hrw18

í Delta1L = 1,5λv bodechCaD, kde kružnice
protíná přímku procházející oběma zdroji. Odtud vyplývá,
že na kružnici musí existovat mezilehlé body, v nichž je
Delta1L= 1,0λ. V těchto bodech nastane konstruktivní interfe-
rence. I když neurčíme polohy těchto bodů přesně, můžeme
je alespoň přibližně na obr.18.8b odhadnout. Spočítáme-li
konstruktivní interferenční body na kružnici, dostaneme od-
povědquoteright
N = 6. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA2:KdybybylavzdálenostamezizdrojiZ
1
aZ
2
zpř.18.3rovna4λ,jakýtypinterferencebynastal
(a) v boděP
1
, (b) v bodě vP
2
? Zjistěte odpovídající
hodnotum.
18.5 INTENZITAZVUKU
AJEJÍHLADINA
Zkusili jste někdy spát při hlasité hudbě? Určitě jste si
všimli,žeexistujeještědalšívlastnostzvukukroměvlnové
délky, frekvence a rychlosti. Touto vlastností jeintenzita.
Intenzita zvukuI je dána průměrnou energií vlnění, která
projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke
směrušíření.Platí tedy
I =
P
S
, (18.26)
18.5 INTENZITA ZVUKU A JEJÍ HLADINA 473
kde P je výkon zvukové vlny dopadající na plochu S.
IntenzitaI jes amplitudoupolohové výchylkys
m
svázána
vztahem
I =
1
2
rho1vω
2
s
2
m
. (18.27)
Tento vztahbrzyodvodíme.
Změnaintenzitysevzdáleností
U skutečného zvuku je změna intenzity se vzdáleností
velmi složitou záležitostí. Některé zdroje (např. reproduk-
tory) mohou vysílat zvuk jen do určitého směru, skutečné
prostředízaseumožňujeodrazzvukovýchvlnatedyvznik
ozvěn.V některýchpřípadechvšakmůžemezanedbatvliv
ozvěnapředpokládat,ževlněníseodzdroješíří izotropně,
tj. se stejnou intenzitou do všech směrů. Na obr.18.9 jsou
vjednomčasovémokamžikuvlnoplochyzizotropníhobo-
dovéhozdrojeZ.
r
Z
Obr.18.9 Od bodového zdroje Z vycházejí zvukové vlny rov-
noměrně do všech směrů. Vlny procházejí myšlenou koulí se
středem vZ a poloměremr.
Předpokládejmenyní,žesecelkovámechanickáener-
gievlnpřišířeníodzdrojezachovává.DoboduZpoložme
středmyšlenékouleopoloměrur(obr.18.9).Veškeráener-
gie ze zdroje musí procházet povrchem této koule, a proto
bude výkon vln procházející povrchem koule roven vý-
konuP
Z
zdroje.Zrov.(18.26)tedyplyne,žeintenzitaI je
vkaždémbodu napovrchukoulerovna
I =
P
Z
4D4r
2
, (18.28)
kde4D4r
2
jevelikostpovrchukoule.Vztah(18.28)znamená,
že intenzita zvuku izotropního bodového zdroje klesá se
čtvercemvzdálenostir odzdroje.
K
ONTROLA3:Naobrázkujsoutřimaléplošky1,2a3
ležící na povrchu myšlených koulí, jejichž společný
střed leží v bodovém izotropním zdroji Z. Výkon pro-
cházející všemi ploškami je stejný. Seřadquoterightte sestupně
plošky(a)podleintenzityzvukua(b)podlejejichplo-
chy.
1
2
3
Z
Stupnicevdecibelech
V př.18.2 jsme viděli, že amplituda polohové výchylky,
kteroumůželidskéuchozaznamenat,ležív intervaluhod-
not od 10
−5
m (u nejhlasitějšího snesitelného zvuku) do
10
−11
m (u nejslabšího slyšitelného zvuku). Poměr těchto
hodnotje10
6
.Zrov.(18.27)vidíme,žeintenzitazvukuzá-
visína kvadrátu amplitudyvlny.Poměrintenzitodpovída-
jících hranicím uchem slyšitelných zvuků tedy bude 10
12
.
Lidské ucho slyší zvuky skutečně v ohromném rozpětí in-
tenzit.
Zvuk může rozkmitat stěnu sklenice. Pokud vlivem zvuku
vznikne stojaté vlnění a intenzita zvuku je dostatečná, sklenice
praskne.
Abychom mohli zacházet s tak velkou oblastí hodnot,
použijemefunkci logaritmus.Uvažujmevztahy
x= 10
y
neboli y= logx,
474 KAPITOLA 18 VLNY — II
kdex ay jsou proměnné. Logaritmus má tu vlastnost, že
kdyžvynásobímexčíslem10,zvýšísehodnotayo1.Pišme
prolepšípředstavu
y
1
= log10x= log10+logx = 1+y.
Podobně,vynásobíme-lixčíslem1·10
12
,zvýšíseypouze
o 12. Je tedy daleko výhodnější namísto intenzity zvukuI
mluvitohladiněintenzityzvukuβdefinovanéjako
β =(10dB)log
I
I
0
, (18.29)
kdedB je zkratka pro decibel, jednotku hladiny intenzity
zvuku, pojmenovanou na počest Alexandra Grahama Bel-
la. Hodnota I
0
v rov.(18.29) je standardní referenční in-
tenzita (10
−12
W·m
−2
), vybraná jako zhruba nejnižší lid-
ským uchem slyšitelná úroveň zvuku. Pro I = I
0
dává
rov.(18.29)β = 10log1 = 0,referenčníhladinaodpovídá
tedy nulové hodnotě v decibelech. Hodnota β se zvyšuje
o 10dB pokaždé, vzroste-li intenzita zvuku o jeden řád
(zvětší-li se desetkrát). Hodnota β = 40 tedy odpovídá
intenzitě 10
4
krát větší než je referenční hladina. Tab.18.2
ukazujehladinyintenzityzvukuvrůznýchsituacích.Hlasi-
tostzvukujepaknášsubjektivnívjem,souvisejícíshladi-
nouintenzityzvuku.Určujeseporovnávánímzkoumaného
zvukusreferenčnímtónemvýšky1000Hz.
Tabulka 18.2 Některéhladinyintenzityzvukuv dB
Práhslyšitelnosti 0 Rockovýkoncert 110
Ševelení listů 10 Práhbolesti 120
Běžnýhovor 60 Proudovýmotor 130
Odvozenírov.(18.27)
Postup je obdobnýjako při odvození rov. (17.35). Uva-
žujme(obr.18.5a)tenkouvrstvičkuvzduchuotlouštquoterightcedx,
plošeS a hmotnosti dm kmitající v procházející zvukové
vlnědlerov.(18.13).KinetickáenergiedE
k
vrstvičkyvzdu-
chuje
dE
k
=
1
2
dmv
2
s
, (18.30)
kdev
s
nenírychlostprocházejícívlny,alerychlostkmitání
tohotoelementuvzduchu.Obdržímejizrov.(18.13)jako
v
s
=
∂s
∂t
=−ωs
m
sin(kx−ωt).
Užitím tohoto vztahu a dosazenímdm=rho1Sdx upravíme
rov.(18.30) natvar
dE
k
=
1
2
(rho1Sdx)(−ωs
m
)
2
sin
2
(kx−ωt). (18.31)
Průměrnou kinetickou energii připadající na jednotkovou
tlouštquoterightkuvrstvy vzduchuvypočtemeintegrací:
E
k
=
1
λ
integraldisplay
λ
0
dE
k
. (18.32)
Dosazenímzrov. (18.31)dostaneme:
E
k
=
1
4
rho1Sω
2
s
2
m
. (18.33)
Přiodvozenítohotovztahujsmepoužilitoho,žeprůměrná
hodnotakvadrátufunkcesinus(nebokosinus)naintervalu
délkyλje 1/2. Předpokládejme, že je potenciální energie
nesenaspolusvlnouamástejnouprůměrnouhodnotujako
energie kinetická. Intenzita I vlny, což je průměrná hod-
nota energie (kinetické+potenciální) prošlé jednotkovou
plochouzajednotkučasu,je
I =
1
S
(E
k
+E
p
)v=
2
S
E
k
v=
1
2
rho1vω
2
s
2
m
,
cožjeprávěrov.(18.27),kteroujsmechtěliodvodit.
PŘÍKLAD18.4
Elektrickájiskraletícípopřímédrázeodélceh= 10mvysílá
zvukovýpulz, kterýse šíří radiálně symetricky od jiskry.
Říkáme, že jiskra je v tomto případě čárový zdroj zvuku.
Výkon vysílaného zářeníjeP
Z
= 1,6·10
4
W.
(a) Jaká je intenzitaI, dosáhne-li zvukovýpulz vzdálenosti
r = 12m od jiskry?
ŘEŠENÍ: Představmesimyšlenýválec(sotevřenýmikonci)
opoloměrur = 12m a výšceh= 10m, na jehož ose se na-
chází dráha jiskry (obr.18.10). Množství energie, které pro-
cházípovrchem válce, se musí rovnat výkonuP
Z
,sekterým
zdroj energii vysílá. Podle rov.(18.26) musí být intenzita I
na povrchu válce rovna výkonuP
Z
dělenému velikostí jeho
pláště 2D4rh:
I =
P
Z
2D4rh
. (18.34)
Tento vztah nám říká, že intenzita zvuku z čárového zdroje
klesá se vzdáleností jako r (a ne jako r
2
, jak tomu bylo
u bodového zdroje).Dosazenímzadanýchhodnotdostáváme
výsledek
I =
(1,6·10
4
W)
2D4(12m)(10m)
=
= 21,2W·m
−2
.
= 21W·m
−2
. (Odpovědquoteright)
(b) Jak velkývýkon registruje akustickýdetektor o ploše
S
D
= 2,0cm
2
zaměřenýna jiskru ve vzdálenosti r = 12m
od ní?
18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 475
ŘEŠENÍ: Zrov.(18.26) víme,že
I =
P
D
S
D
.
OdtuddostanemepodosazenízadanéplochyS
D
aintenzityI
z části (a)
P
D
=(21,2W·m
−2
)(2,0·10
−4
m
2
)= 4,2mW.(Odpovědquoteright)
jiskra
h r
Obr.18.10 Příklad18.4.Jiskra
radiálně vysílá zvukové vlny
podél své přímé dráhy délkyh.
Vlny procházejí povrchem
válce o poloměrur avýšceh,
jehožosutvořídráhajiskry.
PŘÍKLAD18.5
V roce 1976 vytvořila skupina Who rekord v hlasitosti kon-
certu.Hladinaintenzityzvukubylavevzdálenosti46mpřed
reproduktoryβ
2
= 120dB.Jakýjepoměrintenzity I
2
zvuku
vdanémmístěkuintenzitěI
1
bucharupracujícíhoshladinou
intenzity zvukuβ
1
= 92dB?
ŘEŠENÍ: Napišme poměr obou intenzit jako
I
2
I
1
=
I
2
/I
0
I
1
/I
0
.
Logaritmováním a vynásobením hodnotou 10dB dostáváme
(10dB)log
I
2
I
1
=(10dB)log
I
2
I
0
−(10dB)log
I
1
I
0
.
Z rov.(18.29) pak vidíme, že členy na pravé straně rovnice
jsou právěβ
2
aβ
1
.Odtud plyne
(10dB)log
I
2
I
1
=β
2
−β
1
. (18.35)
Všimněme si, že poměr dvou intenzit odpovídá rozdílu pří-
slušnýchhladinintenzitzvuku.Dosazenímzadanýchdatdo-
stáváme
(10dB)log
I
2
I
1
= 120dB−92dB = 28dB
a
log
I
2
I
1
=
28dB
10dB
= 2,8.
Odlogaritmováním obou stran dostaneme
I
2
I
1
= 630.
Skupina Who byla opravdu velmi hlučná. Krátkodobývliv
intenzittakvelkýchjakouuvedenéhobucharunebokoncertu
Who má za následek dočasné poruchy sluchu. Opakovaný
a delší vliv takových intenzit může způsobit jeho trvalé po-
škození (obr.18.11). Ztráta sluchu je vážné riziko pro koho-
koliv, kdo poslouchá heavy metal nebo jinou velmi hlučnou
hudbu.
Obr.18.11 Příklad18.5.PeterTownshendzeskupinyWhohrající
předreproduktory.Opakovanýadlouhodobývlivzvukuonejvyš-
ších intenzitách, speciálně při hraní přímo u reproduktoru kvůli
zpětnévazbě,mu přivodiltrvalépoškozenísluchu.
18.6 ZDROJEHUDEBNÍHOZVUKU
Hudebnízvukymohoubýtvytvořenykmitánímstrun(kyta-
ra,klavír,housle),membrán(bubny,tamburína),vzducho-
véhosloupce(flétna,hoboj,varhany,fujara— obr.18.12),
dřevěných nebo kovových tyček (marimba, xylofon) nebo
mnoha jiných těles. Většina nástrojů také obsahuje více
nežjednukmitajícíčást.Uhouslísenapř.natvorbězvuku
nepodílejí pouze struny, ale i celé tělo (korpus) nástroje.
Zopakujme z kap.17, že stojaté vlnění může vzniknout
na struně, napneme-li ji mezi dva pevné body. Vznikne
z postupných vln, které běží po struně a odrážejí se na
jejích pevných koncích. Vlnová délka takových vln musí
476 KAPITOLA 18 VLNY — II
odpovídat vlastní frekvenci struny.Stojatévlnypakmohou
dlouho kmitat s velkou amplitudou, rozechvívají okolní
vzduch a vzniká tak dobře slyšitelnýtón o frekvenci kmi-
tajícístruny.Takto vytváří zvuknapř.kytarista.
Obr.18.12 Při hře na tradiční slovenskýnástroj fujaru kmitá
uvnitř vzduchovýsloupec.
Stojatévlněnímůžemeobdobněvytvořitivpíštquoterightale—
vevzduchemnaplněnétrubici.Zvukovávlnašířícísevtru-
bici se odráží na jejích koncích. (Takovýodraz vzniká,
i když jsou konce trubice otevřeny, ale pak není odraz
tak dokonalýjako u konce uzavřeného).Pokud délka vlny
odpovídá délce trubice, vznikne složením proti sobě běží-
cíchvln vlna stojatá.I její vlnová délkamusí opět odpoví-
dat vlastní frekvenci trubice. Stojaté vlny pak opět mohou
dlouho kmitat s velkou amplitudou, rozechvívají okolní
vzduch a opět vzniká dobře slyšitelnýtón. Takto vytváří
zvuknapř.varhaník.
Mnoho dalších vlastností stojatých zvukových vln je
podobnýchvlnámnastruně:uzavřenýkonectrubiceodpo-
vídá upevněnému konci struny, ve kterém se nachází uzel
(nulovýrozkmit). Otevřenýkonec trubice odpovídá volně
pohyblivému konci struny na kroužku podle obr.17.16b,
kde se zhruba nachází kmitna. (Ve skutečnosti je kmitna
až kousek za koncem trubice, ale tímto detailem se zde
nebudeme zabývat). Nejjednodušší stojaté vlnění můžeme
vytvořit v trubici s oběma otevřenými konci, jak ukazuje
obr.18.13a.Nakoncíchtrubicejsoukmitny,uprostředtru-
bice je tedy uzel. Nejjednodušší vysvětlení vzniku takové
podélné stojaté vlny je (obr.18.13b) analogie se stojatou
příčnou vlnou na struně. Stojatá vlna na obr.18.13a se na-
zývá základní mód kmitání neboli první harmonická.
Aby mohla vzniknout, musí být vlnová délka λ takové
vlny v trubici o délce L rovna λ = 2L. Několik dalších
stojatýchvlnvtrubicisotevřenýmikoncijeznázorněnona
obr.18.14apomocíanalogiesvlnaminastruně.Druhá har-
monická potřebujevlnovoudélkuλ=L, třetí harmonická
vlnovou délkuλ= 2L/3 atd.
(a)
L
ANA
λ=2L
(b)
Obr.18.13 (a) Nejjednodušší podélná stojatá zvuková vlna
v trubici s oběma otevřenými konci má kmitny na koncích
v bodechAa uzel v boděN uprostřed trubice. (Výchylky jsou
znázorněnydvojitýmišipkamirůznévelikosti.)(b)Odpovídající
příčná stojatá vlna na struně.
Obecnějiřečeno,vlastnífrekvenceprotrubicidélkyL
soběmakonciotevřenýmiodpovídajívlnovým délkám
λ=
2L
n
(n= 1,2,3,…), (18.36)
kdenjepořadovéčíslopříslušnéharmonické.Vlastnífrek-
vencejsoupak dányvztahem
f =
v
λ
=
nv
2L
(n= 1,2,3,…), (18.37)
(píštquoterightala s oběma otevřenými konci),
kdevjerychlostzvuku.
Obr.18.14b ukazuje v analogii se strunou některé sto-
jatévlny,kterémohouvzniknoutvtrubicisjednímotevře-
nýmkoncem.Votevřenémkoncisenacházíkmitnaavuza-
vřeném uzel. Pro nejjednodušší stojatou vlnu je třeba, aby
vlnovádélkasplňovalavztahL=λ/4,tedyλ= 4L.Druhá
nejjednodušší stojatá vlna má vlnovou délku L = 3λ/4,
tedyλ= 4L/3atd.
Obecnějiřečeno,vlastnífrekvenceprotrubicidélkyL
jensjednímotevřenýmkoncemodpovídávlnovýmdélkám
λ=
4L
n
(n= 1,3,5,…), (18.38)
18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 477
(a)
L
n=2
n=3
n=4
λ=2L/2=L
λ=2L/3
λ=2L/4=L
(b)
n=1
n=3
n=5
n=7
λ=4L
λ=4L/3
λ=4L/5
λ=4L/7
Obr.18.14 Typy stojatých vln, které známe ze struny, nakres-
lené přes trubice pro znázornění stojatých zvukových vln.
(a) Jsou-li oba konce trubice otevřené, mohou v ní vzniknout
všechny harmonické. (b) Je-li však jeden konec uzavřený, mo-
hou vzniknout jenliché harmonické.
kde číslo harmonickénmusí být liché. Vlastní frekvence
jsoupak
f =
v
λ
=
nv
4L
(n= 1,3,5,…) (18.39)
(píštquoterightala sjediným otevřeným koncem).
Ještějednouzdůrazněme,ževtrubicisjedinýmotevřeným
koncemmohouexistovatjenlichéharmonické.Např.druhá
harmonická s n = 2 nemůže v takové trubici vzniknout.
Všimněmesitaké,ževtakovémpřípaděspojení„třetíhar-
monická“stáleznamenáharmonickousn= 3,anevpořadí
třetímožnouharmonickou,vyskytujícísevtétotrubici(zde
např.n= 5).
Velikosthudebníhonástrojejedánarozsahemfrekven-
cí, pro kterýbyl nástroj stavěn: menší velikost odpovídá
vyšším frekvencím. Obr.18.15 ukazuje jako příklad různé
druhy saxofonů a smyčcových nástrojů s příslušným frek-
venčním rozsahem. Rozsah každého nástroje se překrývá
srozsahyjehosousedů.
V jakémkoli systému, ve kterém vzniká zvuk, atquoteright už
je to houslová struna nebo vzduchovýsloupec v píštquoterightale
varhan, vznikají vedle základní frekvence obvykle i vyšší
harmonické;tysesnísčítajíavytvářejíbarvutónu.Urůz-
ných nástrojů mají vyšší harmonické různé intenzity, což
způsobujerůznézabarvenítéhožtónuhranéhorůznýminá-
AHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHC
basovýsaxofon
barytonovýsaxofon
tenorsaxofon
altsaxofon
sopránovýsaxofon
basa
violoncello
viola
housle
Obr.18.15 Vztahmezivelikostíhudebníhonástrojeajehofrek-
venčním rozsahem na příkladu jednak smyčcových nástrojů,
jednakrůznýchdruhůsaxofonů.Frekvenčnírozsahkaždéhoná-
stroje je znázorněn vodorovnou linkou podél měřítka frekvencí
(zobrazenéhoklaviaturou dole; frekvence roste zleva doprava).
(a)
(b)
(c)
čas
Obr.18.16 Tóny stejné výšky (tedy vlny se stejnou první har-
monickou) vytvořené (a)flétnou, (b) hobojem a (c)saxofonem.
stroji. Obr.18.16 ukazuje, jak se vlny se stejnou základní
frekvencímohouu různýchnástrojůlišit.
PŘÍKLAD18.6
Slabýšum pozadí vytvoří stojatou vlnu v lepenkové trubici
s otevřenými konci, jejíž délka jeL = 67,0cm. Předpoklá-
dejme,žerychlost zvuku ve vzduchu v trubici je 343m·s
−1
.
478 KAPITOLA 18 VLNY — II
(a) Jakou frekvenci uslyšíme, když přiložíme ucho ke konci
trubice?
ŘEŠENÍ: Svým uchem příslušný konec trubice uzavíráme.
Základní frekvenceje tedy dána rov.(18.39) pron= 1:
f =
v
4L
=
(343m·s
−1
)
4(0,670m)
= 128Hz. (Odpovědquoteright)
Jestliže šum pozadí obsahuje i vyšší harmonické, např. třetí,
pakmůžemeuslyšettakéfrekvence,ježjsoulichýminásobky
128Hz.
(b)Jakoufrekvenciuslyšíme,kdyžoddálímesvouhlavutak,
aby trubice měla oba konce otevřené?
ŘEŠENÍ: Pro oba konce otevřené je základní frekvence
dána rov.(18.37) pron= 1:
f =
v
2L
=
(343m·s
−1
)
2(0,670m)
= 256Hz. (Odpovědquoteright)
Jestliže šum pozadí obsahuje i vyšší harmonické, jako např.
druhou, pak uslyšíme také frekvence, jež jsou celočíselnými
násobky 256Hz. V každém případě ale již zvuk s frekvencí
128Hz slyšet nebudeme.
K
ONTROLA4:TrubiceAdélkyLatrubiceBdélky2L
mají každá oba konce otevřené. Kolikátá harmonická,
příslušnátrubiciB,mástejnoufrekvencijakozákladní
tón trubiceA?
18.7 ZÁZNĚJE
Když posloucháme po sobě dva tóny, jejichž frekvence
jsou řekněme 552Hz a 564Hz, většina z nás je od sebe
nedokážeodlišit.Kdyžaleobatónydorazídonašehoucha
současně, uslyšíme tón, jehož frekvence je 558Hz, tedy
průměr původních dvou frekvencí. Navíc zaznamenáme
střídavé změny v intenzitě zvuku: ta roste a opět klesá
v poměrně pomalých rázech, které se opakují s frekvencí
12Hz,tedyrozdílemoboupůvodníchfrekvencí.Obr.18.17
ukazujetytorázynebolizázněje.
Nechtquoterightječasovýprůběhvýchylekdvouzvukovýchvln
vdanémmístěurčenvztahem
s
1
=s
m
cosω
1
t a s
2
=s
m
cosω
2
t. (18.40)
(Předpokládáme pro jednoduchost, že vlny mají stejnou
amplitudu.) Podle principu superpozice je výsledná vý-
chylkarovna
s=s
1
+s
2
=s
m
(cosω
1
t+cosω
2
t).
(a)
(b)
(c)
čas
Obr.18.17 (a,b)PrůběhtlakuDelta1pdvouzvukovýchvln,měřený
prokaždouvlnuzvláštquoteright.Frekvencevlnjsoutéměřstejné.(c)Vý-
slednýprůběh tlaku v případě, žejsou vlny měřenysoučasně.
Goniometrickáidentita(dodatekE)
cosα+cosβ = 2cos
1
2
(α−β)cos
1
2
(α+β)
námumožnípřepsatvýslednouvýchylku dotvaru
s= 2s
m
cos
1
2
(ω
1
−ω
2
)tcos
1
2
(ω
1
+ω
2
)t. (18.41)
Kdyžještěpoložíme
ω
prime
=
1
2
(ω
1
−ω
2
) a ω=
1
2
(ω
1
+ω
2
), (18.42)
můžemepřepsatrov.(18.41) dotvaru
s(t)=(2s
m
cosω
prime
t)cosωt. (18.43)
Předpokládejme nyní, že úhlové frekvence ω
1
a ω
2
skládajícíchsevln jsouskoro stejné,tedy žev rov.(18.42)
platí ω greatermuch ω
prime
. Potom můžeme považovat rov.(18.43) za
kosinusoidu, jejíž úhlová frekvence je ω a amplituda je
výraz v závorce (který není konstantní, ale pozvolna roste
aklesá,atos frekvencíω
prime
).
Tatoamplitudabudemaximální,kdykolicosω
prime
tvrov-
nici(18.43)buderovenjednénebominusjedné;tonastane
běhemkaždéperiodykosinusoidydvakrát.Protožecosω
prime
t
má úhlovou frekvenciω
prime
, bude úhlová frekvence,s kterou
sebudouopakovatrázy,rovnaω
rázy
= 2ω
prime
.Potomspomocí
rov.(18.42)můžemepsát
ω
rázy
= 2ω
prime
= 2(
1
2
)(ω
1
−ω
2
)=ω
1
−ω
2
.
Protožealeplatíω= 2D4f,můžemepsát
f
rázy
=f
1
−f
2
(frekvencezáznějů). (18.44)
18.8 DOPPLERŮV JEV 479
Hudebníci používají zázněje k ladění svých nástrojů.
Když necháme nástroj znít současně s nějakou standardní
frekvencí (např. komorním a hraným na první hoboj) a la-
dímejej,dokudrázynezaniknou,budenástrojsladěnstímto
standardem. Ve Vídni, proslavenou její dávnou hudební
tradicí,jekomornía(a
1
,440Hz)zavedenojakotelefonní
služba pro potřeby profesionálních i amatérských hudeb-
níkůveměstě.
PŘÍKLAD18.7
Chcete naladit notu „a“ na klavíru na její správnou frek-
venci 220Hz, ale máte k dispozici jen ladičku „a
1
“ s frek-
vencí 440Hz. Jakbudete postupovat?
ŘEŠENÍ: Tytodvěfrekvencejsoupřílišvzdálenénato,aby
vytvořily rázy. Připomeňme si naši analýzu rov.(18.43), kde
jsmepředpokládali,žeskládajícísefrekvencejsoudostatečně
blízko. Použijeme ale toho, že 440Hz = 2·220Hz je druhá
harmonická frekvence220Hz.
Předpokládejme, že struna klavíru je rozladěna, tj. její
základní frekvence není přesně 220Hz. Posloucháme rázy
mezi základní frekvencí ladičky a druhou harmonickou
„a
1
“ tónu „a“ na klavíru, přičemž slyšíme rázy s frekvencí
např. 6Hz. Pak povolujeme nebo utahujeme strunu, dokud
rázynezmizí— astruna je naladěna.
K
ONTROLA5:Vpř.18.7přitáhnemestrunuafrekvence
rázů vzroste z 6Hz na 7Hz. Máme pokračovat s uta-
hováním struny, nebo ji naopak povolit, abychom ji
správněnaladili?
18.8 DOPPLERŮVJEV
Siréna policejního auta zaparkovaného u kraje silnice vy-
dává zvuk o frekvenci 1000Hz. Jestliže také parkujete
u kraje, uslyšíte tutéž frekvenci. Ale v případě, že se vůči
policejnímu autu pohybujete, atquoteright už směrem k němu nebo
od něj, uslyšíte jinou frekvenci. Například když se k po-
licejnímu autu blížíte rychlostí 120km/h, uslyšíte vyšš