hrw12

12
ValenÌ, moment sÌly a moment hybnosti
K nejobtÌûnÏjöÌm varietnÌm ËÌsl˘m pat¯Ì bezesporu vÌcen·sobn· salta.
TrojitÈ salto se poprvÈ povedlo jiû v roce 1897 jednomu z tehdy popul·rnÌch
vzduön˝ch akrobat˘ p¯i skoku z visutÈ hrazdy, na Ëty¯n·sobnÈ si vöak
milovnÌci tÏchto atrakcÌ museli poËkat jeötÏ dalöÌch 85 let, do roku 1982.
Migueli Vazquesovi se tehdy poda¯ilo provÈst bÏhem letu celÈ Ëty¯i
ot·Ëky, neû ho zachytil jeho bratr Juan. Oba artistÈ byli v tÈ chvÌli sv˝m
v˝konem tÈmϯ zaskoËeni. ProË je vÌcen·sobnÈ salto tak obtÌûnÈ? M˘ûe
k jeho zvl·dnutÌ nÏjak napomoci znalost fyzik·lnÌch z·kon˘
?
12.1 VALENÍ 297
Obr.12.1 Fotografie valícího se kotouče získaná při dlouhé ex-
poziční době. Na kotouči jsou připevněny dva bodové zdroje
světla,jedenvjehostředuajedennaobvodu.Světélkoumístěné
na obvodu opisuje křivku zvanou cykloida.
12.1 VALENÍ
Všimněmesi pohybujednotlivýchčástí kola při jízdě cyk-
listy po přímé silnici. Středy obou kol se pohybují vpřed,
jejich pohyb je posuvný. Trajektorie bodů na obvodu kol
jsouvšakmnohemsložitější(obr.12.1).Ukážemesi,žepo-
hybvalícíhosekolalzechápatbudquoterightjakosloženíposuvného
a otáčivého pohybu, nebo jako čistě otáčivý pohyb kolem
vhodnězvolenéosy.
Valení jako kombinace posuvného
a otáčivého pohybu
Pozorujme bicyklové kolo, které se odvaluje stálou rych-
lostí po přímé dráze a neprokluzuje. Předpokládejme, že
hmotnost kola je rozložena symetricky, takže jeho těžiště
splývásjehogeometrickýchstředemO.BodOsepohybuje
vpřed stálou rychlostí v
T
podle obr.12.2. BodP, v němž
se kolo dotýká silnice, je v každém okamžiku přesně pod
bodemO. Pohybuje se tedy po silnici stejnou rychlostí v
T
jako těžiště kola.
θ
s
s
O
O
PP
v
T
v
T
Obr.12.2 TěžištěO valícího se kola se pohybuje rychlostí v
T
a za dobut urazí dráhus. Kolo se přitom pootočí o úhelθ.Bod
dotykuP kola se zemí urazí za tuto dobu rovněž dráhus.
ZadobuturazíbodyOaP dráhus.Zpohleducyklisty
se při tom kolo otočí kolem svého středu o úhel θ.Také
délkaobloukučásti pneumatiky,která běhemdobyt přišla
dostykusesilnicí,jes.Tutodráhuurazilzpohleducyklisty
bod na pneumatice, který se dotýkal silnice na počátku
měření.Vztahmezidélkouobloukusaotočenímθjevelmi
jednoduchý.Platí totiž rov.(11.15):
s =Rθ, (12.1)
kdeR je poloměr kola. Rychlost středu kola v
T
má veli-
kost ds/dt, úhlovárychlost kolaωvzhledemk ose vedené
jeho středem je dθ/dt. Derivovánímrov.(12.1)podle času
dostaneme
v
T
=ωR. (12.2)
Uvědomme si, že rov.(12.2) platí pouze v případě, že se
kolo valí bez prokluzování.
Obr.12.3 nás přesvědčí, že valení kola můžeme chá-
patjakosloženíposuvnéhoaotáčivéhopohybu.Obr.12.3a
znázorňuje pouze otáčení kola, tj. jeho pohyb z pohledu
cyklisty,kterývidíosuotáčeníjakonepohyblivou.(Otáčivý
pohybkolempevnéosyjsmepodrobněprobraliv kap.11.)
Každý bod kola rotuje kolem této osy úhlovou rych-
lostí ω. Libovolný bod na jeho vnějším obvodu má ob-
vodovou rychlost v
T
, danou vztahem (12.2). Obr.12.3b
zachycuje pouze posuvný pohyb kola, který bychom po-
zorovali, kdyby se kolo vůbec neotáčelo. Každý jeho bod
by se v takovémpřípadě pohybovaldopravarychlostí v
T
.
+=
OOO
PPP
VVV
v
T
v
T
v =v
T
v =v
T
v =v
T
v =2v
T
v =−v
T
+v
T
=0
v =−v
T
(a) (b) (c)
Obr.12.3 Valení kola jako kombinace posuvného a otáčivého
pohybu. (a) Otáčení kola: všechny body kola obíhají se stejnou
úhlovou rychlostíω.Body na jeho vnějším obvodu mají stejnou
obvodovou rychlostv=v
T
.Vobrázkujsouvyznačenyvektory
rychlosti v nejvýše a nejníže položeného bodu kolaV,resp.P.
(b) Posuv kola: všechny body se pohybují doprava se stejnou
rychlostí v
T
, shodnou s rychlostí středu O. (c) Valivý pohyb
kola je složením pohybů (a) a (b).
Složením pohybů na obr.12.3a, b vznikne výsledný
valivý pohyb,který vidíme na obr.12.3c. Všimněme si, že
body v bezprostřední blízkosti bodu P jsou téměř v kli-
du, zatímco body u vrcholu V se pohybují rychleji než
kterákoli jiná část kola, rychlostí blízkou 2v
T
. Fotografie
298 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
Obr.12.4 Fotografie valícího se bicyklového kola. Obraz ko-
vových paprsků v dolní části fotografie je podstatně ostřejší než
nahoře. Pohyb paprsků v horní části kola je tedy rychlejší, ve
shodě s obr.12.3c.
valícího se bicyklového kola na obr.12.4 to dokumentuje
velmi přesvědčivě. Obraz drátů u vrcholu kola je zcela
rozmazán, zatímco dráty ve spodní části jsou zachyceny
poměrněostře.
Valení libovolného tělesa kruhového průřezu lze tedy
rozložit na „čisté“ otáčení a „čistý“ posuv, přesně podle
obr.12.3a, b.
Valení jako otáčivý pohyb
Jinýzpůsobpohledunavalivýpohybnabízíobr.12.5.Mů-
žemejej totiž interpretovattakéjako „čisté“otáčeníkolem
okamžité osy,kterájekolmákroviněkolaaprávěprochází
bodemjehodotykusesilnicí(bodPnaobr.12.5).Okamžité
rychlostijednotlivýchbodůvalícíhosekolajsouvobr.12.5
vyznačenyšipkami.
Otázka:Jakouúhlovourychlostpřisoudíkolupozorovatel
v klidu, posuzuje-li jeho pohyb jako otáčení kolem této
nové osy?
Odpovědquoteright: Úhlová rychlost otáčivého pohybu kola vzhle-
dem ke klidnému pozorovateli je stejná jako vzhledem
k cyklistovi,který pozoruje„čistou“ rotaci kola kolemosy
vedenéjeho středem.
Abychom se o správnosti odpovědi na předchozí
otázkupřesvědčili,vypočtěmerychlostboduV na vrcholu
kola ve vztažné soustavě spojené s pozorovatelemv klidu.
VzdálenostvrcholuV odosyvedenébodemP naobr.12.5
je rovnaprůměrukola 2R.BodV se tedy podlerov.(12.2)
V
O
osa otáčení vedená bodemP
Obr.12.5 Valivýpohybmůžebýtchápánjakootáčenísúhlovou
rychlostí ω kolem osy, která v každém okamžiku prochází bo-
demP. Šipky znázorňují vektory okamžité rychlosti vybraných
bodů na obvodu kola. Lze je získat sečtením odpovídajících
rychlostí posuvného a otáčivého pohybu podle obr.12.3.
pohybujerychlostí o velikosti
v
vrchol
=(ω)(2R)= 2(ωR)= 2v
T
,
přesněvsouhlasusobr.12.3c.Podobněmůžemeurčitrych-
losti bodůOaP a ověřit tak správnostobr.12.3c.
K
ONTROLA 1: Zadní kolo klaunova jízdního kola má
dvakrát větší poloměr než kolo přední. (a) Rozhodně-
te, zda je rychlost bodu na vrcholu zadního kola větší,
menší, nebo stejná jako rychlost odpovídajícího bodu
předního kola. (b) Rozhodněte, zda je úhlová rych-
lost zadníhokolavětší,menší,nebostejná jakoúhlová
rychlost předníhokola.
Obručna obrázku se valí bez prokluzování. Kdo jde rychleji?
Pes nebo poník?
12.1 VALENÍ 299
Kinetická energie
Pokusme se nyní vypočítat kinetickou energii valícího se
kolavzhledemkvztažnésoustavěspojenéspozorovatelem
v klidu. Chápeme-li valení jako otáčení kolem osy vedené
bodemP na obr.12.5, dostaneme
E
k
=
1
2
I
P
ω
2
, (12.3)
kdeωjeúhlovárychlostkolaaI
P
jehomomentsetrvačnosti
vzhledem k ose vedené bodemP. Podle Steinerovy věty
(11.27)je
I
P
=I
T
+mR
2
, (12.4)
kde m je hmotnost kola a I
T
jeho moment setrvačnosti
vzhledemkosevedenéjehotěžištěm.Dosazenímzrovnice
(12.4)do (12.3) dostáváme
E
k
=
1
2
I
T
ω
2
+
1
2
mR
2
ω
2
.
Pomocí vztahu v
T
= ωR (rov.(12.2)) získáme nakonec
výslednývztah proE
k
ve tvaru
E
k
=
1
2
I
T
ω
2
+
1
2
mv
2
T
. (12.5)
První z členů na pravé straně této rovnice představuje
kinetickou energii otáčivého pohybu kola kolem osy ve-
dené jeho těžištěm (obr.12.3a), druhý člen odpovídá po-
hybuposuvnému(obr.12.3b).
Valení a třecí síly
Jakourolivlastněhrajípřivalivémpohybutřecísíly?Před-
stavme si, že se kolo valí po vodorovné podložce stálou
rychlostí, právě tak, jak ukazuje obr.12.2. Mohli bychom
je do takového pohybu vůbec uvést, kdyby byla podložka
dokonale hladká? Pokud bychom je roztočili kolem jeho
osy na úhlovou rychlostω a udělili mu ještě vodorovnou
rychlost o velikosti v
T
= ωR, mohlo by se to podařit.
Vzhledem k přesně „nastavenému“ vztahu mezi úhlovou
rychlostí kola a rychlostí jeho posuvného pohybu by kolo
vboděP samozřejměneprokluzovalo,nesmýkalobysepo
podložce. Popsaným způsobem však můžeme uvést kolo
do valivého pohybu bez klouzání i v případě, že podložka
nebudedokonalehladká. Kolo se po ní nebude smýkat ani
v tomto případě.Zanedbáme-litzv. valivý odpor podložky
proti jeho pohybu,způsobenýmírnými deformacemiobou
objektů,snadno si uvědomíme,že jedinousilou, kterouby
podložka mohla na kolo působit, je vodorovná síla static-
kéhotření.Posuvnýpohybkolaje však podlepředpokladu
rovnoměrný a žádnou další vodorovnou silou na kolo ne-
působíme. Statická třecí síla je proto nulová. Jiná situace
nastane, pokusíme-lise změnit postupnou (v
T
) nebo úhlo-
vou (ω) rychlost kola. V takovém případěmusíme na kolo
působit určitou vodorovnou silou a připustit, že se kolo
může v boděP smýknout po podložce. Podložka bude na
kolo působit v boděP třecí silou. Pokud ke smyku kola
ještě nedojde,bude tato síla F
s
mít povahustatického tření
a bude směřovat „proti snaze“ kola podklouznout. V pří-
paděsmykujižpůjdeotřenídynamické a třecísíla F
d
bude
namířenaproti směru skutečnéhoskluzu.
O
O
P
P
mg
F
s
F
s
(a)(b)
Obr.12.6 (a) Kolo se valí bez klouzání po nakloněné rovině.
V boděP naněpůsobí sílastatického tření F
s
proti „snaze“kola
sklouznout,tj.protisměru,vekterémbykolovboděP uklouzlo,
kdyby byla podložka dokonale hladká. (b) Kolo se valí vodo-
rovně snarůstajícíúhlovou rychlostí.BodP mávtomto případě
snahuuklouznoutsměremdozadu(představtesiautomobil,který
se prudce rozjíždí na zledovatělém parkovišti). Síla statického
třeníF
s
působínakolovboděP opětprotijehomožnémuskluzu.
Pokudby sejiž kolo na obrázcích(a)a (b) smýkalo,působila by
na ně podložka v boděP silou dynamického tření F
d
.
Na obr.12.6ase kolovalí po nakloněnérovině.V jeho
těžišti na ně působí tíhová sílamg, jejíž rameno vzhledem
k ose otáčení vedené těžištěm je nulové. Je tedy nulový
iodpovídajícísilovýmoment.Tíhovásílanepřispívákroz-
táčení kola,pouzese snaží kolosmýkat dolůpo nakloněné
rovině. V boděP působí na kolo ještě třecí síla směřující
protijeho„tendencikeskluzu“,tj.vzhůrupodélnakloněné
roviny.Jejíramenovzhledemkoseotáčeníkolajenenulové
amávelikostpoloměrukola.Momenttřecísílyroztáčíkolo
vzhledemk ose vedené jeho středem.
Na obr.12.6b se kolo valí po vodorovné rovině s na-
růstající úhlovou rychlostíω. Při tom se jeho spodní část
snaží podklouznout doleva. (Abychom si tuto skutečnost
lépe uvědomili, můžeme si představit automobil, jehož ři-
dičse snaží o prudký rozjezd na zledovatělém parkovišti.)
Třecí síla, jíž působí podložka na kolo v boděP,směřuje
opětprotiočekávanémusměruskluzu.Zhlediskasoustavy
cyklista+jízdníkolojesilouvnějšíaurčujezrychleníjejího
těžiště.
300 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
PŘÍKLAD12.1
Tuhý homogenní válcový kotoučo hmotnosti m = 1,4kg
apoloměruR = 8,5cmsevalípovodorovnémstolerychlostí
v= 15cm/s.
(a) Vypočtěte rychlost bodu na jeho vrcholu.
ŘEŠENÍ: „Rychlostí valícího se tělesa“, v našem příkladu
kotouče, rozumíme vždy rychlost jeho těžiště.Zobr.12.3c je
zřejmé, že rychlost bodu na vrcholu kotouče je v porovnání
s rychlostí jeho těžiště dvojnásobná, tj.
v
vrchol
= 2v
T
= 2(15cm·s
−1
)= 30cm·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(b) Určete úhlovou rychlost kotoučeω.
ŘEŠENÍ: Z rov.(12.2) dostaneme
ω=
v
T
R
=
(15cm·s
−1
)
(8,5cm)
=
= 1,8rad·s
−1
= 0,28ot/s. (Odpovědquoteright)
Výsledek je nezávislý na volbě polohy osy otáčení: můžeme
ji vést bodem P podle obr.12.5 stejně dobře jako těžištěm
kotouče.
(c) Vypočtěte kinetickou energii kotouče.
ŘEŠENÍ: Užitím vztahů I
T
=
1
2
mR
2
, v
T
= ωR a rov-
nice (12.5) dostaneme
E
k
=
1
2
I
T
ω
2
+
1
2
mv
2
T
=
=
1
2
(
1
2
mR
2
)(v
T
/R)
2
+
1
2
mv
2
T
=
3
4
mv
2
T
=
=
3
4
(1,4kg)(0,15m·s
−1
)
2
=
= 0,024J = 24mJ. (Odpovědquoteright)
(d)Jakáčástcelkovékinetickéenergiekotouče souvisísjeho
posuvným pohybem a jaká část přísluší otáčivému pohybu
kolem osy vedené jeho těžištěm?
ŘEŠENÍ: Kinetická energie posuvného pohybu odpovídá
druhému členu v rov.(12.5), tj.
1
2
mv
2
T
, a podle výsledku
části (c) tedy představuje
1
2
mv
2
T
3
4
mv
2
T
=
2
3
.
= 67% (Odpovědquoteright)
celkové kinetické energie. Zbývajících 33% odpovídá po-
hybu otáčivému.
Příspěvek posuvného a otáčivého pohybu k celkové ki-
netické energii valícího se tělesa závisí na jeho momentu
setrvačnosti. V tab.12.1 jsou shrnuty momenty setrvačnosti
třítěles,prstence,válcovéhokotoučeakoule,vzhledemkose
největší symetrie. Prstenec má svou hmotnost rozloženou ze
všech těles nejdále od této osy. Poměrně velká část kinetické
energie valícího se prstence proto připadá na otáčivý pohyb.
Koule,jejížhmotnostjerozloženablízkoosyotáčení,mámo-
ment setrvačnosti nejmenší. Příspěvek její rotace k celkové
kinetické energii valivého pohybu je tedy malý.
Moment setrvačnosti obecného rotačně symetrického tě-
lesa je možné zapsat jako β-násobek momentu setrvačnosti
prstence stejnéhmotnosti,jehožpoloměrRjeshodnýmspo-
loměrem největšího řezu tělesa rovinou kolmou k ose sy-
metrie. Je-li těleso homogenní, lze pomocí parametruβ vy-
jádřit zvláštquoteright příspěvky posuvného a otáčivého pohybu k cel-
kovékinetickéenergiivalícíhosetělesa.Odpovídajícívztahy
pro prstenec, válec a kouli jsou uvedeny v posledním řádku
tab.12.1. Proprstenec, válec a kouli nabývá parametrβhod-
not 1,
1
2
a
2
5
.
Tabulka 12.1 Podíl kinetické energie translačního
a rotačního pohybu na celkové kine-
tické energii valivého pohybu těles
MOMENT
SETRVAČNOSTI
PŘÍSP. K CELK. ENERGII
TĚLESO I
T
TRANSLACE ROTACE
Prstenec 1mR
2
50% 50%
Válec, válc. kotouč
1
2
mR
2
67% 33%
Koule
2
5
mR
2
71% 29%
Obecné těleso
a
βmR
2
100
1
1+β
% 100
β
1+β
%
a
Hodnotuβurčíme jakoβ=I
T
/(mR
2
).
PŘÍKLAD12.2
Homogenní kuželkovákoule opoloměruR= 11cmahmot-
nosti m = 7,2kg se valí dolů po nakloněné rovině o délce
L= 2,1maúhlu sklonuθ = 34
◦
(obr.12.7).Jakourychlostí
se bude koule pohybovat na konci nakloněné roviny?
h
L
θ
prstenec
kotouč
koule
Obr.12.7 Příklady 12.2 a 12.3. Prstenec, kotouča koule se valí
dolůponakloněnéroviněoúhlusklonuθ.Přestožetělesauvolníme
ve stejném místě a stejném okamžiku, dorazí na konec nakloněné
roviny v různém pořadí.
ŘEŠENÍ: Uvažujme pohyb koule od okamžiku jejího uvol-
nění v nejvyšším bodě nakloněné roviny až do chvíle, kdy
dorazí k jejímu konci. Těžiště koule pokleslo během tohoto
pohybu o svislou vzdálenosth=Lsinθ.Tíhová potenciální
energie soustavy koule + Země se tak snížila o hodnotu
mgLsinθ.Ostejnouhodnotuvšakvzrostlakinetickáenergie
12.1 VALENÍ 301
koule. Podle rov.(12.5) platí
mgLsinθ =
1
2
I
T
ω
2
+
1
2
mv
2
T
. (12.6)
Podlevztahu(g)vtab.11.2platíproplnoukouliI
T
=
2
5
mR
2
.
Úhlovou rychlostωmůžeme nahradit výrazemv
T
/R.Dosa-
zením do rov.(12.6) dostáváme
mgLsinθ =
1
2
·
2
5
(mR
2
)
parenleftBig
v
T
R
parenrightBig
2
+
1
2
mv
2
T
.
Z této rovnice vyjádřímev
T
:
v
T
=
radicalBig
10
7
gLsinθ =
=
radicalBig
10
7
(9,8m·s
−2
)(2,1m)sin34
◦
=
= 4,1m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Všimněme si, že výsledek nezávisí ani na hmotnosti, ani na
poloměru koule.
PŘÍKLAD12.3
Úvahy v př.12.2 nyní zobecníme. Homogenní prstenec, ko-
touča koule o stejné hmotnosti m a stejném poloměru R
jsou současně uvolněny v nejvyšším bodě nakloněné roviny
o délceL= 2,5m a úhlu sklonuθ = 12
◦
(obr.12.7).
(a) Které z těles dorazí na konec nakloněné roviny nejdříve?
ŘEŠENÍ: Odpovědquoteright snadno najdeme v tab.12.1. U koule je
poměrný příspěvek posuvného pohybu k celkové kinetické
energii ze všech tří těles největší (71%). Koule tedy závod
vyhraje. Jako druhý skončí kotouč a poslední bude prstenec.
(b)Určeterychlostkaždéhoztělesnakoncinakloněnéroviny.
ŘEŠENÍ: Těžištěkaždéhoztělespoklesneběhem„závodu“
o tutéž svislou vzdálenost h. Stejně jako při volném pádu
klesnepotenciálníenergiesoustavytěleso+Zeměohodnotu
mgh. O stejnou hodnotu vzroste kinetická energie tělesa. Na
konci nakloněné roviny mají tedy všechna tělesa stejnou ki-
netickouenergii.Pouzečásttétoenergie,závislánarozložení
hmotnosti tělesa, však připadá na posuvný pohyb.
V rov.(12.5) položímeω=v
T
/Ra dostaneme
mgh=
1
2
I
T
ω
2
+
1
2
mv
2
T
=
=
1
2
I
T
(v
2
T
/R
2
)+
1
2
mv
2
T
=
=
1
2
(I
T
/R
2
)v
2
T
+
1
2
mv
2
T
. (12.7)
Podosazeníh=Lsinθvyřešímezískanourovnicivzhledem
k neznámév
T
:
v
T
=
radicalBigg
2gLsinθ
1+I
T
/mR
2
.(Odpovědquoteright) (12.8)
Řešení je vyjádřeno pomocí momentu setrvačnosti tělesaI
T
.
Všimněmesi,žerychlosttělesanezávisíaninajehohmot-
nosti ani na poloměru, ale pouze na rozložení hmoty kolem
osyjehorotačnísymetrie.Tatoskutečnostjezvýsledku(12.8)
patrná naprvní pohled. Moment setrvačnosti tělesaI
T
vněm
totižvystupujepouzevpodíluI
T
/mR
2
.Dětskáhracíkulička
i kuželková koule budou mít na konci nakloněné roviny stej-
nou rychlost. Z nakloněné roviny se tedy skutálí za stejnou
dobu. Koule v tomto závodě porazí kotoučlibovolné hmot-
nosti a poloměru. Prstenec o libovolné hmotnosti i poloměru
je naopak za všech okolností odsouzen k porážce.
Pro prstenec (viz tab.12.1) jeI
T
/mR
2
= 1. Jeho rychlost
na konci „závodní dráhy“ je podle rov.(12.8)
v
T
=
radicalBigg
2gLsinθ
1+I
T
/mR
2
=
=
radicalBigg
2(9,8m·s
−2
)(2,5m)sin12
◦
1+1
=
= 2,3m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Podobnězískámev
T
= 2,6m·s
−1
prokotouč(I
T
/mR
2
=
1
2
)
a2,7m·s
−1
prokouli(I
T
/mR
2
=
2
5
).Tytovýsledkypotvrzují
náš odhad pořadí těles v části (a).
PŘÍKLAD12.4
Uvažujme opět těleso o hmotnosti m a kruhovém průřezu
o poloměru R, které se valí po nakloněné rovině o úhlu
sklonu θ (obr.12.8). Při rozboru jeho pohybu se však nyní
opřeme pouze o věty o hybnosti a o momentu hybnosti sou-
stavy. Výsledek pak porovnáme s řešením př.12.3, kde jsme
použili zákon zachování mechanické energie.
P
R
θ
θ
mgcosθ
mgsinθ
mg
F
s
N
Obr.12.8 Příklad 12.4. Homogenní těleso kruhového průřezu
opoloměruRsevalídolůponakloněnérovině.Zeměnaněpůsobí
tíhovousiloumg,podložkapaknormálovousilou N atřecísilou F
s
.
Třecísílasměřujevzhůrupodélnakloněnéroviny.Působištěsíly N
jsme pro přehlednost přesunuli podél její vektorové přímky do
středu tělesa.
302 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
(a) Vypočtěte zrychlení valícího se tělesa.
ŘEŠENÍ: Na obr.12.8 jsou znázorněny síly, kterými na tě-
leso působí okolní objekty: tíhová sílamg,normálová síla N
a statická třecí síla F
s
. Působištěm tíhové síly je těžiště tě-
lesa. Je-li hmotnost tělesa rozložena symetricky vzhledem
koseojeho geometrické rotační symetrie, splývá těžiště se
středem geometrickým. Normálová síla a síla tření působí
na nepatrnou plošku v okolí bodu P, kde se těleso dotýká
nakloněné roviny. Momenty všech sil vztahujeme k ose o.
Momenty tíhové a normálové síly vzhledem k této ose jsou
ovšem nulové, a nepřispívají proto k urychlování otáčivého
pohybu.Roztáčenítělesavesměruchoduhodinovýchručiček
je způsobeno výhradně silou tření, jejíž moment je záporný.
Rameno třecí síly vzhledem k oseomá délkuR.
Pro posuvný pohyb tělesa platí věta o hybnosti (ma =
=
summationtext
F). V soustavě souřadnic, jejíž osa x směřuje vzhůru
podélnakloněnéroviny,mázápisx-ovésložkytétovektorové
rovnice tvar
ma
x
=
summationdisplay
F
x
=F
s
−mgsinθ. (12.9)
Rovnice obsahuje dvě neznámé,F
s
aa
x
. Potřebujeme pro ně
další rovnici. Získáme ji z věty o momentu hybnosti (Iε=
=
summationtext
M) vztažené k oseo, v níž použijeme vztahε=a
x
/R
(rov.(11.20)):
summationdisplay
M =−F
s
R=I
T
ε=
I
T
a
x
R
. (12.10)
Z rov.(12.10) dostaneme výraz pro sílu tření
F
s
=−
I
T
a
x
R
2
. (12.11)
Znaménkominus znamená,že vektor třecísíly F
s
má opačný
směr než vektor zrychlení a. Dosazením z rov.(12.11) do
(12.9) a řešením vzhledem k neznámé veličině a
x
nakonec
dostáváme
a
x
=−
gsinθ
1+I
T
/mR