hrw12

Základem výpočtu je definiční vztah (12.25) pro moment
hybnosti.Platí
L =m(r × v),
kde r je polohový vektor částice a v je její rychlost. Deri-
vováním*obou stran rovnicepodle času dostáváme
dL
dt
=m
parenleftbigg
r ×
dv
dt
+
dr
dt
× v
parenrightbigg
. (12.31)
Ve výrazu dv/dt poznáváme zrychlení částice a, zatímco
dr/dt je její rychlost v. Rov.(12.31) lze tedy upravit do
tvaru
dL
dt
=m(r × a + v × v).
Poněvadžje v×v = 0 (vektorv svírásámsesebounulový
úhel),dostáváme
dL
dt
=m(r × a)= r ×ma.
Vzhledem k platnosti druhého Newtonova zákona (ma =
=
summationtext
F) můžeme výrazma nahradit vektorovým součtem
sil působícíchna částici. Nakonec je
dL
dt
= r ×
parenleftBig
summationdisplay
F
parenrightBig
=
summationdisplay
(r × F). (12.32)
Podle rov.(12.21) představuje výraz r × F moment síly F
vzhledemk boduO. Poslední úpravourov.(12.32)tak do-
stávámepožadovanou„úhlovou“analogiidruhéhoNewto-
nova zákona
dL
dt
=
summationdisplay
M.
K
ONTROLA 5: Na obrázku je znázorněna částice, je-
jíž poloha je v daném okamžiku určena vektorem r.
Na částici působí síla, která může mít některý ze čtyř
vyznačených směrů, ležících v rovině xy. Síla udílí
částicizrychlení a.(a)Seřadquoterighttemožnésměrypodleod-
povídajícívelikostičasovéderivacemomentuhybnosti
částice dL/dt vzhledem k bodu O. (b) Rozhodněte,
* Při derivování vektorového součinu nesmíme zaměnit pořadí vek-
torů v součinu.
pro které z nich je tato derivace (vektorová veličina)
nesouhlasněrovnoběžnás osouz.
x
y
O
r
F
1
F
2
F
3
F
4
PŘÍKLAD12.8
Tučňák o hmotnostimstál na okraji jámy v místěAa spadl
dolů. Vodorovná vzdálenost boduAod počátkuO soustavy
souřadnic jed (obr.12.14).
x
y
OA
r
ϕ
ϕ
ϕ
m
d
M, L
F nebo p
Obr.12.14 Příklad 12.8. Tučňák o hmotnosti m volně padá
zboduAnaokrajijámy.Momenttíhovésíly M imomenthybnosti
tučňáka vztaženék boduOjsou kolmé k rovině obrázku a směřují
do nákresny.
(a) Vyjádřete moment hybnosti padajícíhotučňáka vzhledem
k boduOv obecném okamžiku během jeho pádu.
ŘEŠENÍ: Moment hybnosti jako vektor vyjádříme pomocí
rov.(12.25)) (L = r × p). Jeho velikost je dána vztahem
(12.26), tj.
L=rmvsinϕ.
Veličinyraϕse během pádu tučňáka samozřejmě mění, vý-
razrsinϕvšakmávkaždémokamžikustálouhodnotud.Pro
rychlost páduplatív=gt.Pro velikost momentu hybnostiL
tak dostáváme
L=mgtd. (Odpovědquoteright) (12.33)
12.6 MOMENT HYBNOSTISOUSTAVYČÁSTIC 309
Vektor momentu hybnosti L je kolmý k rovině vektorů r
a p, vyznačených v obr.12.14, a podle pravidla pravé ruky
směřuje za nákresnu. Zvolme souřadnicovou osuztak, aby
byla orientována nesouhlasně s tímto směrem. V obrázku
pak vyznačíme vektor L křížkem v kroužku ⊗, umístěným
vpočátkusoustavysouřadnic.Sčasemseměnípouzevelikost
vektoru L, jeho směr a orientace se zachovávají.
(b) Vypočtěte moment tíhové sílymg, působící na tučňáka,
vzhledem k počátku soustavy souřadnic.
ŘEŠENÍ: Momentsílyjedánvztahem(12.21)(M = r×F),
jeho velikost určíme pomocí rov.(12.22). Platí
M =rFsinϕ,
kdeF =mgarsinϕ=d. Dostáváme tedy
M =mgd = konst.(Odpovědquoteright) (12.34)
Vidíme, že velikost momentu síly je součinem velikosti síly
mgajejíhoramenedvzhledemkboduO.VektorM jekolmý
k rovině tvořené vektory r amg a podle pravidla pravé ruky
směřuje za nákresnu (obr.12.14). Je tedy souhlasně rovno-
běžnýsvektoremL.Vztah(12.34)lzezískattakéderivováním
vztahu (12.33) podle času a dosazením získaného výsledku
do rov.(12.30).
Všimněme si, že vektory M a L podstatným způsobem
závisí na volbě vztažného bodu O. Kdyby tučňák padal
z boduO, platilo byd = 0 a moment síly i moment hybnosti
by byly nulové.
12.6 MOMENT HYBNOSTI
SOUSTAVY ČÁSTIC
Při diskusích o otáčivémpohybujsme se prozatímomezili
pouze na pohyb tuhého tělesa. Nyní rozšíříme naše úvahy
na případ obecné soustavy částic a jejich pohyb budeme
popisovat vzhledem k pevně zvolenému vztažnému bo-
du, počátku soustavy souřadnic. „Soustava částic“ je již
dostatečně obecným modelem fyzikálního objektu a jako
zvláštní případ zahrnuje i tuhé těleso. Celkový moment
hybnosti L soustavy je definován jako vektorový součet
momentůhybnosti L
i
jednotlivýchčástic:
L = L
1
+ L
2
+ L
3
+…+ L
n
=
n
summationdisplay
i=1
L
i
, (12.35)
kde indexi= 1,2,3,…,nprobíhájednotlivé částice.
Momenty hybnosti jednotlivýchčástic se mohou s ča-
sem měnit budquoteright vlivem jejich vzájemného působení, nebo
vlivemsil,jimižnačásticesoustavypůsobíjejíokolí.Časo-
vou změnu momentu hybnosti L vypočteme jako derivaci
výrazu na pravé straně rov.(12.35):
dL
dt
=
n
summationdisplay
i=1
dL
i
dt
. (12.36)
Podle rov.(12.30) je derivace momentu hybnostii-té čás-
tice dána vektorovým součtem momentů sil, které na ni
působí, tj. dL
i
/dt =
summationtext
M
i
=
summationtext
r
i
× F
i
. Symbolem r
i
jsme označili polohový vektori-té částice a F
i
výslednici
všech sil, kterými na ni působí její okolí, tvořené jednak
ostatními částicemi soustavy, jednak objekty, které náleží
do okolí soustavy jako celku. Pravá strana rov.(12.36) je
tedy vektorovým součtem momentů všech sil, působících
na jednotlivé částice soustavy.
Zaměřme se nyní na výpočet tohoto součtu. Momenty
silpůsobícíchnačásticesoustavymůžemerozdělitdodvou
skupin. První skupinu tvoří momenty sil vnitřních, tj. mo-
menty sil vzájemného působení částic. Druhá skupina ob-
sahuje momenty vnějších sil. Vnějšími silami působí na
částice soustavy její okolí, tj. objekty, které do ní nejsou
zahrnuty.Všimněmesi nejprvemomentůvnitřníchsil. Vy-
berme libovolnou dvojici částic soustavy. Síly, popisující
vzájemnépůsobeníčástictétodvojice,představujíakciare-
akci. Podle třetího Newtonova zákona jsou stejně velké,
avšak opačněorientované.Jejich celkovýpříspěvekdo vý-
slednice sil je tedy samozřejmě nulový. Jak je tomu však
s jejich momenty? Působí-li tyto síly ve směru spojnice
interagujících částic, tj. jsou-li centrální, pak mají společ-
nou vektorovou přímku, a tedy i společné rameno vzhle-
dem k vztažnému bodu. Jejich momenty jsou stejně vel-
ké, avšak opačně orientované. Mají nulový součet a jejich
„společný“ příspěvek k součtu všech momentů na pravé
straněrov.(12.36)jeprotorovněžnulový.Časováderivace
celkového momentu hybnosti soustavy je dána výhradně
momentyvnějších sil působícíchna částice soustavy:
dL
dt
=
summationdisplay
M
ext
(pro soustavu částic). (12.37)
Rov. (12.37) je matematickým zápisem věty o momentu
hybnosti (soustavy částic) neboli druhé impulzové věty
prosoustavučástic.Slovyjimůžemevyjádřitvelmijedno-
duše: Časová změna momentu hybnosti soustavy částic je
dánavektorovýmsoučtemmomentůvnějšíchsilpůsobících
na částice této soustavy.
Všimněme si její fyzikální interpretace: rov.(12.30),
platná pro jednotlivou částici, vyplývá přímo z druhého
Newtonova zákona, a má analogický tvar v úhlových ve-
ličinách. Věta o momentu hybnosti, která je důsledkem
310 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
druhého a třetího Newtonova zákona a předpokladuvnitř-
ních centrálních sil, je analogií rov.(12.30) pro soustavu
částic. Můžeme ji interpretovat jako pohybovou rovnici
pro případ rotačníhopohybusoustavy, a tedy jako „protěj-
šek“větyohybnosti(kap.11),popisujícídynamikupohybu
translačního.
Připomeňme, že rov.(12.37) platí za předpokladu, že
jsou momenty sil i moment hybnosti soustavy vztaženy
k témužbodu,pevnémuv jisté inerciálnívztažnésoustavě.
Jedinou výjimkou z požadavku inerciálnosti je těžištquoterightová
vztažná soustava, v níž je zápis věty o momentu hybnosti
stejnýjakov kterékolivsoustavěinerciální.Těžištquoterightovásou-
stava*je speciálnímpřípademobecněneinerciálnívztažné
soustavy.Jejímpočátkemjetěžištěsoustavyčástic,resp.tě-
lesa a směr jejích os je pevný vzhledem k jisté inerci-
ální vztažné soustavě. (Těžištquoterightová soustava je tedy spjata
s translačním pohybem tělesa, rotační pohyb však spolu
s ním nevykonává.)
12.7 MOMENT HYBNOSTI TUHÉHO
TĚLESA VZHLEDEM K PEVNÉ OSE
Otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy je sice spe-
ciálním,avšak v praktickýchúloháchvelmi častým, přípa-
dempohybuobecnésoustavyčástic.Jistěmásmyslpoložit
si otázku,zdai věta o momentuhybnostibudemít v tomto
případě speciální tvar. Očekáváme pochopitelně,že se její
zápis výrazně zjednoduší, nebotquoteright při rotaci tuhého tělesa
kolem pevné osy obíhají všechny jeho částice po kružni-
cích stejnou úhlovou rychlostí !. To nám umožní vyjád-
řit pomocí veličiny ! moment hybnosti tělesa vzhledem
k ose otáčení. Tuhé těleso na obr.12.15, složené z částic
ohmotnostechm
i
,seotáčíkolemosyzkonstantníúhlovou
rychlostí !.
Moment hybnosti tělesa je, jak již víme, součtem mo-
mentů hybnosti jeho jednotlivých částic. Na obr.12.15 je
znázorněna jedna z nich, které jsme přisoudili index i
ahmotnostm
i
.Přiotáčenítělesaobíhátatočásticepokruž-
nici, jejíž střed leží na ose otáčení (v obrázkuosaz) a jejíž
rovinajektétoosekolmá.Polohačásticejevzhledemkpo-
čátkuO soustavy souřadnic určena vektorem r
i
. Poloměr
její kruhové trajektorie r
i,⊥
je roven její vzdálenosti od
osyz, která se s časem nemění.
Podle rov.(12.26) má moment hybnosti i-té částice
vzhledemk boduOvelikost
L
i
=(r
i
)(p
i
)(sin90
◦
)=(r
i
)(m
i
v
i
),
kdep
i
av
i
představujívelikosthybnostiarychlostičástice.
Úhel mezi vektory v
i
a p
i
je 90
◦
. Moment hybnosti čás-
* Setkali jsme se s ní už v př.9.10.
x
x
yy
z
z
O O
r
i,⊥
r
i
p
i
l
i
l
i,z
θ
θ
θ
m
i
(a) (b)
l
i,xy
Obr.12.15 (a) Tuhé těleso se otáčí kolem osyzúhlovou rych-
lostí !. Jedna z jeho částic hmotnosti m
i
opisuje kolem osy z
kružnici o poloměrur
i,⊥
. Její hybnost je p
i
a polohový vektor
vzhledem k počátku soustavy souřadnic O je označen jako r
i
.
Obrázekzachycujepolohučásticevokamžiku,kdyjevektorr
i,⊥
rovnoběžnýsosoux.(b)Momenthybnostii-téčásticevzhledem
k boduOje označen symbolem L
i
,jehoprůmětdoosyzje L
i,z
.
tice L
i
je kolmý k vektorům r
i
a p
i
. Podle obr.12.15b jej
můžeme vyjádřit jako součet jeho průmětu do osy otáčení
(osaz)aprůmětudorovinykolmékoseotáčení(rovinaxy).
Platí L
i
= L
i,z
+ L
i,xy
. Stejným způsobemlze rozložit mo-
mentyhybnostivšechčástictělesa,atedyicelkovýmoment
hybnosti soustavy:
L = L
z
+ L
xy
=
n
summationdisplay
i=1
(L
i,z
+ L
i,xy
).
Momentem hybnosti tělesa vzhledem k ose otáčení na-
zveme průmět celkovéhomomentuhybnosti L do této osy.
V našem případě, kdy je osou otáčení osaz, je tento prů-
mět určen z-ovou složkou celkového momentu hybnosti
soustavy, tj.
L
z
=
n
summationdisplay
i=1
L
i,z
=
n
summationdisplay
i=1
L
i
sinθ
i
=
n
summationdisplay
i=1
(r
i
sinθ
i
)(m
i
v
i
)=
=
n
summationdisplay
i=1
r
i,⊥
m
i
v
i
.
Vzhledem k platnosti vztahuv
i
=ωr
i,⊥
, můžeme psát
L
z
=
n
summationdisplay
i=1
L
i,z
=
n
summationdisplay
i=1
m
i
v
i
r
i,⊥
=
n
summationdisplay
i=1
m
i
(ωr
i,⊥
)r
i,⊥
=
=ω
parenleftbigg
n
summationdisplay
i=1
m
i
r
2
i,⊥
parenrightbigg
. (12.38)
12.7 MOMENT HYBNOSTITUHÉHOTĚLESAVZHLEDEMK PEVNÉ OSE 311
Při úpravě posledního výrazu jsme využili skutečnosti, že
úhlovárychlostωvšech částic tuhéhotělesa je stejná a vy-
tkli jsme ji před součet.
Vevýrazu
summationtext
m
i
r
2
i,⊥
vrov.(12.38)poznávámemoment
setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose (rov.(11.24)).
Rov.(12.38)můžeme tedy upravit do tvaru
L
z
=Iω, tj. L
z
=I!
(moment hybnosti
tuhého tělesa
vzhledem k pevné ose).
(12.39)
Moment hybnosti v rov.(12.39) se vztahuje k ose otáčení
tuhého tělesa. Budeme-li mít tuto skutečnost stále na pa-
měti, můžeme index z i vynechat. Symbol L pak ovšem
nesmímezaměnitsvelikostímomentuhybnostivztaženého
k pevnémuboduO. Moment setrvačnostiI je samozřejmě
rovněžvztažen k ose otáčení.
Promítneme-lidoosyotáčeníivýslednýmomentvněj-
ších sil působících na naše těleso, dostaneme odpovídající
průmětrov. (12.37),vyjadřujícívětu o momentuhybnosti:
I! = M
z
, tj. Iω=M
z
.
Tento vztah se často nazývá věta o momentu hybnosti
(druhá impulzová věta) pro otáčení tuhého tělesa kolem
pevnéosy.
Jeho mimořádně jednoduchý tvar nás snad ani příliš
nepřekvapuje.Jevšakmožnézapsattakprostýmzpůsobem
iprůmětpohybovérovnicedorovinykolmékoseotáčení?
Abychom na tuto otázku odpověděli co nejpřesněji, po-
kusme se vyjádřit odpovídající průmět momentu hybnosti
tělesa. Platí
L
i,xy
=
n
summationdisplay
i=1
L
i,xy
=
n
summationdisplay
i=1
(L
i
− L
i,z
)=
n
summationdisplay
i=1
(r
i
− r
i,⊥
)× p
i
=
=
n
summationdisplay
i=1
(r
i,z
× p
i
)=
n
summationdisplay
i=1
(m
i
r
i,z
× v
i
).
Průměty momentů hybnosti jednotlivých částic do roviny
kolmékoserotace,tj.vektoryL
i,xy
=m
i
r
i,z
×v
i
,majíve-
likosti m
i
r
i
v
i
|cosθ
i
sinθ
i
|=m
i
r
2
i
ω|cosθ
i
|. Jejich směry
jsou však různé.Abychomje mohli sečíst, musímeje ještě
rozložitdosměrůosxay.Označíme-lisymbolemϕ
i
úhel,
který svírá vektor r
⊥,i
se směrem osyx, dostaneme:
L
x
=−
n
summationdisplay
i=1
parenleftbig
m
i
r
2
i
|cosθ
i
sinθ
i
|cosϕ
i
parenrightbig
ω=I
x
ω,
L
y
=−
n
summationdisplay
i=1
parenleftbig
m
i
r
2
i
|cosθ
i
sinθ
i
|sinϕ
i
parenrightbig
ω=I
y
ω.
Všimněmesi,žehodnotysinϕ
i
,cosϕ
i
,sinθ
i
,cosθ
i
vpřed-
chozích součtechvyjadřujícíchveličinyI
x
aI
y
mohoubýt
jak kladné, tak záporné. Při vhodném rozložení hmotnosti
tělesa vzhledemk ose otáčeníse tedymůžestát, že se veli-
činyI
x
aI
y
anulují. VeličinyI
x
aI
y
, v nichž je informace
o symetrii či nesymetrii rozložení hmotnosti obsažena, se
nazývajídeviačnímomentytělesavzhledemkoseotáčení.
Jsou-li nenulové, pak setrvačník rotující kolem upevněné
osy silně namáhá svá ložiska (kolo „hází“ a „vymílá“ lo-
žisko). Vyvažování kol automobilu olůvky má tedy za cíl
vynulovatI
x
aI
y
.
Je-li hmotnost tělesa vzhledem k ose otáčení vhodně
rozložena, průměty momentů hybnosti jednotlivých částic
do roviny kolmé k ose otáčení se vyruší. Hovoříme pak
o tzv. symetrickém rozložení hmotnosti tělesa vzhledem
k ose rotace. (Jednoduchým příkladem je těleso tvořené
dvěma stejně hmotnými částicemi umístěnými souměrně
vzhledemkose otáčení,nebotělesosloženéze dvoučástic
různé hmotnosti, umístěných na protilehlých stranách osy
rotacevevzdálenostech,jejichžpoměrjepřevrácenouhod-
notoupoměruhmotnostíčástic.)Vtakovémpřípadějeprů-
mětmomentuhybnostitělesadorovinykolmékoseotáčení
nulový. Moment hybnosti tělesa vzhledem k ose otáčení
splývá s celkovýmmomentemhybnosti a platí L =I!.
Tabulka 12.2 Posuvný a otáčivý pohyb, pokračování tab.11.3
POSUVNÝ POHYB V DANÉM SMĚRU OTÁČIVÝ POHYB KOLEM PEVNÉ OSY
síla F moment síly M = r × F
hybnost p moment hybnosti L = r × p
hybnost
a
P =
summationtext
p
i
moment hybnosti
a
L =
summationtext
L
i
hybnost
a
P =mv
T
moment hybnosti
b
L=Iω
věta o hybnosti
a
dP
dt
=
summationtext
F
ext
věta o momentu hybnosti
a
dL
dt
=
summationtext
M
ext
zákon zachování
c
P = konst. zákon zachování
c
L = konst.
a
Pro soustavu částic i tuhé těleso jako její speciální případ.
b
Pro tuhé těleso otáčející se kolem pevné osy.Lje složka momentu hybnosti ve směru této osy.
c
Pro izolovanou soustavu.
312 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
Tab.12.2 je pokračováním soupisu veličin a vztahů,
kterépředstavujíanalogiipřipopisuposuvnéhoaotáčivého
pohybu(tab.11.3).
PŘÍKLAD12.9
Správný dřevorubec ví, jak má vyhodit sekeru, aby během
letu vykonala celý počet otáček kolem svého těžiště a za-
sekla se do kmene stromu (obr.12.16). Předpokládejme, že
vodorovná složka počáteční rychlosti sekery má hodnotu
v
x
= 20,0m·s
−1
, její dolet jed = 5,90m a sekera vykonala
přesnějednuotáčku.MomentsetrvačnostiIsekeryvzhledem
k ose vedené jejím těžištěm je 1,95·10
−3
kg·m
2
.
T
Obr.12.16 Příklad 12.9. Dřevorubec hodil sekeru tak, aby se bě-
hemletuotáčelakolemosyvedenéjejímtěžištěm(parabolickýtvar
trajektorie těžiště není na obrázku vyznačen).
(a)Vypočtěte velikost momentu hybnosti letící sekeryvzhle-
dem k jejímu těžišti.
ŘEŠENÍ: Sekera se otáčí stálou úhlovou rychlostíωvzhle-
dem k ose vedené jejím těžištěm. Její moment hybnosti ur-
číme podle rov.(12.39) (L=Iω). Nejprve však vypočteme
úhlovou rychlost. Podle rov.(11.5) je úhlová rychlost ω ur-
čena otočenímDelta1θ v časovém intervaluDelta1t
1
takto:
ω=
Delta1θ
Delta1t
1
.
Nahradíme-li Delta1t
1
výrazem d/v
x
a dosadíme-li za Delta1θ hod-
notu 1,00ot = 2D4rad, dostaneme
ω=
v
x
Delta1θ
d
=
(20,0m·s
−1
)(2D4rad)
(5,90m)
= 21,3rad·s
−1
.
Pro získanou hodnotu ω a zadaný moment setrvačnosti I
dostaneme z rov.(12.39) výsledek:
L=Iω=(1,95·10
−3
kg·m
2
)(21,3rad·s
−1
)=
= 4,15·10
−2
kg·m
2
·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(b)UvedenísekerydopohybutrvádřevorubciDelta1t
2
= 0,150s.
Určete průměrnou velikost momentu síly, jíž působí dřevo-
rubec na sekeru, vzhledem k jejímu těžišti.
ŘEŠENÍ: Souvislost změny momentu hybnosti sekeryDelta1L
s průměrnou hodnotou M výsledného momentu sil, které ji
během časového intervalu Delta1t
2
uvedou do pohybu, je dána
vztahem (12.37).
M =
Delta1L
Delta1t
2
=
L
f
−L
i
Delta1t
2
.
Počáteční moment hybnosti sekery je nulový, tj. L
i
= 0,
výsledný moment hybnosti je L
f
=−4,15·10
−2
kg·m
2
/s.
Výsledná hodnota je záporná. Sekera na obr.12.16 se totiž
otáčí ve směruchoduhodinových ručiček.Dosazenímtěchto
hodnot a zadané dobyDelta1t
2
do poslední rovnice dostaneme
M =
(−4,15·10
−2
kg·m
2
·s
−1
)
(0,150s)
=
=−0,277N·m. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA 6: Tři tělesa znázorněná na obrázku (ko-
touč,obručaplnákoule)jsoutaženavláknynavinutými
na jejich obvodu. Tažná síla F je ve všech případech
stejná a působí po stejnou dobu t. Každé z těles se
roztáčí z klidu kolem pevné osy vedené jeho středem.
Hmotnostiipoloměrytělesjsoushodné.Seřadquoterighttetělesa
(a)podlejejichmomentuhybnostivzhledemkoseotá-
čenía(b)podlejejichúhlovýchrychlostívokamžikut.
FF F
obručkotoučkoule
12.8 ZÁKON ZACHOVÁNÍ
MOMENTU HYBNOSTI
Prozatímjsmedokázalivyslovitdvadůležitézákonyzacho-
vání platné při pohybutěles: zákonzachovánímechanické
energieazákonzachováníhybnosti.Nynísesetkámesdal-
ším podobným zákonem, zákonem zachování momentu
hybnosti. Jestliže je studovaná soustava částic izolovaná
nebo je-li výsledný moment vnějších sil, které na ni pů-
sobí, nulový, je podle rov.(12.37) (druhá impulzová věta)
dL/dt = 0, tj.
L = konst. (12.40)
Tento výsledek, nazývaný zákon zachování momentu
hybnosti, lze také přepsat ve tvaru
L
i
= L
f
, (12.41)
kde indexy (i), resp. (f) označují moment hybnosti sou-
stavy L v počátečním,resp. koncovémokamžiku.Rovnice
(12.40)a (12.41)lze vyjádřit takto:
12.8 ZÁKONZACHOVÁNÍMOMENTU HYBNOSTI 313
MomenthybnostiLsezachovávábezohledunapřípadné
změny probíhající uvnitř soustavy, pokud je výsledný
momentvnějších sil působícíchna soustavu nulový.
Rov.(12.40)a (12.41)jsou vektorové.Každá z nich je
tedyekvivalentnítrojiciskalárníchrovnic,vyjadřujícíchza-
chování tří nezávislých kartézských složek momentu hyb-
nosti soustavy. Mohou nastat případy, kdy se některá ze
složek momentu hybnosti soustavy zachovává i při nenu-
lovém momentusil:
Je-liněkterázesložekvýslednéhomomentuvnějšíchsil
působícíchnasoustavunulová,zachováváse odpovída-
jící složka momentu hybnosti soustavy, a to bez ohledu
na změny,které uvnitř soustavy probíhají.
Použijme tento zákon pro případ izolovaného tělesa
na obr.12.15, které se otáčí kolem osyz. Předpokládejme,
že těleso bylo zpočátku tuhé, později se však rozložení
jehohmotnostivzhledemkose otáčenízměnilo.Změnilse
tím i jeho moment setrvačnostivzhledemk této ose. Podle
rov.(12.40) a (12.41) se však nezměnil moment hybnosti
tělesa. Dosazením z rov.(12.39) pro moment hybnosti tě-
lesa př