hrw12

2
.(Odpovědquoteright) (12.12)
(Větu o momentu hybnostiIε=
summationtext
M jsme v kap.11 odvo-
diliprootáčivýpohybtělesakolemosy,kterájevkliduvzhle-
demkevhodnězvolenéinerciálnívztažnésoustavě.Poměrně
elementárním výpočtem však lze ukázat, že její platnost zů-
stane zachována i pro případ, že osa otáčení je nepohyblivá
ve vztažné soustavě spojené s těžištěm tělesa, jejíž pohyb
vzhledem k soustavám inerciálním je pouze posuvný. Uvě-
domme si, že tato speciální těžištquoterightová vztažná soustava může
být i neinerciální.)
Přiřešeníúlohybychommohlivztáhnoutvětuomomentu
hybnostiikoseo
P
vedenébodemP,vněmžsetělesodotýká
nakloněné roviny. Moment třecí síly vzhledem k této ose je
nulový. V roli výsledného momentu sil
summationtext
Mvystupuje nyní
moment tíhové sílymg, jejíž rameno vzhledem k oseo
P
má
hodnotuRsinθ. Dostáváme tedy
summationdisplay
M =−mg(Rsinθ)=I
P
ε=
I
P
a
x
R
, (12.13)
kde I
P
je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o
P
,
vedené bodemP. Vypočteme jej pomocí Steinerovy věty
I
P
=I
T
+mR
2
. (12.14)
Dosadíme zaI
P
z rov.(12.14) do (12.13) a vyjádříme nezná-
moua
x
, dostaneme opět výsledek (12.12).
(b) Vypočtěte velikost třecí sílyF
s
.
ŘEŠENÍ: Dosazením z rov.(12.12) do (12.11) dostaneme
F
s
=mg
sinθ
1+mR
2
/I
T
.(Odpovědquoteright) (12.15)
Z tohoto výsledku vyplývá, že síla tření je menší než prů-
mět tíhové síly do směru nakloněné roviny, jehož velikost je
mgsinθ. Těleso se proto valí dolů zrychleně.
Například pro plný kotoučje podle tab.12.1 I
T
/mR
2
=
=
1
2
. Pro zrychlení a velikost třecí síly pak z rov.(12.12)
a (12.15) dostáváme
a
x
=−
2
3
gsinθ a F
s
=
1
3
mgsinθ.
(c) Určete rychlost tělesa na konci nakloněné roviny o dél-
ceL.
ŘEŠENÍ: Těleso se pohybuje podél osy x s konstantním
zrychlením. Platí tedy
v
2
=v
2
0
+2a
x
(x−x
0
). (12.16)
Položíme-lix−x
0
=−Lav
0
= 0adosadíme-lizaa
x
výsle-
dek (12.12), získámerov.(12.8), přesněve shoděsvýpočtem
pomocí zákona zachování mechanické energie.
K
ONTROLA 2: Stejné kotouče A a B se valí po vodo-
rovné podlaze stejnou rychlostí. KotoučA najede na
nakloněnourovinua valí se po níbez prokluzuvzhůru
až do bodu obratu, který leží nad úrovní podlahy ve
výšce h. KotoučB stoupá po stejné nakloněné rovi-
ně, která je však dokonale hladká. Rozhodněte, zda je
výškaboduobratukotoučeBnadúrovnípodlahyvětší,
menší, či stejná jakoh.
12.2 JOJO 303
12.2 JOJO
Oblíbenáhračkazvanájojo,to je fyzikálnílaboratoř,která
se vejde do kapsy. Nevěříte? Ukážeme si, co všechno lze
pomocí pohybu joja demonstrovat. Představme si, že se
jojo odvaluje podél vlákna dolů a urazí vzdálenosth.Po-
tenciální energie soustavy jojo + Země při tom poklesne
ohodnotumgh,okterounaopakvzrosteenergiekinetická.
Tato změna přispěje ke zvýšení kinetické energie posuv-
ného(
1
2
mv
2
T
)iotáčivého(
1
2
I
T
ω
2
)pohybujoja.Přizpětném
pohybuhračkyjenaopakpokleskinetickéenergiekompen-
zovánvzrůstem energiepotenciální.
V modernějším provedení není vlákno joja pevně při-
vázáno k osičce, ale vytváří kolem ní volnou smyčku.
Jakmile tělísko joja „narazí“ na dolní konec vlákna, začne
vlákno působit na osičku svislou silou směřující vzhůru.
Tatosílazastavípoklestělíska,kterépakspočívávesmyčce
vlákna a otáčí se kolem své osy. Jeho celková kinetická
energie bude v tuto chvíli dána pouze kinetickou energií
otáčivéhopohybu.Takové„spící“ jojo můžemeopět „pro-
budit“ zatáhnutím za vlákno. Vlákno se třením zachytí za
osičku a jojo po něm začne „šplhat“ nahoru. Kinetickou
energiiotáčivéhopohybutělíska vnejnižšípoloze(tedyve
spícím stavu) lze výraznězvýšit, nebude-lise jojo roztáčet
z klidu, ale udělíme-li mu určitou počáteční rychlost v
T
(směremdolů) a určitoupočáteční úhlovourychlostω.
Zabývejmese nynípodrobnějipohybemhračkynazá-
kladě impulzových vět. Na obr.12.9a vidíme idealizované
jojosezanedbatelnoutlouštquoterightkouvlákna.Obr.12.9bpředsta-
vuje příslušný silový diagram,v němž je vyznačenapouze
osička. Odvodíme vztah pro zrychlení a tělíska. Pro po-
suvný pohyb použijeme větu o hybnosti (ma =
summationtext
F).
V soustavě souřadnic s osou x namířenou svisle vzhůru
dostaneme
ma
x
=
summationdisplay
F
x
=T −mg. (12.17)
Symbolemmjsme označili hmotnost tělíska aT předsta-
vuje velikost tahové síly vlákna.
Pro rotační pohyb máme k dispozici větu o momentu
hybnosti (Iε =
summationtext
M), kterou vztáhneme k ose vedené
těžištěm joja:
Iε=
summationdisplay
M =TR
0
, (12.18)
kde R
0
je poloměr osičky a I moment setrvačnosti joja
vzhledemk ose vedenéjehotěžištěm.Zrychlení a směřuje
dolů(složkaa
x
jetedyzáporná).Sílypůsobícínajojojsou,
včetněsprávnéorientace,zakreslenyv obr.12.9b.Moment
tíhové síly vzhledem k ose vedené těžištěm tělíska je nu-
lový,momentsílytahovéjeorientovánprotisměruotáčení
hodinovýchručiček.Úhlové zrychleníεsměřuje tedy rov-
něž proti směru otáčení hodinových ručiček (je kladné).
R
R
0
R
0
mg
T
(a)(b)
Obr.12.9 (a)Jojo.Vlákno zanedbatelnéhoprůměru jenavinuto
na osičce o poloměru R
0
. (b) Silový diagram tělíska při pádu.
Ve skutečnosti nelze průměr vlákna zcela zanedbat, a tak je
třeba počítat s efektivní změnou poloměru osičky, v závislosti
na okamžité délce navinutého vlákna.
Veličiny a a ε jsou proto spjaty vztahem a
x
=−εR
0
.
Dosazenímε=−a
x
/R
0
)do rov.(12.18)dostáváme
TR
0
=−
Ia
x
R
0
.
Z tohoto vztahu vyjádřímeT a dosadíme do rov.(12.17).
Nakonec získáme zrychlenítělíska ve tvaru
a
x
=−g
1
1+I/mR
2
0
. (12.19)
Ideální jojo se tedy odvalujepodél vláknadolů s konstant-
ním zrychlením. Požadujeme-li, aby zrychlení bylo malé,
potřebujeme lehké tělísko s velkým momentem setrvač-
nosti a malým poloměremosičky.
PŘÍKLAD12.5
Jojo je vyrobeno ze dvou mosazných kotoučů o tlouštquoterightce
b = 8,5mm a poloměru R = 3,5cm, spojených krátkou
osičkou o poloměruR
0
= 3,2mm.
(a) Vypočtěte moment setrvačnosti joja vzhledem k jeho ro-
tační ose symetrie. Při výpočtu zanedbejte moment setrvač-
nosti osičky. Hustota mosazi jerho1= 8400kg·m
−3
.
ŘEŠENÍ: Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k jeho
ose symetrie je
1
2
mR
2
. S dvojicí souosých kotoučů můžeme
304 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
pracovat jako s jediným diskem. Jeho celková hmotnost m,
vypočtená pomocí jeho objemuV a hustotyrho1materiálu, je
m=Vrho1= 2D4R
2
brho1=
= 2D4(0,035m)
2
(0,0085m)(8400kg·m
−3
)=
= 0,550kg.
Jeho moment setrvačnosti je pak
I =
1
2
mR
2
=
1
2
(0,550kg)(0,035m)
2
=
= 3,4·10
−4
kg·m
2
. (Odpovědquoteright)
(b) Vlákno navinuté na osičce má délku l = 1,1m.Jeho
tlouštquoterightka je zanedbatelná.Zjistěte,s jakým zrychlením se jojo
odvaluje dolů podél vlákna.
ŘEŠENÍ: Podle rov.(12.19) je
a
x
=−g
1
1+I/mR
2
0
=
=−
(9,8m·s
−2
)
1+
(3,4·10
−4
kg·m
2
)
(0,550kg)(0,0032m)
2
=
=−0,16m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
Vektorzrychlení směřuje dolůa je nezávislýnatom, zda jojo
právě klesá či stoupá.
Všimněme si, že v rov.(12.19) vystupuje parametr β =
=I/mR
2
0
,definovanývtab.12.1.Vnašempříkladumátento
parametr (β = 60) hodnotu mnohem větší než pro tělesa
uvedená v citované tabulce. Zrychlení joja je proto velmi
malé. Odpovídá například valení prstence po nakloněné ro-
vině s úhlem sklonu pouhých 1,9
◦
!
(c) Jak velkou tahovou silou působí na tělísko joja jeho vlák-
no?
ŘEŠENÍ: Tahovou sílu snadno vypočteme z rov.(12.17).
Stačídosadit zaa
x
výraz (12.19). Po malé úpravě dostaneme
proT vztah
T =
mg
1+mR
2
0
/I
. (12.20)
Tahová síla vlákna je tedy menší než síla tíhová. Pro číselné
údaje uvedené v zadání úlohy dostaneme
T =
(0,550kg)(9,8m·s
−2
)
1+(0,550kg)(0,0032m)
2
/(3,4·10
−4
kg·m
2
)
=
= 5,3N. (Odpovědquoteright)
Z výsledku je patrné, že ani tahová síla vlákna nezávisí na
okamžitém směru pohybu joja.
12.3 JEŠTĚ JEDNOU MOMENT SÍLY
V kap.11 jsme definovali moment síly vzhledem k ose
otáčení tuhého tělesa. Tato definice nebyla zcela obecná.
Uvažovali jsme totiž výhradně o otáčivém pohybu tuhého
tělesa kolem pevné osy, kdy se jednotlivé částice tělesa
pohybují po kružnicích se středy na ose otáčení, ležících
vrovináchktétoosekolmých.Dalšíomezení,kteréumož-
ňovalo definovat moment síly vzhledem k ose, spočívalo
v předpokladu, že vektorové přímky sil působících na tě-
leso jsou kolmé k ose otáčení.
Definici momentu síly však dokážeme zobecnit tak,
aby byla použitelná i pro takové případy pohybu tělesa,
kdy tvar trajektorií jednotlivých částic není takto omezen.
Moment síly budemenyní vztahovatk pevnémubodu.
Obr.12.10a znázorňuje silové působení na částici P
v okamžiku, kdy je v souřadnicové rovině xy. Polohový
vektorčásticeje r.Načásticipůsobíjedinásíla F,kteráleží
xxx
yyy
zzz
OOO
P
P
P
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
F
⊥
F
F
F
r
r
r
⊥
r
M (=r×F) M
F (překresleno v počátku
souřadnic)
vektorová přímka F
(a)(b)(c)
Obr.12.10 Definice momentu síly. (a) Síla F, působící na částici v boděP, leží v souřadnicové roviněxy. (b) Moment této síly vzhledem
k boduO je M = r×F. Podle pravidel pro vektorový součin je tento vektor kolmý k roviněxy a má směr kladné osyz. Jeho velikost lze
vyjádřit vztahemrF
⊥
(obr. b) nebor
⊥
F (obr. c).
12.3 JEŠTĚ JEDNOUMOMENT SÍLY 305
v daném okamžiku rovněž v rovině xy. Momentem této
sílyM vzhledemkpevnémuboduOrozumímevektorovou
veličinudefinovanouvztahem
M = r × F. (12.21)
K výpočtu vektorového součinu můžeme samozřejmě po-
užít pravidel shrnutých v odst. 3.7. Abychom určili směr
vektoru M, posuneme vektor F tak, aby jeho počáteční
bod splynul s bodem O. (Velikost ani směr vektoru při
tomto posunutí nesmíme pochopitelně měnit.) Počáteční
body vektorů F a r jsou tedquoteright totožné (obr.12.10b). Nyní
již použijeme pravidlo pravé ruky pro vektorový součin
(obr.3.20a): Prsty pravé ruky směřují od vektoru r (první
činitel ve vektorovém součinu) k vektoru F (druhý čini-
tel).Nataženýpalecukazujesměrvektoru M.Vektor M na
obr.12.10bje rovnoběžnýs kladnýmsměrem osyz.
Pro velikost vektoru M platí obecný vztah (3.20)(c=
=absinϕ), tj.
M =rFsinϕ, (12.22)
kdeϕ je úhel mezi vektory r a F. Z obr.12.10b, c je zřej-
mé, že vztah (12.22) je možné zapsat ještě dvěma dalšími
ekvivalentnímizpůsoby:
M =rF
⊥
, (12.23)
kdeF
⊥
= Fsinϕ je složka vektoru F do směru kolmého
k r,
M =r
⊥
F, (12.24)
kde r
⊥
= rsinϕ je rameno síly F vzhledem k bodu O
(vzdálenostboduO od vektorovépřímkysíly F).
PŘÍKLAD12.6
Na částici P na obr.12.11a působí tři síly o stejné ve-
likosti 2,0N. Částice je právě v souřadnicové rovině xz
a její polohový vektor r je zadán svou velikostí r = 3,0m
a úhlemθ = 30
◦
. Síly F
1
, F
2
a F
3
mají směr souřadnicových
osx,yaz.Vypočtěte jejichmomenty vzhledemkpočátkuO
soustavy souřadnic.
ŘEŠENÍ: Obr.12.11b, c představují pohled na rovinu xz.
Aby bylo možné snadněji vyznačit úhly, které svírají síly F
1
a F
2
s polohovým vektorem r, jsou síly překresleny tak, aby
jejichpočátečníbodysplynulysbodemO.ÚhelmezisilouF
3
avektoremr je90
◦
.Pomocírov.(12.22)vypočtemevelikosti
jednotlivých momentů sil:
M
1
=rF
1
sinϕ
1
=(3,0m)(2,0N)sin150
◦
=
= 3,0N·m,
M
2
=rF
2
sinϕ
2
=(3,0m)(2,0N)sin120
◦
=
= 5,2N·m
a
M
3
=rF
3
sinϕ
3
=(3,0m)(2,0N)sin90
◦
=
= 6,0N·m. (Odpovědquoteright)
Jejich směry určíme pomocí pravidla pravé ruky: pravou
ruku položíme na obrázek tak, aby její prsty směřovaly od
vektoru r kvektoruF a dlaň obepínala menší z obou mož-
ných úhlů. Na obr.12.11d jsme sílu F
3
znázornili křížkem
v kroužku ⊗. Tento symbol vyjadřuje skutečnost, že síla F
3
směřuje do obrázku. (Symbol ⊗ připomíná pohled na šíp
zezadu). Kdyby síla F
3
směřovala z obrázku k pozorovateli,
označili bychom ji symbolemcircledot(pohled na šíp zepředu).Po-
mocí pravidla pravé ruky určíme směr vektoru M
3
. Všechny
momenty sil jsou vyznačeny v obr.12.11e.
x
x
x
x
x
y
y
z
z
z
z
z
O
O
O
O
θ
θ
θ=30
◦
θ
θ=30
◦
θ=30
◦
P
ϕ
1
=150
◦
ϕ
2
=120
◦
F
1
F
1
F
2
F
2
F
3
F
3
r
r
r
r
M
1
M
2
M
3
M
3
(a)
(b)
(c)
(d)(e)
Obr.12.11 Příklad12.6.(a)NačásticiP působítřisílyrovnoběžné
se souřadnicovýmiosami.Úhelϕ
1
mezipolohovýmvektoremčás-
tice a silou F
1
je vyznačen v obrázku (b), úhel ϕ
2
, který svírá
s polohovým vektorem částice síla F
2
, je zadán v obr. (c). (Zadání
úhlů je potřebné pro výpočet momentů sil.) (d) Moment třetí síly
M
3
je kolmý k vektorům r a F
3
. Síla F
3
je kolmá k rovině ná-
kresu a míří do obrázku). (e) Momenty sil působících na částiciP,
vztažené k boduO.
306 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
RADYANÁMĚTY
Bod12.1: Vektorové součiny a momenty sil
Rov.(12.21) představuje první praktické použití vektoro-
vého součinu. Vratquoterightte se k odst. 3.7, kde jsou shrnuta pravidla
pro výpočet vektorového součinu, a osvěžte si je. Citovaný
odstavec obsahuje i výčet chyb, kterých bychom se při určo-
vání směru vektorového součinu mohli dopustit (bod 3.5).
Nezapomeňme, že moment síly je třeba vztahovat k da-
nému bodu, který musí být předem pevně zvolen. V opač-
némpřípadě nemá výpočet momentu síly smysl.Změníme-li
vztažnýbod,můžesezměnitjakvelikost,takisměrmomentu
síly. V př.12.6 jsme počítali momenty tří sil vzhledem k po-
čátkuOsoustavy souřadnic.Pokudbychommomenty těchto
sil vztáhli přímo k boduP, byly by nulové.
K
ONTROLA3:Polohovývektorčásticer jerovnoběžný
skladnýmsměremosyz.Určetesměrjedinésílypůso-
bící na částici, víte-li, že její moment vzhledem k po-
čátku soustavy souřadnic je (a) nulový, (b) míří proti
směru osyx, (c) míří proti směru osyy.
12.4 MOMENT HYBNOSTI
Celářadaveličinpopisujícíchposuvnýpohybtělesamásvé
„partnerské protějšky“ vztahující se k pohybu otáčivému.
Takéhybnostmájakosvůjprotějšekveličinu,kterámápro
popis otáčivého pohybu analogický význam jako hybnost
pro popis pohybu posuvného. Je jí moment hybnosti.Na
obr.12.12 je znázorněna částice P o hybnosti p = mv.
Částice je v daném okamžiku v souřadnicové rovině xy
a její hybnost je s touto rovinou rovnoběžná.Její moment
hybnosti L vzhledem k počátku O je vektorová veličina
definovanávztahem
L = r × p =m(r × v), (12.25)
kde r je polohovývektor částice vzhledemk boduO.
Porovnáme-li vztahy (12.21) a (12.25), zjistíme, že
vztah hybnosti a jejího momentu je stejný jako vztah síly
amomentusíly.JednotkoumomentuhybnostivsoustavěSI
jekg·m
2
·s
−1
, tj.J·s.
SměrvektorumomentuhybnostiLurčímepodleobráz-
ku 12.12. Vektor p posuneme tak, aby jeho počáteční bod
splynul s bodemO. Použijeme pravidlo pravé ruky: prsty
směřují od r k p, napjatý palec ukazuje směr vektoru L,
v tomto případě je rovnoběžný s kladnou osou z.Takto
určený směr odpovídá otáčení polohového vektoru r ko-
lem osyzproti směru otáčení hodinovýchručiček. Kdyby
x
x
y
y
z
z
O
O
P
P
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
p
⊥
p
p
r
r
r
⊥
L (=r×p)
L
p (překresleno v počátku souřadnic)
hmotnostm
vektorová přímka p
(a)
(b)
Obr.12.12 Definice momentu hybnosti. Hybnost p =mv čás-
ticeP o hmotnostimležív roviněxy. Moment hybnosti částice
vzhledem k počátku soustavy souřadnicO je L = r × p. Podle
pravidla pravé ruky je to vektor rovnoběžný s kladným směrem
osy z. (a) Velikost momentu hybnosti L lze vyjádřit vztahem
L=rp
⊥
=rmv
⊥
, neboli (b)L=r
⊥
p=r
⊥
mv.
vektor L směřovalprotisměruosyz,otáčelbyse polohový
vektor r kolem ní ve směru choduhodinovýchručiček.
Velikost vektoru L určíme pomocí obecného vztahu
(3.20).Platí
L=rmvsinϕ, (12.26)
kde ϕ je úhel mezi vektory r a p. Situaci lze jednoduše
zakreslitavyznačitiúhelϕ,jestližepočátečníbodyvektorů
splývají.Z obr.12.12a,b je vidět,žeprovelikostmomentu
hybnosti (12.26)lze použít i jiného zápisu:
L=rp
⊥
=rmv
⊥
, (12.27)
kdep
⊥
je složka vektoru p ve směru kolmém k r ap
⊥
=
= mv
⊥
. Další ekvivalentní vyjádření velikosti momentu
12.5 VĚTAO MOMENTUHYBNOSTI 307
hybnostimá tvar
L=r
⊥
p=r
⊥
mv, (12.28)
kde r
⊥
je vzdálenost bodu O od vektorové přímky vek-
toru p.
Podobně jako u momentu síly má výpočet momentu
hybnostismyslpouzevpřípadě,žejezadánpevnývztažný
bod. Uvědomme si také, že kdyby částice na obr.12.12
neleželavroviněxynebokdybyvektorjejíhybnostinebyl
s touto rovinou rovnoběžný, nebyl by moment hybnosti L
rovnoběžný s osouz. Vektor momentu hybnosti L je vždy
kolmýk roviněurčené vektory r a p.
K
ONTROLA 4: Částice 1 a 2 na obrázku(a) obíhají ko-
lemboduOvopačnýchsměrechpokružnicíchspolo-
měry2ma4m.Částice3a4naobrázku(b)sepohybují
ve stejném směru,popřímkách,jejichžvzdálenostiod
boduO jsou rovněž 2m a 4m. Částice 5 se pohybuje
popřímceprocházejícíbodemO.Všechnyčásticemají
stejnou hmotnost i stejnou velikost rychlosti. Jejich
pohyb je ve všech případech rovnoměrný.(a) Seřadquoterightte
je sestupně podle velikosti jejich momentů hybnosti
vzhledem k boduO. (b) Rozhodněte, pro které z nich
má moment hybnosti vzhledem k bodu O souhlasný
směr se směrem otáčení hodinovýchručiček.
OO
1
2
3
4
5
(a)(b)
PŘÍKLAD12.7
Na obr.12.13 je pohled shora na dvě částice pohybující se
s konstantními hybnostmi po vodorovných přímkových dra-
hách.Částice1,jejížhybnostmávelikostp
1
= 5,0kg·m·s
−1
,
je právě v místě o polohovém vektoru r
1
aminebodO ve
vzdálenosti 2,0m. Velikost hybnosti částice 2 je v daném
okamžiku p
2
= 2,0kg·m·s
−1
a polohový vektor r
2
.Čás-
tice mine bod O ve vzdálenosti 4,0m. Vypočtěte výsledný
moment hybnosti L této dvoučásticové soustavy vzhledem
k boduO.
O
r
1
r
2
r
1,⊥
r
2,⊥
p
1
p
2
Obr.12.13 Příklad 12.7. Dvě částice míjejí bodO.
ŘEŠENÍ: Nejprve vypočtěme momenty hybnosti L
1
a L
2
jednotlivých částic. Pro výpočet velikosti vektoru L
1
zvo-
líme rov.(12.28), do níž dosadíme r
1,⊥
= 2,0m ap
1
=
= 5,0kg·m·s
−1
:
L
1
=r
1,⊥
p
1
=(2,0m)(5,0kg·m·s
−1
)=
= 10kg·m
2
·s
−1
.
SměrvektoruL
1
jezřejmýzrov.(12.25)apravidlapravéruky
provektorovýsoučin.Vektorovýsoučinr
1
×p
1
jekolmýkro-
vině obrázku a směřuje k pozorovateli. Tentosměr označíme
zakladnývsouladusesměremotáčenívektoru r
1
protisměru
chodu hodinových ručiček.
Podobnězískámevelikostmomentuhybnosti L
2
částice2:
L
2
=r
2,⊥
p
2
=(4,0m)(2,0kgm·s
−1
)=
= 8,0kg·m
2
·s
−1
.
Vektorový součin r
2
× p
2
je opět kolmý rovině obrázku,
tentokrát všaksměřuje odpozorovatele.Tentosměrje zápor-
ný, nebotquoteright odpovídá otáčení vektoru r
2
ve směru hodinových
ručiček.
Výsledný moment hybnosti soustavy má tedy velikost
L=L
1
+L
2
=
=(+10kg·m
2
·s
−1
)+(−8,0kg·m
2
·s
−1
)=
=+2,0kg·m
2
·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Kladné znaménko získané hodnoty odpovídá skutečnosti, že
vektor výsledného momentu hybnosti L, kolmý k rovině ob-
rázku, směřuje k pozorovateli.
12.5 VĚTA O MOMENTU HYBNOSTI
V předchozích úvahách jsme se podrobně zabývali veliči-
nami popisujícímiposuvnýa otáčivýpohyb a zjistili jsme,
ževšechnydůležitécharakteristikyposuvnéhopohybumají
své protějšky, které odpovídají popisu pohybu otáčivého.
Můžeme proto celkem přirozeněočekávat, že pro časovou
změnu momentuhybnostičástice L a výslednýmoment M
všechsil,kterénanipůsobí,budeplatitnějakáobdobadru-
héhoNewtonovazákona.DruhýNewtonůvzákon,zapsaný
pro naši částici ve tvaru
dp
dt
=
summationdisplay
F, (12.29)
vyjadřuje souvislost časové změny její hybnosti a výsled-
nice těchto sil. Tušíme, že hledaný „protějšek“ druhého
Newtonova zákonabude mít obdobnýtvar:
dL
dt
=
summationdisplay
M. (12.30)
Tento vztah představuje analogii druhého Newtonova zá-
kona v úhlovýchveličinách.Slovy jej lze vyjádřittakto:
308 KAPITOLA12 VALENÍ,MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI
Časová změna momentu hybnosti částice je rovna vek-
torovémusoučtu momentůvšech sil na ni působících.
Rov.(12.30)má smysl pouze tehdy, jsou-li silové mo-
mentyobsaženévsoučtu M amomenthybnostiL vztaženy
k témuž bodu.
Odvození věty o momentu hybnosti