hrw16

2
=
3k
m
,
to znamená ω =
√
3k/m.Nakonec uplatníme rov.(16.4),
podlekteréω =2D4/T,atedy
T =2D4
radicalbigg
m
3k
=2D4
radicalBigg
(12kg)
3(1300N·m
−1
)
=
=0,35s. (Odpovědquoteright)
Spřekvapenímzjištquoterightujeme,ževýslednáperiodanezávisína
délceprkna L.Kdybychomuvažovalipůsobenítíhovésíly
prkna, dostali bychomstejný výsledek, avšak rovnovážná
polohabybylaníž(vizpříklad16.3).
L
Obr.16.14 Příklad 16.8. Skok tučňáka vyvolá kmitání pružiny
askokanskéhoprkna.Nalevémkonciseprknootáčíkolemčepu.
16.7 KMITÁNÍ A ROVNOMĚRNÝ
KRUHOVÝ POHYB
V roce 1610 objevil Galileo s použitímsvého nově se-
strojenéhodalekohledučtyřihlavníměsíceplanetyJupiter.
Připozorování,prováděnémvprůběhuněkolikatýdnů,se
každýzměsícůpohybovaltamazpětvokolíplanety.Dnes
bychomasiřekli,žepohybkaždéhoměsícesejeviljakohar-
monickýpohybkolemdiskuJupiteracobyrovnovážnépo-
lohy.Záznamytěchtopozorování,psanéGalileovouvlastní
rukou,jsoudodnespoučné.A.P.French,pracovníkMIT,
sestrojilnazákladěGalileovýchzáznamůčasovouzávis-
lostzdánlivépolohyměsíceCallistovzhledemkJupiteru.
Výslednoukřivkuvidímenaobr.16.15:malékroužkyzná-
zorňujípřímoGalileovyhodnotyasamotnákřivkapředsta-
úhel
(
minuty
v
obloukové
míře)
západ
východ
početnocí
15.I. 5.II. 1.III.
−15
−10
−5
0
5
10
15
20 25 30 10 15 20 25
10 20 30 40
Obr.16.15 ÚhelmeziJupiteremajehoměsícemCallisto,mě-
řenýpřipozorovánízeZemě.MalékroužkyodpovídajíGalile-
ověpozorovánízroku1610.Proloženákřivkasilněpřipomíná
časovouzávislostvýchylkyproharmonickýpohyb.Zeznámé
střední vzdálenosti Jupitera od Země spočteme, že 10 úhlo-
výchminutodpovídáobloukudélkyzhruba2·10
6
km.(Převzato
zknihyA.P.French,Newtonian Mechanics,W.W.Norton&
Comp.,NewYork,1971,p.288.)
vujenejlepšíaproximacitěchtohodnot,získanouvhodnými
numerickýmimetodami.Křivkasilněpřipomínávýchylku
proharmonickýpohyb,určenourov.(16.3).Periodapohy-
bu,odečtenápřímozgrafu,činípřibližně16,8dnů.
Ve skutečnosti však krouží Callisto kolemJupitera
spraktickykonstantnírychlostípopraktickykruhovédrá-
ze.Jehoskutečnýpohybtedyneníanizdalekaharmonický;
jetorovnoměrnýkruhovýpohyb.Ato,coGalileoviděl,
bylaprojekcerovnoměrnéhokruhovéhopohybunapřím-
ku,ležícívroviněpohybu.PozoruhodnáGalileovaměření
nástakpřivádějíkzávěru,žerovnoměrnýkruhovýpohyb,
pozorovanýzestrany,dáváharmonickýpohyb.Řečenofor-
málněji:
Projekcírovnoměrnéhokruhovéhopohybu naprůměr
kružnice,ponížkruhovýpohybprobíhá,vznikáharmo-
nickýpohyb.
Naobr.16.16avidímepříkladtakovéprojekce.Refe-
renčníčástice P
prime
vykonávárovnoměrnýkruhovýpohyb;
pohybujese(konstantní)úhlovourychlostíωporeferenční
16.8 TLUMENÝOSCILÁTOR 423
kružnici.Poloměrkružnicex
m
udávásoučasněvelikostpo-
lohovéhovektoručástice.Úhel,kterýsvíráprůvodiččástice
sosouxvčaset,jerovenωt +ϕ,kdeϕjevelikosttohoto
úhluvčaset =0.
(a)
x
y
O P
P
prime
x(t)
x
m
ωt+ϕ
(b)
x
y
PO
P
prime
v(t)
ωt+ϕ
v
ωx
m
ωt+ϕ
(c)
x
y
O P
P
prime
a(t)
a
ω
2
x
m
ωt+ϕ
Obr.16.16 (a)ReferenčníčásticeP
prime
serovnoměrněpohybuje
poreferenčníkružniciopoloměrux
m
.PolohučásticeP získáme
projekcípolohy P
prime
naosux.ČásticeP vykonáváharmonický
pohyb.(b)Projekcívektorurychlosti v referenčníčásticedo-
staneme rychlost harmonického pohybu.(c) Projekcí vektoru
zrychlení a referenčníčásticedostanemezrychleníharmonic-
kéhopohybu.
ProjekcípolohyčásticeP
prime
naosux dostanemenovou
polohu.Řekněme,žesevnínacházíjináčástice,částiceP.
Jinýmislovy,projekcípolohyčástice P
prime
naosu x dosta-
nemepolohux(t)částiceP.Snadnovidíme,žeplatí
x(t) = x
m
cos(ωt +ϕ).
Tojepřesněrov.(16.3).Nášzávěrjetedysprávný:jestliže
referenčníčástice P
prime
vykonávárovnoměrnýkruhovýpo-
hyb,vykonáváprojektovanáčásticeP harmonickýpohyb.
Tentovztahvrhánovésvětlonaúhlovoufrekvenciω
harmonickéhopohybu.Ukazujenám,odkudsevzaload-
jektivum„úhlová“.Veličina ωjejednodušekonstantníúh-
lovárychlostpohybureferenčníčástice P
prime
poreferenční
kružnici;fázovákonstantaϕ jeurčenapolohoureferenční
částiceP
prime
nareferenčníkružnicivčaset =0.
Naobr.16.16bvidímerychlostreferenčníčástice P
prime
.
Velikostvektorurychlostije ωx
m
,jehoprojekcínaosux
dostaneme
v(t)=−ωx
m
sin(ωt +ϕ),
cožjepřesněrov.(16.5).RychlostčásticeP naobr.16.16b
mířídoleva,vesměruklesajícívýchylkyx.Tomuodpovídá
zápornéznaménkovuvedenémvzorciprorychlost.
Obr.16.16c ukazuje zrychlení referenční částice P
prime
.
Velikostvektoruzrychleníω
2
x
m
ajehoprojekcenaosux
mátvar
a(t)=−ω
2
x
m
cos(ωt +ϕ),
tedypřesnětvarrov.(16.6).Atquoterightužtedyzkoumámevýchyl-
ku,rychlostnebozrychlení,projekcírovnoměrnéhokruho-
véhopohybudostanemevskutkuharmonickýpohyb.
16.8 TLUMENÝ OSCILÁTOR
Kyvadloponořenédovodysepatrněvůbeckývatnebude;
budesetřítovodunatolik,žesejehopohybrychleutlumí.
Lepšíjetoukyvadlavevzduchu,aleizdesepohybpo
časezastaví,protoževzduchopětpůsobínakyvadlotřecí
silou,atímmuodebírámechanickouenergii.Třenípůsobí
takévbodězávěsukyvadla.
Jestliževnějšísílatlumí pohyboscilátoru,hovoříme
o tlumeném oscilátoru, popřípadě o tlumeném kmitá-
ní.Idealizovaný příklad tlumeného oscilátoru vidíme na
obr.16.17:tělesoohmotnostimkmitánapružinětuhostik.
Těleso je spojeno tyčí s pístem,ponořeným v kapalině
(hmotutyčeipístuzanedbáme).Připohybupístunahoru
adolůpůsobínaněj(atedynacelýkmitajícísystém)ka-
palinabrzdnoutřecísilou.Vprůběhučasusemechanická
energie soustavy pružina+těleso zmenšuje,její část se
spotřebujenazahřátíkapalinyapístu.
Předpokládejme,žebrzdná síla F
b
,kteroupůsobíka-
palinanapíst,jeúměrnárychlosti v pístuatělesa(tento
předpoklad splněn,pokud se píst pohybuje pomalu). Je
tedy
F
b
=−bv, (16.38)
424 KAPITOLA16 KMITY
tlumení,b
píst
setrvačnost,m
pružnost,k
pevnýnosník
Obr.16.17 Idealizovanýpříkladtlumenéhoharmonickéhoos-
cilátoru.Pístponořenýdokapalinypůsobínakmitajícítěleso
tlumícísilou.
kdebjesoučinitelútlumu.Tatokonstantazávisínavlast-
nostech pístu a kapaliny.Její jednotka v soustavě SI je
kg·s
−1
.Záporné znaménko ukazuje,že třecí síla působí
vždyprotirychlosti.Nahmotnétělesotakpůsobívýsledná
síla
F
v
=−kx−bv
neboli,jestližepoložímev =dx/dt,
F
v
=−kx−b
dx
dt
. (16.39)
TutocelkovousíludosadímedodruhéhoNewtonovazáko-
na.Výsledkemjediferenciálnírovnice
m
d
2
x
dt
2
+b
dx
dt
+kx =0,
jejímžřešenímjefunkce
x(t) = x
m
e
−bt/(2m)
cos(ω
prime
t +ϕ), (16.40)
kdeúhlováfrekvenceω
prime
tlumenéhooscilátorujedánavý-
razem
ω
prime
=
radicalBigg
k
m
−
b
2
4m
2
. (16.41)
Jestližetlumeníúplněchybí,tj.jestliže b = 0,redukuje
serov.(16.41) na rov.(16.11) a dostávámeznámývýraz
ω =
√
k/mproúhlovoufrekvencinetlumenéhoosciláto-
ru.Podobněsev tomtopřípaděrov.(16.40)redukujena
rov.(16.3)provýchylkunetlumenéhooscilátoru.Jestliže
jetlumeníslabé,přesnějijestližeb lessmuch
√
km,platíω
prime
.
= ω.
Jestližejenaopaktlumenísilné,budepřijistékritickéhod-
notěsoučiniteluútlumub
c
= 2
√
kmvýrazpododmocni-
nouvrov.(16.41)nulovýapřiještěvětšímtlumenídokonce
záporný.Řešenídiferenciálnírovnicesepakkvalitativně
mění.Rozboremtohoto aperiodického pohybu senebu-
demedálezabývat.
Funkcevrov.(16.40)sechovájakooscilujícífunkce
spostupněklesajícíamplitudou x
m
e
−bt/(2m)
.Tentozávěr
jetakénaznačennaobr.16.18.Jakjsmevidělidříve,vpří-
paděnetlumenéhooscilátorujemechanickáenergiekon-
stantní a je dána rov.(16.23): E =
1
2
kx
2
m
.U tlumeného
oscilátoru mechanická energie s časem klesá.Pro slabé
tlumenímůžemeamplitudux
m
vrov.(16.23)nahraditvý-
razemx
m
e
−bt/(2m)
.Získámetakzávislost
E(t)≈
1
2
kx
2
m
e
−bt/m
, (16.42)
kteránámříká,žemechanickáenergietlumenéhooscilátoru
klesáexponenciálněsčasem.
0
123456
t(s)
x
+x
m
−x
m
x(t)
−x
m
e
−bt/(2m)
x
m
e
−bt/(2m)
Obr.16.18 Časovázávislostvýchylkytlumenéhooscilátoruna
obr.16.17.Použitéparametryodpovídajíhodnotámvpř.16.9.
Amplituda kmitání,určená výrazem x
m
e
−bt/(2m)
,klesáexpo-
nenciálněsčasem.
PŘÍKLAD 16.9
Tlumenýoscilátornaobr.16.17jepopsánparametry m =
=250g,k =85N·m
−1
ab =70g·s
−1
.
(a)Určeteperiodukmitání.
ŘEŠENÍ: Protože platí b lessmuch
√
km = 4,6kg·s
−1
,pe-
riodajepřibližněurčenavýrazempronetlumenýoscilátor.
Zrov.(16.12)dostaneme
T =2D4
radicalbigg
m
k
=2D4
radicalBigg
(0,25kg)
(85N·m
−1
)
=
=0,34s. (Odpovědquoteright)
(b)Zajakdlouhosezmenšíamplitudakmitánínapolovinu
svépočátečnívelikosti?
16.9 NUCENÉKMITYAREZONANCE 425
ŘEŠENÍ: Závislost amplitudy na čase t je určena rov-
nicí(16.40).Amplitudaklesápodlevztahux
m
e
−bt/(2m)
.Její
počátečnívelikostvčaset =0jex
m
.Hledámetedytakový
čast,kterýsplňujerovnici
x
m
e
−bt/(2m)
=
1
2
x
m
.
Oběstranyrovnicedělímex
m
asrovnámepřirozenýlogarit-
musoboustrannovérovnice:
ln
1
2
=ln(e
−bt/(2m)
) =−
bt
2m
neboli
t =
−2mln(1/2)
b
=
−2(0,25kg)(ln(1/2))
(0,070kg·s
−1
)
=
=5,0s. (Odpovědquoteright)
Nazákladěvýsledkučásti(a)můžemetakéříci,žezavypoč-
tenoudobuproběhnepřibližně15kmitů.
(c)Zajakdlouhosezmenšímechanickáenergieoscilátoru
napolovinusvépočátečnívelikosti?
ŘEŠENÍ: Vyjdemezrov.(16.42):mechanickáenergievča-
se t jerovna
1
2
kx
2
m
e
−bt/m
,jejívelikost včase t = 0byla
1
2
kx
2
m
.Hledámetedytakovýčast,kterýsplňujerovnici
1
2
kx
2
m
e
−bt/m
=
1
2
parenleftbig
1
2
kx
2
m
parenrightbig
.
Obě strany rovnice dělíme
1
2
kx
2
m
a novou rovnici řešíme
vzhledemkneznámé t,podobnějakovčásti(b).Nakonec
dostaneme
t =
−mln(1/2)
b
=
−(0,25kg)(ln(1/2))
(0,070kg·s
−1
)
=
=2,5s. (Odpovědquoteright)
Výsledkemjetedypřesněpolovinadoby,vypočtenévčásti(b)
úlohy,tj.přibližně7,5period.Nakonecpoznamenejme,že
číselnéhodnotyparametrůztétovzorovéúlohybylypoužity
naobr.16.18.
K
ONTROLA 5: Uvažme tři tlumené oscilátory podle
obr.16.17.Jejichparametryjsouzadányvnásledující
tabulce.Vedruhémsloupcitabulkyjetuhostpružiny,ve
třetímkonstantaútlumuavečtvrtémhmotnosttělesa.
oscilátor1 2k
0
b
0
m
0
oscilátor2 k
0
6b
0
4m
0
oscilátor3 3k
0
3b
0
m
0
Uspořádejteoscilátorysestupněpodledoby,zakterou
klesnejejichmechanickáenergienajednučtvrtinusvé
počátečníhodnoty.
16.9 NUCENÉ KMITY A REZONANCE
Kdyžseněkdopasivněhoupánahoupačce,jetopříklad
volnéhokmitání.Jestliženějakádalšíosobahoupačkuna-
vícperiodickytahánebotlačí,jakonaobr.16.19,probíhá
nucenékmitání.Vtomtopřípaděsemusímezabývatdvěma
úhlovýmifrekvencemi.(1)Vlastníúhlováfrekvenceω je
úhlováfrekvencesystémunáhlevyvedenéhozrovnováhy
apakponechanéhovolněkmitat.(2)Úhlováfrekvenceω
b
vnějšíbudicísíly.
Obr.16.19 ZfyzikálníhohlediskajsounaobrazeNikolaseLan-
cretanaznačenydvěfrekvence:(1)vlastnífrekvence,tj.frekven-
ce,sjakoubyseslečnahoupala,kdybybylaponechánasama
osobě,a(2)frekvence,sjakoutahájejípřítelzaprovaz.Rezo-
nancenastane,jsou-litytofrekvenceshodné.
Kpředstavěnucenéhokmitáníharmonickéhooscilá-
torupoužijemeopětobr.16.17.Musímeovšempředpoklá-
dat,žese„pevnýnosník“nynípohybujeharmonickyna-
horuadolůsnámiurčenouúhlovoufrekvencíω
b
.Utako-
véhooscilátorusenakonecustavínucenékmitysúhlovou
frekvencíω
b
budicísílyasvýchylkou
x(t) = x
m
cos(ω
b
t +ϕ), (16.43)
kdex
m
jeamplitudanucenýchkmitů.
Velikostamplitudyvýchylkyx
m
jedánapoměrněkom-
plikovanoufunkcíproměnnýchω aω
b
.Jednoduššíjepo-
psat amplitudu rychlosti nucených kmitů v
m
: amplituda
rychlostijenejvětší,jestližesplnímepodmínku
ω
b
= ω (rezonance). (16.44)
Tatopodmínkarezonancejesoučasněpřibližnoupodmín-
kou pro největší amplitudu nucených kmitů x
m
.Jestliže
strkámehoupačkusfrekvencírovnoujejívlastnífrekven-
ci,dosáhnemevelkéamplitudyvýchylkyiamplitudyrych-
losti.Dětiktomudospějívelmirychlemetodouzkoušek
426 KAPITOLA16 KMITY
aomylů.Jestližestrkámesjinoufrekvencí,budquoterightvyšší,nebo
nižší,amplitudyvýchylkyarychlostinucenýchkmitůbu-
doumalé.
Na obr.16.20 je zobrazena závislost amplitudy vý-
chylkynucenýchkmitůnaúhlovéfrekvencibudicísílypro
třihodnotykonstantyútlumub.Všimnětesi,ževevšech
třechpřípadechjeamplitudanucenýchkmitůnejvětšípři-
bližně pro ω
b
/ω = 1,to znamená přibližně při splnění
rezonančnípodmínkyrov.(16.44).Zkřiveknaobr.16.20
jepatrnainásledujícízávislost:čímjetlumeníslabší,tím
jerezonančnívrcholvyššíaužší.
0,60,81,01,21,4
ω
b
/ω
amplituda
b=50g·s
−1
(nejmenšítlumení)
b=70g·s
−1
b=140g·s
−1
Obr.16.20 Amplituda výchylky nucených kmitů x
m
se mění
vzávislosti na úhlové frekvenci ω
b
budicí síly.Amplituda je
největšípřibližněpři ω
b
/ω = 1,tj.přibližněpřisplněnírezo-
nančnípodmínky.Křivkynaobrázkuodpovídajítřemrůzným
hodnotámkonstantyútlumu b.
Všechny mechanické soustavy vykazují jednu nebo
vícevlastníchfrekvencí.Kdyžnaněpůsobívelkávnější
budicísílasfrekvencí,kterájevblízkostijednézvlastních
frekvencísoustavy,mohouvznikajícínucenékmityzpů-
sobitmechanicképorušení.Napříkladletečtíkonstruktéři
musízajistit,abysevlastnífrekvencekřídellišilaodfrek-
vencepístůpřiletovýchotáčkáchmotoru.Bylobypocho-
pitelněnebezpečné,kdybysepřiurčitýchotáčkáchmotoru
začalokřídlodivocetřepat.
Příklademdestruktivníhopůsobenírezonancejeizří-
cení1,4kmdlouhéhoúsekuNimitzovydálnice,kteréjsme
viděli na úvodní fotografii této kapitoly. Při průchodu
seizmickýchvln danou oblastí došlo ke kmitání podloží
snejvětšíamplitudourychlostinaúhlovéfrekvenciokolo
9rad·s
−1
.Tato frekvence odpovídá téměř přesně vlastní
úhlovéfrekvencihorizontálníchkonstrukčníchdílůdálni-
ce.Příčinatoho,žekezřícenídošloprávějenvuvedeném
úseku,jepatrnanaobr.16.21:dálnicezdebylapostavena
navolněčleněnémjílovitémpodloží,kteréběhemotřesů
vykazovalopřinejmenšímpětkrátvětšíamplitudurychlos-
ti,nežtomubylouskalnatéhopodložívostatníchúsecích
dálnice.
jílovitéusazeniny
usazenéhorniny
vodníplocha
zřícený
úsek
Nimitzova
dálnice
Oakland
mostpřeszáliv
SanFrancisco
02km
Obr.16.21 GeologickástrukturačástiOaklanduvokolízálivu
SanFranciscosvyznačenímzřícenéhoúsekuNimitzovydálni-
ce.(Převzatozčlánku„Sediment-InducedAmplificationandthe
CollapseoftheNimitzFreeway“autorůS.E.Houghaaostat-
ních,uveřejněnéhovčasopiseNature26.dubna1990).
Parametrická rezonance
Slečnazobr.16.19,alehoupajícísesamabezpomocipříte-
le,stejnějakosamostatněsehoupajícídětinaobr.16.1jsou
příklademnovéhojevu—nenítovýšepopsanárezonance
připůsobenívnějšíbudícísíly,aletzv.parametrická re-
zonance.Přinísesoustavaudržujevkmitánítím,žese
pravidelněměníjejívhodnývnitřníparametr.Vtomtopří-
paděsekývánímnohamavseděanebopokrčovánímnohou
vestojeměnímomentsetrvačnostihoupačkyspasažérem
vůčioserotace.Oprotiobyčejnérezonancijsouzdeněkteré
pozoruhodnérozdíly.Jedenúplnýkmithoupačkyje,řek-
něme,odlevékrajnípolohypřesnejnižšípolohu,pravou
krajnípolohu,opětnejnižšípolohuazpětdovýchozílevé
krajnípolohy.Běhemnějsealedítěskrčídvakrát—jde
dokolenvždy,kdyžjdehoupačkadolůdonejnižšípolohy!
Rezonančnífrekvence ω
p
tohotomechanismuhoupáníje
tedyzřejmědvojnásobnáoprotivlastnífrekvenciωhoupač-
ky;platíω
p
= 2ω.Dalšízvláštníodchylkouodnucených
kmitůjeto,žeparametrickourezonancílzesicezesílituž
existujícíkmity,alenelzesesnírozhoupatznaprostého
klidu.Matematické vyšetřování takových kmitů je však
ivnejjednoduššímpřípaděmnohemnáročnější.
PŘEHLED&SHRNUTÍ 427
PŘEHLED&SHRNUTÍ
Frekvence
Libovolnýperiodickýpohyb(libovolnékmitání)másvoufrek-
vencif,určujícípočetkmitůzajednusekundu.VsystémuSIje
jednotkoufrekvencehertz:
1hertz=1Hz=1kmitzasekundu=1s
−1
.(16.1)
Perioda
PeriodaT ječaspotřebnýkprovedeníjednohoúplnéhokmitu
(jednoho úplného cyklu pohybu).Perioda souvisí s frekvencí
vztahem
T =
1
f
.(16.2)
Harmonický pohyb
Vpřípaděharmonickéhopohybujevýchylkačásticezrovno-
vážnépolohypopsánavztahem
x(t) = x
m
cos(ωt +ϕ) (výchylka),(16.3)
vekterémx
m
jeamplitudavýchylky,veličina(ωt +ϕ)jefáze
pohybu a ϕ je fázová konstanta. Úhlová frekvence ω souvisí
speriodouasfrekvencípohybuvztahy
ω =
2D4
T
=2D4f (úhlováfrekvence).(16.4)
Prvníadruháderivacerov.(16.3)určujíčasovouzávislostrych-
lostiazrychleníčásticeběhemharmonickéhopohybu:
v(t)=−ωx
m
sin(ωt +ϕ) (rychlost), (16.5)
a(t)=−ω
2
x
m
cos(ωt +ϕ) (zrychlení). (16.6)
Kladná veličina ωx
m
vrov.(16.5) se nazývá amplituda rych-
lostipohybu v
m
.Kladnáveličinaω
2
x
m
vrov.(16.6)senazývá
amplitudazrychlenípohybua
m
.
Harmonický oscilátor
Jestližečásticiohmotnosti mvracídorovnovážnépolohysíla
úměrnávýchylce,tj.F =−kx,dojdekharmonickémukmitání
sparametryωaT,kde
ω =
radicalbigg
k
m
(úhlováfrekvence) (16.11)
a
T =2D4
radicalbigg
m
k
(perioda). (16.12)
Takovýsystémsenazýváharmonickýoscilátor.
Energie
Částice,kterávykonáváharmonickýpohyb,mávlibovolném
čase kinetickou energii E
k
=
1
2
mv
2
a polohovou energii
E
p
=
1
2
kx
2
.Jestliženeuvažujemetření,zůstávácelkovámecha-
nickáenergieE = E
k
+E
p
běhempohybukonstantní,zatímco
E
k
aE
p
semění.
Kyvadla
Harmonický pohyb vykazují například torzní kyvadlo na ob-
rázku16.8,matematickékyvadlonaobr.16.10afyzickékyvadlo
naobr.16.11.Vpřípaděmalýchvýchylekjeprotytosystémy
periodaurčenapořaděvztahy
T =2D4
radicalbigg
I
kappa1
(torzníkyvadlo), (16.25)
T =2D4
radicalBigg
L
g
(matematickékyvadlo) (16.29)
a
T =2D4
radicalBigg
I
mgh
(fyzickékyvadlo). (16.32)
Ve všech případech se ve výrazu pro periodu objevuje podíl
„setrvačného“členua„vratného“členu.Vratnýčlenvyjadřuje
velikosttendenceknávratudorovnovážnépolohy.
Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb
Harmonickýpohybvznikátaképrojekcírovnoměrnéhokruho-
véhopohybunaprůměrkružnice,ponížkruhovýpohybprobíhá.
Obr.16.16ukazuje,jakvšechnyparametryrovnoměrnéhokru-
hovéhopohybu(poloha,rychlostazrychlení)přecházejíuvede-
nouprojekcínaodpovídajícíhodnotyproharmonickýpohyb.
Tlumený oscilátor
UreálnýchkmitajícíchsystémůsemechanickáenergieEběhem
pohybu postupně zmenšuje,protože působí brzdné třecí síly,
kterépřevádějímechanickouenergiinateplo.Říkáme,žepohyb
reálného oscilátoru je tlumený.V případě,kdy je brzdná síla
určenavztahemF
b
=−bv,kde v jerychlostoscilátoruab je
konstantaútlumu,máčasovázávislostvýchylkyoscilátorutvar
x(t) = x
m
e
−bt/2m
cos(ω
prime
t +ϕ), (16.40)
kdeω
prime
jeúhlováfrekvencetlumenéhooscilátoru,určenávztahem
ω
prime
=
radicalBigg
k
m
−
b
2
4m
2
.(16.41)
Promalouhodnotukonstantyútlumu(b lessmuch
√
km)tedymáme
ω
prime
.
= ω,kdeωjeúhlováfrekvencenetlumenéhooscilátoru.Pro
428 KAPITOLA16 KMITY
malábubývámechanickáenergieoscilátorupodlevztahu
E(t)≈
1
2
kx
2
m
e
−bt/m
.(16.42)
Nucené kmity a rezonance
Jestliženasystéms vlastní úhlovoufrekvencíω působívnější
budicísílasúhlovoufrekvencíω
b
,systémserozkmitásúhlovou
frekvencí ω
b
.Amplituda rychlosti nucených kmitů je přitom
největšípřisplněnípodmínkyrezonance
ω
b
= ω. (16.44)
Přimalémtlumeníjezatéžepodmínkynejvětšíamplitudavý-
chylkyx
m
.
OTÁZKY
1. Kterýznásledujícíchvztahůmezizrychlením a apolohou
částicex implikujeharmonickýpohyb:(a) a = 0,5x,(b)a =
=400x
2
,(c)a =−20xa(d)a =−3x
2
?
2. Naobr.16.22jevynesenačasovázávislostzrychlenía(t)pro
částici,kterávykonáváharmonickýpohyb.(a)Kterémuzčís-
lovanýchbodůodpovídá poloha −x
m
?(b)Jerychlostčástice
vbodě4kladná,záporná,nebonulová?(c)Odpovídábodu5
polohačástice−x
m
,+x
m
,0,mezi−x
m
a0,nebomezi0a+x
m
?
1
2
3
4
5
6
7
8
a
t
Obr.16.22 Otázka2
3. Výchylkakmitajícíčásticejepopsánavztahem
x = x
m
cos(ωt +ϕ).
Určete,zda se částice v čase t = 0 nachází v −x
m
,v+x
m
,
vpočátku,mezi−x
m
a0,nebomezi0a+x
m
,jestližejeϕrovno
(a)D4/2,(b)−D4/3,(c)−3D4/4a(d)3D4/4.
4. Která z následujících relací popisuje fázovou konstantu ϕ
proharmonickýpohyb naobr.16.23a: (a) −D4