hrw20

g·mol
−1
)(600m·s
−1
)
2
2(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
=
=−2,31.
Dosazením do rov.(20.25) dostaneme
α = 4D4(A)(v
2
)(e
B
)(Delta1v)=
= 4D4(2,92·10
−9
s
3
·m
−3
)·
·(600m·s
−1
)
2
(e
−2,31
)(2m·s
−1
)=
= 2,62·10
−3
. (Odpovědquoteright)
Odtud vidíme, že při pokojové teplotě se 0,262% molekul
kyslíkupohybujerychlostívúzkémintervalumezi599m·s
−1
až601m·s
−1
.Pokudbyzvýrazněnáploškanaobr.20.7aměla
rozměryodpovídajícítétoúloze,bylabyopravduveliceúzká.
PŘÍKLAD 20.7
(a)Jakájestřednírychlostmolekulkyslíkupřiteplotě300K?
Molárníhmotnostm
m
kyslíku je 0,0320kg·mol
−1
.
ŘEŠENÍ: Abychom nalezli střední rychlost molekul, bu-
demekaždourychlostbrátsváhouP(v)dv,kteráudávárela-
tivnípočetmolekulorychlostechvintervalu(v,v+dv).Inte-
gracípřesvšechnyrychlostipakdostanemehledanoustřední
rychlost, neboli
v =
integraldisplay
∞
0
vP(v)dv. (20.26)
536 KAPITOLA 20 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
Po dosazení za P(v)z rov.(20.24) je třeba vyčíslit získaný
integrál. Najdeme ho v tabulkách integrálů a výsledkem je
v =
radicalBigg
8RT
D4m
m
(střednírychlost), (20.27)
odkud dosazením numerických hodnot obdržíme
v =
radicalBigg
8(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
D4(0,0320kg·mol
−1
)
.
=
.
= 445m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(b) Jaká je střední kvadratická rychlostv
ef
molekul kyslíku?
ŘEŠENÍ: Budeme postupovat podobně jako v případě (a),
jen místo v budeme nyní faktorem P(v)dv násobit v
2
.Po
integraci takdostaneme
v
2
=
integraldisplay
∞
0
v
2
P(v)dv =
3RT
m
m
.
Střední kvadratickou rychlost obdržíme odmocněním tohoto
výrazu
v
ef
=
radicalBig
v
2
=
radicalBigg
3RT
m
m
(středníkvadratická
rychlost).
(20.28)
Tato rovnice souhlasí s rov.(20.18), kterou jsme odvodili
dříve. Dosazením numerických hodnot dostaneme
v
ef
=
radicalBigg
3(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
(0,0320kg·mol
−1
)
.
=
.
= 483m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(c)Jaká je nejpravděpodobnější rychlostv
P
?
ŘEŠENÍ: Nejpravděpodobnější rychlost odpovídá maximu
rozdělení P(v)daného rov.(20.24). Toto maximum nalez-
neme z podmínky dP/dv = 0, kterou vyřešíme vůčiv.Vý-
sledkem je (jaksi čtenář snadno dopočte)
v
P
=
radicalBigg
2RT
m
m
(nejpravděpodobnějšírychlost). (20.29)
Číselně vychází
v
P
=
radicalBigg
2(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(300K)
(0,0320kg·mol
−1
)
.
=
.
= 395m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
V této úloze jsme vypočetli tři význačné rychlosti Maxwel-
lova rozdělení. Jejich souhrnný přehled obsahuje tab.20.2.
20.8 MOLÁRNÍ TEPELNÉ KAPACITY
IDEÁLNÍHO PLYNU
V tomto článku chceme na základě úvah o atomech a mo-
lekulách odvodit výraz pro vnitřní energii U ideálního
plynu.Tentovýsledekpakpoužijemekvýpočtumolárních
tepelnýchkapacitideálníhoplynu.
Vnitřní energie U
Uvažujmenejprveideálníjednoatomovýplyn,jehožmole-
kulutvoříjedinýatom,jakýmjsounapř.helium,neonnebo
argon.Jakvímezkap.8,vnitřníenergiesouvisísnáhodným
pohybem atomů a molekul. Budeme proto předpokládat,
že vnitřní energie je prostě součet kinetických energií po-
suvnéhopohybuatomů.(Nebudemetedyuvažovatrotační
kinetickou energii, která je pro atomy prakticky zanedba-
telná.) Střední kinetická energie posuvného pohybu jedné
molekulyzávisípouzenateplotěajedánarov.(20.20)jako
E
k
=
3
2
kT.Vzorekn molů uvažovaného plynu obsahuje
nN
A
atomů.Vnitřní energievzorkujetedy
U =(nN
A
)E
k
=(nN
A
)(
3
2
kT)
neboli,svyužitímplynovékonstantyR =N
A
k,
U =
3
2
nRT
(jednoatomový
ideální plyn).
(20.30)
Vnitřní energieU daného množství ideálního plynu zá-
visí pouze na teplotěT. Nezávisí na jeho tlakup, hus-
totěrho1ap.
Tabulka 20.2 Význačné rychlosti Maxwellova rozdělení
VELIČINA OZNAČENÍ VZTAH PRO KYSLÍK PŘI 300K
Nejpravděpodobnějšírychlost v
P
radicalbig
2RT/m
m
395m·s
−1
Střednírychlost v
radicalbig
8RT/D4m
m
445m·s
−1
Středníkvadratickárychlost v
ef
radicalbig
3RT/m
m
483m·s
−1
20.8 MOLÁRNÍ TEPELNÉ KAPACITY IDEÁLNÍHO PLYNU 537
Pomocírov.(20.30)můžemeodvoditvztahpromolární
tepelnou kapacitu ideálního plynu. Ve skutečnosti odvo-
dímedva výrazy— jedenpro případ,kdy dodávámeteplo
aobjemplynuzůstávákonstantní,adruhýpropřípadkon-
stantního tlaku plynu. Molární tepelné kapacity v těchto
případech značíme C
V
,resp.C
p
. Vedle těchto veličin se
běžně užívají také měrné tepelné kapacity, které značíme
c
V
ac
p
akterésenevztahujína1mol,nýbržna1kgplynu.
Molární tepelná kapacita při stálém objemu
Naobr.20.8ajeválecobjemuV vyplněnýnmolyideálního
plynu o tlaku p a teplotě T. Počáteční stav tohoto plynu
je na obr.20.8b vyznačen S
i
. Zvýšíme-li teplotu lázně,
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
(a)
(b)
tepelnálázeň knoflíkovládání
píst píst
zátěž
Q
T
OV
V
p
p
p+Delta1p
T
T+Delta1T
S
i
S
f
Obr.20.8 (a) Teplotu ideálního plynu zvýšíme z teploty T na
T +Delta1T, přičemž objem udržujeme konstantní. Plynu bylo do-
dáno teplo, avšak práci nevykonal žádnou. (b) p-V diagram
tohoto děje.
na které spočívá válec s plynem, dodáme tím plynu jisté
množství tepla Q a v koncovém stavu (označeném S
f
)
budemítteplotuT +Delta1T atlakp+Delta1p.
Molární tepelná kapacita při stálém objemu je dle
rov.(19.15)definovánavztahem
Q=nC
V
Delta1T (při stálém objemu). (20.31)
Dosazením do prvního termodynamického zákona obdr-
žíme
Delta1U =nC
V
Delta1T −W.
Je-li objem plynu konstantní, nekoná plyn žádnou práci
atedyW = 0. ProC
V
proto můžemepsát
C
V
=
1
n
Delta1U
Delta1T
. (20.32)
Podle rov.(20.30) platí Delta1U/Delta1T =
3
2
nR. Dosazením do
rov.(20.32)nakonecdostaneme
C
V
=
3
2
R
.
= 12,5J·mol
−1
·K
−1
(jednoatomový
ideální plyn).
(20.33)
Jakukazujetab.20.3,tentovýsledekkinetickéteorieideál-
níhoplynuvelmidobřesouhlasísexperimentemproreálné
jednoatomové plyny, tj. pro případ, který jsme uvažovali.
Experimentální(aleipředpovídané)hodnotyC
V
prodvou-
atomovéavíceatomovéplynyjsouvyššízdůvodu,kterýsi
objasnímev čl.20.9.
Tabulka 20.3 Molární tepelné kapacity při stálém
objemu (bez vibrací molekul)
MOLEKULA PLYN
C
V
J·mol
−1
·K
−1
Ideální
3
2
R
.
= 12,5
Jednoatomová
Reálný
He 12,5
Ar 12,6
Ideální
5
2
R
.
= 20,8
Dvouatomová
Reálný
N
2
20,7
O
2
20,8
Ideální 3R
.
= 24,9
Víceatomová
Reálný
NH
4
29,0
CO
2
29,7
Nyní můžeme zobecnit výraz pro vnitřní energii daný
rov.(20.30), dosadíme-li za
3
2
R molární tepelnou kapa-
cituC
V
.Dostaneme
U =nC
V
T (libovolný ideální plyn). (20.34)
Tatorovniceplatínejenprojednoatomovéideálníplyny,ale
taképrodvouatomovéavíceatomovéideálníplyny,pokud
dosadímeodpovídajícíhodnotuC
V
.Takjakourov.(20.30)
i nyní vidíme, že vnitřní energie závisí pouze na teplotě
anikoli natlakučihustotěplynu.
538 KAPITOLA 20 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
Pokud se změní teplota ideálního plynu uzavřeného
v nádobě oDelta1T, pak výsledná změna jeho vnitřní energie
jedánapomocírov.(20.34) jako
Delta1U =nC
V
Delta1T
(ideální plyn,
libovolný děj).
(20.35)
Tatorovnicenámříká:
ZměnavnitřníenergieUneproměnnéhomnožstvíideál-
níhoplynuzávisípouzenazměnějehoteploty.Nezávisí
naději,přikterémtatozměnateploty nastala.
Jako příklad uvažujme tři cesty mezi dvěma izoter-
mami na obr.20.9. Cesta 1 odpovídá izochorickému ději
a cesta 2 ději izobarickému, kterým se budeme zabývat
vnásledujícímodstavci.Poslednícesta3odpovídáději,při
kterémnedocházíkvýměněteplamezisystémemaokolím
a který budeme studovat v čl.20.11. Přestože jsou hod-
notyvyměněnéhoteplaQ,vykonanépráceW,koncového
tlakup
f
a koncového objemuV
f
pro tyto tři procesy růz-
né, změna vnitřní energieDelta1U spojená s těmito procesy je
vždystejnáajedánarov.(20.35),nebotquoterightzměnateplotyDelta1T
je vždy stejná. Nezávisle na tom, po které cestě se plyn
dostane ze stavu o teplotě T do stavu o teplotě T +Delta1T,
můžeme tedy změnu vnitřní energie plynu určit tak, že
použijemecestu1,pro kterouplatírov.(20.35).
OV
p
S
i
S
f
S
f
S
f
1
2
3
T
T+Delta1T
Obr.20.9 Třicesty odpovídají třem různým dějům,přikterých
přešel ideální plyn z počátečního stavu S
i
s teplotou T do
koncového stavu S
f
s teplotou T +Delta1T.ZměnaDelta1U vnitřní
energie plynu je stejná pro všechny tyto procesy a také pro
libovolný jiný processe stejnou změnou teploty.
Molární tepelná kapacita
při konstantním tlaku
Stejně jako v předchozím případě budeme nyní zvyšovat
teplotuplynuoDelta1T,aletentokrátbudemedodávatpotřebné
teploQpřikonstantnímtlaku.Naobr.20.10ajeznázorně-
no, jak lze takový děj provést. Odpovídajícíp-V diagram
je pak na obr.20.10b. Ihned můžeme odhadnout, že mo-
lárnítepelnákapacitaC
p
přikonstantnímtlaku,definovaná
vztahem
Q=nC
p
Delta1T (konstantní tlak), (20.36)
bude větší než molární tepelná kapacita při konstantním
objemu, nebotquoteright část dodaného tepla se spotřebuje na práci,
kterou plyn vykoná během nadzvedávání zatíženého pístu
(obr.20.10a).
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
(a)
(b)
tepelnálázeň knoflíkovládání
zátěž
Q
W
T
OV
V
p
p
pDelta1V
T
T+Delta1T
V+Delta1V
S
i
S
f
Obr.20.10 (a) Plynu dodáme teplo Q za stálého tlaku p.Tím
vzrostejehoobjemoDelta1V,plynvykonáprácipDelta1V ajehoteplota
vzroste o Delta1T. (b) Znázornění tohoto děje na p-V diagramu.
PrácepDelta1V je dána obsahem zvýrazněné plochy.
AbychomnalezlivztahmeziC
p
aC
V
,napišmenejprve
první termodynamickýzákon(rov.(19.24))vetvaru
Delta1U =Q−W. (20.37)
Do této rovnice dosadíme za Delta1U z rov.(20.35) a za Q
z rov.(20.36). Rov.(19.23) nám říká, že práce vykonaná
20.9 STUPNĚ VOLNOSTI A MOLÁRNÍ TEPELNÉ KAPACITY 539
přikonstantnímtlakujeW =pDelta1V.Použijeme-listavovou
rovniciideálníhoplynu,můžemetentovztahpřepsatjako
W =pDelta1V =nRDelta1T.
Po dosazení a vydělení výrazem nDelta1T dostaneme z rov-
nice(20.37)
C
V
=C
p
−R,
odkud
C
p
=C
V
+R. (20.38)
Tatopředpovědquoterightkinetickéteorieplynůdobřesouhlasísex-
perimentem, a to nejen pro jednoatomové plyny, ale pro
všechny, jejichž hustota je natolik nízká, že je můžeme
považovatzaideální.
K
ONTROLA4:Vp-V diagramujevyznačenopětdějů.
Seřadquoterighttesestupnětytodějepodlezměnyvnitřníenergie
plynu běhemtěchtodějů.
O
p
V
T
1
T
2
T
3
1
2
3
4
5
PŘÍKLAD 20.8
Balonek s pěti moly (jednoatomového) helia ponoříme do
vody do určité hloubky a za konstantního tlaku vodu (a tím
i helium) zahřejeme oDelta1T = 20C
◦
. Výsledkem tohoto pro-
cesuje zvětšení balonku.
(a)KolikteplaQpřijmeheliumběhemsvéhorozpínáníazvy-
šování teploty?
ŘEŠENÍ: Protože považujeme helium za ideální plyn, mů-
žemepoužít rov.(20.38) a (20.33), odkud
C
p
=C
V
+R =
5
2
R.
Dosazením do rov.(20.36) dostaneme
Q=nC
p
Delta1T =n(
5
2
R)Delta1T =
=(5,00mol)(2,5)(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(20,0C
◦
)=
= 2077,5J
.
= 2080J. (Odpovědquoteright)
(b)JakájezměnaDelta1U vnitřníenergieheliaběhemzvyšování
teploty?
ŘEŠENÍ: Atquoteright seteplota helia zvyšuje zakonstantního tlaku,
nebozakonstantníhoobjemu,můžemekurčenízměnyvnitřní
energie použít rov.(20.35), tedy
Delta1U =nC
V
Delta1T =
=(5,00mol)(1,5)(8,31J·mol
−1
·K
−1
)(20,0C
◦
)=
= 1246,5J
.
= 1250J. (Odpovědquoteright)
(c) Jakou práci W vykoná helium proti tlaku okolní vody
během svého rozpínání?
ŘEŠENÍ: Dle prvního termodynamického zákona platí
W =Q−Delta1U =(2077,5J)−(1246,5J)=
= 831J. (Odpovědquoteright)
Všimněte si, že pouze část (1250J) z celkového tepla
(2080J) přijatého heliem se použije na zvýšení jeho vnitřní
energieatímijehoteploty.Zbytek(831J)jepoužitnapráci,
kterouheliumvykonáběhemsvéhorozpínání.Pokudbyvoda
zamrzla, nemohlo by k rozpínání dojít. Pak by stejná změna
teplotyo20C
◦
vyžadovala pouze 1250J tepla, protože by
helium nekonalo žádnou práci.
20.9 STUPNĚ VOLNOSTI A MOLÁRNÍ
TEPELNÉ KAPACITY
Jak ukazuje tab.20.3, souhlasí předpovědquoterightC
V
=
3
2
R sex-
perimentem pro jednoatomové plyny, ale nesouhlasí pro
dvouatomové a víceatomové plyny. Tento nesouhlas nyní
vysvětlímetím,žekinetickáenergievíceatomovýchmole-
kul neníjenenergiíposuvnéhopohybu.
Na obr.20.11 vidíme modely helia (jednoatomový
plyn),kyslíku(dvouatomový)ametanu(víceatomový)tak,
jak je uvažuje kinetická teorie plynů. Vzhledem ke stavbě
jednoatomových molekul, které jsou v podstatě bodové
(a)He
He
(b)O
2
O
O
(c)CH
4
H
H
H
H
C
Obr.20.11 Modely molekul používané v kinetické teorii ply-
nů: (a) helium, typická jednoatomová molekula; (b) kyslík, ty-
pickádvouatomovámolekula(jsouvyznačenydvěrotačníosy);
(c)metan,typická víceatomová molekula.
540 KAPITOLA 20 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
a jejichž moment setrvačnosti je velmi malý, je rozumné
předpokládat,žejejichkinetickáenergiejeplněurčenapo-
suvnýmpohybem.Naopakuvíceatomovýchmolekulbude
podstatný také příspěvek od rotačního pohybu či kmitů
molekuly.
Abychomtytopříspěvkyzahrnulidonašichúvahkvan-
titativně,použijemetzv.ekvipartičníteorém,kterýpoprvé
formulovalJamesClerkMaxwell:
Každámolekulamájistýpočetstupňůvolnostifakaždý
z nich nezávisle přispívá k energii molekuly. Každému
stupnivolnostiodpovídáenergie
1
2
kTnajednumolekulu
(neboli
1
2
RT najedenmol).
Proposuvnýpohybmámetřistupněvolnosti,kteréodpoví-
dají pohybu podél tří kolmých souřadnicových os. Pro ro-
tační pohybnení v případě jednoatomové molekuly žádný
stupeňvolnosti.Vpřípadědvouatomovémolekuly,tj.tuhé
činkynaobr.20.11b,existujídvěosy,kolemkterýchmůže
molekularotovatsnezanedbatelnýmpříspěvkemkcelkové
kinetické energii. Příspěvek od rotace kolem osy spojující
jádra atomů v molekule je velice malý, nebotquoteright moment se-
trvačnostimolekulyvůčitétoosejepraktickynulový.Mo-
lekuly s více než dvěma atomy mají šest stupňů volnosti,
třiposuvnéatřirotační.Kmitání(vibrace)mohoupřispívat
dalšímistupni;tyjsouvšakněkdy„zamrzlé“aneuplatníse
(tovysvětlujekvantováteorie,vizčl.20.10).
Abychom zobecnilivýsledky čl.20.8 na ideálnídvou-
atomové a víceatomové plyny, musíme postup zopakovat
s tím, že nahradíme rov.(20.30) (U =
3
2
nRT) vztahem
U = (f/2)nRT, kde f je počet stupňů volnosti vzatý
z tab.20.4. Pro molární tepelnou kapacitu za konstantního
objemutakdostaneme
C
V
=
parenleftbigg
f
2
parenrightbigg
R = 4,16f J·mol
−1
·K
−1
, (20.39)
což samozřejmě souhlasí s rov.(20.33) pro jednoatomový
plyn (f = 3). Vzorec (20.39), jak vidíme v tab.20.3, je
v souladu s experimentem pro dvouatomové plyny, avšak
províceatomovéplyny dávápodstatněnižšíhodnoty.
PŘÍKLAD 20.9
VchatěoobjemuV mávzduch,kterýbudeme považovatza
dvouatomový plyn, počáteční teplotu T
1
. Poté, co zatopíme
vkamnech,setatoteplotazvýšínaT
2
.Jakájevýslednázměna
vnitřní energie vzduchu uvnitř chaty?
ŘEŠENÍ: Tato situace se poněkud liší od těch, které jsme
až dosud vyšetřovali, nebotquoteright chata jistě není zcela utěsněna.
Pokud by byla utěsněna a teplota by uvnitř stoupla, pak by
se dle stavové rovnice ideálního plynu (pV = nRT)zvýšil
takétlak.Protoževšakchatanenívzduchotěsná,můževzduch
různými otvory unikat a tlak vzduchu v chatě se neustále
vyrovnává s tlakem venkovního vzduchu.
Dlerov.(20.35)můžemeprozměnuvnitřníenergievzdu-
chuv chatě psát
Delta1U =C
V
Delta1(nT),
přičemž se mění jakn,takT. Použijeme-li stavovou rovnici
ideálního plynu a nahradíme-li Delta1(nT) výrazem Delta1(pV)/R,
získáme vztah
Delta1U =
C
V
R
Delta1(pV).
Poněvadž se v chatě nemění ani tlak, ani objem vzduchu,
vidíme odtud, že
Delta1U = 0,
přestože teplota uvnitř stoupá.
Proč je nám tedy v chatě příjemněji, když si zatopíme?
Na naše pocity mají vliv minimálně dva faktory. Člověk si
předávásokolímtepelnouenergii,protože(a)vyzařujeapři-
jímá elektromagnetické (termální) záření a (b) si vyměňuje
sokolnímvzduchemskrzepokožkuteplo.Zatopíme-livkam-
nech,(a)zvýšísemnožstvípřijímanéhotermálníhozářeníod
různýchplochvchatěa(b)stoupne teplota vzduchuvchatě,
takže budeme od něho přijímat větší množství tepla a bude
námpříjemněji.
Tabulka20.4 Stupně volnosti pro různé molekuly
PŘEDPOVĚZENÉ MOLÁRNÍ
STUPNĚ VOLNOSTI (BEZ VIBRACÍ) TEPELNÉ KAPACITY
MOLEKULA PŘÍKLAD POSUVNÉ ROTAČNÍ CELKOVÉ (f) C
V
(ROV.(20.39)) C
p
=C
V
+R
Jednoatomová He 3 0 3
3
2
R
5
2
R
Dvouatomová O
2
32 5
5
2
R
7
2
R
Víceatomová CH
4
33 6 3R 4R
20.11 ADIABATICKÉ ROZPÍNÁNÍ IDEÁLNÍHO PLYNU 541
20.10 TROCHA KVANTOVÉ TEORIE
Souhlasdosavadníchvýsledkůkinetickéteorieplynůsex-
perimentem můžeme zlepšit, pokud do našich úvah zahr-
neme také vibrační pohyb — kmity dvouatomových a ví-
ceatomovýchmolekul.NapříkladatomyvmolekuleO
2
na
obr.20.11b mohou kmitat směrem k sobě a od sebe kolem
určité rovnovážné polohy, jako by mezi nimi byla pruži-
na. Avšak experiment ukazuje, že tyto kmity se u molekul
objeví až při relativně vysokých teplotách plynu, tj. mole-
kuly začnou kmitat až tehdy, mají-li dostatečnou energii.
Podobně je tomu s rotací molekul, ale u tohoto pohybu je
potřebnáenergienižší,takžemolekulyrotujíužpřiběžných
teplotách.
teplota(K)
C
V
/R
posuv
rotace
vibrace
7/2
5/2
3/2
0
1
2
3
4
20 50 100 200 500 1000 2000 500010000
Obr.20.12 Závislost C
V
/R na teplotě pro (dvouatomový) vo-
díkový plyn. Protože rotační a vibrační pohyb vyžadují určitou
minimální energii, je přinízkých teplotách možnýpouze pohyb
posuvný. S rostoucí teplotou plynu začínají molekuly nejprve
rotovat a přidostatečných teplotách také kmitat.
Obr.20.12 nám dá lepší představu o tom, kdy začíná
hrátrolirotačníakdyvibračnípohybmolekul.Naobrázku
je graf závislosti poměru C
V
/R na teplotě pro dvouato-
mový vodíkový plyn H
2
. Teplotní škála je logaritmická,
aby bylo možno pokrýt dostatečný rozsah teplot. Z tohoto
grafu odečteme, že pro teploty pod 80K je C
V
/R = 1,5.
Tato hodnota odpovídá třem stupňům volnosti posuvného
pohybu, který za nízkých teplot jediný přispívá k tepelné
kapacitěC
V
. Se zvyšující se teplotou rosteC
V
/R na hod-
notu2,5,nebotquoterightzačínajípřispívatdalšídvastupněvolnosti.
Kvantová teorie nám říká, že tyto stupně volnosti odpo-
vídají rotačnímu pohybu molekul a že je zapotřebí určitá
minimálníenergie,abymolekulamohlarotovat.(Tatomini-
málníenergiejespojenaskvantovánímmomentuhybnosti
a jde o netriviální výsledek kvantové teorie. Uvědomme
si, že v klasické mechanice může být energie rotačního
pohybu libovolně malá.) Při nízkých teplotách (pod 80K)
nemají molekuly dostatečnou energii, aby mohly rotovat.
S rostoucí teplotou rotuje nejprve jen několik molekul,
později více a více, až nakonec rotují prakticky všechny
aC
V
/R = 2,5.
Podobněnámkvantováteorieříká,žeivibračnípohyb
molekul vyžaduje určitou minimální energii, která je však
vyšší než u rotačního pohybu a je jí dosaženo až při tep-
lotách okolo 1000K (obr.20.12). Se zvyšující se teplotou
opět přibývá kmitajícíchmolekul aC
V
/Rroste ažna hod-
notu 3,5. (Graf na obr.20.12 končí okolo teploty 3200K,
při které atomy kmitají natolik, že se od sebe odtrhnou —
dojdek disociacimolekulH
2
nadvaoddělenéatomyH.)
20.11 ADIABATICKÉ ROZPÍNÁNÍ
IDEÁLNÍHO PLYNU
V čl.18.2 jsme studovali zvukové vlny jako posloupnost
stlačenía rozepnutí vzduchu; tyto změny probíhají natolik
rychle, že nedojde k přenosu tepla ve vzduchu z jednoho
místanadruhé.Proces,přikterémjeQ= 0,jsmevčl.19.10
nazvali adiabatický. Výměně tepla během určitého děje
lze zabránit dvěma způsoby. Budquoteright děj probíhá tak rychle,
že k výměně tepla prakticky nestihne dojít (jako v případě
zvukovýchvln),anebosystémdobřetepelněizolujeme.Po-
dívejmesenyní,comůžeoadiabatickémdějiřícikinetická
teorieplynů.
Na obr.20.13a je zobrazen izolovaný válec obsahující
ideálníplyn.Odebíránímzávažízpístunechámeplynadia-
batickyrozpínat.Kdyžsezvětšujeobjemplynu,jehoteplota
i tlak klesají. Později dokážeme, že během vratného adia-
batickéhodějeplatímezitlakemaobjememplynu vztah
pV
γ
= konst. (adiabatický děj), (20.40)
kde γ = C
p
/C
V
je poměr molárních tepelných kapacit,
nebolitzv. Poissonova konstanta.Tentodějjevp-V dia-
gramu na obr.20.13b znázorněn částí křivky zvané adia-
bata, která je popsána ro