hrw26

Dosadíme-li Q z rov.(26.7)
aU zrov.(26.8)do rov.(26.2),dostaneme
C =
ε
0
S
d
(deskový kondenzátor). (26.9)
Vidíme, že kapacita C deskového kondenzátoru skutečně
závisí pouze na jeho geometrických parametrech, kon-
krétněnaobsahuplochyS elektrodanavzdálenosti d mezi
nimi. Všimněme si, že kapacita C vzrůstá se zvětšováním
S asezmenšovánímd.
Dodejme, že v důsledku volby konstanty v Coulom-
bově zákonu ve tvaru 1/(4D4ε
0
) vychází často používaný
vzorec (26.9) v jednoduchém tvaru. Dále poznamenejme,
že rov.(26.9) nám dovoluje vyjádřit permitivitu vakua ε
0
vjednotkáchvhodnějšíchproúlohyokondenzátorech,totiž
ε
0
.
= 8,85·10
−12
F·m
−1
= 8,85pF·m
−1
. (26.10)
Tuto konstantu jsme v úlohách týkajících se Coulombova
zákona(čl.22.4)vyjadřovaliv jinýchjednotkách,a to
ε
0
.
= 8,85·10
−12
C
2
·N
−1
·m
−2
. (26.11)
V základníchjednotkách SI je vyjádření jednotky permiti-
vityε
0
málopřehledné:ε
0
.
= 8,85·10
−12
kg
−1
·m
−3
·s
4
·A
2
.
Válcovýkondenzátor
Obr.26.6 ukazuje příčný řez válcovým kondenzátorem
délkyL,jehožvnitřníelektrodamátvarválceopoloměrua
avnějšíelektrodutvořísouosýdutýválecovnitřnímpolo-
měrub.
a
b
r
integrační
cesta
celkovýnáboj+Q
celkovýnáboj−Q
Gaussova
plocha
+ −
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
Obr.26.6 Příčný řez dlouhým válcovým kondenzátorem uka-
zujeválcovouGaussovuplochupoloměrur aradiálníintegrační
cestu pro výpočet integrálu v rov.(26.6). Týž obrázek zároveň
poslouží k ilustraci příčného řezu vedeného středem kulového
kondenzátoru.
Předpokládejme,žeL greatermuch b,takželzezanedbatrozptyl
elektrickéhopole,kekterémudocházínakoncíchelektrod.
Obě elektrody kondenzátoru nesou stejně velké elektrické
nábojeQopačnýchznamének.
ZvolmeGaussovuplochuvetvarusouoséválcovéplo-
chydélkyLopoloměrur,uzavřenouzoboustranzáklad-
nami a umístěnou tak, jak je znázorněno na obr.26.6. Pak
podlerov.(26.4)platí
Q = ε
0
ES = ε
0
E(2D4rL),
kde 2D4rLje obsah pláště válce. Elektrický tok oběma zá-
kladnami zvolené Gaussovy plochy je nulový. Z této rov-
nicedostaneme
E =
Q
2D4ε
0
Lr
. (26.12)
Dosazenímtohotovýsledkudo rov.(26.6) obdržíme
U =
integraldisplay
(−)
(+)
Eds =
Q
2D4ε
0
L
integraldisplay
b
a
dr
r
=
=
Q
2D4ε
0
L
ln
b
a
. (26.13)
26.3 VÝPOČET KAPACITY 673
Přiúpravějsmevyužilitoho,ževtomtopřípaděplatíds =
= dr.Pomocí vztahuC = Q/U určímekapacitu
C = 2D4ε
0
L
ln(b/a)
(válcový kondenzátor). (26.14)
Kapacitaválcovéhokondenzátoru(stejnějakodeskového)
tedy závisí pouze na geometrických parametrech, v tomto
případě konkrétně na poloměrech a, b a na délce L válco-
výchelektrod.
Kulovýkondenzátor
Obr.26.6 můžeposloužittakéjako příčný řezvedenýstře-
dem kulového kondenzátoru, skládajícího se z plné koule
poloměru a a s ní soustředné kulové vrstvy o vnitřním
poloměrub>a.
Gaussova plocha má tvar soustředné kulové plochy
poloměru r,kdeaR),je
dE
el
= w
el
(4D4r
2
)dr, (26.26)
kde w
el
je hustota energie a výraz 4D4r
2
dr je objem kulové
vrstvy.Dosadíme-lirov.(26.24)dorov.(26.26)azaměníme-li
R zar vrov.(26.24), dostaneme
dE
el
=
Q
2
8D4ε
0
dr
r
2
. (26.27)
Dosazenímrov.(26.27)dorov.(26.25)dostanemepozjedno-
dušení
integraldisplay
R
0
R
dr
r
2
=
1
2
integraldisplay
∞
R
dr
r
2
,
cožpo integraci dává
1
R
−
1
R
0
=
1
2R
.
Odtud
R
0
= 2R = 2(6,85cm) = 13,7cm. (Odpovědquoteright)
Polovinaelektrickéenergiejetedyobsaženauvnitřkulové
plochy, jejíž poloměr R
0
je dvojnásobkem poloměru nabité
vodivé koule.
26.6 KONDENZÁTORSDIELEKTRIKEM
Co se však stane s kapacitou kondenzátoru, jestliže vy-
plníme prostor mezi jeho elektrodami dielektrikem,tedy
izolačním(elektrickynevodivým)materiálem,např.mine-
rálnímolejemneboplastickouhmotou?Tímtoproblémem
se poprvé zabýval Michael Faraday v r. 1837. Faraday má
hlavnízásluhunazavedenípojmukapacita,aprotoponěm
byla jednotka kapacity v SI pojmenována. Užitím jedno-
duchýchzařízenívelicepodobnýchtěm,kterájsouznázor-
něnanaobr.26.11,zjistil,žedielektrikalzecharakterizovat
veličinou ε
r
, kterou nazval dielektrická konstanta a kterou
nynínazývámerelativnípermitivita.Relativnípermitivita
Obr.26.11 Jednoduché elektrostatické přístroje používané Fa-
radayem. Složený přístroj (druhý zleva) se skládá z vnitřní
mosazné koule a z vnější soustředné mosazné kulové vrstvy.
Do prostoru mezi kouli a kulovou vrstvu vložil Faraday vrstvu
dielektrika.
udává,kolikrátvzrostekapacitakondenzátoru,vyplníme-li
prostormezijehoelektrodamizkoumanýmizolátorem.(Pro
vakuum plyne z definice ε
r
= 1, pro vzduch je nepatrně
680 KAPITOLA 26 KAPACITA
vyšší.)Vtab.26.1jsouuvedenaněkterádielektrikaajejich
relativnípermitivity.
Tabulka 26.1 Některévlastnostidielektrik
a
MATERIÁL ε
r
E
max
kV·mm
−1
vzduch
b
1,00054 3
polystyren 2,6 24
papír 3,5 16
transformátorový olej 4,5
pyrex (varné sklo) 4,7 14
slída 5,4
porcelán 6,5
křemík 12
germanium 16
ethanol 25
voda (20
◦
C) 80,4
voda (25
◦
C) 78,5
titanová keramika 130
titaničitan strontnatý 310 8
Pro vakuum je ε
r
= 1.
a
měřeno při20
◦
C, není-liuvedenojinak
b
za normálníchpodmínek
Jinou veličinou, která charakterizuje dielektrikum, je
průraznénapětí.Jetopřidanétlouštquoterightcedielektrikanejnižší
napětí, při němž nastane elektrický průraz dielektrika. Při
průrazusevytvořívdielektrikuvodivádráhamezielektro-
dami, dielektrikum ztrácí své izolační vlastnosti, poškodí
se.Každé dielektrikum má charakteristickoudielektrickou
pevnost;tajerovnamaximálníintenzitěE
max
elektrického
pole,přinížještěkprůrazunedojde.Několiktěchtohodnot
jeuvedenov tab.26.1.
Jak jsme uvedli v souvislosti s rov.(26.18), může být
kapacitakaždéhokondenzátoruzapsánavetvaru
C = ε
0
L, (26.28)
kdeLmározměrdélky.Např.vpřípadědeskovéhokonden-
zátorujeL = S/d.UžFaradayzjistil,žeprokondenzátor,
který má prostor mezi elektrodamizcelavyplněný dielek-
trikem,lzerov.(26.28) upravitnatvar
C = ε
r
ε
0
L = ε
r
C
0
, (26.29)
kde C
0
je kapacita kondenzátoru bez dielektrika, tj. s va-
kuemmezielektrodami(anebo,pronepřílišnáročnáměře-
ní, se vzduchem). Veličina ε = ε
r
ε
0
se nazývá (absolutní)
permitivita.
Obr.26.12 poskytuje představu o Faradayových expe-
rimentech.Podleobr.26.12abaterieudržujekonstantnína-
pětí U mezi elektrodami kondenzátoru. Faraday objevil,
(a)
B
B
++++++++
−−−−−−−−
++++
++++++++
−−−−
−−−−−−−−
U =konst.
ε
r
(b)
0
0
V
V
ε
r
Q=konst.
Obr.26.12 (a) Je-li mezi elektrodami kondenzátoru udržováno
konstantní napětí (např.pomocí baterie), pak vlivem vloženého
dielektrika vzroste náboj na elektrodách.(b) Jestliže na elektro-
dáchkondenzátoru zůstává nezměněnýnáboj,pakdielektrikum
vložené mezi elektrody způsobí pokles napětí mezi nimi. Tento
poklesnapětívidímenastupnicielektrometru(elektrostatického
voltmetru),kterýmmůžememěřitnapětí,anižjímprocházíproud
(tj. aniž se elektrický náboj mezi měřenými místy přesunuje).
Kondenzátor se tedy nemůžepřes takový elektrometr vybít.
že je-li mezi elektrody kondenzátoru vložena deska di-
elektrika, pak náboj Q vzroste ε
r
-krát a baterie dodá na
elektrody kondenzátoru další náboj. V situaci znázorněné
na obr.26.12b však baterie připojena není a náboj Q se
tedynezmění.Je-linynívloženadielektrickádeska,pakna-
pětíU mezielektrodamikondenzátoruklesneε
r
-krát.Obě
tato pozorování (vzhledem k platnosti vztahu Q = CU)
potvrzují závěr, že vložením dielektrika vzroste kapacita
kondenzátoru.
Porovnání rov.(26.28) a (26.29) ukazuje, že vliv di-
elektrika můžeme zahrnout do našich dosavadních rovnic
obecněji:
Vprostoruzcelavyplněnémdielektrikemsrelativníper-
mitivitouε
r
platíinadálevšechnyrovniceelektrostatiky
vakua,pokudvýraz ε
0
nahradímevýrazemε
0
ε
r
.
Bodový náboj vložený do (rozlehlého) dielektrika v něm
tedyvytváříelektricképole,jehožintenzitamávelikost
E =
1
4D4ε
r
ε
0
Q
r
2
. (26.30)
Vztah pro intenzitu elektrického pole těsně nadpovr-
chem osamoceného vodiče umístěného v dielektriku (viz
rov.(24.11))pakzní
E =
σ
ε
r
ε
0
. (26.31)
26.7 DIELEKTRIKA 681
Obatytovztahyukazují,žepřineměnnémrozloženínábojů
jeúčinekdielektrikatakový,žezmenšujeintenzituelektric-
kého pole v porovnání s vakuem. Mohli bychom říci, že
dielektrikum vložené mezi náboje částečně odstíní jejich
vzájemnésilovépůsobení.
PŘÍKLAD26.7
Deskový kondenzátor s kapacitou C = 13,5pFjenabitna
napětí U = 12,5V. Odpojíme baterii a mezi jeho elektrody
zasunemeporcelánovoudesku(ε
r
= 6,50).Jakájeelektrická
energie kondenzátoru před vsunutím desky a po něm?
ŘEŠENÍ: Počátečníelektrickáenergiejevyjádřenavztahem
(26.22), tedy
E
el,i
=
1
2
CU
2
=
1
2
(13,5·10
−12
F)(12,5V)
2
=
= 1,055·10
−9
J = 1055pJ. (Odpovědquoteright)
Tutoveličinumůžemepodlerov.(26.21)vyjádřittéžvetvaru
E
el,i
=
Q
2
2C
.
Tento vztah je v této situaci zvláště vhodný, protože podle
zadání zůstává po vložení desky konstantní Q (a nikoli U).
Protože kapacita C vzroste po vložení desky ε
r
-krát,je
E
el,f
=
Q
2
2ε
r
C
=
E
el,i
ε
r
=
(1055pJ)
(6,50)
=
= 162pJ. (Odpovědquoteright)
Energie kondenzátoru se tedy po vsunutí desky zmenší
ε
r
-krát.Poklesenergiejevyvolántím,žesečástenergiespo-
třebovala na práci spojenou se zasunutím desky. Elektrické
pole kondenzátoru vtahuje desku mezi elektrody kondenzá-
toru a vykoná přitom práci
W = E
el,i
−E
el,f
= (1055−162)pJ = 893pJ.
Jestližebysenapř.deskamohlaposouvatmezielektrodamibez
jakéhokoliodporuabeztření,kmitalabytamazpět,jakbybylavta-
hována do prostoru mezi elektrodami kondenzátorua setrvačností
vždypřekmitemvystoupiladruhoustranouven.Mechanickáener-
gie kmitů 893pJ by se zachovávala. Kinetická energie pohybující
sedeskybysestáleměnilanaenergiielektrickéhopoleaobráceně.
K
ONTROLA 5: Jaký důsledek bude mít vložení desky
pro níže uvedené veličiny, jestliže baterie v př.26.7
zůstane zapojena: zvětší se, zmenší, či zůstane beze
změny hodnota (a) napětí na elektrodách kondenzáto-
ru,(b)kapacitykondenzátoru,(c)nábojekondenzátoru,
(d)elektrickéenergiekondenzátoru,(e)intenzityelek-
trickéhopolemezielektrodami?(Tip:Proodpovědquoteright(e)
vezmětevúvahu,ženábojnakondenzátorunezůstává
konstantní.)
26.7 DIELEKTRIKA
Co probíhá v dielektriku z hlediska atomové a moleku-
lové struktury, vložíme-li ho do vnějšího elektrického po-
le? Podle typu molekul, které ho tvoří, mohou nastat dvě
situace:
1. Polární dielektrika. Molekuly některých dielektrik,
např. vody, mají stálé (permanentní) elektrické dipólové
momenty. V takových materiálech (zvaných polární di-
elektrika) se elektrické dipóly natáčejí do směru vnějšího
elektrickéhopole,jakjeznázorněnonaobr.26.13.Protože
se však molekuly nepřetržitě navzájem srážejí v důsledku
svého nahodilého tepelného pohybu, nejsou uspořádány
úplně (orientace elektrických dipólů ne zcela souhlasí se
směrempole).Přitomjeorientacetímúplnější,čímvětšíje
intenzita působícího pole a čím nižší je teplota dielektrika
(a)(b)
p
E
0
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+–
+
–
+
–
+
–
+
–
Obr.26.13 (a)Molekulysestálýmelektrickýmdipólovýmmomentemmajínáhodnouorientacielektrickýchdipólů,nenachází-lise
dielektrikumvevnějšímelektrickémpoli.(b)Nacházejí-lisemolekulyvelektrickémpoli,docházíkčástečnémuuspořádánídipólů.
Neuspořádaný (tepelný) pohyb bráníúplnému uspořádání.
682 KAPITOLA 26 KAPACITA
(atudížiintenzitasrážekmolekul).Uspořádánímelektric-
kých dipólů se vytváří elektrické pole, které má opačnou
orientaci než přiložené vnější pole, a má menší intenzitu
nežpolevnější.
2. Nepolární dielektrika. Nezávisle na tom, zda mají, či
nemají permanentní dipólové momenty, získávají mole-
kuly umístěné do vnějšího elektrického pole indukované
dipólové momenty. V čl.25.7 (obr.25.12) jsme viděli,
že se vnější pole projeví „protažením“ molekuly, oddá-
lením středů oblastí kladného a záporného náboje v mo-
lekule. Tyto indukované momenty jsou však ve srovnání
s vlastními dipólovými momenty o několik řádů menší
(≈ 10
−35
C·m); atomy a molekuly se významněji defor-
mují ažvevelmisilnýchelektrickýchpolích.
Na obr.26.14a je deska z nepolárního dielektrika. Na
obr.26.14bnatutodeskupůsobívnějšíelektricképolekon-
denzátoruointenzitě E
0
,spolaritouvyznačenounaobráz-
ku.VlivempoleE
0
setrochuoddálístředyoblastíkladných
azápornýchnábojůvatomech(molekulách)dielektrika;to
seprojevívznikemkladnéhopovrchovéhonábojenajedné
stranědeskyazápornéhonastraněopačné.Deskutakmů-
žemep