hrw20

20
Kinetick· teorie plyn˘
P¯edstavte si, ûe jste se pr·vÏ vr·tili z lyûa¯skÈ t˙ry do promrzlÈ chaty; co
udÏl·te nejd¯Ìv? NejspÌö zatopÌte v kamnech ó a proË? ÿeklo by se, ûe kamna
zv˝öÌ obsah vnit¯nÌ (ÑtepelnÈì) energie vzduchu v celÈ mÌstnosti natolik,
ûe se v nÏm budete cÌtit p¯ÌjemnÏ. Jakkoliv to vypad· logicky, m· to velkou
slabinu: vnit¯nÌ energie veökerÈho vzduchu v mÌstnosti se totiû zah¯·tÌm
nezmÏnÌ. Jak je to moûnÈ? A kdyû je tomu tak, proË tedy v kamnech topÌme
?
20.3 IDEÁLNÍ PLYNY 527
20.1 NOVÝ POHLED NA PLYNY
Klasickátermodynamika,kteroujsmesezabývalivminulé
kapitole,nepojednávávůbecoatomech.Vjejíchzákonech
vystupují pouze makroskopické veličiny jako objem, tlak
a teplota. Přesto je všeobecně známo, že plyn je souhrn
obrovského množství atomů a molekul (tj. skupin atomů
vázanýchksobě).Tlakvyvolanýplynemjistěsouvisísne-
přetržitým „bubnováním“ jeho molekul na stěny nádoby.
Schopnost plynu vyplnit zcela objem nádoby je zase spo-
jena s možností volného pohybu molekul. A konečně tep-
lotaavnitřníenergieplynuurčitěsouvisískinetickouener-
gií těchto molekul. Když vyjdeme z těchto představ, jistě
získáme nové poznatky o plynech. Tento molekulový pří-
stup nazýváme kinetickou teorií plynů;tajetakénáplní
tétokapitoly.
20.2 AVOGADROVA KONSTANTA
Obrátíme-livdalšímsvoupozornostnamolekuly,budero-
zumné měřit velikost zkoumaných soustav v molech. Pak
si totiž můžeme být jisti, že dva porovnávané vzorky mají
stejný počet molekul. Jednotka mol,sekteroujsmesese-
tkali již na konci čl.1.6, je jednou ze sedmi základních
jednoteksoustavySI ajedefinovánatakto:
Jeden mol je počet atomů obsažených ve 12 gramech
uhlíku
12
C.
Říkáme„jedenmolhelia“nebo„jedenmolvody“aro-
zumíme tím jistý počet základních jednotek zkoumaného
systému. Ale stejně dobře bychom mohli uvažovat „jeden
mol tenisáků“, přičemž základní jednotkou by byl jeden
tenisovýmíček.
První,conásvšaknapadne,jeotázka:„Akolikatomů
nebo molekul je v jednom molu?“ Odpovědquoteright byla zjištěna
experimentálně;jeto
N
A
.
= 6,02·10
23
mol
−1
(Avogadrova konstanta). (20.1)
Toto číslo nazýváme Avogadrova konstanta (dříve též
Avogadrovo číslo) podle italského vědce Amadea Avo-
gadra (1776–1856), který formuloval hypotézu, že stejné
objemy všech plynů za stejné teploty a stejného tlaku ob-
sahujístejnýpočetmolekul.
Počet molů n ve vzorku libovolné látky lze určit ze
vztahu
n=
N
N
A
, (20.2)
kdeN je počet molekul ve vzorku. Počítat jednotlivé mo-
lekuly však není snadné, a tak počet molů n ve vzorku
určujeme z jeho hmotnosti m
x
a budquoterightto z molární hmot-
nosti m
m
(tj. hmotnosti 1 molu uvažované látky), anebo
zhmotnostim
prime
jednémolekuly:
n=
m
x
m
m
=
m
x
m
prime
N
A
. (20.3)
Extrémně vysoká hodnota Avogadrovy konstanty po-
ukazujenato,jakmaléajakpočetnémusíbýtatomy.Jeden
mol vzduchu se například bez problémů vejde do kufru.
Pokud bychom tyto molekuly rovnoměrně rozprostřeli po
povrchu Země, bylo by jich kolem 120000 na čtverečný
centimetr.Jinýpříklad:jedenmoltenisákůbyvyplnilstejný
objemjakosedmMěsíců.
RADY A NÁMĚTY
Bod 20.1: Počet molů — ale čeho?
Řekneme-li „jeden mol helia“, znamená to vždy 6,02·10
23
atomů He a také 6,02·10
23
molekul He, protože pojem
atomu splývá u helia s pojmem molekuly jako nejmenší
částečky materiálu, zachovávající si stále ještě (chemické)
vlastnosti celku. Naproti tomu označení „jeden mol vodíku“
je dvojznačné; míníme-li atomy H (každý má hmotnost
1,6·10
−27
kg), tak 1mol tvoří (1mol)·(6,02·10
23
mol
−1
)·
· (1,6·10
−27
kg)
.
= 1g vodíku. Míníme-li však moleku-
lyH
2
,pak1molmolekulového vodíku představuje(1mol)·
·2(6,02·10
23
mol
−1
)·(1,6·10
−27
kg)
.
= 2g vodíku. Stručně
apřehledně:je-livbalonku0,4gvodíku,jevněm0,4molH
(atomy) neboli 0,2molH
2
(molekuly).
20.3 IDEÁLNÍ PLYNY
Vtétokapitolechcemevysvětlitmakroskopickévlastnosti
plynu (jako je tlak a teplota) na základě chování jeho mo-
lekul.Okamžitěalevyvstáváotázka:„Jakéhoplynu?“Měl
bytobýtvodíkčikyslíknebometananebodokoncefluorid
uranový?Tytoplynyjsousamozřejměrůzné.Nicméněbylo
experimentálně zjištěno, že když uzavřeme různé plyny
stejného látkového množství (např. 1mol) a stejné teploty
donádobstejnéhoobjemu,naměřímevkaždénádobětéměř
stejný tlak. Jestliže opakujeme měření při snížené hustotě,
pak i tento rozdíl mezi tlaky prakticky vymizí. Také jiné
experimenty potvrzují,že se reálné plyny při nízkých hus-
totáchchovajípodle vztahu
pV =nRT (ideální plyn), (20.4)
kterému říkáme stavová rovnice ideálního plynu. V této
rovnici značíptlak plynu (absolutní, nikoli přetlak!),nje
528 KAPITOLA 20 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
početmolůplynuaRjetzv. plynová konstanta,kterámá
provšechnyplynystejnouhodnotu
R = 8,31J·mol
−1
·K
−1
. (20.5)
TeplotaT vrov.(20.4)musíbýtvyjádřenavkelvinech.Po-
kud je hustota plynu dostatečně nízká,popisuje rov.(20.4)
jakýkoli plyn nebo směs různých plynů, přičemž n značí
celkovýpočetmolů všechplynů.
Můžeteseovšemtaképtát:„Cojetoideálníplynacoje
vlastněnaněmtakideální?“Odpovědquoterightjeskrytavjednodu-
chostirov.(20.4),kterápopisujejehomakroskopickévlast-
nosti. Pomocí této rovnice, jak uvidíme později, budeme
schopni snadno nalézt mnoho vlastností ideálních plynů.
Přestože se v přírodě nesetkáme s opravdovým ideálním
plynem, všechny reálné plyny se k němu blíží při nízkých
hustotách, což odpovídá větším vzdálenostem mezi mole-
kulami. Studium ideálního plynu nám tak umožňuje snáze
nahlédnoutdochovánískutečnýchplynůvtomtolimitním
případě.
Práce konaná ideálním plynem
za stálé teploty
Uvažujmenmolůideálníhoplynuuzavřenéhodoválcepod
pístem.NechmehozvětšovatobjemzpočátečníhodnotyV
i
na koncovou hodnotu V
f
, přičemž teplotu během tohoto
dějeudržujmekonstantní.Takovýprocesnazývámeizoter-
mické rozpínání (neboli izotermická expanze) a opačný
proces izotermické stlačení (neboli izotermická kom-
prese).
Zobrazíme-liuvažovanýizotermickýdějjakozávislost
tlakuplynunajehoteplotěvtzv.p-V diagramu,obdržíme
částkřivky(naobr.20.1úsekprostředníkřivkyodpočáteč-
níhostavuS
i
dokoncovéhostavuS
f
)nazývanéizoterma.
Obecnějeizotermakřivka,nanížležíbodyostejnéteplotě.
Vpřípaděideálníhoplynujepopsánavztahem
p=nRT
1
V
= konst.
1
V
, (20.6)
kde teplotu T udržujeme konstantní. Pro tři různé teploty
jetatozávislostukázánanaobr.20.1.
Vypočtěme nyní práci, kterou vykoná ideální plyn
při izotermickém rozpínání. Z předchozí kapitoly (viz
rov.(19.23)) známeobecnývztah
W =
integraldisplay
V
f
V
i
pdV (20.7)
pro práci vykonanou plynem při změně jeho objemu. Pro-
tože se zde zabýváme ideálním plynem, můžeme zapdo-
O
p
V
S
i
S
f
T =300K
T =310K
T =320K
Obr.20.1 Třiizotermyvp-V diagramu.Zvýrazněnýúsek(svy-
značeným směrem) prostřední izotermy odpovídá izotermic-
kému rozpínání plynu z počátečního stavu S
i
do koncového
stavuS
f
.Opačnýsměrbyodpovídalizotermickémustlačování
ze stavuS
f
do stavuS
i
.
saditzrov.(20.4)adostaneme
W =
integraldisplay
V
f
V
i
nRT
V
dV. (20.8)
Navíc uvažujeme izotermické rozpínání, takže teplota T
je konstantní a lze ji společně s ostatními konstantami vy-
tknout předintegrál,tedy
W =nRT
integraldisplay
V
f
V
i
dV
V
=nRT
bracketleftbig
lnV
bracketrightbig
V
f
V
i
. (20.9)
Použijeme-livztahlna−lnb= ln(a/b), dostaneme
W =nRT ln
V
f
V
i
(ideální plyn,
izotermický děj).
(20.10)
Připomeňme, že symbol ln značí přirozený logaritmus,
tj.logaritmuspři základue.
Při rozpínání jedle definiceV
f
>V
i
, tedy podílV
f
/V
i
vrov.(20.10)jevětšínežjedna.Přirozenýlogaritmushod-
notvětšíchnežjednajekladný,takžeiprácevykonanáply-
nempřiizotermickémrozpínání,jakočekáváme,jekladná.
PřistlačováníjenaopakV
f
m
m2
>m
m3
.
Uspořádejte sestupně tyto typy podle (a) střední kine-
tickéenergiea(b) středníkvadratickérychlosti.
PŘÍKLAD 20.4
Jaká je střední kinetická energie (v elektronvoltech) posuv-
ného pohybu molekul kyslíku, přítomných ve vzduchu za
pokojové teploty 300K? Ajaká je promolekuly dusíku?
ŘEŠENÍ: Střední kinetická energie posuvného pohybu zá-
visí pouze na teplotě a nikoli na druhu molekul. Proto je pro
oba plyny dána rov.(20.20), tedy
E
k
=
3
2
kT
.
=
3
2
(8,62·10
−5
eV·K
−1
)(300K)=
= 0,039eV
.
=
1
25
eV. (Odpovědquoteright)
Býváužitečnézapamatovatsi
1
25
eVjakopřibližnouhodnotu
střední kinetické energie posuvného pohybu molekul vzdu-
chu zapokojové teploty.
Vtab.20.1nalezneme,žestředníkvadratickárychlostmo-
lekul kyslíku (pro nějž m
m
= 32,0g·mol
−1
)je483m·s
−1
.
Pro molekuly dusíku (m
m
= 28,0g·mol
−1
)jeto517m·s
−1
.
Lehčímolekulymajítedyvyššístředníkvadratickourychlost,
což souhlasí s tím (viz rov.(20.19)), že mají stejnou střední
kinetickou energii.
20.6 STŘEDNÍ VOLNÁ DRÁHA
Pokračujmevestudiupohybumolekulideálníhoplynu.Na
obr.20.4jeznázorněnatypickádráhajednézmolekul,která
se pohybuje skrz plyn a velmi často mění jak rychlost, tak
směrsvéhopohybu,kdyžsepružněsrazísjinoumolekulou.
Mezisrážkamisenašemolekulapohybujerovnoměrněpří-
močaře.Třebažejsouostatnímolekulynaobrázkunakres-
leny jako nepohyblivé, vykonávají ve skutečnosti pohyb
stejnéhodruhu jakosledovanámolekula.
Obr.20.4 Molekula pohybující se plynem a srážející se během
svécestysostatnímimolekulami.Třebažejsouostatnímolekuly
zobrazeny v klidu, pohybují se ve skutečnosti velmi podobným
způsobem.
Veliceužitečnýmparametrem,kterýpopisujenáhodný
pohybčástice, je střední volná dráha λ. Jak název napo-
vídá, jde o střední vzdálenost, kterou molekula urazí mezi
dvěmasrážkami.MeziλačíselnouhustotouN/Vmolekul
očekávámenepřímou úměrnost,nebotquoteright čímvětší budehus-
tota molekul, tím kratší bude střední volná dráha. Dále lze
očekávat,žeλbudenepřímoúměrnévelikostimolekul.Po-
kudbytotižmolekulybylybodové,nedocházelobyvůbec
ke srážkám a střední volná dráha by byla nekonečná. Čím
většíbudoumolekuly,tímkratšíbudeλ.Dokoncemůžeme
odhadnout, žeλ bude záviset na čtverci průměru d mole-
kuly, nebotquoteright velikost „terčíku“ pro srážku je úměrná jeho
ploše,tedy
1
4
D4d
2
.
20.6 STŘEDNÍ VOLNÁ DRÁHA 533
Skutečnývýrazpro střednívolnoudráhumátvar
λ=
1
√
2D4d
2
N/V
(střední volná dráha). (20.22)
Abychomověřilirov.(20.22),budemenejprvesledovat
jedinoumolekulu(obr.20.4)pohybujícísekonstantnírych-
lostív„moři“nepohyblivýchmolekul.(Pozdějirozebereme
reálnějšípřípad,kdy sepohybují všechnymolekuly.)
Předpokládejmedále,žemolekulyjsoukuličkyoprů-
měru d. Ke srážce dojde tehdy, pokud se středy molekul
přiblíží na vzdálenost menší, než je právě průměr mole-
kuly d (obr.20.5a). Na tuto situaci lze nahlížet názorněji
tak, že pohybující se molekula má poloměr d aostatní
molekuly jsou bodové částice, jako na obr.20.5b. Tím se
popissrážkynezmění,usnadnísevšakvýpočetλ.
(a)
mm
d
d
d
(b)
mm
2d
Obr.20.5 (a) Srážka nastane, pokud se středy dvou molekul
přiblíží na vzdálenost menší než je jejich průměrd. (b) Ekviva-
lentní,alenázornějšíjepředstavapohybujícísemolekulyopolo-
měrud,kterásesrážísbodovýmimolekulami.Podmínkysrážky
však zůstávají stejné.
Mezi jednotlivými srážkami naše molekula „vymete“
krátkýválecprůřezuD4d
2
.Pokudpozorujemetutomolekulu
podobuDelta1t,urazívzdálenostvDelta1t,kdevznačíjejírychlost.
Pokud seřadíme ony krátké válce mezi jednotlivými sráž-
kamizadobuDelta1tzasebe,dostanemejedinýválec(obr.20.6)
odélcevDelta1taoobjemu(D4d
2
)(vDelta1t).Početsrážeknašíčás-
ticezadobuDelta1tjepakrovenpočtu(bodových)částicuvnitř
tohotoválce.
Protože N/V je hustota částic, dostaneme počet
srážek vynásobením této hustoty objemem válce, tedy
(N/V)(D4d
2
vDelta1t). Střední volná dráha je dráha molekuly
2d
vDelta1t
Obr.20.6 Pohybující se molekula „vymete“ za dobu Delta1t válec
délkyvDelta1tapoloměrud.
(tj.délkaválce)dělenátímto počtemsrážek:
λ=
délkadráhy
početsrážek
∼
vDelta1t
D4d
2
vDelta1tN/V
=
=
1
D4d
2
N/V
. (20.23)
Tentovztahjepouzepřibližný,nebotquoterightjezaložennapředpo-
kladu,ževšechnymolekuly(ažnajedinou)jsouvklidu.Ve
skutečnostisevšechnymolekulypohybují.Pokud správně
započtemetentopohyb,obdržímerov.(20.22).Všimnětesi,
žeserov.(20.23)lišíodrov.(20.22)pouzefaktorem1/
√
2.
Není obtížné nahlédnout, v čem se skrývá „aproxi-
mace“,kteroujsmepoužilipřiodvozenírov.(20.23).Rych-
lost v čitatelitotižnení přesněstejnájakorychlost vejme-
novateli.Rychlostvvčitatelijestřednírychlostvmolekuly
vzhledem k laboratoři. Rychlostv ve jmenovateli je však
střednírychlostv
rel
relativníhopohybunašímolekulyvůči
ostatním molekulám,které se taky pohybují. Tato rychlost
v
rel
určujepočetsrážekmolekuly.Podrobnývýpočet,který
vychází ze skutečného rozdělení rychlostí molekul, dává
v
rel
=
√
2v,odkudjejiž patrnýpůvodfaktoru
√
2.
Střednívolnádráhamolekulvzduchujeuhladinymoře
zhruba 0,1D1m. Ve výšce 100km je hustota vzduchu nato-
liknízká,žestřednívolnádráhamolekulstoupnena16cm,
a ve výšce 300km má pak hodnotu okolo 20km. Proto
je pro vědce, kteří se zabývají fyzikou a chemií vyšších
vrstevatmosféry,praktickynemožnéprovádětvlaboratoři
experimenty,kterébynapodobilypodmínkyvyššíchvrstev
atmosféry, nebotquoteright nelze vyčerpat dostatečně velký prostor
splynemnataknízkouhustotu.Přitomvšakstudiumtěchto
vrstevatmosférymávelkývýznamnapř.vsouvislostispro-
blémem„ozonovédíry“akoncentracefreonů.
PŘÍKLAD 20.5
Rozměry molekul pro různé plyny lze určovat experimen-
tálnězrychlostidifuzejednohoplynudodruhého.Například
prokyslík se uvádí průměrd = 2,9·10
−10
m.
(a)Jakájestřednívolnádráhaλmolekulkyslíkupřipokojové
teplotě (T = 300K) a atmosférickém tlaku 1atm? Uvažujte
ideální plyn.
534 KAPITOLA 20 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
ŘEŠENÍ: Nalezněme nejprve číselnou hustotu molekul
N/Vzatěchtopodmínek.Zestavovérovniceideálníhoplynu
zjistíme, že 1,0mol ideálního plynu zaujímá objem
V =
nRT
p
=
(1,0mol)(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
(1,0atm)(1,01·10
5
Pa/atm)
.
=
.
= 2,47·10
−2
m
3
.
Číselnou hustotu molekul určíme pomocí Avogadrovy kon-
stanty jako
N
V
=
nN
A
V
=
(1,0mol)(6,02·10
23
mol
−1
)
(2,47·10
−2
m
3
)
.
=
.
= 2,44·10
25
m
−3
.
Z rov.(20.22) pak dostaneme prostřední volnou dráhu
λ=
1
√
2D4d
2
N/V
=
=
1
√
2D4(2,9·10
−10
m)
2
(2,44·10
25
m
−3
)
.
=
.
= 1,1·10
−7
m. (Odpovědquoteright)
Tatohodnotaodpovídázhruba380molekulovýmprůměrům,
přestožestřednívzdálenostmezijednotlivýmimolekulamije
jen 11 molekulových průměrů.
(b)Jakčetnéjsousrážkymezimolekulami,je-listřednírych-
lost molekul kyslíku 450m·s
−1
?
ŘEŠENÍ: Hledanou četnost určíme z poměru střední rych-
losti molekul a střední volné dráhy
četnost =
v
λ
=
(450m·s
−1
)
(1,1·10
−7
m)
.
= 4,1·10
9
s
−1
. (Odpovědquoteright)
Každá molekula kyslíku tedy vykoná více než 4 miliardy
srážekzasekundu.
K
ONTROLA3:VnádoběsenacházíjedenmolplynuA,
jehožmolekulymajípoloměr2d
0
astřednírychlostv
0
.
Ve druhé, úplně stejné nádobě se nachází jeden mol
plynu B, jehož molekuly mají poloměr d
0
a střední
rychlost 2v
0
(tj. molekuly plynu B jsou menší, ale
rychlejší).Ukteréhozplynůbudevyššíčetnostsrážek
uvnitř nádoby?
20.7 ROZDĚLENÍ RYCHLOSTÍ
MOLEKUL
Středníkvadratickárychlostv
ef
námdáváhruboupředstavu
o tom, jakými rychlostmi se pohybují molekuly plynu při
určité teplotě. Avšak často bychom chtěli vědět více. Ko-
lik molekul má například rychlost větší než v
ef
? A kolik
z nich větší než dvojnásobek v
ef
? Abychom mohli odpo-
vědět na tyto otázky, musíme vědět, jak jsou jednotlivé
rychlosti mezi molekulami rozděleny. Obr.20.7a ukazuje
rozdělení rychlostí molekul kyslíku při pokojové teplotě
(T = 300K);naobr.20.7bjepaktotorozděleníporovnáno
srozdělenímpřiteplotěT = 80K.
Problémrozdělenírychlostímolekulplynuřešilpoprvé
v roce 1852 skotský fyzik James Clerk Maxwell. Dospěl
k výsledku známému jako Maxwellovo rozdělení rych-
lostí molekul
P(v)= 4D4
parenleftBig
m
m
2D4RT
parenrightBig
3/2
v
2
e
−m
m
v
2
/2RT
. (20.24)
Zde v značí rychlost molekul, T teplotu plynu, m
m
mo-
lární hmotnost plynu aR je plynová konstanta. Právě tato
funkce je vykreslena na obr.20.7a, b. Veličinu P(v)na-
zýváme rozdělovací funkcí a je definována takto: Součin
P(v)dv(kterýjebezrozměrový)udávárelativnípočetmo-
lekulsrychlostmiv intervalu(v,v+dv).
Jak ukazuje obr.20.7a, je tento relativní počet roven
plošce sloupečku, jehož výška je P(v)a šířka dv.Cel-
ková plocha pod křivkou rozdělovací funkce odpovídá re-
lativnímu počtu molekul, jejichž rychlosti leží mezi nulou
a nekonečnem. To jsou však všechny molekuly, takže tato
plochajerovnajedné.
Na obr.20.7a jsou též vyznačeny střední kvadratická
rychlost v
ef
= 483m·s
−1
a další dvě význačné rych-
losti molekul kyslíku; nejpravděpodobnější rychlostv
P
=
= 395m·s
−1
, ve které nabývá funkce P(v) maxima,
a střední rychlost v = 445m·s
−1
, která je prostě průmě-
rem přes všechny velikosti rychlostí molekul. Malý počet
molekulmůžemítrychlosti,kteréležínapravémkonciroz-
dělovací funkce a které mohou být několikanásobně vyšší
nežstřednírychlost.Díkytomutojednoduchémufaktuvy-
světlíme, proč na Zemi může pršet a proč Slunce může
svítit.
Déštquoteright: Rozdělení rychlostí molekul vody například v ryb-
níce za letních dnů může být popsáno podobnou křivkou
jako na obr.20.7a. Většina molekul nemá dostatečnou ki-
netickou energii k tomu, aby unikly skrz hladinu. Avšak
molekuly z pravého konce rozdělení, které mají vysokou
rychlost,mohouuniknout,tj.vypařitse.Potommohouvy-
tvořit mraky,atímmůževzniknoutdéštquoteright.
Vzápětí poté, co rychlé molekuly uniknou z povrchu
rybníka, se vyrovnává teplota vody s okolím. Vhodnými
srážkamimezimolekulamivodynabývajíopětněkterémo-
20.7 ROZDĚLENÍ RYCHLOSTÍ MOLEKUL 535
(a)
plocha=Pdv
rychlost(m/s)
P(
v
)
(10
−
3
s
/
m)
P(
v
)
(10
−
3
s
/
m)
v
v
P
dv
v
ef
0
200 400 600 800 1000 1200
0
1,0
2,0
(b)
rychlost(m/s)
T =80K
T =300K
0
200 400 600 800 1000 1200
0
1,0
2,0
3,0
4,0
Obr.20.7 (a)Maxwellovorozdělenírychlostíprokyslíkpřitep-
lotěT = 300K.Vgrafujsoutéžznázorněnytřivýznačnérych-
losti.(b)Rozdělenírychlostíproteploty300Ka80K.Všimněte
si, že při nižších teplotách se molekuly pohybují pomaleji. Pro-
tože jde o pravděpodobnostní rozdělení, je plocha pod každou
křivkou rovna jedné.
lekulyvyššíchrychlostí,čímžse neustáleobnovuje rozdě-
lenírychlostímolekul proodpovídajícíteplotu.
Světlo Slunce:Nechtquoterightjerozdělenírychlostíprotonůvjádře
Slunce popsáno zákonem (20.24). Energie Slunce pochází
z termojaderné fúze, která začíná slučováním jader vodí-
ku, tj. protonů. Protože se protony kvůli svému elektric-
kému náboji navzájem odpuzují, nemůže ke sloučení dojít
u protonů majících jen střední rychlost. Ty totiž nemají
dostatečnoukinetickouenergiiktomu,abysepřiblížilyna
takovouvzdálenost,kdepřitažlivéjadernésílypřevládnou
nadodpudivýmisilamielektromagnetickými.Avšakvelmi
rychlé protony ze vzdáleného konce rozdělení tuto energii
mají,sloučenímůžeproběhnout— aproto Sluncesvítí.
PŘÍKLAD 20.6
Nádoba je naplněna kyslíkem pokojové teploty (300K).
Jaká část molekul má rychlosti v intervalu 599m·s
−1
až
601m·s
−1
?Molárníhmotnostm
m
kyslíkuje0,0320kg/mol.
ŘEŠENÍ: Interval rychlostíDelta1v = 2m·s
−1
je natolik malý,
že hledaná část molekul, kterou označíme α, je dostatečně
přesněurčenavýrazemP(v)Delta1v,kdeP(v)vyhodnotíme pro
rychlostv = 600m·s
−1
ve středu daného intervalu (viz zvý-
razněnáploškanaobr.20.7a).Užitímrov.(20.24)nalezneme
α=P(v)Delta1v= 4D4
parenleftBig
m
m
2D4RT
parenrightBig
3/2
v
2
e
−m
m
v
2
/2RT
Delta1v.
Abybylvýpočetpřehledný,rozdělímetentovýraznaněkolik
členů,které vyčíslíme odděleně:
α = 4D4(A)(v
2
)(e
B
)(Delta1v). (20.25)
Hodnoty výrazůAaB jsou:
A=
parenleftBig
m
m
2D4RT
parenrightBig
3/2
=
=
parenleftbigg
0,0320kg·mol
−1
2D4(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
parenrightbigg
3/2
=
= 2,92·10
−9
s
3
·m
−3
a
B =−
m
m
v
2
2RT
=−
(0,0320k