hrw26

26
Kapacita
SrdeËnÌ p¯Ìhoda… BÏhem komorovÈ fibrilace, ËastÈho typu srdeËnÌho
z·chvatu, p¯estanou srdeËnÌ komory pumpovat krev, protoûe stahy a uvolnÏnÌ
jejich svalov˝ch vl·ken p¯estanou b˝t koordinov·ny. Pacienta vöak lze
zachr·nit, kdyû jeho srdeËnÌ sval dostane elektrick˝ öok. HrudnÌ dutinou
pacienta musÌ projÌt elektrick˝ proud asi 20 A a p¯enÈst p¯ibliûnÏ 200 J
elektrickÈ energie v pr˘bÏhu asi 2 ms. Tomu odpovÌd· kr·tkodob˝ elektrick˝
v˝kon kolem 100 kW. Tak vysok˝ p¯Ìkon m˘ûeme pomÏrnÏ snadno zajistit
v nemocnici, ale jak ho dos·hnout v p¯ÌpadÏ, ûe by n·s fibrilace p¯ekvapila
nap¯. p¯i cestov·nÌ? Na to urËitÏ nestaËÌ ani elektrick˝ systÈm automobilu,
ani pojÌzdnÈ ambulance, i kdyby byly po ruce.
26.2 KAPACITA 669
26.1 UŽITÍKONDENZÁTORŮ
Napnutímtětivyluku,nataženímpružiny,stlačenímplynu,
zvednutímknihyajinýmipodobnýmiúkonylzemechanic-
kouenergiiakumulovatveforměenergiepotenciální.Také
energii elektrického pole lze takto uchovat vkondenzáto-
rech.*
Kondenzátorjenapř.součástífotoblesku.Běhemrela-
tivně pomalého nabíjení se v kondenzátoru hromadí elek-
trickýnábojatímsevněmvytváříelektricképole.Konden-
zátoruchováváelektricképoleajehoenergiiaždospuštění
fotoblesku,kdy seelektrickáenergievelmi rychleuvolní.
Kondenzátorysloužívsoučasnémelektronickémami-
kroelektronickém světě všestranně, a to nejen jako záso-
bárny elektrické energie. Uvedquoterightme alespoň dva příklady za
mnohé. (1) Kondenzátory jsou regulačními prvky v obvo-
dechaladímejimirádiovéateleviznívysílačeipřijímače.
(2) Kondenzátory mikroskopických rozměrů tvoří pamě-
tquoterightové bloky počítačů.Tato drobounká zařízení jsou zde dů-
ležitá ani ne tak pro svou schopnost akumulovat energii,
jakoproposkytováníinformacetypuANO-NE(ON-OFF)
danoupřítomnostíčinepřítomnostínábojevkondenzátoru.
26.2 KAPACITA
Obr.26.1ukazujerůznákonkrétníprovedeníkondenzátorů.
Obr.26.1 Různé druhy kondenzátorů
Na obr.26.2 vidíme základní prvky každého kondenzáto-
ru: jsou to dva vodiče, zvanéelektrody, které jsou blízko
* Česká terminologie používá v blízkém významu slovo kapacitor.
Rozdílmezioběmapojmyspočívávtom,žekondenzátorpředstavuje
konkrétnífyzickousoučástku,zatímcokapacitorjeidealizovanýprvek,
unějžzanedbávámevedlejšíjevy(např.svod)auvažujemejenkapaci-
tu. Protože se nezabýváme elektrotechnikou hlouběji, nepotřebujeme
zatímrozlišovatmezireálnýmamodelovýmprvkem.Projednoduchost
budemeprotoužívatjenjediný,běžnějšítermín kondenzátor.
usebe,alepřitomjsouodsebeelektrickyizolovány(oddě-
leny).Někdysejimříká„desky“,atobezohledunajejich
skutečnýtvar.
+Q
−Q
Obr.26.2 Dvavodiče,zvanéelektrody,elektrickyizolovanéna-
vzájemodsebeiodsvéhookolí,tvoří kondenzátor.Je-likonden-
zátornabit,nesouelektrodynábojeQstejněvelké,aleopačných
znamének.
Obr.26.3aukazujevelmičastéuspořádánívodičů,kte-
rému říkáme deskový kondenzátor. Tvoří ho dva rovno-
běžné rovinné vodiče ve vzdálenosti d, každý o obsahu S.
Znak turnstilerightturnstileleft, kterým kondenzátor znázorňujeme ve schéma-
(a)
obsahS
Spodní plocha horní elek-
trody nese náboj +Q.
Vrchní plocha
spodní elektrody
nese náboj −Q.
d
objemV
(b)
S
+Q
−Q
siločáryelektrickéhopole
Obr.26.3 (a)Deskovýkondenzátortvořídvěrovinnéelektrody
ve vzdálenosti d, každá má obsah S. Na přilehlých plochách
nesoustejněvelkéelektrickénábojeQnavzájemopačnýchzna-
mének. (b) Elektrické pole v prostoru mezi elektrodami des-
kového kondenzátoru je homogenní. Taková pole zobrazujeme
rovnoběžnými a stejně hustými siločárami. Zakřivené siločáry
při okraji elektrodznázorňují nehomogenní elektrické pole.
670 KAPITOLA 26 KAPACITA
tech, je odvozen právě od tvaru deskového kondenzátoru;
užívásevšakprokondenzátoryvšechgeometrickýchtvarů.
Je-li kondenzátor nabitý, mají jeho elektrody stejně
velké náboje, avšak opačných znamének+Q a −Q. Mlu-
víme-litedyonábojiQkondenzátoru,rozumímetímabso-
lutníhodnotunábojejednézjehoelektrod,tedy|Q|,anikoli
celkovýnáboj,kterýjerovennule:(+Q)+(−Q) = 0.
Protožeelektrodykondenzátorujsouvodivé,jsoutudíž
i ekvipotenciálními plochami. Všechny body na téže elek-
trodě mají tedy stejnou hodnotu elektrického potenciálu.
Mezi oběma elektrodami nabitého kondenzátoru existuje
potenciálovýrozdílnebolinapětí.Neznáme-lipořadíelek-
trod, jepřirozenébráttentorozdíl (napětí)kladný.
Náboj Q a napětí U libovolného kondenzátoru jsou
navzájempřímo úměrné.Platí tedy
Q = CU. (26.1)
Součinitel úměrnosti C je pro libovolný kondenzátor kon-
stantníanazývásekapacitakondenzátoru,
C =
Q
U
. (26.2)
Hodnotakapacityjezávislápouzenageometriiobouelek-
trodkondenzátoru (na velikosti, tvaru a jejich vzájemné
vzdálenosti),nikolina náboji nebo na napětí na kondenzá-
toru,ajevždykladná.Čímvětší jekapacitakondenzátoru,
tím větší náboj musí být přenesen na jeho elektrody, aby-
chom na něm dosáhli požadovaného napětí U = Q/C.
Kapacita je číselně rovna náboji kondenzátoru při napětí
1V mezijehoelektrodami.
Z rov.(26.2) vyplývá, že jednotkou kapacity v mezi-
národnísoustavějednotek(SI) je C·V
−1
.Tato jednotkase
vyskytujevelmičasto,aprotodostalavlastnípojmenování
farad(značkaF):
1farad = 1coulomb navolt,
1F= 1C·V
−1
.
Faradje jednotka pro praxi příliš velká. Častěji proto
používáme jednotky menší, zvláště mikrofarad (1D1F =
= 10
−6
F),nanofarad(1nF = 10
−9
F)apikofarad(1pF =
= 10
−12
F).
Nabíjeníkondenzátoru
Chceme-li kondenzátor nabít, můžeme ho zapojit do elek-
trického obvodu se zdrojem stejnosměrného elektrického
napětí (např. s baterií). Elektrický obvodje cesta, kterou
může procházet elektrický náboj. Baterie je zařízení, ve
kterém probíhají určité elektrochemické reakce, které do-
dávajínajehovýstupnísvorkynábojeavytvářejítakmezi
nimielektrickénapětí.
Baterie B, spínač S, kondenzátor C a spojovací dráty
tvoří elektrický obvodna obr.26.4a. Tentýž obvodje zná-
zorněn jako schéma na obr.26.4b s použitím značek pro
baterii, spínač a kondenzátor. Předpokládejme, že baterie
udržujestálénapětíU mezisvýmisvorkami.Svorkusvyš-
ším potenciálem značíme „+“ a nazýváme ji kladný pól;
druhou svorkuznačíme„−“anazývámejizápornýpól.
(a)
B
S
C
VN
(b)
svorka+
svorka−
B
S
C
V
N
U
+
Obr.26.4 (a) Baterie B, spínač S a elektrody V a N konden-
zátoru tvoří elektrický obvod. (b) Schéma elektrického obvodu
sobvodovýmiprvky, které jsou reprezentovány svými symboly.
Obvodznázorněnýnaobr.26.4a,bneníuzavřený,pro-
tože spínač S je vypnutý, tj. nespojuje vodivě ty spojovací
dráty,kekterýmjepřipojen.Kdyžspínačzapneme,propojí
je, obvodse uzavře a spínačem i spojovacími dráty může
procházet elektrický náboj. V kap.22 jsme se dozvěděli,
že nosiče elektrického náboje, které mohou procházet ta-
kovým vodičem, jako je měděný drát, jsou elektrony. Je-li
obvodnaobr.26.4uzavřen,pakelektricképole(vytvořené
bateriípodélvodičů)přinutíelektronypohybovatsetěmito
vodiči od elektrody V kondenzátoru ke kladné svorce ba-
terie;tím seelektrodaV,ztrácejícíelektrony,nabíjí kladně
(tj. bude mít vyšší potenciál).Zároveň toto elektricképole
nutí elektrony pohybovat se ze záporné svorky baterie na
elektrodu N kondenzátoru; tím se elektroda N, získávající
elektrony,nabíjízáporně(nanižšípotenciál).Oběelektrody
kondenzátoru se těmito procesy nabíjejí současně, takže
v každém okamžiku mají stejně velké náboje opačných
znamének.
Napětímezipůvodněnenabitýmielektrodamikonden-
zátorubylonulové.Protožeseelektrodykondenzátoruna-
bíjejíopačnýmináboji,napětímezinimivzrůstá,dokudse
26.3 VÝPOČET KAPACITY 671
nevyrovná s napětím U mezi svorkami baterie. Když se
napětí vyrovnají, mají elektroda V a kladná svorka bate-
rie stejný potenciál; elektrické pole ve spojovacím drátu
mezi nimi vymizí. Podobně elektroda N a záporná svorka
mají také stejný potenciál a elektrické pole v drátu, který
jespojuje,vymizí.Svymizenímelektrickéhopolezanikne
i síla, která uváděla elektrony do pohybu. V tomto stavu
je kondenzátornabit a jeho napětí U je rovno napětí bate-
rieBpředsepnutímspínačeS.Elektrickýnáboj Qjeurčen
rov.(26.1).
RADYANÁMĚTY
Bod26.1:Napětíapotenciál
V této knize i jinde se rovněž setkáme s různými výrazy
vztahujícími se k pojmům „potenciál“ a „rozdíl potenciálů“
neboli„napětí“.Potenciálsevždyvztahujepouzekjednomu
bodu, přitom však musí být z kontextu jasné, kde jsme zvo-
lili hladinu nulového potenciálu. Napětím neboli rozdílem
potenciálů rozumíme rozdíl hodnot potenciálu mezi dvěma
danými body, přičemž potenciál jednoho z nich může být
určenpředběžnoudohodou(např.vpřístroji„nulovývodič“,
„uzemnění“,„kostra přístroje“ apod.)
Taknapř.výrok„kondenzátorjenabitna5V“znamená,že
napětí mezi jeho elektrodami je 5V. Baterie může být cha-
rakterizována napětím, např. jako „9V baterie“. Elektrická
sítquoteright v automobilu má 12V (rozumí se vůči kovové kostře
vozidla) atp.
K
ONTROLA1:CosestaneskapacitouC kondenzátoru,
když se (a) náboj Q kondenzátoru zdvojnásobí, nebo
(b) napětí U na kondenzátoru ztrojnásobí? Stoupne
kapacitakondenzátoru,klesne,čizůstanenezměněna?
26.3 VÝPOČETKAPACITY
Mámevypočítatkapacitukondenzátoru,známe-lijehotvar
a rozměry. Protože kondenzátory mohou mít nejrůznější
provedení i velikost, uvedeme nejprve obecný postup pro
výpočet: (1) předpokládáme, že na kondenzátoru je ná-
boj Q; (2) pomocí Gaussova zákona elektrostatiky určíme
intenzitu E elektrického pole mezi elektrodami kondenzá-
toru a vyjádříme ji pomocí náboje Q; (3) známe-li E, mů-
žeme vypočítat napětí U mezi elektrodami kondenzátoru
podlerov.(25.18); (4) vypočítámeC zrov.(26.2).
Výpočet jak intenzity elektrického pole, tak i napětí
můžeme zpravidla zjednodušit přijetím vhodných předpo-
kladů,odpovídajícíchkonkrétnísituaci.
Výpočetintenzityelektrickéhopole
Intenzita E elektrického pole mezi elektrodami kondenzá-
toru souvisí s nábojem Q kondenzátoru podle Gaussova
zákonaelektrostatikyvztahem
ε
0
contintegraldisplay
E·dS = Q, (26.3)
kdeQjecelkovýnábojuvnitř(uzavřené)Gaussovyplochy
a
contintegraltext
E·dS jetokintenzityelektrickéhopoletouto plochou.
Jsou-livektory E adS rovnoběžnéaje-liGaussovaplocha
volena tak, že na ní má intenzita E konstantní velikost E,
pakserov.(26.3)redukujenatvar
Q = ε
0
ES (zvl. případrov.(26.3)). (26.4)
Veličina S v rov.(26.4) je obsah té části Gaussovy plo-
chy,kterouprocházívektorintenzityelektrickéhopole.Pro
zjednodušení výpočtu budeme volit Gaussovu plochu tak,
abyzcelaobklopilanábojkladněnabitéelektrodykonden-
zátoru; viz obr.26.5 jako příklad. (Připomeňme z čl.24.1,
žeGaussovaplochajevždyuzavřená.)
S
d
++++++++++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Q
−Q
Gaussova
plocha
integrační
cesta
Obr.26.5 Nabitý deskový kondenzátor. Gaussova plocha zcela
obklopuje náboj kladně nabité elektrody. V rov.(26.6) se in-
tegruje podél trajektorie vedoucí nejkratší cestou mezi oběma
elektrodami.
Výpočetnapětí
V kap.25 je uvedena rov.(25.18), podle které napětí mezi
elektrodami kondenzátoru souvisí s vektorem intenzity E
elektrickéhopolevztahem
ϕ
f
−ϕ
i
=−
integraldisplay
f
i
E·ds, (26.5)
v němž integrační cesta musí začínat na jedné a končit
nadruhéelektroděkondenzátoru;jinakjelibovolná.Vybe-
remetakovouintegračnícestu,kterábudesledovatněkterou
elektrickou siločáru začínající na kladně nabité elektrodě
a končící na záporné. Na takové cestě mají vektory inten-
zityE aposunutídsvkaždémboděstejnýsměriorientaci,
takže skalární součin E · ds je roven součinu Eds.Podle
rov.(26.5) je veličina ϕ
f
− ϕ
i
záporná. Jelikož hledáme
672 KAPITOLA 26 KAPACITA
absolutní hodnotu napětí U mezi elektrodami, napíšeme
ϕ
f
−ϕ
i
=−U.Takto serov.(26.5)upravínatvar
U =
integraldisplay
(−)
(+)
Eds (zvl. případrov.(26.5)). (26.6)
Integračními mezemi v rov.(26.6) jsou znaky (+) a (−),
kterénámpřipomínají,žeintegračnícestazačínánakladně
nabitéakončínazáporněnabitéelektrodě.
Nyní můžeme použít rov.(26.4) a (26.6) na několik
konkrétníchpřípadů.
Deskovýkondenzátor
Budeme předpokládat, že elektrody deskového kondenzá-
torujsoutakvelkéatakblízkousebe,želzezanedbatroz-
ptyl elektrického pole na jejich okrajích (obr.26.5). Před-
pokládáme tedy, že vektor intenzity E je konstantní (co do
velikostiisměru)vcelémprostorumezielektrodami;všude
jindenechtquoterightjerovennule.
PředstavmesiGaussovuplochu,obklopujícípouzená-
boj Q kladně nabité elektrody kondenzátoru (obr.26.5).
Podle rov.(26.4)můžemenapsat
Q = ε
0
ES, (26.7)
kde S jeobsahplochyelektrody.
Rov.(26.6) vedek výsledku
U =
integraldisplay
(−)
(+)
Eds = E
integraldisplay
d
0
ds = Ed. (26.8)
Vrov.(26.8)lzevytknoutpředintegrálvelikostintenzity E,
protože je konstantní; takto zjednodušený integrál pak vy-
jadřuje vzdálenost d elektrod.