleso jej máme aplikovat?
Zaměřme se na dvě tělesa vystupující v úloze, klouzající
azavěšenoukostku.Ikdyžjdeveskutečnostiorozměrnéob-
jekty, můžeme je považovat za hmotné body, protože každý
z elementů, z nichž jsou složeny (řekněme každý atom), se
pohybujepřesněstejnýmzpůsobem.AplikujemedruhýNew-
tonův zákonna každoukostku zvláštquoteright.
? A co s kladkou?
Kladkuzahmotnýbodpovažovatnemůžeme,nebotquoterightpohyb
jejích jednotlivých elementů je různý. Až budeme uvažovat
ootáčivémpohybu,všimneme sikladekpodrobně. Prozatím
se však tomuto problému vyhneme tím, že budeme hmot-
nostkladkypovažovatzazanedbatelnouvporovnáníshmot-
nostmi obou kostek.
? Dobrá.Jak tedy nyní aplikujeme vztah ma =
summationtext
F na
klouzající kostku?
PředstavímesikostkujakočásticiohmotnostiManakres-
líme všechny síly, které na ni působí, podle obr.5.17. Tento
obrázek představuje silový diagram klouzající kostky. Jsou
5.8 UŽITÍNEWTONOVÝCHZÁKONŮ 101
v něm tři síly. Nyní zvolíme souřadnicové osy. Je vhodné
nakreslit osux rovnoběžně s deskou stolu ve směru pohybu
kostky.
x
y
T
N
a
Mg
M
klouzající
kostka
Obr.5.17 Silovýdiagram proklouzající kostkuna obr.5.15
? Ano, ale stále nebylo řečeno, jak aplikovat na klouzající
kostku vztahma =
summationtext
F.Zatím jsme mluvili pouze o tom,
jak nakreslit silový diagram.
Tojepravda.Vztahma =
summationtext
F jevektorovourovnicíatu
je třeba rozepsat dosložek:
Ma
x
=
summationdisplay
F
x
,Ma
y
=
summationdisplay
F
y
,Ma
z
=
summationdisplay
F
z
, (5.15)
kde
summationtext
F
x
,
summationtext
F
y
,
summationtext
F
z
jsousložkyvýslednésíly.Vzhledem
ktomu,žeseklouzajícíkostkanepohybujevesvislémsměru,
je zřejmé, žey-ová složka výslednice je nulová. Normálová
sílaN,směřujícívzhůru,atíhovásílaG =mgjsouvrovnová-
ze.z-ovésložkyvšechsiljsourovněžnulové(osazjekolmá
krovině nákresu).Můžemeovšempoužítprvnízrov.(5.15).
Ve směru osy x je nenulová pouze jediná složka,x-ová
složka síly T.Zevztahuma
x
=
summationtext
F
x
tedy plyne
Ma=T. (5.16)
Tato rovnice obsahuje dvě neznámé,T aa, takže ji nedoká-
žeme jednoznačně vyřešit. Připomeňme však, že jsme zatím
nic neřekli ozavěšené kostce.
? Jistě.Budeme vztah ma =
summationtext
F aplikovat i na zavěšenou
kostku? Jak?
Nakreslímesilovýdiagramprotutokostkupodleobr.5.18.
Tentokrátužijeme druhou z rovnic (5.15) a dostaneme
−ma=
summationdisplay
F
y
=T −mg. (5.17)
x
y
mg
m
T
prime
a
prime
zavěšená
kostka
Obr.5.18 Silovýdiagramprozavěšenoukostkunaobr.5.15.Vek-
tory T
prime
, a
prime
majídíkykladcejinésměrynežvektory T, a,platí však
|T
prime
|=|T|,|a
prime
|=|a|.
Znaménko minus na levé straně rovnice signalizuje, že se
kostka urychluje směrem dolů, v záporném směru osy y.
Z rov.(5.17) plyne
mg−T =ma. (5.18)
Tatorovniceobsahujetytéžneznáméveličinyjakorov.(5.16).
SečtenímobourovnicvyloučímeT.Řešenímvzhledemkne-
známéadostaneme
a=
m
M+m
g. (5.19)
Dosazením tohoto výsledku dorov.(5.16) získáme
T =
mM
M+m
g. (5.20)
Pro zadané číselnéhodnoty dostáváme
a=
m
M+m
g=
(2,1kg)
(3,3kg+2,1kg)
(9,8m·s
−2
)=
= 3,8m·s
−2
(Odpovědquoteright)
a
T =
mM
M+m
g=
(3,3kg)(2,1kg)
(3,3kg+2,1kg)
(9,8m·s
−2
)=
= 13N. (Odpovědquoteright)
? Nyní je problém vyřešen, že?
To je správná otázka. Naším úkolem není jen řešit úlohy,
aletakéseučitfyziku.Súlohounejsmeveskutečnostihotovi,
dokud jsme neověřili, zda jsou získané výsledky rozumné.
Získáme tím často mnohem lepší zkušenost než samotným
nalezením správné odpovědi.
Nejprve se vratquoterightme k rov.(5.19). Všimněme si, že je roz-
měrověsprávnýažehodnotaabudevždymenšínežg.Musí
tomutakbýt,nebotquoterightzavěšenákostkanepadávolně.Vláknoji
táhne směremvzhůru.
Nyní se zaměřme na vztah (5.20), který můžeme přepsat
ve tvaru
T =
M
M+m
mg. (5.21)
V tomto tvaru snáze ověříme rozměrovou správnost, nebotquoteright
jakT,takmgjsouvelikostisil.Zrov.(5.21)takéhnedvidíme,
že velikost síly napínající vlákno je vždy menší než mg,
tj. než velikost tíhové síly působící na zavěšenou kostku. To
je potěšitelné zjištění, nebotquoteright kdyby vyšla hodnota T větší
než mg, znamenalo by to, že se zavěšená kostka urychluje
směrem vzhůru.
Výsledky můžeme také ověřovat rozborem speciálních
případů,unichžjsmesijistisprávnouodpovědí.Jednoduchý
případ,odpovídající experimentům vmezihvězdnémprosto-
ru,dostanemevolboug= 0.Víme,ževtakovémpřípadězů-
stanou kostky v klidu a vlákno nebude napjato. Dosadíme-li
102 KAPITOLA5 SÍLAA POHYBI
g = 0 do rov.(5.19) a (5.20), vyjde opravdua= 0aT = 0.
Dalšídvě speciálnísituace nastanou proM = 0am→∞.
PŘÍKLAD5.5—jinýzpůsobřešení
Velikost zrychlení a kostek na obr.5.15 dokonce dokážeme
určit na pouhých dvou řádcích algebraických úprav, jestliže
zvolíme poněkud zvláštní postup. (a) Užijeme neobvyklou
volbu „osy“,řekněmeu,která prochází oběma kostkami po-
délvlákna,jakznázorňuje obr.5.19a.(b)Vmyšlenkách„na-
rovnáme“osuupodleobr.5.19babudemekostkypovažovat
zadvěsoučástijednohosloženéhotělesaohmotnostiM+m.
Silovýdiagram pro tuto soustavuje na obr.5.19c.
a
u
uu
M
m
M+m
mg
mg
mg
složenétěleso
ohmotnosti
M+m
(a)
(b) (c)
Obr.5.19 (a) „Osa“ u prochází soustavou tvořenou kostkami
a vláknem z obr.5.15. (b) Kostky jsou uspořádány podél „napří-
mené“ osy u a považovány za jediné těleso o hmotnosti M+m.
(c) Příslušný silový diagram zahrnující pouze síly ve směru u.
Takovásíla je jediná.
ŘEŠENÍ: Uvědomme si, že na složené těleso působí ve
směru osy u pouze jediná síla, a to tíhová síla mg,orien-
tovaná kladně. Síly T a T
prime
napínající vlákno (obr.5.16) jsou
nyní vnitřními silami soustavy, tvořené složeným tělesem,
a nevstupují do druhého Newtonova zákona. Síla, jíž působí
kladka na vlákno, je kolmá koseua rovněž vdruhém New-
tonově zákonunebude figurovat.
Řídíme-li se v této situaci vztahy (5.2), můžeme napsat
rovnici pro složkuzrychlení tělesa podélosyu:
(M+m)a
u
=
summationdisplay
F
u
,
kde(M+m)je hmotnost tělesa.Zrychlení složeného tělesa
podél osy u (a tedy i zrychlení každé z kostek spojených
vláknem) má velikost a. Jediná síla udělující složenému tě-
lesuzrychlení podél osyumá velikostmg.Dostáváme tedy
(M+m)a=mg
a
a=
m
M+m
g. (5.22)
Tentovýsledek seshoduje s rov.(5.19).
Abychom určili velikostT, aplikujeme druhý Newtonův
zákonnakteroukolizoboukostek.Dostanemetakrov.(5.16),
nebo(5.18).Dosazenímzaazrov.(5.22)ařešenímvzhledem
k neznáméT dostaneme rov.(5.20).
PŘÍKLAD5.6
KostkaohmotnostiM = 33kgjetlačenapodokonalehladké
podložce pomocítyčkyohmotnostim= 3,2kg(obr.5.20a).
Kostka,kterájezpočátkuvklidu,sepohybuje skonstantním
zrychlením a během 1,7s se posune do vzdálenosti d =
= 77cm.
M
M
m
m
F
TK
F
KT
F
RT
F
TR
a
první dvojice druhá dvojice
hladká
podložka
(a)
(b)
Obr.5.20 Příklad5.6.(a)Tyčkaohmotnostimtlačíkostkuohmot-
nostiMpodokonalehladképodložce.(b)Pohlednajednotlivéčásti
soustavyukazujedvojiceakce–reakce,tj.vzájemnépůsobeníruky
a tyčky(první dvojice)a tyčkyakostky (druhádvojice).
(a) Určete všechny dvojice akce – reakce působící ve vodo-
rovném směru.
ŘEŠENÍ: Jak je zřejmé z obr.5.20b, jsou zde dvě dvojice
sil typuakce – reakce:
první dvojice F
RT
=−F
TR
(ruka a tyčka),
druhá dvojice F
TK
=−F
KT
(tyčka a kostka).
Sílu F
RT
, jíž působí tyčka na ruku, bychom pocítili, kdyby-
chom experiment prováděli „vlastnoručně“.
(b) Jakou siloumusí působit ruka na tyčku?
5.8 UŽITÍNEWTONOVÝCHZÁKONŮ 103
ŘEŠENÍ: Hledaná síla udílí zrychlení tyčce i kostce. Aby-
chom ji zjistili, musíme nejdříve určit užitím vztahu (2.15)
velikoststálého zrychlenía:
x−x
0
=v
0x
t+
1
2
a
x
t
2
.
Dosazením v
0x
= 0ax −x
0
= d a řešením vzhledem
kneznáméa
x
=adostaneme
a=
2d
t
2
=
2(0,77m)
(1,7s)
2
= 0,533m·s
−2
.
Prozjištěnísíly,jižvyvine ruka,použijemedruhýNewtonův
zákonpro soustavusloženou z tyčkya kostky. Pak
F
TR
=(M+m)a=(33kg+3,2kg)(0,533m·s
−2
)=
= 19,3N
.
= 19N. (Odpovědquoteright)
(c)Jakou siloutlačítyčka na kostku?
ŘEŠENÍ: Aplikujeme druhýNewtonůvzákonnasamotnou
kostku:
F
KT
=Ma=(33kg)(0,533m·s
−2
)=
= 17,6N
.
= 18N. (Odpovědquoteright)
(d) Jakáje výsledná síla působící na tyčku?
ŘEŠENÍ: VelikosttétosílyF můžemenajítdvěmazpůsoby.
Prvníz nich využívá výsledků (b) a (c):
F =F
TR
−F
TK
= 19,3N−17,6N=
= 1,7N. (Odpovědquoteright)
Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že podle třetího New-
tonova zákona má síla F
TK
stejnou velikost (tj. 17,6N) jako
síla F
KT
.
Druhý způsob spočívá přímo v použití druhého Newto-
nova zákona pro samotnou tyčku. Dostáváme
F =ma=(3,2kg)(0,533m·s
−2
)=
= 1,7N, (Odpovědquoteright)
což souhlasí s předchozím výsledkem. Musí tomu tak být,
nebotquoterightoba postupyjsouekvivalentní. Ověřte toobecným vy-
jádřením velikosti síly F pomocí zadaných veličin oběma
způsoby.
PŘÍKLAD5.7
Obr.5.21 znázorňuje kostku o hmotnostim= 15kg zavěše-
nouna třechvláknech. Jakýmisilami jsouvlákna napínána?
28
◦
28
◦
47
◦
47
◦
x
y
A B
C
m
mg
T
A
T
BTC
−T
C
uzel
kostka
uzel
(a)
(b)(c)
Obr.5.21 Příklad 5.7. (a) Kostka o hmotnosti m je zavěšena na
třechvláknech.(b)Silovýdiagramkostky.(c)Silovýdiagramuzlu,
v němžjsou vláknaspojena.
ŘEŠENÍ: V silovém diagramu kostky (obr.5.21b) směřuje
tahová síla T
C
, jíž působí na kostku vlákno C,svisle vzhůru,
zatímco tíhová sílamg míří dolů. Soustava je v klidu, takže
podle druhého Newtonova zákona platí
summationdisplay
F = T
C
+mg = 0.
PoněvadžjsousílyT
C
amgsvislé,dostávámejedinouskalární
rovnici
summationdisplay
F
y
=T
C
−mg= 0.
Dosazením zadanýchhodnot pak získáme
T
C
=mg=(15kg)(9,8m·s
−2
)=
= 147N
.
= 150N. (Odpovědquoteright)
Další krok vychází ze skutečnosti, že všechny tři hledané
tahovésílymajípůsobištěvuzlu,vněmžjsouvláknaspojena.
Aplikujeme tedy druhý Newtonův zákon na uzel. Příslušný
silový diagram je na obr.5.21c. Protože se uzel neurychluje,
musí být výsledná síla,která na nějpůsobí, nulová. Pak
summationdisplay
F = T
A
+ T
B
+(−T
C
)= 0.
Tatovektorová rovnice je ekvivalentní dvěma rovnicím ska-
lárním
summationdisplay
F
y
=T
A
sin28
◦
+T
B
sin47
◦
−T
C
= 0(5.23)
104 KAPITOLA5 SÍLAA POHYBI
a
summationdisplay
F
x
=−T
A
cos28
◦
+T
B
cos47
◦
= 0. (5.24)
Uvědomte si,že při zápisux-ové složky síly T
A
musíme vý-
razT
A
cos28
◦
opatřit znaménkem minus, abychom vyjádřili
fakt, že průmět síly T
A
do osyx je s touto osou nesouhlasně
rovnoběžný.
Dosazenímčíselnýchhodnotdorov.(5.23)a(5.24)dosta-
neme
T
A
(0,469)+T
B
(0,731)= 147N (5.25)
a
T
B
(0,682)=T
A
(0,883). (5.26)
Z rov.(5.26) vyplývá
T
B
=
0,883
0,682
T
A
= 1,29T
A
.
Dosazením tohoto výsledku do rov.(5.25) a řešením vzhle-
demk neznáméT
A
získáváme
T
A
=
147N
0,469+(1,29)(0,731)
=
= 104N
.
= 100N. (Odpovědquoteright)
Nakonec určímeT
B
:
T
B
= 1,29T
A
=(1,29)(104N)=
= 134N
.
= 130N. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD5.8
Na obr.5.22a je kostka o hmotnostim= 15kg upevněná na
vlákně a spočívající na dokonale hladké nakloněné rovině.
Jakou silou je napínáno vlákno, je-li θ = 27
◦
? Jakou silou
působínakloněná rovina na kostku?
ŘEŠENÍ: Naobr.5.22bjesilovýdiagrampropřípadkostky.
Na kostku působí tyto síly: (1) normálová síla N, jíž na ni
tlačí nakloněná rovina, (2) tahová síla vlákna T a (3) tíhová
síla G =mg.Poněvadž je zrychlení kostky nulové, je podle
druhéhoNewtonovazákonanulováivýslednicevšechtěchto
sil:
summationdisplay
F = T + N +mg = 0. (5.27)
Zvolíme soustavu souřadnic tak, aby osax byla rovnoběžná
snakloněnou rovinou.Přitétovolbě budoumítdokonce dvě
ze sil (N a T) směr souřadnicových os. To je výhoda. Všim-
něme si, že úhel mezi tíhovou silou a zápornou poloosou
osyyjerovenúhlusklonunakloněnéroviny.Složkytétosíly
určíme z trojúhelníka znázorněného na obr.5.22c.
x
y
x
y
mg
mg
mgsinθ
mgcosθ
m
T
N
θ
θ
θ θ
bez
t
ření
kostka
(a)
(b)(c)
Obr.5.22 Příklady 5.8 a 5.9. (a) Kostka o hmotnostimupevněná
na vlákně spočívá v klidu na dokonale hladké nakloněné rovině.
(b)Silovýdiagramkostky.Všimněmesivolbysouřadnicovýchos.
(c) Určeníx-ovéay-ovésložkytíhové sílymg.
Rozepsánímvztahu (5.27) do složekdostaneme
summationdisplay
F
x
=T −mgsinθ = 0
a
summationdisplay
F
y
=N−mgcosθ = 0.
Paktedy
T =mgsinθ =(15kg)(9,8m·s
−2
)sin27
◦
=
= 67N. (Odpovědquoteright)
a
N =mgcosθ =(15kg)(9,8m·s
−2
)cos27
◦
=
= 131N
.
= 130N. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA7:Naobrázkupůsobínakostkuvodorovná
síla F. (a) Rozhodněte, zda průmět síly F do směru
kolmého ke svahu má velikost Fcosθ nebo Fsinθ.
(b) Dojde vlivem působení síly F ke zvýšení či ke
sníženívelikostinormálovétlakovésíly,jížpůsobísvah
nakostku?
F
θ
5.8 UŽITÍNEWTONOVÝCHZÁKONŮ 105
PŘÍKLAD5.9
Představmesi,žedojde kpřetnutí vlákna udržujícího kostku
naobr.5.22nanakloněnéroviněvklidu.Sjakýmzrychlením
sebude kostka pohybovat?
ŘEŠENÍ: Přetnutím vlákna zmizí síla T, vyznačená na
obr.5.22b. Zbývající síly působící na kostku se samozřejmě
nemohou vyrušit, nebotquoteright nepůsobí v téže přímce. Použitím
druhého Newtonova zákona pro x-ové složky sil N a mg
dostaneme
summationdisplay
F
x
= 0−mgsinθ =ma,
takže
a=−gsinθ. (5.28)
Uvědomme si, že normálová síla N nemá vliv na zrychlení
podélnakloněné roviny, nebotquoterightjejíx-ová složka je nulová.
Ze vztahu(5.28) vychází
a=−(9,8m·s
−2
)sin27
◦
=
=−4,4m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
Znaménkominus signalizuje,že zrychlení má směrklesající
souřadnicex,tedy dolů podélnakloněné roviny.
Z rov.(5.28) je vidět, že zrychlení kostky nezávisí na její
hmotnosti, stejně jako je tomu v případě zrychlení volně pa-
dajícího tělesa. Rov.(5.28) představuje návod, jak lze užít
nakloněnérovinyke„zmírněnígravitace“,tj.ke„zpomalení“
volného pádu. Proθ = 90
◦
dostávámea =−g,proθ = 0
◦
jea= 0. Oba tyto výsledky jsme očekávali.
PŘÍKLAD5.10
Naobr.5.23ajsoudvěkostkyspojenévláknemvedenýmpřes
nehmotnou kladku, která se otáčí bez tření. (Takové uspo-
řádání se nazývá Atwoodův padostroj.) Nechtquoteright m = 1,3kg
aM = 2,8kg.Určímevelikostsílynapínajícívláknoa(spo-
lečnou) velikostzrychlení kostek.
ŘEŠENÍ: Obr.5.23b,cpředstavujísilovédiagramyprokaž-
dou z kostek. Zadali jsme M>m, takže očekáváme, že
kostka M bude klesat, zatímco m bude stoupat. Tato infor-
mace umožní přiřadit zrychlením kostek správná znaménka.
Nežzačnemesvýpočtem,uvědommesi,žesílanapínající
vlákno musí být menší než tíhová síla působící na kostku
M (jinak by kostka nezačala klesat) a větší než tíhová síla
působícínakostkum(jinakbytatokostkanezačalastoupat).
Znázornění vektorů v silových diagramech na obr.5.23 tuto
skutečnostrespektuje.
yy
mg
Mg
m
Mm
M
TT
a −a
(a)
(b)(c)
Obr.5.23 Příklad5.10.(a)KostkaohmotnostiMakostkaomenší
hmotnosti m jsou spojeny vláknem vedeným přes kladku. Směry
zrychlení kostek jsou vyznačeny šipkami. Silové diagramy pro
kostkum(b)a kostkuM (c).
Užitím druhého Newtonova zákona pro kostku o hmot-
nosti m, jejíž zrych