hrw26

ovažovatzavelkýmakroskopickýdipól.Deskajako
celekvšakzůstáváelektrickyneutrální,nebotquoterightuvnitřdesky
nepřevládánábojanikladného,anizápornéhoznaménkave
kterémkoli objemovém elementu obsahujícím dostatečný
početmolekul.
Zobr.26.14cvidíme,žeindukovanýpovrchový náboj
načelníchplocháchdeskyvytváří elektricképole E
prime
,které
je orientováno opačně než přiložené vnější pole E
0
.Vý-
slednépoleE uvnitřdielektrika(E =E
0
+E
prime
)másměrpole
E
0
, ale je slabší (má menší velikost intenzity než vnější
pole,Ea,L greatermuch b.)Kapacitaválcového
kondenzátoru je
C =
2D4ε
0
L
ln(b/a)
.(26.14)
Kulovýkondenzátor je tvořen dvěma elektrodami ve tvaru
soustředných kulových ploch, z nichž vnitřní má poloměr a
avnější b (b>a).Kapacita kulového kondenzátoru je
C = 4D4ε
0
ab
b−a
.(26.17)
Jestliže v rov.(26.17) b →∞a současně položíme a = R, ob-
držímevztahprokapacituosamocenévodivékoulepoloměruR:
C = 4D4ε
0
R. (26.18)
Paralelně a sériově spojené kondenzátory
VýslednákapacitaC
p
,resp.C
s
paralelního,resp.sériovéhospo-
jeníkondenzátorů je
C
p
=
n
summationdisplay
j=1
C
j
(n kondenzátorůspojenýchparalelně),(26.19)
resp.
1
C
s
=
n
summationdisplay
j=1
1
C
j
(n kondenzátorůspojenýchsériově).(26.20)
Tytovzorcemůžemepoužítikvýpočtukapacitkomplikovaněj-
ších sériově-paralelních spojení.
Elektrická energie a hustota energie elektrického pole
ElektrickáenergieE
el
nabitého kondenzátoru je
E
el
=
Q
2
2C
=
1
2
CU
2
.(26.21,26.22)
Je rovna práci potřebné k nabití kondenzátoru. Tato energie je
uložena v elektrickém poli kondenzátoru. Hustota energie w
el
elektrického pole je vyjádřena vztahem
w
el
=
E
el
V
=
1
2
ε
0
E
2
,(26.23)
kde V je objem oblasti, vníž je elektrické pole o intenzitě E.
Kapacita kondenzátorus dielektrikem
Jestližejeprostormezielektrodamikondenzátoruzcelavyplněn
dielektrikem, zvětší se jeho kapacita ε
r
-krát, kde ε
r
je relativní
permitivita charakterizující materiál (dielektrikum). V prostoru
zcelavyplněném dielektrikemmusímevevšechrovnicíchelek-
trostatiky nahradit veličinu ε
0
výrazemε
r
ε
0
.
Procesům probíhajícím v dielektriku nacházejícím se ve
vnějším elektrickém poli můžeme fyzikálně porozumět na zá-
kladěvýkladuopůsobeníelektrickéhopolenapermanentnínebo
na indukovaný elektrický dipól v dielektriku. Jako výsledek to-
hoto působení se objeví indukované náboje na povrchu dielek-
trika,cožvedektomu,žeintenzitavýslednéhoelektrickéhopole
v dielektriku je menší nežintenzita vnějšího elektrického pole.
Gaussův zákon elektrostatiky v dielektriku
ZapřítomnostidielektrikamáGaussůvzákonelektrostatikytvar
ε
0
contintegraldisplay
ε
r
E·dS = Q, (26.38)
resp.
contintegraldisplay
D·dS = Q,
kde DjeelektrickáindukceaQjevolnýnábojuvnitřGaussovy
plochy.Vlivindukovanéhopovrchovéhonábojejevyjádřenrela-
tivnípermitivitouε
r
,kterájezahrnutadointegráluvrov.(26.38).
686 KAPITOLA 26 KAPACITA
OTÁZKY
1. Grafy na obr.26.17 vyjadřují závislost náboje na napětí u tří
deskovýchkondenzátorů.Velikostiplochelektrodajejichvzdá-
lenosti jsou uvedeny v tabulce. Ke každému grafu z obr.26.17
přiřadquoterightte odpovídající kondenzátor podle tabulky.
KONDENZÁTOR PLOCHA VZDÁLENOST
1 Sd
22
3 S 2d
a
b
c
Q
U
Obr.26.17 Otázka1
2. Obr.26.18 ukazuje příčný řez osamocenou plnou kovovou
koulí A o poloměru R a dvěma kulovými kondenzátory B a C
svnitřnímipoloměryRavnějšímipoloměry2R.Vnitřníkulová
elektroda kondenzátoru B je kulová plocha, zatímcovnitřní ku-
lováelektrodakondenzátoruCjeplnákoule.SeřadquoterightteobjektyA,
B aC sestupně podle velikosti jejichkapacit.
ABC
Obr.26.18 Otázka2
3. Rozhodněte, zda kapacita deskového kondenzátoru vzroste,
klesne,nebosenezmění,kdyžmezielektrodykondenzátoruvsu-
neme plochou velmi tenkou aluminiovou fólii tak, že (a) fólie
je vodivě spojena s jednou elektrodou, (b) fólie je od elektrod
izolována. (Tip: Včásti (b) uvažujte výslednou kapacitu.)
4. Jsou v elektrických obvodech znázorněných na obr.26.19,
kondenzátoryspojenysériově,paralelně,nebojinýmzpůsobem?
(a)(b)(c)
Obr.26.19 Otázka4
5. Dva kondenzátory jsou připojeny k baterii: (a) Při kterém
spojení kondenzátorů (paralelním, nebo sériovém) je napětí na
obou kondenzátorech stejné a rovno napětí na ekvivalentním
kondenzátoru?(b)Přikterékombinacikondenzátorůjenábojna
oboukondenzátorechstejnýarovennábojinajejichekvivalent-
ním kondenzátoru?
6. (a) Jsou kondenzátory C
1
a C
3
na obr.26.20a spojeny do
série? (b) Jsou kondenzátory C
1
a C
2
na tomtéž obrázku spo-
jenyparalelně?(c)Čtyřielektrickéobvodynaobr.26.20seřadquoterightte
sestupně podle velikosti výsledné kapacity.
(a)
C
1
C
2
C
3
(b)
C
1
C
2
C
3
(c)
C
1
C
2
C
3
(d)
C
1
C
2
C
3
Obr.26.20 Otázka6
7. Vypočítejte výslednou kapacitu tří kondenzátorů o stejných
kapacitách C, jsou-li spojeny (a) sériově, (b) paralelně. (c) Při
kterém spojení těchto kondenzátorů bude na jejich ekvivalent-
ním kondenzátoru větší náboj?
8. KondenzátoryokapacitáchC
1
aC
2
(C
1
>C
2
)jsoupřipojeny
kbaterii,nejprvejednotlivě,potomsériověanakonecparalelně.
Seřadquoterightte tato spojení sestupně podle velikosti náboje na nich
uloženého.
9. (a)Je vpř.26.3 napětínakondenzátoru C
2
vesrovnání sna-
pětím na kondenzátoru C
1
větší, menší, nebo je stejné? (b) Je
nábojkondenzátoruC
2
vesrovnánísnábojemkondenzátoruC
1
větší, menší, nebo stejný?
10. K baterii byl nejprve připojen kondenzátor C
1
, potom byl
kněmuparalelněpřipojenkondenzátorC
2
.(a)Jenapětínakon-
denzátoru C
1
po této změněvětší, menší, či stejně velké? (b) Je
náboj Q
1
na kondenzátoru C
1
po této změně větší, menší, či
zůstal stejně velký? (c) Je kapacita C
12
paralelně spojených
kondenzátorů C
1
a C
2
větší, menší, či stejně velká ve srovnání
skapacitouC
1
?(d)Jecelkovýnábojakumulovanýkondenzátory
C
1
aC
2
větší,menší,čistejněvelkývesrovnánísnábojem,který
mělkondenzátor C
1
předpřipojením kondenzátoru C
2
?
11. Řešteotázku10propřípad,žekondenzátorC
2
bylpřipojen
ke kondenzátoru C
1
sériově.
12. Vpř.26.4 zvětšíme kapacitu C
2
.Zjistěte, cosestane sníže
uvedenými veličinami: zvětší se, zmenší se, či zůstanou beze
změny?(a)Výslednénapětínakaždémzkondenzátorů,(b)část
celkového náboje Q uložená na kondenzátoru C
1
, (c) část cel-
kového náboje Quložená na kondenzátoru C
2
.
CVIČENÍ & ÚLOHY 687
13. Na obr.26.21 jsou tři obvody, z nichž každý obsahuje spí-
nač a dva kondenzátory, které jsou na počátku nabité tak, jak
je znázorněno. Ve kterém z těchto obvodů náboj na levém kon-
denzátorupo sepnutí spínače (a)vzroste, (b)klesne, (c)zůstane
bezezměny?
(1)
2CC
6Q 3Q
(2)
C3C
6Q 3Q
(3)
2C 2C
6Q 3Q
Obr.26.21 Otázka13
14. DvěosamocenékovovékouleAaBmajípoloměryR a2R
ajsounabitéstejněvelkýmináboji.Porovnejtevelikostinásledu-
jících veličin: (a) kapacity koulí, (b) objemové hustoty energie
v blízkosti povrchů vně koulí, (c) hustoty energie ve vzdále-
nosti 3R od středu koulí, (d) celkové energie elektrických polí
vytvořených nabitými koulemi.
15. Olejový deskový kondenzátor má mít kapacitu C amábýt
bezpečně funkční až do napětí U
m
. Nebyl však navržen dobře
a občas dochází k průrazu. Jak máme návrh změnit, aby s týmž
olejem byl plně funkční při stejných hodnotách U
m
a C?
16. Deska dielektrika je vsunuta mezi elektrody jednoho ze
dvou stejných kondenzátorů (obr.26.22). Rozhodněte, zda se
hodnoty níže uvedených veličin tohoto kondenzátoru zvětší,
zmenší, či zda se nezmění: (a) kapacity, (b) náboje, (c) napě-
tí, (d) elektrické energie. (e) Jak budou znít odpovědi na tytéž
otázky pro druhý kondenzátor?
C
C
B
ε
r
Obr.26.22 Otázka16
CVIČENÍ&ÚLOHY
ODST.26.2 Kapacita
1C. Elektrometr je zařízení na měření statického náboje. Je to
vlastně kondenzátor, na jehož elektrody přeneseme náboj ne-
známé velikosti a přečteme napětí. Jakou minimální hodnotu
náboje můžeme změřit elektrometrem o kapacitě 50pF a napě-
tquoterightové citlivosti 0,15V?
2C. Kovová pilka a klíč (obr.26.23) nesou náboje +70pC
Obr.26.23 Cvičení2
a−70pC,kterémezinimivyvolávajínapětí20V.(a)Jakájeka-
pacitasystémutěchtodvoupředmětů?(b)Cosestaneskapacitou
systému, změní-li se hodnoty nábojů na +200pC a −200pC?
(c)Jak se změnínapětí?
3C. Kondenzátornaobr.26.24mákapacitu25D1Fajenenabitý.
C
S
Obr.26.24 Cvičení3
Baterieposkytujenapětí120V.Jakvelkýelektrickýnábojprojde
spínačem Spo jeho zapnutí?
ODST.26.3 Výpočetkapacity
4C. Vyjádříme-li ε
0
z rov.(26.9), zjistíme, že v mezinárodní
soustavějednotek(SI)jejednotkoutétoveličinyF·m
−1
.Dokaž-
te, že tato jednotka je ekvivalentní jednotce, kterou jsme pro ε
0
uvedli dříve, tj. jednotceC
2
·N
−1
·m
−2
.
5C. Deskový kondenzátor máelektrody kruhového tvaruo po-
loměru 8,2cm vzdálené od sebe 1,3mm. (a) Vypočítejte jeho
kapacitu. (b) Jak velký náboj se objeví na elektrodách, když na
kondenzátor vložíme napětí 120V?
6C. Máme k dispozici dvě ploché kovové desky, každá má ob-
sah 1,00m
2
. Máme z nich zkonstruovat deskový kondenzátor.
Vjakévzdálenostibysemuselynacházetjehoelektrody,měla-li
býtkapacitakondenzátoru1,00F?Můžemetakovýkondenzátor
skutečně zkonstruovat?
7C. Elektrodykulovéhokondenzátorumajípoloměry38,0mm
a40,0mm. (a) Vypočítejte jeho kapacitu. (b) Jak velký obsah
by musely mít elektrody deskového kondenzátoru se stejnou
vzdálenostíelektrod,abymělstejnoukapacitujakotentokulový
kondenzátor?
8C. Chlapecpřešelpokobercizasuchéhopočasíarukousepři-
blížilkekovovéklicedveří.Mezijehorukouaklikoupřeskočila
5mm dlouhá elektrická jiskra. Tak velká jiskra signalizuje, že
mezijehotělemaklikoumusíbýtnapětíokolo15kV.Jakvelký
náboj se nahromadil na jeho těle chůzí po koberci, když na-
pětímezitělemakobercemdosáhlouvedenéhodnoty? Vúvaze
zhruba nahradquoterightte chlapcovo tělo rovnoměrně nabitou vodivou
koulí o poloměru 25cm, elektricky izolovanou odokolí.
9C. Dva stejně velké archy hliníkové fólie jsme umístili rov-
noběžně 1,0mmodsebe.Takto vzniklýkondenzátor okapacitě
10pF byl nabit na napětí 12V. (a) Vypočítejte obsah každého
archu. Poté jsme archy přiblížili na vzdálenost 0,10mm při ne-
změněnémnáboji.(b)Jakájenováhodnota kapacity?(c)Jakse
změnilonapětí?Vysvětlete,jaknazákladětěchtozměnbymohl
být konstruován mikrofon.
688 KAPITOLA 26 KAPACITA
10C. KulovákapkartutiopoloměruRmákapacituC = 4D4ε
0
R.
Dvě takové kapky spojíme do jedné. Jaká bude její kapacita?
11Ú. Použijtepřibližnéhovztahuln(1+x)
.
= x prox lessmuch 1(viz
dodatekE),adokažte,ževzorecprovýpočetkapacityválcového
kondenzátoru přejdevevzorecprovýpočetkapacitydeskového
kondenzátoru,kdyžjevzdálenostmezielektrodamivelmimalá.
12Ú. Předpokládejte,žeelektrodykulovéhokondenzátorumají
přibližně stejné poloměry a, b,kdeaa)je
vyplněn látkou o relativní permitivitě ε
r
. Mezi vnitřní a vnější
vrstvoujenapětíU.Určete(a)kapacitutétosoustavy,(b)volný
náboj Q na vnitřní vrstvě, (c) náboj Q
prime
indukovaný podél po-
vrchu vnitřní vrstvy.
69Ú. Na dvě rovnoběžné desky o obsahu 100cm
2
byly přene-
senynábojestejnýchvelikostí8,9·10
−7
C,aleopačnýchznamé-
nek. Intenzita elektrického pole uvnitř dielektrika, vyplňujícího
prostormezideskami,je1,4·10
6
V·m
−1
.(a)Vypočtěterelativní
permitivitudielektrika,(b)určetevelikostnábojeindukovaného
na povrchu dielektrika.
70Ú. Deskový kondenzátor má elektrody o obsahu 0,12m
2
,
které jsou odsebe vzdáleny 1 ,2cm. Baterie nabije kondenzátor
na napětí 120V a pak je odpojena. Deska dielektrika, mající
tlouštquoterightku 4,0mm a relativní permitivitu 4,8, je pak umístěna sy-
metrickymezielektrody.(a)Jakoukapacitumákondenzátorpřed
vloženímdesky?(b)Jakoukapacitumákondenzátorsvloženou
deskou?(c)JakvelkýjevolnýnábojQkondenzátorupředvlože-
nímapovloženídeskydielektrika?(d)Jakájevelikostintenzity
elektrického pole v prostoru mezi elektrodami a dielektrikem?
(e) Jaká je velikost intenzity elektrického pole v dielektriku?
(f) Jaké je napětí na elektrodách při vložené desce dielektrika?
(g) Jak velká je práce vnějších sil potřebná provložení desky?
71Ú. Uvažujtekondenzátorzpř.26.8(obr.26.16):(a)Jakáčást
energie je uložena ve vzduchových mezerách? (b) Jaká část
energie je uložena v desce?
72Ú. Deska dielektrika o tlouštquoterightce b je vložena mezi elektrody
deskového kondenzátoru, jejichž vzdálenost je d. Dokažte, že
kapacita tohoto kondenzátoru je vyjádřena vztahem
C =
ε
r
ε
0
S
ε
r
d −b(ε
r
−1)
.
(Tip: Odvodquoterightte tento vztah podle postupu v př.26.8.) Dává uve-
dený vztah správný číselný výsledek př.26.8? Ověřte, že tento
vztahjeplatnýiprospeciálnípřípady,je-lib = 0,ε
r
= 1,b = d.