hrw18

18
Vlny ó II
Netop˝r v ˙plnÈ tmÏ nejen ÑvidÌì letÌcÌ hmyz, ale navÌc pozn·, jak rychle
se v˘Ëi nÏmu pohybuje. To mu umoûÚuje hmyz lovit. Na jakÈm principu
funguje jeho detekËnÌ systÈm? Jak˝m zp˘sobem se m˘ûe hmyz br·nit
?
18.2 RYCHLOST ZVUKU 467
Obr.18.1 Snímek pořízenýultrazvukem: plod se snaží nalézt
svůj palec.
18.1 ZVUKOVÉVLNĚNÍ
V kap.17 jsme viděli, že pro vznik mechanického vlnění
je potřeba nosné médium, hmotné prostředí. Existují dva
typy mechanického vlnění: v příčném jsou kmity kolmé
kesměru šířenívlny, zatímcovpodélnémjsouse směrem
šíření rovnoběžné. Zvuk se vždy může šířit jako podélné
vlnění;vpevnýchlátkáchpaknavícijakopříčné.Zvukové
vlnysepoužívajípřihledáníropyvzemskékůře.Lodějsou
vybaveny sonarem, aby se vyhnuly překážkám skrytým
podhladinou.Ponorkyvyužívajízvukovýchvlnkezjištění
nepřátelských ponorek: pátrají po charakteristických zvu-
cích, které vydává jejich pohon. Na počítačovém snímku
hlavydítěte(obr.18.1)vidíme,jaklzezvukovévlnypoužít
k výzkumu tkání v lidském těle. V této kapitole budeme
zkoumat,jaksezvukšířívzduchem.
Obr.18.2 ilustruje některé základní pojmy, které bu-
deme používat. Bod Z představuje zdroj zvuku zanedba-
telnýchrozměrů,tzv.bodový zdroj.Vlněníseodnějšířírov-
noměrně do všech směrů; bodovýzdroj je tedy izotropní.
Směr šíření a rozložení zvukových vln jsou znázorněny
pomocí vlnoploch a paprsků. Vlnoplocha je plocha, na
níž mají všechny částice vzduchu stejně velkou výchylku
irychlost(stejnoufázi);tytoplochyznázorňujemenadvoj-
rozměrném obrázku pomocí kružnic a oblouků. Paprsky
jsou čáry kolmé k vlnoplochám a určují směr postupu vl-
noploch.Fakt,žekmitypodélnéhovlněníjsourovnoběžné
s paprsky, je vyznačen na obr.18.2 krátkou oboustrannou
šipkou. V blízkosti bodového zdroje jsou vlnoplochy ku-
lové a šíří se do celého prostoru; pak mluvíme o kulové
vlně.Sezvětšujícísevzdálenostíodzdrojesepoloměrpo-
stupujícíchvlnoplochzvětšujeajejichkřivostsezmenšuje.
Velmi daleko od zdroje lze vlnoplochy dobře aproximovat
rovinami;pakmluvíme orovinnýchvlnách.
paprsek
paprsek
vlnoplochy
Z
Obr.18.2 Zvukové vlny se šíří trojrozměrným prostředím od
zdroje Z. Vlnoplochy vytvářejí koule se středem v bodě Z.
Paprsky mají radiální směr odZ. Krátká oboustranná šipka na-
značuje směr kmitů částic prostředí; je rovnoběžnýs paprsky.
18.2 RYCHLOSTZVUKU
Rychlostlibovolnéhomechanickéhovlnění(příčnéhoipo-
délného) závisí jednak na setrvačných vlastnostech pro-
středí (souvisejí s kinetickou energií částic prostředí), jed-
nak na jeho vlastnostechelastických(souvisí s potenciální
energií).Rov.(17.24),kteráudávárychlostšířenípříčného
vlněnínastruně,můžemezobecnit:
ν =
radicalbigg
τ
µ
=
radicalbigg
pružnost
setrvačnost
, (18.1)
kde(propříčnévýchylky)jeτ napětívestruněaµjejídél-
kováhustota.Je-linosnýmprostředímvzduch,lzezesrov-
náníodvodit,žesetrvačnostivyjádřenéµodpovídáhustota
vzduchurho1.Čímjetřebanahraditτ souvisejícíspružností?
Potenciálníenergiejeunapjatéstrunyspojenasvychý-
lenímjednotlivýchčásticstruny.Připrůchoduvlnystrunou
se výchylka každé částice periodicky mění. Při průchodu
zvukové vlny vzduchem se periodicky mění v malých ob-
lastech tlak. Veličinou, která udává, jak částice prostředí
mění svůj objem se změnou tlaku (síly na jednotku plo-
chy), je modul objemové pružnosti; je definován (porov-
nejtesrov.(13.36))
K =−
Delta1p
Delta1V/V
(definiceK), (18.2)
kde Delta1V/V je poměrná změna objemu vyvolaná změ-
nou tlaku Delta1p. Jednotkou tlaku v SI je newton na metr
čtverečný(viz čl.15.3), tj. pascal (Pa). Vidíme, že jed-
notkaKzrov.(18.2)jetaképascal.ZnaménkoDelta1p jevždy
468 KAPITOLA 18 VLNY — II
Tabulka18.1 Rychlostzvuku
PROSTŘEDÍ
v
m·s
−1
PROSTŘEDÍ
v
m·s
−1
PROSTŘEDÍ
v
m·s
−1
Plyny
a
Pevné látky
a
Kapaliny
a
Vzduch (0
◦
C) 331 Hliník 6420 Voda (0
◦
C) 1402
Vzduch (20
◦
C) 343 Ocel 5941 Voda (20
◦
C) 1482
Helium 965 Žula 6000 Mořská voda
b
1522
Vodík 1284
a
0
◦
Catlak1atm,pokudneuvedenojinak.
b
Při20
◦
Ca salinitě3,5%.
opačné než znaménko Delta1V; se zvyšujícím se tlakem (Delta1p
je kladné) se objem elementu zmenšuje (Delta1V je záporné)
a naopak. V rov. (18.2) vystupuje proto záporné znamén-
ko, aby K bylo vždy kladné. Záměnou K za τ a rho1 za µ
dostanemevztah
v=
radicalBigg
K
rho1
(rychlost zvuku) (18.3)
pro prostředí s modulem objemové pružnosti K a husto-
tourho1. V tabulce 18.1 jsou uvedeny rychlosti zvuku v růz-
nýchprostředích.
Hustotavodyjetéměřtisíckrátvětšínežhustotavzdu-
chu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota,
dalo by se očekávat vzhledem k rov.(18.3), že se ve vodě
budezvukšířitasitřicetkrátpomalejinežvevzduchu.Zta-
bulky18.1alevyplývá,žejevevodězvuknaopakčtyřikrát
rychlejšínežvevzduchu.Protobymělbýtmodulpružnosti
vodyvíceneždesetitisíckrátvětšínežuvzduchu.Taktomu
skutečněje,protoževodajevporovnánísevzduchemmno-
hemhůřstlačitelná.
Odvozenírov.(18.3)
Rov.(18.3)můžemetakéodvoditpřímozdruhéhoNewto-
novazákona.Předpokládejme,žesamostatnýpulzvyššího
tlaku se šíří zprava doleva rychlostí o velikosti v vzdu-
chemvtrubici.Zvolímenynísoustavuspojenouspulzem;
vnímátedypulznulovourychlost.Tutosituacizachycuje
obr.18.3a. Pulz stojí na místě a vzduch se pohybuje zleva
dopravarychlostío velikostiv.
Tlakvzduchuvokolípulzuoznačímepatlakvzduchu
uvnitřpulzubudep+Delta1p,kdeDelta1pjekladné,protoževzduch
v pulzu je stlačen. Uvažujme nyní tenkou vrstvu vzduchu
ošířceDelta1x aplošeS, která se pohybuje směrem k pulzu
rychlostív.Dostane-lisetatovrstvadooblastipulzu,změní
sedíkyodlišnémutlakujejírychlostnav+Delta1v,kdeDelta1vmá
zápornéznaménko.Kezpomalenícelévrstvydojdezadobu
Delta1t =
Delta1x
v
. (18.4)
;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
;; ;; ;;
;
;;;
;;
;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
;; ;; ;;
;
;;;
;;
(a)
proudícívzduch(elementobjemu)
pulzp,vp,v
Delta1x
S
v
p+Delta1p,v+Delta1v
(b)
Delta1x
pS
(p+Delta1p)S
Obr.18.3 Pulz stlačeného vzduchu se šíří dlouhou trubicí.
Vztažná soustava obrázku je zvolena tak, že pulz zůstává na
místě, zatímco vzduch se pohybuje zleva doprava. (a) Tenká
vrstva vzduchu šířky Delta1x se pohybuje směrem k pulzu rych-
lostí v. (b) Přední stěna vrstvy vstupuje do pulzu. Jsou znázor-
něny síly vyvolané tlakem vzduchu, působící na přední a zadní
stěnu vrstvy.
Nyní použijeme na vrstvu vzduchu druhýNewtonův zá-
kon.BěhemdobyDelta1tpůsobínazadnístěnuvrstvysměrem
doprava sílapS a na přední stěnu síla(p+Delta1p)S doleva
(obr.18.3b). Výsledné silové působení na vrstvu během
dobyDelta1t jetedy
F =pS−(p+Delta1p)S =−Delta1pS (výsledná síla). (18.5)
Záporné znaménko znamená, že výslednice sil míří na
obr.18.3bdoleva.ObjemvrstvyjeSDelta1x,aprotovzhledem
k rov.(18.4) platíprojejíhmotnost
Delta1m=rho1SDelta1x=rho1SvDelta1t (hmotnost). (18.6)
Zrychlenívrstvy běhemdobyDelta1t je
a=
Delta1v
Delta1t
(zrychlení). (18.7)
Z druhého Newtonova zákonu (F = ma) a z rov-
nic(18.5),(18.6)a(18.7) dostáváme
−Delta1pS =(rho1SvDelta1t)
Delta1v
Delta1t
,
18.3 ŠÍŘENÍ ZVUKOVÝCH VLN 469
cožmůžemezapsattakéjako
rho1v
2
=−
Delta1p
Delta1v/v
. (18.8)
Vzduch,kterýzabírávněpulzuobjemV =SvDelta1t,jestlačen
oDelta1V =SDelta1vDelta1tuvnitřpulzu,atedy
Delta1V
V
=
SDelta1vDelta1t
SvDelta1t
=
Delta1v
v
. (18.9)
Dosazenímrov.(18.9) a(18.2)dorov.(18.8) dostaneme
rho1v
2
=−
Delta1p
Delta1v/v
=−
Delta1p
Delta1V/V
=K.
Z této rovnice dostaneme výraz provshodnýs rov.(18.3)
pro vzduch pohybující se směrem doprava na obr.18.3,
neboliprorychlostpulzudolevav klidnémvzduchu.
PŘÍKLAD18.1
K určení směru, z něhož k nám přichází zvuk, využívá náš
mozek časovýrozdíl Delta1t, s nímž zvuk dorazí k bližšímu
a vzdálenějšímu uchu.* Vzdálenost mezi ušima označmel
0
.
Předpokládejme,žezdrojzvukujedostatečněvzdálený,takže
přicházejícívlnoplochyjsoupřibližněrovinné.Vtétosituaci:
(a)NalezněmevztahproDelta1tvyjádřenýpomocívzdálenosti l
0
aúhluθ mezispojnicí uší a čelem vlnoplochy.
ŘEŠENÍ: Sledujmeobr.18.4.Vlnění sešíříodzdrojekpo-
zorovateli. Časovýrozdíl je způsoben vzdáleností d,kte-
rou musí každá vlnoplocha urazit, aby po dosažení pravého
ucha (P) ještě dospěla k levému(L).Z obr.18.4 vyplývá
Delta1t =
d
v
=
l
0
sinθ
v
,(Odpovědquoteright) (18.10)
kde v je rychlost zvuku ve vzduchu. Náš mozek koreluje
zaznamenanoudobu zdrženíDelta1t shodnotou úhluθ směruke
zdroji na základě zkušenosti.
(b) Předpokládejte, že jste ponořeni ve vodě o teplotě 20
◦
C
a zprava k vám přicházejí zvukové vlny. V jakém směru
budete vnímat zdroj zvuku na základěDelta1t?
ŘEŠENÍ: Pomocírov.(18.10)dostanemečasovýrozdíl Delta1t
v
pro tuto situaci, tj. pro θ = 90
◦
, místo rychlosti zvuku ve
vzduchuvdosadíme jeho rychlost ve voděv
v
:
Delta1t
v
=
l
0
sin90
◦
v
v
=
l
0
v
v
. (18.11)
Vzhledemktomu,žev
v
jeasičtyřikrátvětšínežv,budeDelta1t
v
čtyřikrát menší než maximum časového rozdílu ve vzduchu.
* Uvedenýmechanismus lokalizace není ovšem jediný, uplatňují se
např.inepatrnémimovolnépohybyhlavou.
Nášmozekvšakodhadujesměrnazákladězkušenostizískané
ve vzduchu. Proto se nám bude zdát, že zvuk přichází pod
úhlemθ menším než 90
◦
. Abychom ho vyjádřili, dosadíme
zaDelta1t do rov.(18.10) časovýrozdíl l
0
/v
v
z rov.(18.11):
l
0
v
v
=
l
0
sinθ
v
. (18.12)
Dosazením hodnotv = 343m·s
−1
av
v
= 1482m·s
−1
zta-
bulky 18.1 do rov.(18.12) dostáváme
sinθ =
v
v
v
=
(343m·s
−1
)
(1482m·s
−1
)
= 0,231,
θ = 13
◦
. (Odpovědquoteright)
vlnoplochy
d
l
0L P
θ
θ
Obr.18.4 Příklad18.1.Klevémuuchumusívlnaurazitvzdálenost
od=l
0
sinθ delšínežk pravému.
18.3 ŠÍŘENÍZVUKOVÝCHVLN
V této kapitole budeme zkoumat polohové a tlakové vý-
chylky částic vzduchu při sinusovém průběhu zvukových
vln.Naobr.18.5jezobrazenavlnapostupujícídopravatru-
bicísevzduchem.Takovouvlnumůžemevyrobittřebape-
riodickýmpohybempístunalevémkoncitrubice(podobně
jakonaobr.17.2).Pohybpístudopravaposuneastlačínej-
bližší infinitezimální vrstvičku vzduchu; obdobně pohyb
pístu doleva způsobí pokles tlaku v této vrstvě. Vzruch,
tj. změna tlaku a pohyb vzduchu, vyvolanýpístem, se šíří
zvrstvyna vrstvu—atak vznikávlnění.
Uvažujme nyní v trubici tenkou vrstvu vzduchu
tlouštquoterightky Delta1x o souřadnici x. Při průchodu vlny tato
vrstva harmonicky kmitá okolo své rovnovážné polohy
(obr.18.5b). Podobně jako kmitají částice struny (příčně),
kmitajíiinfinitezimálnívrstvyvzduchupřiprůchoduvlny,
s tím rozdílem, že se u vzduchu jedná o podélné kmity.
Kpopisupolohovévýchylkys(x,t)vrstvyvzduchuzjeho
rovnovážné polohy můžeme použít budquoteright funkci sinus nebo
kosinus.V tétokapitolepoužijemekosinus:
s(x,t)=s
m
cos(kx−ωt). (18.13)
470 KAPITOLA 18 VLNY — II
;;;;;;;;;
;;;;;;;;;
;
;
;
;
;;
;;
;;
;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;
;
;
;
;
;
;
;
;;
;;
;;;;;;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;
;;
;;
;;
;;
;;
;;
;
;;
;;
;;
;
(a)
vyšší tlak
nižšítlak
x
v
λ
(b)
Delta1x
s
s
m
s
m
kmitajícíinfinitezimální
vrstva
rovnovážná
poloha
Obr.18.5 (a) Zvuková vlna se šíří rychlostí v trubicí se vzdu-
chem. Skládá se z pohybujících se a periodicky se opakujících
oblastí s nízkým a vysokým tlakem. Na obrázku je vlna zobra-
zenavjednomčasovémokamžiku.(b)Zvětšenývýřezmaléčásti
trubice. Elementární vrstva vzduchu tlouštquoterightky Delta1x harmonicky
kmitá při průchodu vlny okolo rovnovážné polohy. V daném
okamžiku je vrstva vychýlena o vzdálenosts doprava z rovno-
vážné polohy. Největší výchylka (doleva idoprava) jes
m
.
Symbol s
m
označuje amplituduvýchylky, tj. maximální
výchylkuinfinitezimálnívrstvyvzduchuzrovnovážnépo-
lohy (obr.18.5b).* Úhlovývlnočet k, úhlová frekvenceω,
frekvencef, vlnová délkaλ, rychlostv a periodaT jsou
pro zvukové,a tedy podélnévlnění definovány stejnějako
provlněnípříčnéaplatímezinimistejnévztahy.Výjimkou
jeλ,kterányníoznačujenejmenšívzdálenost,nanížseza-
čínajíoblastivyššíhoanižšíhotlakuopakovat(obr.18.5a).
(Předpokládáme,žes
m
jemnohemmenšínežλ.)
Tlak v kterémkoli místě x se mění při postupu vlny
harmonicky, jak dále ukážeme. Tato změna probíhá podle
vztahu
Delta1p(x,t) =Delta1p
m
sin(kx−ωt). (18.14)
Záporná hodnota Delta1p v rov.(18.14) odpovídá roztažení,
kladná hodnota stlačení vzduchové vrstvy. Symbol Delta1p
m
označujeamplitudutlaku,kteráodpovídánejvětšímuná-
růstunebopoklesutlakuzpůsobenéhovlnou;běžnějeDelta1p
m
mnohemmenšínežtlakp,kterýodpovídátlakuvpřípadě,
ženenípřítomnavlna.Ukážeme,žeamplitudatlakuDelta1p
m
je
svázánasamplitudouvýchylkys
m
zrov.(18.13)vztahem
Delta1p
m
=(vrho1ω)s
m
. (18.15)
* Propříčnouvýchylkuelementunapjatéstrunyjsmeužívalioznačení
y(x,t). Zde píšeme s(x,t), abychom se vyhnuli zápisu x(x,t) pro
podélnouvýchylkuvzdušnéhoelementu.
Naobr.18.6jsougrafyrov.(18.13)a(18.14)včaset =
= 0.Vprůběhučasuseoběkřivkypohybujídopravapodél
osyx.Povšimnětesi,žepolohováatlakovávýchylkajsou
vzájemně posunuty o fázi D4/2 rad (neboli 90
◦
). Výchylka
tlaku je tedy nulová, právě když je výchylka polohy nej-
větší.
(a)
výchylka
polohy
(
D1
m)
s
m
t=0
x(cm)
−10
0
10
20 40 60 80 100
(b)
výchylka
tlaku
(Pa)
t=0
x(cm)
Delta1p
m
−10
−20
−30
0
10
20
30
20 40 60 80 100
Obr.18.6 (a) Graf polohové výchylky (rov.(18.13)) v čase
t = 0. (b) Obdobnýgraf pro výchylku tlaku (rov.(18.14)). Oba
grafy odpovídají zvukové vlně o frekvenci 1000Hz, jejíž am-
plituda je na úrovni prahu bolesti. Viz př.18.2.
K
ONTROLA 1: Co se děje s tlakem v případě, že se
infinitezimálnívzduchovávrstvazobr.18.5bpohybuje
dopravabodem,vněmžjepolohovávýchylkanulová?
Jetlakvrovnovážnépoloze,neboprávězačínárůst,či
klesat?
Odvozenívztahů(18.14)a(18.15)
Mějme kmitající infinitezimální vrstvu vzduchu o plošeS
a tlouštquoterightce Delta1x, jejíž střed je z rovnovážné polohy vychý-
len o vzdálenosts (obr.18.5b). Podle rov.(18.2) platí pro
výchylkutlakuvevrstvičcevzduchu
Delta1p =−K
Delta1V
V
. (18.16)
VeličinaV vrov.(18.16)jevelikostobjemu,danávztahem
V =SDelta1x. (18.17)
PřitomDelta1V v rov.(18.16) označuje změnu (výchylku) ob-
jemusouvisejícíspolohovouvýchylkouvrstvy.Změnaob-
jemujezpůsobenatím,žeposunutíoboustěnvrstvynejsou
zcelashodná,lišíseovzdálenostDelta1s.Platí tedy
Delta1V =SDelta1s. (18.18)
18.4 INTERFERENCE 471
Dosazením rov.(18.17) a (18.18) do vztahu (18.16)
dostanemepo provedenílimitníhopřechodu
Delta1p =−K
Delta1s
Delta1x
=−K
∂s
∂x
. (18.19)
Symbol ∂ v rov.(18.19) znamená, že se jedná o parciální
derivaci, která říká, jak se měnís se změnoux v pevném
časovém okamžiku. Z rov.(18.13) tak dostáváme (s t se
zacházíjakoskonstantou)
∂s
∂x
=
∂
∂x
(s
m
cos(kx−ωt))=−ks
m
sin(kx−ωt).
Po dosazenítohoto výsledkudorov.(18.19)vyjde
Delta1p =Kks
m
sin(kx−ωt),
čímž jsme vztah (18.14) skutečně dokázali; zřejmě je
Delta1p
m
=Kks
m
.
Spoužitímrov.(18.3)můžemenyní psát
Delta1p
m
=(Kk)s
m
=(v
2
rho1k)s
m
.
Odtud po dosazenív=ω/k(rov.(17.12)) okamžitě plyne
rov.(18.15),kteroujsmechtělidokázat.
PŘÍKLAD18.2
MaximálníamplitudatlakuDelta1p
m
hlasitéhozvuku,kteroulid-
skéuchosnese,jeasi28Pa(cožjemnohemméněnežběžný
tlak vzduchu 10
5
Pa).Jaké je posunutís
m
vzduchové částice
u takového zvuku s frekvencí 1000Hz? Vzduch má hustotu
rho1= 1,21kg·m
−3
.
ŘEŠENÍ: Zrov.(18.15) dostaneme odpovědquoteright
s
m
=
Delta1p
m
vrho1ω
=
Delta1p
m
vrho1(2D4f)
=
=
(28Pa)
(343m·s
−1
)(1,21kg·m
−3
)(2D4)(1000Hz)
=
= 1,1·10
−5
m = 11D1m. (Odpovědquoteright)
Výchylka,kteroulidskéuchosnese,jeipronejhlasitějšízvuk
zjevněvelicemalá:okolojednésedminytlouštquoterightkylistupapíru.
AmplitudatlakuDelta1p
m
pronejslabšíslyšitelnýzvukofrek-
venci 1000Hz je okolo 2,8·10
−5
Pa. Uvedeným postupem
dostaneme odpovídající amplitudus
m
= 1,1·10
−11
m neboli
11pm. To je asi jedna desetina typického atomového polo-
měru. Vidíme, že ucho je velice citlivýdetektor zvukových
vln. Ucho může zaznamenat zvukové pulzy, jejichž celková
energie je na úrovni několika elektronvoltů, což odpovídá
energii potřebné k vytržení jednoho elektronu z atomu.
18.4 INTERFERENCE
Na obr.18.7 jsou dva bodové zdroje Z
1
aZ
2
zvukového
vlněnío vlnovédélceλ.Zdroje jsouvefázi,cožznamená,
ževznikajícívlnydosahujímaximálnívýchylkysoučasně.
Předpokládejme,že zvukové vlny šířící se zhruba stejným
směrem z obou zdrojů procházejí bodemP. Je-li vP ura-
žená dráha obou vln stejná, budou i v tomto bodě ve fázi.
Pokudseovšemdráhyvzájemnělišíjakonaobr.18.7,pak
ve fázi nebudou. Jejich fázovýrozdíl v bodě P závisí na
jejich dráhovém rozdíluDelta1L.
Šíří-li sedvě vlny po odlišných drahách,může sejejich
fázovýrozdíl díkydráhovémurozdílu Delta1Lzměnit.
Obr.18.7 Ze dvou
bodových zdrojů Z
1
aZ
2
vycházejí kulové zvukové
vlny ve fázi. Paprsky
ukazují, že bodem P
procházejí vlny s fázovým
rozdílem.
P
Z
1
Z
2
Fázovýrozdíl2 D4radodpovídájednévlnovédélce(viz
čl.17.4). Proto pro obecnýfázovýrozdíl ϕ mezi dvěma
vlnamiplatí
ϕ
2D4
=
Delta1L
λ
, (18.20)
odkud plyne
ϕ=
Delta1L
λ
2D4. (18.21)
Zvukovévlněnívykazuje,podobnějakopříčnévlnění,dva
meznípřípadyinterference:konstruktivníadestruktivní.
Konstruktivní interference nastává v případě, že jsou vlny
vefázi, takže fázovýrozdíl ϕ je nulovýnebo je celočísel-
ným násobkem2D4,tj.
ϕ= 2D4m, m= 0,±1,±2,… (18.22)
(konstruktivní interference).
Je-liϕlichýmnásobkem D4,tj.
ϕ= 2D4
parenleftbig
m+
1
2
parenrightbig
,m= 0,±1,±2,… (18.23)
(destruktivní interference),
jsou vlny vprotifázi a nastává destruktivní interference.
Podlerov.(18.21)jezřejmé,žeuvedenépodmínkylzepře-
psatnatvar
Delta1L=mλ, m= 0,±1,±2,… (18.24)
(konstruktivní interference),
472 KAPITOLA 18 VLNY — II
resp.
Delta1L=
parenleftbig
m+
1
2
parenrightbig
λ, m= 0,±1,±2,… (18.25)
(destruktivní interference).
PŘÍKLAD18.3
JsoudánydvabodovézdrojeZ
1
aZ
2
zvukovýchvlnovlnové
délceλ. Zdroje jsou ve fázi a jejich vzájemná vzdálenost je
a= 1,5λ(obr.18.8).
(a)
a/2
a/2
Z
1
Z
2
P
1
P
2
(b)
Z
1
Z
2
AB
C
D
00
1,0λ
1,0λ
1,0λ
1,0λ
1,5λ
1,5λ
Obr.18.8 Příklad18.3.(a)DvabodovézdrojeZ
1
aZ
2
zvukových
vlnjsouvevzdálenostia.Zdrojejsouvefázi.Dráha,kterouvlnění
urazíkboduP
1
,jeodobouzdrojůstejná.BodP
2
ležínapolopřímce
procházejícízdrojiZ
1
aZ
2
. (b)Fázovýrozdíl(v násobcíchvlnové
délky) vln ze zdrojů Z
1
aZ
2
v osmi bodech na kružnici kolem
zdrojů.
(a) Zjistěte, jakýje v bodě P
1
fázovýrozdíl vln ze zdrojů Z
1
aZ
2
.BodP
1
leží na kolmici, která dělí vzdálenosta na dvě
stejné části; vzdálenost boduP
1
od zdrojů je mnohem větší
neža(obr.18.8a). Kterýz typů interferencínastává v P
1
?
ŘEŠENÍ: Vlny ze zdrojů Z
1
aZ
2
sice nedocházejí k bodu
P
1
zestejnýchsměrů,aleitakmůžemeprovelkévzdálenosti
od bodů oba paprsky prohlásit za prakticky rovnoběžné.
Vzdálenost boduP
1
je od obou zdrojů stejná, a proto je drá-
hovýrozdíl vln Delta1Lnulový. Z rov.(18.21) dostáváme
ϕ=
Delta1L
λ
2D4 = 0.
Hodnota ϕ = 0 splňuje podmínku rov.(18.22) pro m = 0,
nastává tedy případ konstruktivní interference. Z podmínky
rov.(18.24) dostáváme přirozeně stejnývýsledek: dráhový
rozdílDelta1L= 0splňuje prom= 0 tuto podmínku také.
(b) Jaká je fázea typ interferencepro bodP
2
(obr.18.8a)?
ŘEŠENÍ: BodP
2
ležínapolopřímceprocházejícízdrojiZ
1
aZ
2
.Dráhovýrozdílvln Delta1LzezdrojůbudetedyvP
2
roven
vzdálenostia.Zrov.(18.21)dostávámeproDelta1L=a= 1,5λ
ϕ=
Delta1L
λ
2D4 =
1,5λ
λ
2D4 = 3D4rad. (Odpovědquoteright)
Tato hodnota ϕ splňuje podmínku rov.(18.23) s m = 1,
což odpovídá destruktivní interferenci. Obdobně je tomu
srov.(18.25),kterájeproDelta1L= 1,5λsplněna takésm= 1.
Všimněte si, že vzdálenost boduP
2
od zdroje Z
2
nemá vliv
na výsledek.
(c) Na obr.18.8b je kružnice s poloměrem mnohem větším
neža, jejíž střed leží mezi zdroji Z
1
aZ
2
. V kolika bodech
(N)na kružnici nastává konstruktivní interference?
ŘEŠENÍ: Jižvímez(a),ževbodechAaB,vnichžrovina
symetrie je kolmá na spojnici od zdrojů a protíná kružnici
(obr.18.8b), je dráhovýrozdíl Delta1L = 0. Z (b) víme, že drá-
hovýrozdíl čin