hrw16

nynínatutosituacizkvantitativníhohlediska.
Potenciální energie harmonického oscilátoru na ob-
rázku16.5jespojenavýhradněspružinou.Jejívelikostzá-
visínatom,okolikjepružinastlačenaneboprotažena,tedy
navýchylce x(t).Jestližepoužijemepostupněrov.(8.11)
a(16.3),dostaneme
E
p
(t) =
1
2
kx
2
=
1
2
kx
2
m
cos
2
(ωt +ϕ). (16.20)
Všimněme si zde pozorně výrazu cos
2
A: jeho významje
(cosA)
2
anelzejejzaměňovatsvýrazemcosA
2
,kterýznamená
cos(A
2
).
Kinetickáenergiesystémujevázánavýhradněnakmi-
tajícíhmotnétěleso.Jejívelikostzávisínatom,jakrychle
se těleso pohybuje,tedy na rychlosti v(t).Z rov.(16.5)
dostaneme
E
k
(t) =
1
2
mv
2
=
1
2
mω
2
x
2
m
sin
2
(ωt +ϕ). (16.21)
Podle rov.(16.11) můžeme za ω
2
dosadit k/m, takže
rov.(16.21)lzepřepsatdotvaru
E
k
(t) =
1
2
mv
2
=
1
2
kx
2
m
sin
2
(ωt +ϕ). (16.22)
CelkovámechanickáenergieE jesoučtempříspěvkůzís-
kanýchvrov.(16.20)a(16.22):
E = E
p
+E
k
=
=
1
2
kx
2
m
cos
2
(ωt +ϕ)+
1
2
kx
2
m
sin
2
(ωt +ϕ)=
=
1
2
kx
2
m
parenleftbig
cos
2
(ωt +ϕ)+sin
2
(ωt +ϕ)
parenrightbig
.
Prolibovolnýúhelαvšakplatí
cos
2
α+sin
2
α =1.
VýrazvevelkýchzávorkáchvrovniciproenergiiEjetedy
rovenjednéavýsledekzní
E = E
p
+E
k
=
1
2
kx
2
m
. (16.23)
Mechanickáenergieharmonickéhooscilátorujetedysku-
tečněnačasenezávislá,jekonstantní.Potenciálníenergie
akinetickáenergielineárníhooscilátorujakofunkcečasu
jsouznázorněnynaobr.16.7aajakofunkcevýchylkyna
obr.16.7b.
(a)
ener
gie
čast
E
0
T/2 T
E
k
(t)+E
p
(t)
E
k
(t)
E
p
(t)
(b)
E
0 +x
m
−x
m
E
k
(x)+E
p
(x)
E
k
(x)
E
p
(x)
výchylkax
ener
gie
Obr.16.7 (a)PotenciálníenergieE
p
(t),kinetickáenergieE
k
(t)
acelkovámechanickáenergieE harmonickéhooscilátorujako
funkce času.Všimněte si,že všechny energie jsou nezáporné
ažeběhemjednéperiodydojdedvakrátkdosaženímaximajak
u kinetické,tak u potenciální energie.(b) Potenciální energie
E
p
(t),kinetickáenergieE
k
(t)acelkovámechanickáenergieE
harmonickéhooscilátorusamplitudouvýchylkyx
m
jakofunkce
výchylky x.Prox = 0jeveškerámechanickáenergietvořena
energiíkinetickou,prox =±x
m
naopakenergiípotenciální.
Nyníjejižpatrněpochopitelné,pročobvyklezahrnuje
kmitajícísystémjednakjistýelementspojenýstendencí
návratu do rovnovážné polohy,jednak jistý element se-
trvačnosti:první znichnasebevážepotenciálníenergii
adruhýenergiikinetickou.
16.5 TORZNÍKMITY 417
K
ONTROLA 3: Těleso na obr.16.5 má v jistém oka-
mžiku výchylku x =+2,0cm. V tomto okamžiku
jejehokinetickáenergie3Japružinamápotenciální
energiipružnostio velikosti2J.(a) Jakjevelkáki-
netickáenergietělesapři x = 0?Jakéjsouhodnoty
potenciální energie pružnosti při (b) x =−2,0cm,
apři(c)x =−x
m
?
PŘÍKLAD 16.4
(a)Jakájemechanickáenergieoscilátoruzpříkladu16.1?
ŘEŠENÍ: Dosadímeúdajezpř.16.1dorov.(16.23):
E =
1
2
kx
2
m
=
1
2
(65N·m
−1
)(0,11m)
2
=
=0,393J
.
=0,39J. (Odpovědquoteright)
Tatohodnotazůstáváběhempohybukonstantní.
(b)Jakájepotenciálníenergietohotooscilátoruvokamži-
ku,kdysetělesonacházínapoloviněcestykboduobratu,
tj.jestližex =±x
m
/2?
ŘEŠENÍ: Pro libovolnou výchylku je potenciální energie
určenavztahemE
p
=
1
2
kx
2
.Vnašempřípadě
E
p
=
1
2
kx
2
=
1
2
k
parenleftbig
1
2
x
m
parenrightbig
2
=
1
4
parenleftbig
1
2
kx
2
m
parenrightbig
=
=
1
4
E =
1
4
(0,393J) =0,098J. (Odpovědquoteright)
(c)Jakájekinetickáenergieoscilátorupřix = x
m
/2?
ŘEŠENÍ: Kinetickou energii nalezneme prostým odčítá-
ním:
E
k
= E −E
p
=
=0,393J−0,098J
.
=0,30J. (Odpovědquoteright)
Jestližesetedykdykolivběhemkmitánítělesonacházívbodě
x = x
m
/2,má25%jehomechanickéenergieformuenergie
potenciálnía75%formukinetickéenergie.
16.5 TORZNÍ KMITY
Naobr.16.8vidímejinouvariantuharmonickéhoosciláto-
ru.Narozdílodpředchozíchpříkladů,kdehybnousilou
byloprotaženíčistlačenípružiny,zdepůsobíkroucenízá-
věsnéhovlákna.Uvedenézařízenísenazývátorzní kyva-
dlo,slovotorzeznamenákroucení.
Jestližepootočímedisknaobr.16.8vzhledemkjeho
rovnovážnépoloze(vníukazujeryskanaznačku0)apak
uvolníme,začneryskakmitatkolemrovnovážnépolohy;
0
+θ
m
−θ
m
upevněnýkonec
závěsnévlákno
referenčníryska
Obr.16.8 Torzníkyvadlojeotáčivávariantalineárníhoharmo-
nickéhooscilátoruzobr.16.5.Diskkmitávevodorovnérovině;
referenčníryskasevychylujesúhlovouamplitudouθ
m
.Vprů-
běhukroucenínasebezávěsnévláknovážepotenciálníenergii,
podobnějakojidřívevázalapružina.Kroucenímsesoučasně
vytvářívratnýtočivýmoment.
dojde k torzním kmitům.Při úhlové výchylce rysky θ
vlibovolnémzobousměrůvznikávratnýsilovýmoment,
určenývztahem
M =−kappa1θ. (16.24)
Konstantakappa1 (řecképísmenokappa)sejmenujetorzní tu-
hostnebolituhost ve zkrutu.Jejívelikostzávisínadélce
závěsnéhovlákna,najehoprůměruanamateriálu,zněhož
jevláknovyrobeno.
Při srovnání rov.(16.24) a (16.9) začínáte tušit, že
rov.(16.24)jevlastnětorznívariantaHookovazákona.Po-
kusíme se tedy transformovat rov.(16.12),udávající pe-
riodu lineárního oscilátoru,na rovnici pro periodu torz-
ního oscilátoru.V rov.(16.12) předně nahradíme tuhost
pružinykveličinou,kterányníměřívelikostvratnétenden-
ce;toujepodlerov.(16.24)torznítuhostkappa1.Dálenahradíme
vrov.(16.12)hmotnostmveličinou,kterájínyníodpovídá,
tj.kteránynívyjadřujesetrvačnoutendencipřiotáčenídis-
ku;toujemomentsetrvačnosti I kmitajícíhodisku.Tyto
dvěsubstitucenásjižpřivádějíkevztahu
T =2D4
radicalbigg
I
kappa1
(torzníkyvadlo) (16.25)
properiodutorzníhooscilátorunebolitorzníhokyvadla.
PŘÍKLAD 16.5
Naobr.16.9avidímetenkoutyčdélkyL =12,4cmohmot-
nosti m = 135g,zavěšenouuprostřednadlouhémvlákně.
Protentotorzníoscilátorjsmezměřiliperiodu T
a
= 2,53s.
Naobr.16.9bjeznázorněnonepravidelnétělesoX,zavěšené
418 KAPITOLA16 KMITY
nastejnémvlákně.Protentotorzníoscilátorjsmenaměřili
perioduT
b
=4,76s.
(a)
L
závěsné
vlákno
tyč
(b)
tělesoX
(c)
Obr.16.9 Příklad16.5.Třizobrazenátorzníkyvadlajsoutvořena
závěsnýmvláknema(a)tyčí,(b)nepravidelnýmtělesema(c)tyčí
pevněspojenousnepravidelnýmtělesem.
(a)Jakýje momentsetrvačnosti tělesa Xvzhledemkose,
určenézávěsnýmvláknem?
ŘEŠENÍ: Podle tab.11.2e je moment setrvačnosti tenké
tyče vzhledemk ose,procházející středemtyče kolmo na
jejíosu,roven
1
12
mL
2
.Mámetedy
I
a
=
1
12
mL
2
=
1
12
(0,135kg)(0,124m)
2
=
=1,73·10
−4
kg·m
2
.
Napišmenynídvakrátrov.(16.25);jednouprotyčapodruhé
protělesoX:
T
a
=2D4
radicalbigg
I
a
kappa1
a T
b
=2D4
radicalbigg
I
b
kappa1
.
Spodní indexy zde odpovídají po řadě obr.16.9a a 16.9b.
Torzní konstanta kappa1 vyjadřuje vlastnosti vlákna a to je na
obouobrázcíchstejné.Lišísepouzemomentysetrvačnosti
aperiody.
Nyní obě uvedené rovnice umocníme a druhou z nich
vydělímerovnicíprvní.Výslednývztahpředstavujerovnici
proI
b
.Jejímřešenímdostaneme
I
b
= I
a
T
2
b
T
2
a
= (1,73·10
−4
kg·m
2
)
(4,76s)
2
(2,53s)
2
=
=6,12·10
−4
kg·m
2
. (Odpovědquoteright)
(b) Jaká by byla perioda kmitů torzního oscilátoru na
obr.16.9c,vznikléhospojenímobouuvažovanýchtělesaje-
jichzavěšenímnauvažovanévlákno?
ŘEŠENÍ: Opětnapíšemedvakrátrov.(16.25),avšaktento-
krátjako
T
a
=2D4
radicalbigg
I
a
kappa1
a T
c
=2D4
radicalbigg
I
c
kappa1
.
Sestavímeopětpodíldruhéhoaprvníhovýrazuadosadíme
I
c
= I
a
+I
b
.Dostanemetak
T
c
= T
a
radicalBigg
I
c
I
a
= T
a
radicalBigg
I
a
+I
b
I
a
= T
a
radicalBigg
1+
I
b
I
a
=
= (2,53s)
radicalBigg
1+
(6,12·10
−4
kg·m
2
)
(1,73·10
−4
kg·m
2
)
=
=5,39s. (Odpovědquoteright)
16.6 KYVADLA
Nynísezaměřímenajistoutříduharmonickýchoscilátorů,
unichžjevratnýelementspojensgravitačnísilou,ani-
kolivselastickýmivlastnostmivláknapřijehokroucení,
popřípaděsestlačenímaprotaženímpružiny.
Matematické kyvadlo
Upevněme dlouhé vlákno na nosník a zavěsme na jeho
spodníkonecjablko.Kdyžjablkoslaběvychýlímeapak
uvolníme,budejehodalšípohybperiodický.Avšakjetoto
kýváníharmonickýpohyb?Videalizovanésituacibudeme
uvažovatmatematickékyvadlo,abstraktníobjekt,tvořený
bodovou částicí o hmotnosti m (závaží kyvadla) a ne-
hmotnýmpevnýmvláknemdélky L.Vše je znázorněno
naobr.16.10a:závažísevolněhoupetamazpětvrovině
stránky,tj.dolevaadopravaodsvislépřímkyvedenébodem
závěsu.
(a)
m
L
θ
(b)
L
θ
F
n
m
s=Lθ
mgcosθ
mgsinθ
θ
mg
Obr.16.10 (a)Matematickékyvadlo.(b)Nazávažípůsobídvě
síly: tíhová síla mg a síla vlákna F
n
. Tečná složka tíhové
sílymgsinθ představujevratnousílu:snažísevrátitzávažído
rovnovážnépolohy.
Setrvačnýelementtohotokyvadlajespojensčásticí
hmotnosti m.Vratný element spočívá v přitažlivém pů-
sobenímezičásticíaZemí.Změnapotenciálníenergieje
16.6 KYVADLA 419
určenazměnouvýškyčásticenadpovrchemZemě;naver-
tikálnípohybzávažímůžemepohlížetjakonazměnudélky
„gravitačnípružiny“.
Na závaží působí dvě síly, obě jsou zobrazeny na
obr.16.10b:tíhovásílamg asílavlákna F
n
.Tíhovousílu
rozložímenaradiálnísložkumgcosθ anasložkumgsinθ
tečnoukdrázečástice,ataprávěpředstavujevratnousílu.
Působítotižvždyprotivýchylcečásticeasnažísejivrátitdo
rovnovážnépolohy(θ =0),kdebybyla,kdybynekmitala.
Napišmetedyvratnousíluvetvaru
F =−mgsinθ, (16.26)
vekterémzápornéznameníupozorňuje,žesílapůsobíproti
výchylce.
Předpokládejmenyní,žeúhel θ naobr.16.10jema-
lý. Výraz sinθ je tedy přibližně roven úhlu θ, vyjád-
řenému v radiánech.(Například pro θ = 5,00
◦
, tj. pro
θ = 0,0873rad,dostanemesinθ = 0,0872—odchylka
činí pouze něco kolem0 ,1%.)Dále,výchylku částice s
budeme měřit podél její obloukové trajektorie; je tedy
rovnaLθ.Celkověnabývárov.(16.26)promaláθ tvar
F ≈−mgθ. (16.27)
Letmýpohledzpátkynarov.(16.9)námukazuje,že
zdemámeopěttvarpodobnýHookovuzákonu.Rolivý-
chylky x hraje nyní úhlová výchylka θ.Jestliže je tedy
úhlovávýchylkamatematickéhokyvadlamalá,můžemejej
pokládatzaharmonickýoscilátor,podobnýsoustavěpru-
žina+tělesonaobr.16.5.Jinýmislovy,kývánízávažíje
harmonickýpohyb.Amplitudouúhlovévýchylkyθjenyní
úhlová amplituda θ
m
,tj. největší úhel při kývání.Roli
tuhosti pružiny k hraje veličina mg/L,tuhost „efektivní
gravitačnípružiny“kyvadla.
Periodukmitůmatematickéhokyvadlazískámezrov-
nice(16.12),jestliževnízakdosadímemg/L:
T =2D4
radicalbigg
m
k
=2D4
radicalbigg
m
mg/L
, (16.28)
tedycelkově
T =2D4
radicalBigg
L
g
(matematickékyvadlo). (16.29)
Rov.(16.29) platí pouze v případě,že úhlová amplituda
kmitání θ
m
jemalá(pokudnebudeřečenojinak,považu-
jemetutopodmínkuvúkolechtétokapitolyzasplněnou).
Můžesezdát,ževrov.(16.29)chybíelementsetrvač-
nosti,protožeperiodanámvyšlanezávislánahmotnosti
částice.Příčinajevšakpatrnázrov.(16.28):vratnátenden-
ce,měřenátuhostí„efektivnígravitačnípružiny“mg/L,je
samaosoběúměrnáhmotnostičástice.Oběhmotnostise
tedyvrov.(16.28)nakoneczkrátí.
Izdeseběhemkaždéhocykluměníkinetickáenergie
kyvadlavpotenciálníanaopak(obr.8.7).
Fyzické kyvadlo
Skutečnákyvadlasevětšinouvýrazněodlišujíodkyvadla
matematického.Naobr.16.11vidímeobecnéfyzické ky-
vadlo;takbudemenazývatskutečnákyvadla,kdehmota
nenísoustředěnadojedinéhobodu.Tíhovásílamgpůsobí
vtěžištiT.
Obr.16.11 Fyzickéky-
vadlo.Vratnýsilový
momentje (mgsinθ)(h).
Při θ = 0setěžiště T
nacházípřímopod
bodemzávěsu O.
O
h
θ
T
θ
mgcosθ
mgsinθ
mg
Kdyžvychýlímekyvadlonaobr.16.11zrovnovážné
polohyvlibovolnémsměruoúhel θ,vzniknevratnýsi-
lový moment M.Tento moment působí vzhledem k ose
procházejícíbodemzávěsu Oaplatí:
M =−(mgsinθ)(h). (16.30)
Zde mgsinθ je tečná složka tíhové síly mg a h (délka
úsečky OT)jeramenosílyprotutotečnousložku.Zna-
ménkominusvyznačuje,žedanýsilovýmomentpůsobí
protivýchylce.Jinýmislovy,silovýmomentsevždysnaží
zmenšitúhelθ nanulu.
Nyníopětomezímenašeúvahynapřípadmalýchvý-
chylek,vezmemetedysinθ ≈ θ.Rov.(16.30)taknabývá
tvar
M ≈−(mgh)θ. (16.31)
Srovnánísrov.(16.24)ukazuje,žejdeoanalogickýpřípad.
V případě malé úhlové amplitudy θ
m
vykonává fyzické
kyvadloharmonickýpohyb.Výrazmghvrov.(16.31)hraje
nyní roli torzní konstanty kappa1 z rov.(16.24).Jestliže tedy
provedeme tuto substituci v rov.(16.25),dostaneme pro
420 KAPITOLA16 KMITY
periodufyzickéhokyvadlavztah(stálezapodmínkymalé
úhlovéamplitudyθ
m
)
T =2D4
radicalBigg
I
mgh
(fyzickékyvadlo). (16.32)
Zde I je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose,
kteráprocházíbodemzávěsukolmokroviněkývání,a hje
vzdálenostboduzávěsuodtěžiště.
Intuitivnějejasné,žesefyzickékyvadlonebudekývat,
jestližejejzavěsímevtěžišti;budeseovšemotáčet.Náš
vzorecprodobukmitutotižplatíjenpromalouvýchylku,
tj.malýúhelθ.Vpřípaděh →0všakisebemenšípodnět
způsobí,žetatopodmínkanebudesplněnaažemísto(ma-
lých)kyvůdojdeprostěkotáčeníkolemosy—podobně
jakokdybychomdokyvadlasvětším hvelmiprudcevra-
zili.Ifrekvencitěchtootáčeklzeovšemspočítat,alenikoli
podlevzorce(16.32)platnéhopro malé úhlovéamplitu-
dy.
Každémufyzickémukyvadlu,kterékmitákolembodu
závěsu O s periodou T,odpovídá matematické kyvadlo
jistédélkyL
0
kmitajícísestejnouperiodouT.Tutotzv.re-
dukovanou délku L
0
lzezjistitzrov.(16.29).Prodaný
bodzávěsu O fyzickéhokyvadlamůžemetakvždyurčit
tzv.střed kyvu—bodO
prime
,ležícínaspojniciboduzávěsu
O atěžištěvevzdálenosti L
0
odboduzávěsuvesměru
ktěžišti.Necháme-lipotétotokyvadlokývatkolemstředu
kyvuO
prime
(jakotzv.reverzníkyvadlo),zjistíme,žesekývá
sestejnouperiodouT,jakokdyžbylozavěšenovboděO.
Naopak,experimentálnímnalezenímbodů O,O
prime
stouto
vlastnostílzeurčitL
0
aznějazperiodyT vypočítatvelmi
přesněhodnotutíhovéhozrychleníg.
Poznamenejmeještě,žematematickékyvadlolzepo-
kládatzaspeciálnípřípadfyzickéhokyvadlanaobr.16.11.
Skutečně, v případě matematického kyvadla je vzdále-
nost h na obr.16.11 jednoduše jeho délka L amoment
setrvačnostiI jemL
2
.Kdyžtytodvěveličinydosadímedo
rov.(16.32),vyjdenám
T =2D4
radicalBigg
I
mgh
=2D4
radicalBigg
mL
2
mgL
=2D4
radicalBigg
L
g
,
cožjepřesněrov.(16.29),tj.vztahproperiodumatematic-
kéhokyvadla.
Měření tíhového zrychlení
Fyzickýmkyvadlemlzeměřittíhovézrychlení g—tisíce
takovýchměřeníbyloprovedenoběhemgeologickýchprů-
zkumů.
Uvažmeprojednoduchostkyvadlotvořenéhomogenní
tyčídélkyL,zavěšenounajednomkonci.Protakovékyva-
dlojeveličinahvrov.(16.32),tj.vzdálenostmezibodem
závěsuatěžištěm,rovna
1
2
L.Dálepotřebujemeznátmo-
mentsetrvačnostityčevzhledemkoseotáčení.Tajekolmá
kosetyčeaprocházíjejímkoncem;ztab.11.2fzjistíme
I =
1
3
mL
2
.Nakonecdosadímeh =
1
2
LaI =
1
3
mL
2
do
rov.(16.32)ařešímetutorovnicivzhledemkeg.Výsledek
je
g =
8D4
2
L
3T
2
. (16.33)
JestližetedyzměřímedélkutyčeLaperiodukmitůT,mů-
žemevypočítathodnotug.(Prozvýšenípřesnostiměřeníse
provádícelářadavylepšení,napříkladkyvadlosepohybuje
vevakuovékomoře).
K
ONTROLA4:Třifyzickákyvadlahmotnostím
0
,2m
0
,
a3m
0
(zrůznýchmateriálů),majístejnýtvar,velikost
abodzávěsu.Seřadquoterighttejesestupněpodlejejichperiod
kmitů.
PŘÍKLAD 16.6
Metrovátyčnaobr.16.12a,zavěšenánajednomkonci,tvoří
fyzickékyvadlo.
(a)Jakájejehoperiodakmitání?
ŘEŠENÍ: Z tab.11.2f zjistíme moment setrvačnosti tyče
vzhledemkoseotáčení,kterájekolmákosetyčeaprochází
jejímkoncem: I =
1
3
mL
2
.Vzdálenost h bodu závěsu od
těžiště,kteréjevboděT naobr.16.12a,je
1
2
L.Podosazení
těchtodvouveličindorov.(16.32)dostaneme
T =2D4
radicalBigg
I
mgh
=2D4
radicalBigg
mL
2
/3
mg(L/2)
=
=2D4
radicalBigg
2L
3g
=2D4
radicalBigg
2(1,00m)
3(9,8m·s
−2
)
=
=1,64s.(Odpovědquoteright) (16.34)
(b)Uvažmeopětmetrovoutyčnaobr.16.12a.Jakájeredu-
kovanádélkaL
0
mezibodemzávěsuO astředemkyvu?
ŘEŠENÍ: Kurčenístředukyvutyčepotřebujemeznátdélku
L
0
matematického kyvadla (obr.16.12b),jehož perioda se
shodujesperiodoukmitůtyče.Musísetedyshodovatpravé
stranyrov.(16.29)a(16.34):
T =2D4
radicalBigg
L
0
g
=2D4
radicalBigg
2L
3g
.
Tatopodmínkajiždávápožadovanoudélku
L
0
=
2
3
L =
2
3
(100cm) =66,7cm. (Odpovědquoteright)
16.6 KYVADLA 421
VypočtenádélkajerovnavzdálenostiboduP naobr.16.12a
od bodu závěsu O.BodP je tedy středemkyvu daného
fyzickéhokyvadlavzhledemkdanémuboduzávěsu.
(a)
O
h
T
P
(b)
L
0
Obr.16.12 Příklad16.6.(a)Metrovátyč,zavěšenánajednomkon-
ci,tvořífyzickékyvadlo.(b)Matematickékyvadlo,jehoždélkaL
0
jezvolenazpodmínkyrovnostiperiodoboukyvadel.Vzdálenost
boduP původníhokyvadla(a)aboduzávěsujeL
0
.BodP jetedy
středkyvupůvodníhokyvadlavzhledemkdanémuboduzávěsu.
PŘÍKLAD 16.7
Kotoučopoloměru R = 12,5cmseotáčíkolembodu O,
umístěnéhovevzdálenostihodjehostředuT (obr.16.13).Při
h = R/2mávznikléfyzickékyvadloperioduT = 0,871s.
Jakégravitačnízrychlenígjevmístě,vekterémsekyvadlo
nachází?
R
T
O
h
θ
Obr.16.13 Příklad16.7.Fyzickékyvadlojetvořenohomogenním
diskem,volněpohyblivýmkolemboduzávěsuO.Vzdálenostbodu
závěsuOodtěžištěT jerovnapoloviněpoloměrudisku.
ŘEŠENÍ: Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k ose,
procházejícíjehotěžištěmvesměrukolmémkrovinědisku,
máhodnotuI
T
=
1
2
mR
2
.PodleSteinerovyvětyjemoment
setrvačnostivůčiose,procházejícíbodem O arovnoběžné
spopsanoutěžištquoterightovouosou
I = I
T
+mh
2
=
1
2
mR
2
+m
parenleftbig
1
2
R
parenrightbig
2
=
3
4
mR
2
.
Vrov.(16.32)tedyuplatnímeI =
3
4
mR
2
ah =
1
2
R:
T =2D4
radicalBigg
I
mgh
=2D4
radicalBigg
3mR
2
/4
mg(R/2)
=2D4
radicalBigg
3R
2g
.
Nakonectutorovnicivyřešímevzhledemkeg:
g =
6D4
2
R
T
2
=
6D4
2
(0,125m)
(0,871s)
2
=
=9,76m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD 16.8
Tučňáknaobr.16.14seurčitěvyznávevodníchsportech.
Právěsechystákeskokuzhomogenníhoskokanskéhoprk-
na,kterésevlevovolněotáčíkolemčepuavpravojepevně
spojenospružinou.Délkaprknaje L = 2,0m,jehohmot-
nost m = 12kg,tuhost pružiny k činí 1300N·m
−1
ajejí
hmotnostjezanedbatelná.Skoktučňákavyvolákmitáníprkna
apružinysmalouamplitudou.Předpokládejme,žeprknoje
dostatečněpevné,takžesepřikmitáníneprohýbá.Nalezněte
periodukmitáníT.
ŘEŠENÍ: Pružinapůsobínaprknoproměnnýmmomentem
sílyM(vzhledemkoseotáčeníprkna).Prknoseprotovčepu
otáčísproměnnýmúhlovýmzrychlením ε.Součástíúlohy
je pružina a napadne nás,ževzniklé kmitání by mohl být
harmonický pohyb. Ponechme však prozatím tuto otázku
otevřenou.Místotohopoužijemenejprverov.(11.30)spolu
srov.(11.35):
M = LFsin90
◦
= Iε. (16.35)
Zde I jemomentsetrvačnostiskokanského prknapřijeho
otáčeníkolemčepu, F jesíla,kteroupůsobípružinanapravý
konecprkna,a90
◦
jeúhel,kterýsvírápodélnáosaprknase
směremsílyF.
Prkno představuje v podstatě tenkou tyč upevněnou na
jednomkonci,takžepodletab.11.2fmámeI = mL
2
/3.Pru-
žinavytvářísíluF =−kx,kdexjesvislálineárnívýchylka
pravéhokonceprkna.
TytovýrazyproFaIdosadímedodruhéhoatřetíhočlenu
vrov.(16.35).Mámetedy
−Lkx =
mL
2
ε
3
. (16.36)
Poslednírovnicepředstavujekombinacilineárnísvislévý-
chylkyxaúhlovéhozrychleníεpřirotaciprknakolemčepu.
Můžemejivšakpřepsatdotvaru,kterýobsahujepouzeúhlové
veličiny.Podlerov.(11.15)totižplatí
s = θr.
422 KAPITOLA16 KMITY
Zde θ je úhlová výchylka prkna přijehorotacikolemče-
pu, r = L je poloměr této rotace a s značí délku oblou-
ku, po kterémse pohybuje pravý konec prkna. Pro malé
úhlové výchylky θ můžeme délku oblouku s aproximovat
svislouvýchylkoux.Napíšemetedyx = θLadosadímedo
rov.(16.36):
−LkθL =
mL
2
ε
3
.
Pojednoduchéúpravěnakonecmáme
ε =−
3k
m
θ. (16.37)
Tato rovnice je úhlová varianta základní rov.(16.7). Říká
nám,žeprknoskutečněvykonáváharmonickékmitysúh-
lovýmzrychlením ε a s úhlovou výchylkou θ. Srovnání
rov.(16.37)a(16.7)navícposkytujeúhlovoufrekvencipro
tentooscilátor:
ω