hrw16

16
Kmity
Stalo se to v roce 1989, v dobÏ, kdy se v okolÌ San Franciska p¯ipravovalo
zah·jenÌ t¯etÌ Ë·sti SvÏtov˝ch her. Oblast byla zasaûena seizmick˝mi vlnami
ze 100km vzd·lenÈho ohniska zemÏt¯esenÌ poblÌû Loma Prieta. ZemÏt¯esenÌ
o sÌle 7,1 stupÚ˘ zp˘sobilo rozs·hlÈ ökody a zabilo 67 lidÌ. Na fotografii
vidÌme Ë·st 1,4km dlouhÈho ˙seku Nimitzovy d·lnice, kde doölo k desÌtk·m
smrteln˝ch zranÏnÌ, kdyû se hornÌ betonov· deska z¯Ìtila na spodnÌ a zas·hla
motoristy. P¯ÌËinou z¯ÌcenÌ byly nepochybnÏ prudkÈ ot¯esy, vyvolanÈ
seizmick˝mi vlnami. Avöak proË byl pr·vÏ tento ˙sek tak v·ûnÏ poökozen,
jestliûe ostatnÌ ˙seky d·lnice s tÈmϯ totoûnou konstrukcÌ z¯ÌcenÌ unikly
?
410 KAPITOLA16 KMITY
16.1 KMITÁNÍ
Příkladykmitání,opakujícíhosepohybu,násobklopujíze
všechstran.Pozorujemekývánílustrů,houpánízakotve-
nýchčlunů,pulzujícípístyautomobilovýchmotorů.Známe
chvěníkytarovýchstrun,bubnů,zvonů,membránvtele-
fonníchsluchátkáchavreproduktorech,křemennýchkrys-
talůvnáramkovýchhodinkách.Méněevidentníjekmitání
molekulvzduchu,kterépřenášízvukovérozruchy,kmitání
atomůvpevnélátce,zodpovědnézavjemteploty,akmitání
elektronůvrádiovýchanténáchatelevizníchvysílačích.
Kmitáníneníomezenonahmotnéobjekty,jakojsou
houslovéstrunyaelektrony.Periodickýpohybpozorujeme
takéujevůspojenýchsšířenímsvětla,rádiovýchvln,rent-
genovéhozářenía γ-záření.Tentodruhoscilacíbudeme
studovatvnásledujícíchkapitolách.Budounámtamvelmi
užitečnéanalogieskmitánímmechanickýchsystémů,na
kterésezaměřímevtétokapitole.
Vreálnémsvětějekmitáníobvykle tlumené:třecísíly
postupněpřeměňujímechanickouenergiinateploapohyb
ustává.Takovéztrátymechanickéenergienemůžemenikdy
zcela vyloučit,energii však můžeme doplňovat z vhod-
néhozdroje.Napříkladdětinaobr.16.1dovedoupřihou-
pání„pumpovat“,tj.švihnoutnohamaneboseskrčitpodle
okamžitéhopohybuhoupačky,atímkmitáníudržujínebo
izvětšují.Přeměňujítakvlastněbiochemickouenergiina
mechanickouenergiikmitajícíhosystému.
Obr.16.1 Dítěsebrzynaučídodávathoupačceenergiiaudržo-
vattímjejípohyb.
16.2 HARMONICKÝ POHYB
Obr.16.2předvádísérii„snímků“kmitajícíhosystému:čás-
ticeseopakovaněpohybujetamazpětkolempočátkuosy x.
0
−x
m
+x
m
x
v
v
v
v
v
−x
m
+x
m
t=−T/4
t=0
t=T/4
t=T/2
t=3T/4
t=T
Obr.16.2 Série „snímků“ (vytvořených po uplynutí stejných
časovýchintervalů)ukazujepolohučástice,kterásepohybuje
tamazpětkolempočátkuosy x.Krajnímipolohamijsoubody
−x
m
a+x
m
.Délkyšipeknaobrázkujsoujednotněškálovány
aukazujírychlostčásticevdanýchbodech.Vpočátkumáčástice
největšírychlost.Vpolohách±x
m
jejejírychlostnulová.Jestliže
zvolímepočátekodečítáníčasuvpoloze+x
m
,částicesedoní
vrátípoprvévčaset = T,kdeT jeperiodapohybu.Pohyb,ke
kterémudošlovprůběhuprávěuplynuléperiody,sepakopakuje.
Vtomtoodstavcipohybčásticepouzepopíšeme.Později
budemestudovat,jaklzedanékmitánívyvolat.
Začneme zavedením důležitého parametru kmitání,
jeho frekvence neboli kmitočtu.Frekvenceudávápočet
kmitů,které jsou dokončeny v průběhu každé sekundy.
Frekvencioznačujemesymbolemf,jejíjednotkouvsou-
stavěSIjehertz(zkratkaHz).Platítedy
1hertz=1Hz=1kmitzasekundu=
=1s
−1
. (16.1)
SfrekvencísouvisíperiodapohybuT.Taudávádobu,za
kterouseuskutečníjedenúplnýkmit(jeden cyklus).To
znamená
T =
1
f
. (16.2)
Jakýkolivpohyb,kterýsevpravidelnýchintervalechopa-
kuje,nazývámepohybperiodický.Myzdebudemestudo-
vatzvláštnípřípadperiodickéhopohybu:opakujícíseúsek
16.2 HARMONICKÝPOHYB 411
budevždyodpovídatsituacinaobr.16.2.Protentopřípad
ječasovázávislostvýchylkyčásticeurčenafunkcí
x(t) = x
m
cos(ωt +ϕ) (výchylka), (16.3)
kde x
m
,ω a ϕ jsoudanékonstanty.Tentopohybbudeme
nazývatjednoduchýharmonickýpohybneboprostěhar-
monický pohyb.
Veličina x
m
v rov.(16.3) je kladná konstanta, jejíž
hodnotazávisínapočátečníchpodmínkách.Nazývámeji
amplituda; spodní index mznamená maximum. Ampli-
tuda výchylky totiž udává velikost největší možné vý-
chylkyčásticevobousměrechodpočátku.Funkcekosinus
vrov.(16.3)seměnímezikrajnímihodnotami±1,takže
výchylkax(t) seměnímezikrajnímihodnotami±x
m
.Vi-
dímetoinaobr.16.2.
Časovězávislývýraz(ωt +ϕ)vrov.(16.3)senazývá
fázepohybu,konstanta ϕ je počáteční fáze.Jejíhodnota
závisínavýchylcearychlostičásticevčase t = 0.Pro
obaprůběhyx(t) naobr.16.3ajefázovákonstantanulová
(srovnejmetyto průběhy a hodnoty získanéz rov.(16.3)
prot =0).
Zbývá vysvětlit konstantu ω.Po uplynutí jedné pe-
riodyT semusíčásticenavrátitdosvéhovýchozíhostavu.
Ztohoplyne,žeprolibovolnét semusítakéx(t) rovnat
x(t +T).Položmeprojednoduchostvrov.(16.3)ϕ = 0.
Zuvedenépodmínkypotomdostaneme
x
m
cos(ωt) = x
m
cos
parenleftbig
ω(t+T)
parenrightbig
.
Funkcekosinusmáperiodu2D4rad.Předchozírovnicetedy
dává
ωt +2D4 = ω(t+T)
aodtud
ωT =2D4.
Uvážíme-liještěrov.(16.2),mámecelkově
ω =
2D4
T
=2D4f. (16.4)
Veličina ω se nazývá úhlová frekvence (také kruhová
frekvencečiúhlovýkmitočet)pohybu;jejíjednotkavsou-
stavěSIjeradiánzasekundu.(Máme-libýttedydůslední,
musímevyjadřovatfáziϕ vradiánech.)Naobr.16.3jsou
porovnánydvaharmonicképohyby,kteréselišíbudquoterightjen
svou amplitudou, nebo jen svou periodou (a tedy frek-
vencí a úhlovou frekvencí),anebo jen fázovou konstan-
tou.
(a)
x
x
m
x
prime
m
0
−x
m
−x
prime
m
čast
výchylka
(b)
x
x
m
0
T
T
prime
T
prime
t
výchylka
(c)
x
x
m
0
ϕ=0
ϕ=−
D4
4
t
výchylka
Obr.16.3 Modrákřivkajevevšechtřechpřípadechzakreslena
podlerov.(16.3)s ϕ = 0.(a)Červenákřivkaselišíodmodré
pouzetím,žepronijeamplituda x
prime
m
větší.(b)Červenákřivka
se liší od modré pouze tím,že pro ni je perioda T
prime
= T/2.
(c) Červená křivka se liší od modré pouze tím,že pro ni je
ϕ =−D4/4radanikolivnula.
K
ONTROLA 1: Částice vykonává harmonický pohyb
speriodouT (podobnějakonaobr.16.2).Včaset =0
senacházelanasouřadnici −x
m
.Rozhodněte,zdaji
včase(a)t = 2,00T,(b)t = 3,50T,(c)t = 5,25T
naleznemevbodě
osouřadnici−x
m
,
osouřadnicix
m
,
vpočátkusouřadnic,
mezi−x
m
a0,
mezi0ax
m
.
Rychlost harmonického pohybu
Rychlostčásticedostanemejakoobvykle—derivacívý-
razuprosouřadnici.Vpřípaděharmonickéhopohybujde
412 KAPITOLA16 KMITY
tedyoderivacirov.(16.3):
v(t)=
dx
dt
=
d
dt
parenleftbig
x
m
cos(ωt +ϕ)
parenrightbig
neboli
v(t)=−ωx
m
sin(ωt +ϕ) (rychlost). (16.5)
Naobr.16.4ajegraffunkceodpovídajícírov.(16.3)sϕ =
= 0.Obr.16.4b ukazuje rov.(16.5),rovněž pro ϕ = 0.
Podobně jako jsme nazvali x
m
v rov.(16.3) amplitudou,
nazvemenyníkladnouveličinu ωx
m
vrov.(16.5) ampli-
tudou rychlosti v
m
.Naobr.16.4bvidíme,jakserychlost
kmitajícíčásticeměnímezihodnotami ±v
m
(tj. ±ωx
m
).
Na tomto obrázku si také všimněme,že křivka odpoví-
dající v(t) je posunuta o čtvrtinu periody doleva vzhle-
demkekřivce x(t):jestližejevelikostvýchylkynejvětší
(tj.x(t) = x
m
),jevelikostrychlostinejmenší(tj.v(t)=0).
Avokamžiku,kdyjevelikostvýchylkynejmenší(tj.nu-
lová),jevelikostrychlostinejvětší(jerovnav
m
= ωx
m
).
(a)
x
+x
m
0
−x
m
T
čast
výchylka
(b)
+ωx
m
−ωx
m
0
rychlost
t
a
v
(c)
zrychlení
t0
+ω
2
x
m
−ω
2
x
m
Obr.16.4 (a)Výchylkačásticex(t)proharmonickýpohybsfá-
zovoukonstantou ϕ rovnounule.Perioda T ohraničujejeden
úplnýkmit.(b)Rychlostčásticev(t)a(c)zrychleníčásticea(t)
protentopohyb.
Zrychlení harmonického pohybu
Derivacírychlostidostanemezrychleníčástice.Vpřípadě
harmonickéhopohybutedyderivujemerov.(16.5)adosta-
neme
a(t)=
dv
dt
=
d
dt
parenleftbig
−ωx
m
sin(ωt +ϕ)
parenrightbig
neboli
a(t)=−ω
2
x
m
cos(ωt +ϕ) (zrychlení). (16.6)
Naobr.16.4cjegraffunkceodpovídajícírov.(16.6),opět
pro případ ϕ = 0. Kladná veličina ω
2
x
m
v rov.(16.6)
senazývá amplituda zrychlení a
m
.Zrychleníčásticese
tedyměnívrozmezí±a
m
(tj.±ω
2
x
m
);vidímetotakéna
obr.16.4c.Navícsivšimněme,žekřivkaa(t)jeposunuta
vzhledemkekřivce v(t)očtvrtinuperiodydoleva.
Vtétochvílimůžemepropojitrov.(16.3)a(16.6);do-
spějemekevztahu
a(t)=−ω
2
x(t). (16.7)
Tatorovnicejejakýmsi„puncem“harmonickéhopohybu:
zrychleníčásticejeúměrnévýchylceamáopačnéznamén-
ko,přitomkonstantouúměrnostijedruhámocninaúhlové
frekvence.Největšíkladnáhodnotavýchylkytedyodpo-
vídá zápornému zrychlení s největší velikostí a naopak.
Je-livýchylkačásticenulová,jejejízrychlenítakénulové.
Tatotvrzeníilustrujeobr.16.4.
RADY A NÁMĚTY
Bod 16.1:Fáze
Všimnětesi,jakourolihrajepřikreslení x(t) konstanta ϕ.
Jestližejeϕ =0,graffunkcex(t)budevždypodobnýkřivce
naobr.16.4a,tj.typickékřivceprofunkcikosinus.Záporná
hodnotaϕposunekřivkupodélčasovéosydoprava(jakona
obr.16.3c),zatímcokladnáhodnotaϕjiposunedoleva.
Uvažmedva harmonické pohyby,lišící se pouze v této
konstantě.Říkámeonich,žemajífázovýrozdíl,žejednavůči
druhémá fázový posuv,žejsounavzájemfázově posunuty
neboližejsounavzájem rozfázovány.Napříkladkřivkyna
obr.16.3cmajífázovýrozdílD4/4rad.
Harmonickýpohybseopakujepouplynutíkaždéperio-
dy T a funkce kosinus se opakuje po každých 2D4rad.To
znamená,žeperioda T odpovídáfázovémurozdílu2D4rad.
Naobr.16.4jekřivkax(t)posunutavzhledemkekřivce v(t)
očtvrtinuperiodydopravanebolijevzhledemknífázově
posunutao−D4/2rad.Současnějetatokřivkaposunutavzhle-
demk a(t)opolovinuperiodydopravanebolijevzhledem
ka(t)posunutao−D4rad.Fázovýposuv2D4radzpůsobí,že
sedanýharmonickýpohybztotožnísámsesebou—jinými
slovy,vůbecsenezmění.
16.3 POHYBOVÁ ROVNICE PRO
HARMONICKÝ POHYB
Nyníjižvíme,jaksezrychleníčásticeměnísčasem.Druhý
Newtonůvzákonnámodpovínaotázku,jakásílamusína
16.3 POHYBOVÁROVNICEPROHARMONICKÝPOHYB 413
částicipůsobit,abyjíbyloudělovánoprávětotoočekávané
zrychlení.ZNewtonovazákonaazrov.(16.6)dostaneme
proharmonickýpohyb
F = ma =−(mω
2
)x. (16.8)
Sílajetedypřímoúměrnávýchylceaopačněorientovaná:
F = ma =−kx. (16.9)
ToodpovídáHookovuzákonupropružinu,jejížtuhostje
vdanémpřípadě
k = mω
2
. (16.10)
Rov.(16.9)takvlastněpředstavujealternativnídefinicihar-
monickéhopohybu.Tazní:
Částice o hmotnosti m vykonává harmonický pohyb,
jestliženanipůsobísílapřímoúměrnávýchylcečástice
zrovnovážnépolohyaorientovanáprotivýchylce.
Soustavapružina+tělesonaobr.16.5senazýváhar-
monický,někdy též lineární oscilátor.Slovo „lineární“
poukazujenaskutečnost,žesílaF jeúměrnáprvní(aniko-
livnějakéjiné)mocniněvýchylkyx.Jehoúhlováfrekvence
ωsouvisívztahem(16.10)stuhostípružiny kashmotností
tělesam.Dostanemetedy
ω =
radicalbigg
k
m
(úhlováfrekvence). (16.11)
Kombinacírov.(16.4)a(16.11)pakihnedzískámeperiodu
harmonickéhooscilátorunaobr.16.5:
T =2D4
radicalbigg
m
k
(perioda). (16.12)
Rov.(16.11)říkátotéž,corov.(16.12):velkouhodnotuúh-
lovéfrekvence(atedymalouperiodu)dostanemevpřípadě
tuhépružiny(velkék)alehkéhotělesa(malém).
beztření
k
−x
m
+x
m
x=0
x
m
Obr.16.5 Harmonický oscilátor.Jakmile poněkud vychýlíme
tělesonastranuapotéjeuvolníme,vzniknepodobnějakoučás-
ticenaobr.16.2harmonickýpohyb.Výchylkatělesajeurčena
rov.(16.3).
Ujakéhokolivkmitajícíhosystémutohototypu,atquoterightuž
jetoharmonickýoscilátornaobr.16.5,skokansképrkno
nebohouslovástruna,najdemevždyjednakjistou„tendenci
knávratu“,jednak„setrvačnost“.Vpřípaděoscilátoruna
obr.16.5jsouobětytotendencespojenysodlišnýmislož-
kamikmitajícíhosystému:„tendenceknávratu“jerepre-
zentovánavýhradněnehmotnoupružinoua„setrvačnost“
jevázánavýhradněnahmotnétěleso.Vpřípaděhouslové
struny,jakuvidímevkap.17,jsouobězmíněnétendence
vázánynasamotnoustrunu.Jsouovšemijinémechanismy
kmitů.Např.při relaxačních kmitech sepropohybující
se předmět vždy v okolí krajní polohy změní „pravidla
hry“,podobněutřecíchtónůsepravidelněodtrhujívíryod
překážkyvprouděnívzduchu.Zdejenebudemepodrobněji
rozebírat.
K
ONTROLA 2: Který znásledujícíchvztahůmezisi-
louF,působícínačástici,apolohoučásticex,popisuje
harmonickýpohyb:(a)F =−5x,(b)F =−400x
2
,
(c)F =10x,(d)F =3x
2
?
PŘÍKLAD 16.1
Tělesoohmotnostim =680gjepřipojenokpružinětuhosti
k = 65N·m
−1
.Těleso,pohybující se na hladké podložce,
vychýlímeox =11cmzrovnovážnépolohy x =0.Vnové
polozejetělesovklidu.Potéjejvčaset =0uvolníme.
(a)Jakousiloupůsobívokamžikuuvolněnípružinanatěleso?
ŘEŠENÍ: PodleHookovazákonaplatí
F =−kx =−(65N·m
−1
)(0,11m) =
=−7,2N. (Odpovědquoteright)
Znaménko minus nám připomíná,že síla a výchylka mají
opačnouorientaci.Skutečně,pružinapůsobínatělesosilou,
kterásměřujekrovnovážnépoloze,zatímcovýchylkasmě-
řujeodrovnovážnépolohy.
(b)Jakájeúhlováfrekvence,frekvenceaperiodavzniklého
kmitání?
ŘEŠENÍ: Podlerov.(16.11)máme
ω =
radicalbigg
k
m
=
radicalBigg
(65N·m
−1
)
(0,68kg)
=
=9,78rad·s
−1
.
=9,8rad·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Frekvencinynídostanemezrov.(16.4):
f =
ω
2D4
=
(9,78rad·s
−1
)
2D4
=
=1,56Hz
.
=1,6Hz. (Odpovědquoteright)
414 KAPITOLA16 KMITY
Periodajepřevrácenouhodnotoufrekvence:
T =
1
f
=
1
(1,56Hz)
=
=0,64s=640ms. (Odpovědquoteright)
(c)Určeteamplituduvýchylky.
ŘEŠENÍ: Včl.8.4jsmezkoumalimechanickouenergiisou-
stavy pružina + těleso, podobné lineárnímu oscilátoru na
obr.16.5.Pokudneuvažujemetření,mechanickáenergiese
běhempohybuzachovává.Vnašempřípadějetělesouvol-
něnosnulovoupočátečnírychlostívokamžiku,kdyjevzdá-
leno11cmodrovnovážnépolohy.Mátedyvtomtookamžiku
nulovoukinetickouenergiiamájitakénulovou,kdykoliv
sepozdějiopětnachází11cmodrovnovážnépolohy.Jeho
největší možná vzdálenost od rovnovážné polohy je tedy
11cm,tj.
x
m
=11cm. (Odpovědquoteright)
(d)Určetemaximálnírychlostkmitajícíhotělesa.
ŘEŠENÍ: Amplitudarychlostijeurčenarov.(16.5).Vna-
šempřípadě
v
m
= ωx
m
= (9,78rad·s
−1
)(0,11m) =
=1,1m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Tělesomátutonejvětšímožnourychlostvokamžiku,kdy
právěmíjípočátekosyx.Ukazujetotakésrovnáníobr.16.4a
a16.4b;největšírychlostodpovídáx =0.
(e)Určetemaximálnízrychlenítělesa.
ŘEŠENÍ: Amplitudazrychleníjeurčenarov.(16.6).Vna-
šempřípadě
a
m
= ω
2
x
m
= (9,78rad·s
−1
)
2
(0,11m) =
=11m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
Tělesomátoto(codovelikosti)největšímožnézrychlení,
kdykolivsenacházívbodechobratu.Vtěchtobodechjetaké
největšísíla,kterounatělesopůsobípružina.Ukazujetotaké
srovnáníobr.16.4aa16.4c;výchylka azrychlenínabývají
svýchnejvětšíchinejmenšíchhodnotsoučasně.
(f)Jakájefázovákonstantapohybuϕ?
ŘEŠENÍ: V čase t = 0,tj.v okamžiku uvolnění tělesa,
nabývalajehovýchylkaxsvémaximálníhodnotyx
m
.Rych-
lostv tělesabylanulová.Tytodvěrelacesenazývajípočá-
tečnípodmínky.Jestližejeuplatnímepostupněvrov.(16.3)
a(16.5),dostaneme
1=cosϕ a0=sinϕ.
Nejmenšíúhel,kterýsplňujeobětytopodmínky,je
ϕ =0. (Odpovědquoteright)
(Podmínkyjsousplněnytaképrolibovolnýcelýnásobekúhlu
2D4rad.)
PŘÍKLAD 16.2
Uvažujmeharmonickýoscilátornaobr.16.5.Včaset =0je
výchylkax(0)rovna−8,5cm,rychlostv(0)je−0,920m·s
−1
azrychlenía(0)je+47,0m·s
−2
.
(a)Určeteúhlovoufrekvenciafrekvencikmitání.
ŘEŠENÍ: Vrov.(16.3)položmet =0.Dostaneme
x(0) = x
m
cosϕ. (16.13)
Podobněpodosazenít =0dorov.(16.5)a(16.6)máme
v(0) =−ωx
m
sinϕ (16.14)
a
a(0) =−ω
2
x
m
cosϕ. (16.15)
Poslednítřirovniceobsahujítřineznámé,jmenovitě x
m
, ϕ
aω.Postupnějenaleznemevšechny,vtétočástiúkoluhle-
dámepouzeúhlovoufrekvenciω.
Sestavímepodílrov.(16.15)a(16.13).Zevznikléhový-
razuvypočteme
ω =
radicalBigg
−
a(0)
x(0)
=
radicalBigg
−
(47,0m·s
−2
)
(−0,0850m)
=
=23,5rad·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Frekvencef jeurčenavztahem(16.4).Vnašempřípadě
f =
ω
2D4
=
(23,5rad·s
−1
)
2D4
=3,74Hz. (Odpovědquoteright)
(b)Určetefázovoukonstantuϕ.
ŘEŠENÍ: Nejprvesestavímepodílrov.(16.14)a(16.13):
v(0)
x(0)
=
−ωx
m
sinϕ
x
m
cosϕ
=−ωtgϕ.
Ztohotovztahunynívypočtemetgϕ:
tgϕ =−
v(0)
ωx(0)
=
−(−0,920m·s
−1
)
(23,5rad·s
−1
)(−0,0850m)
=
=−0,461.
Mámetakzatímdvěmožnářešení
ϕ =−25
◦
a ϕ =155
◦
.
Vnásledujícíčástiúlohyrozhodneme,kterázoboufázových
konstantjesprávná.
(c)Určeteamplitudukmitáníx
m
.
16.3 POHYBOVÁROVNICEPROHARMONICKÝPOHYB 415
ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov.(16.13) a prozatímně dosadíme
ϕ =155
◦
:
x
m
=
x(0)
cosϕ
=
(−0,0850m)
cos155
◦
=
=0,094m=9,4cm. (Odpovědquoteright)
Podobně hodnota ϕ =−25
◦
by vedla k x
m
=−9,4cm.
Avšakamplitudavýchylkymusíbýtvždykladnákonstanta—
úhelϕ =−25
◦
musímevyloučit.Správnývýsledekčásti(b)
jetedy
ϕ =155
◦
. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD 16.3
Vlivkonstantnísílynaharmonickýoscilátor.Pružinuzob-
rázku16.5zavěsímesvisledolůpodleobr.16.6.Osuyorien-
tujmepodélníspočátkemvpoloze,kdebybylkonecneza-
tíženépružiny.Potépružinuzatížímetělesemhmotnostim.
m
k
y
prime
y
r
y
0
Obr.16.6 Příklad 16.3.Konec nezatížené pružiny je v počátku
osyy.Rovnovážnápolohazatíženépružinyjey
r
.Výchylkaztéto
rovnovážnépolohyjey
prime
.
(a)Jakéjeprotaženíy
r
zatíženépružinyvrovnovážnépoloze?
ŘEŠENÍ: Vrovnovážnépolozejevýslednicesilpůsobících
natěleso,tj.sílypružnostiFasílytíhovéG,rovnanule.Jediné
nenulovésložkyjsouy-ovéaplatíproně
F
y
+G
y
=−ky
r
+mg =0.
Odtudurčímehledanourovnovážnoupolohu
y
r
=
mg
k
. (16.16)
(b) Těleso svisle vychýlíme a uvolníme. S jakou perio-
dou bude kmitat? Porovnejte tuto situaci s obr.16.5, kdy
pružina není namáhána tíhou tělesa,a s obecným řešením
vpř.16.1a,b.
ŘEŠENÍ: Přivýchylce y
prime
zrovnovážné polohy y
r
působí
pružinanatělesosilou
F
y
=−k(y
prime
+y
r
). (16.17)
Natělesopůsobíkromětétosílyještěkonstantnítíhová
sílaG,takževýslednásílaF
v
působícínatělesoje
F
v
= F +mg. (16.18)
Podosazenírov.(16.16)a(16.17)dorov.(16.18)dostáváme
F
v,y
=−k
parenleftBig
y
prime
+
mg
k
parenrightBig
+mg =−ky
prime
. (16.19)
Odtudvšakplyne,ževýslednásílajeopětpřímoúměrná
výchylcezrovnovážnépolohy,jeopačněorientovanáamá
stejný koeficient úměrnosti — tuhost k,jaký měla nezatí-
ženápružina.Protonašesoustavakmitásestejnoufrekvencí,
sjakoukmitásoustavanaobr.16.5řešenávpř.16.1.
RADY A NÁMĚTY
Bod 16.2:Určenítypukmitání
V případě libovolného harmonického pohybu jsou zrych-
leníaavýchylkaxvázányvztahemtvaru
a =−(kladnákonstanta)·x,
který říká: zrychlení je úměrné výchylce z rovnovážné
polohy, ale je opačně orientované. Jakmile již nalezneme
v dané úloze takový vztah,můžeme jej okamžitě srovnat
srov.(16.7),tj.uvedenoukladnoukonstantumůžemeiden-
tifikovatjako ω
2
.Tímjižvlastněmámeúhlovoufrekvenci
pohybu.Poténaleznemepomocírov.(16.4)perioduT afrek-
vencif.
Vpř.16.8uvidíme,žetentýžpostuplzepoužítkurčení
harmonickýchtorzníchkmitů.Vtomtopřípadějsouúhlové
zrychleníεaúhlovávýchylkaθ svázányrelacítvaru
ε =−(kladnákonstanta)·θ,
kteráříká:úhlovézrychleníjeúměrnéúhlovévýchylcezrov-
novážnépolohy,jevšakorientovanéprotitétovýchylce.Po-
dobnějakovpředchozímpřípaděmůžemeztotožnitkladnou
konstantusω
2
,atímnajítpostupněveličiny ω,T af.
Vněkterýchúkolechdospějetenejprvekzávislostisíly
F navýchylce x.Vpřípaděharmonickéhopohybumátato
závislosttvar
F
x
=−(kladnákonstanta)·x.
416 KAPITOLA16 KMITY
Toznamená,žesílajeúměrnávýchylce,mířívšakprotiní.
Jakmilejižnaleznemetakovouzávislost,můžemejiokamžitě
srovnatsrov.(16.9),tj.kladnoukonstantumůžemeidentifi-
kovatjakok.Jestliženavícznámehmotnostkmitajícíhotěle-
sa,uplatnímepostupněrov.(16.11),(16.12)a(16.4)kurčení
úhlovéfrekvenceω,periodyT afrekvencef.
Podobně postupujeme pro torzní harmonický pohyb.
Vtomtopřípadějevratnýmomentsíly M vázánsúhlovou
výchylkouθ vztahemtypu
M =−(kladnákonstanta)·θ,
kterýříká:momentsílyjeúměrnýúhlovévýchylcezrovno-
vážnépolohy,mávšakopačnýsměr.
16.4 ENERGIE HARMONICKÉHO
OSCILÁTORU
V kap.8 jsme si již povšimli,jak se energie harmonic-
kéhooscilátorupřelévásematammezienergiíkinetickou
aenergiípotenciální,zatímcojejichsoučet—celkováme-
chanickáenergieoscilátoruE—zůstávákonstantní.Podí-
vejmese