Geometrie

ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1. GEOMETRICKÉ VEKTORY 1.1 KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC Zvolme v prostoru tři navzájem kolmé přímky Ox, Oy, Oz procházející společným bodem O a považujme je za číselné osy se stejnou jednotkou. Předpokládáme (postulu-jeme), že je to možné. Číselné osy orientu-jeme (tj. uvedeme, které poloosy jsou klad-né a které záporné) takto: osy Ox, Oy libo-volně, osu Oz tak, že pozorujeme-li osy Ox, Oy z některého bodu na na kladné části osy KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC Oz , musela by kladná část osy Ox opsat kladně orientovaný (tj. proti směru otáčení hodinových ručiček) úhel /2, aby poprvé splynula s kladnou částí osy Oy. Říkáme, že jsme vytvořili pravoúhlou pravotočivou soustavu souřadnic. Podobně můžeme defi-novat levotočivou soustavu souřadnic. Budeme pracovat pouze v pravoúhlé pra-votočivé soustavě, kterou krátce nazýváme KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC Kartézskou soustavou souřadnic. Přímky Ox Oy, Oz nazýváme souřadnicovými osami a roviny určené dvojicemi souřadnicových os (Ox, Oy), (Oy,Oz), (Oz, Ox) nazveme souřad-nicovými rovinami (půdorysnou, nárysnou a bokorysnou ). Jestliže z bodu A v prostor spustíme kolmice na číselné osy Ox Oy, Oz, potom jejich paty P, Q, R odpovídající čís-lům a1, a2, a3 nazýváme první (x-ovou), KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC druhou (y-ovou) a třetí (z-ovou) souřadnicí bodu A a označujeme A = (a1, a2, a3). Pro každé dva různé body v prostoru dostaneme dvě různé (uspořádané) trojice čísel (sou-řadnic) a obráceně dvěma různým uspořáda-ným trojicím čísel odpovídají dva různé bo-dy. Prostor ve kterém jsme zavedli kartéz-skou soustavu souřadnic, krátce kartézský prostor, lze tedy považovat za trojrozměrný KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC vektorový prostor V3 nad oborem reálných čísel a jeho body za algebraické vektory dimenze 3, pokud ovšem definujeme rov-nost dvou vektorů, jejich součet a součin re-álného čísla s vektorem tak jak je uvedeno v části Algebra odstavci 4.1. Souřadnicovou rovinu (Ox, Oy) nazýváme kartézskou rovinou. Lze ji interpretovat ja-ko dvojrozměrný vektorový prostor V2 . KARTÉZSKÁ SOUSTAVA SOUŘADNIC Všechny body půdorysny půdorysny můžeme interpretovat jako body vektoro-vého prostoru V3, jejichž třetí souřadnice je nulová. Podobně všechny body osy Ox lze interpretovat jako body V3 , jejichž druhá a třetí souřadnice jsou nulové. 1.2 EUKLIDOVSKÝ PROSTOR Jestliže v kartézském prostoru shodně s vě-tou Pythagorovou zavedeme vzdálenost dvou bodů A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3] vztahem
Potom říkáme, že jsme kartézský prostor metrizovali euklidovskou vzdáleností a naz-veme jej euklidovským prostorem E3.(obr.1)
EUKLIDOVSKÝ PROSTOR ORIENTOVANÁ ÚSEČKA





obr.1 obr.2 1.3 ORIENTOVANÁ ÚSEČKA Orientovanou úsečkou AB v euklidovském prostoru E3 rozumíme množinu bodů ležící na úsečce spojující body A a B. Bod A na-zýváme počátečním, bod B koncovým bo-dem úsečky. O úsečce BA se říká, že je ori- entována opačně než úsečka AB. Čísla b1-a1 b2-a2 , b3-a3 nazýváme první, druhou a třetí souřadnicí orientované úsečky AB a píše-me: AB = {b1-a1 , b2-a2 , b3-a3 }. V případě, ORIENTOVANÁ ÚSEČKA Kdy koncový bod B úsečky splývá s jejím počátečním bodem A, tj. B = A, potom ori-
entovaná úsečka AB se redukuje do jedno-ho bodu a má všechny tři souřadnice nulo-vé. Číslo
| AB| =
Nazýváme velikostí (délkou) úsečky AB. ORIENTOVANÁ ÚSEČKA Všimněme si, že každá orientovaná úsečka CD, kde C = [c1, c2, c3], D = [d1, d2, d3], která vznikne rovnoběžným posunutím úsečky AB (viz obr. 2, kde je pro přehlednost použita pouze rovina) má stejné souřad-nice tj. d1 – c1 = b1 – a1 , d2 – c2 = b2 – a2 , d3 – c3 = b3 – a3 . Mezi tyto úsečky patří i orientovaná úsečka OU, kde O = [0, 0, 0], U = [u1, u2, u3], tedy u1 = b1 – a1, u2 = b2 – a2 , u3 = b3 – a3 . ORIENTOVANÁ ÚSEČKA Orientované úsečky DC, UO mají naopak souřadnice s opačnými znaménky. Všimněme si, že všechny takto vytvoře-né úsečky jsou stejně dlouhé a vyznačují tentýž směr. Naopak, orientovaná úsečka, která mezi ně nepatří má nutně jiné sou-řadnice:
v1, v2, v3 tj. {v1, v2, v3} ≠ {u1, u2, u3} . ORIENTOVANÁ ÚSEČKA GEOMETRICKÝ VEKTOR.
Množina všech orientovaných úseček, v Euklejdovském prostoru E3, které mají tytéž
souřadnice v1, v2, v3 (v uvedeném pořadí) nazýváme geometrickým vektorem v E3 a označujeme v nebo také {v1, v2, v3 }. 1.4 GEOMETRICKÝ VEKTOR Jak si čtenář jistě všiml, souřadnice bodů budeme vkládat do hranatých závorek a pro lepší odlišení, souřadnice vektorů do složených závorek. Zároveň uděláme dom-luvu, že místo označení vektoru v (s pru-hem nahoře) budeme psát v (tučné, s pru-hem dole).
Každou orientovanou úsečku AB  v budeme GEOMETRICKÝ VEKTOR nazývat reprezentantem vektoru v s počá-tečním bodem A a naopak o vektoru v bu-deme říkat, že je indukován orientovanou úsečkou . Reprezentanta vektoru v s po-čátkem O = (0, 0, 0) nazýváme polohovým vektorem. Shodně s definicí rovností dvou množin o dvou geometrických vektorech vektorech v = { v1, v2, v3}, u = {u1, u2, u3} říkáme, že se sobě rovnají a píšeme v = u, jestliže v1= u1, v2= u2, v3= u3. GEOMETRICKÝ VEKTOR Součtem dvou geometrických vektorů u = {u1, u2, u3 }. , v = {v1, v2, v3 }. rozumíme geometrický vektor, který označujeme u+v a který definujeme vztahem:
u+v = {u1+v1, u2+v2, u3+v3}. Součinem re-álného čísla  a geometrického vektoru u = {u1, u2, u3 } nazýváme geometrický vektor, který označujeme u a definujme vztahem GEOMETRICKÝ VEKTOR u = {u1, u2, u3 }. Rozdílem dvou geo-metrických vektorů u = {u1, u2, u3 } , v = {v1, v2, v3 } nazýváme geometrický vektor. Který označujeme u – v a který definujeme vztahem u – v = u + (-1)v. Na obrázku 3 je uvedena geometrická interpretace vektoru u+v , na obrázku 4 zase geometrická interpretace vektoru u. Jestliže ABu a BCv , potom vektor u + v je indukován GEOMETRICKÝ VEKTOR orientovanou úsečkou AC, která je úhlo-příčkou v rovnoběžníku ABCC’A, kde AC’v. Na obrázku 3. je také uvedena geom. interpretace rozdílu vektorů u – v. Je to vektor indukovaný orientovanou úsečkou C’B, která je druhou úhlopříčkou v obdél-níku ABCC’A. Na obrázku 4. je geometric-ká interpretace vektoru u, kde ABu. Úsečka ACu vznikne pouhým |  | - násobným prodloužením úsečky AB VZTAH MEZI ALGEBRAICKÝM a GEOMETRCKÝM VEKTOREM a v případě  < 0 ještě navíc změnou orien-tace na opačnou.
1.5 VZTAH MEZI ALGEBRAICKÝM a GEO-METRICKÝM VEKTOREM. Vidíme, že geometrický vektor s uvedenou definicí sčítání a násobení reálným číslem lze považovat za speciální případ trojroz-měrného algebraického reálného vektoru, přesněji řečeno jeho geometrickou interpre-taci v E3. VZTAH MEZI ALGEBRAICKÝM a GEOMETRCKÝM VEKTOREM Nechť i, j, k jsou geometrické vektory v E3 dané vztahy i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k={0, 0, 1} a nechť v = {v1, v2, v3} je libovolný geometric-ký vektor. Potom z definice součtu vektorů a součinu reálného čísla s vektorem ihned plyne
v = v1 . i + v2 . j + v3 . k ,
ORIENTOVANÁ ÚSEČKA





obr. 3 obr.4 VZTAH MEZI ALGEBRAICKÝM a GEOMETRCKÝM VEKTOREM tj. vektor v je lineární kombinací bázových vektorů i, j, k a čísla v1, v2, v3 jsou souřadni-cemi vektoru v vzhle-dem k bázi (i, j, k).
Vektory i, j, k se nazývají orty a před-chozímu vzorci se říká rozklad na orty.
SKALÁRNÍ SOUČIN GEOMETRICKÝCH VEKTORŮ 1.6 SKALÁRNÍ SOUČIN GEOMETRIC-KÝCH VEKTORŮ. Shodně s definicí ska-lárního součinu algebraických vektorů defi-nujeme skalární součin geometrických vek-torů u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3}:
u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Jsou-li u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3}, w = {w1, w2, w3} libovolné geometrické SKALÁRNÍ SOUČIN GEOMETRICKÝCH VEKTORŮ vektory a  libovolné reálné číslo, potom platí:
a) u.v = v.u
b) (.u).v = .(u.v)
c) (u + v).w = u.w + v.w
d) | u | = √ u.u , kde | u | je velikost vek- toru u , shodně s velikostí úsečky
| u | = √ u12 + u22 + u32
ODCHYLKA DVOU GEOMETRICKÝCH VEKTORŮ 1.7 ODCHYLKA DVOU GEOMETRIC-KÝCH VEKTORŮ. Dvě polopřímky p a q se společným počátkem svírají dva úhly, je-jichž součet je roven 2π (viz obr. 5). Úhlem polopřímek p a q nazýváme vždy ten úhel ω pro který platí 0 ≤ ω ≤ π.
Odchylkou dvou nenulových geometrických vektorů u, v nazýváme úhel ω  [ 0, π ] po- ODCHYLKA DVOU GEOMEYTRICKÝCH VEKTORŮ lopřímek OU, OV, kde OU, OV jsou polo-hoví reprezentanti vektorů u, v (viz obr. 6). Jestliže ω = π/2 potom o vektorech u, v ří-káme, že jsou orthogonální (kolmé).
1.8 VZTAH MEZI OCHYLKOU a SKA-LÁRNÍM SOUČINEM VEKTORŮ. V apli-kacích je velmi důležitá formule, kterou si nyní uvedeme: ODCHYLKA DVOU GEOMEYTRICKÝCH VEKTORŮ





obr. 5 obr.6 VZTAH MEZI ODCHYLKOU aSKALÁRNÍM SOUČINEM VEKTORŮ u . v = | u | . | v | . cos ω
Odtud okamžitě plyne: Skalární součin dvou nenulových geometrických vektorů je roven nule tehdy a jen tehdy, když vektory jsou orthogonální.
1.9 SMĚROVÉ KOSINY VEKTORŮ.
Snadno si ověříme, že vektory i, j, k jsou navzájem orthogonální a jednotkové (tj. je- SMĚROVÉ KOSINY VEKTORU jich velikost je rovna jedné).
Nechť v = {v1, v2, v3} je libovolný nenulový geometrický vektor. Kosiny odchylek, které svírá vektor v s jednotkovými vektory i, j, k se nazývají směrovými kosiny vektoru v a označují se cos , cos β, cos γ . Platí:
i . v = v1 a pro skalární součin dostáváme vztah i . v = | v |.cos  neboť | i | = 1. Odtud SMĚROVÉ KOSINY VEKTORU a VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ dostáváme v1 = | v | . cos . Podobně dostá-váme v2 = | v | . cos β a v3 = | v | . cos γ. Od-tud ihned plyne vzorec:
1.10 VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ. Moment síly a řada dalších pojmů v aplika-cích nás vedou k následující definici:
SMĚROVÉ KOSINY VEKTORU





obr.7 obr.8 VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ Nechť u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3} jsou nenulové geometrické vektory a ω jejich od-chylka. Vektorovým součinem vektorů u, v (v tomto pořadí) rozumíme geometrický vektor w takový, že
a) je kolmý na oba vektory u, v,
b) jeho velikost je dána vztahem
| w | = | u | . | v | . sin ω VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ c) uspořádaná trojice polohových reprezen-tantů vektorů u, v, w tvoří pravotočivý sys-tém, který je definován obdobně jako pravo-točivá soustava souřadnic s tím rozdílem, že ω  [0, π].
Vektor w se často zapisuje u  v (v tomto pořadí)
Vektorový součin definujeme i v případě, VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ kdy některý z vektorů u, v je nulový. V tomto případěřímo definujeme
u  v = {0, 0, 0}
Z vlastnosti b) plyne, že
Vektorový součin dvou nenulových vektorů u, v je nulovým vektorem tehdy a jen tehdy, když jejich odchylka je rovna nule, tj. když v = .u, kde  je reálné číslo. V tomto pří- VEKTOROVÝ SOUČIN VEKTORŮ padě říkáme, že vektory u, v jsou koline-ární.
Z vlastnosti b) dále ihned plyne geometric-ká interpretace velikosti vektorového souči-nu. Z obrázku 8 je zřejmé, že velikost vek-torového součinu u  v je číselně rovna obsahu rovnoběžníka vytvořeného úsečkami AB, AC, kde AB  u , AC  v.
Z definice vektorového součinu pro jednot- GEOMETRICKÁ KONSTRUKCE VEKTOROVÉHO SOUČINU kové vektory i, j, k platí:
i  i = j  j = k  k = o
i  j = k , j  k = i , k  i = j
1.11 GEOMETRICKÁ KONSTRUKCE VEKTOROVÉHO SOUČINU.
Z definice vektorového součinu w = u  v
Plyne jeho geometrická konstrukce (obr.9).
Počátkem O = [0, 0, 0] vedeme rovinu ρ GEOMETRICKÁ KONSTRUKCE VEKTOROVÉHO SOUČINU kolmou na polohového reprezentanta OU vektoru u = {u1, u2, u3}. Polohového repre-zentanta OV vektoru v = {v1, v2, v3} kolmo promítneme do roviny ρ. Dostaneme orien-tovanou úsečku OP. Zřejmě platí :
| OP | = | v | . sin ω
Úsečku OP otočíme kolem osy OU v klad-ném směru o úhel π/2. Dostaneme úsečku
OP. Samozřejmě platí |OP’|=|OP|=|v|.sinω. VLASTNOSTI VEKTOROVÉHO SOUČINU Na polopřímce OP’ zkonstruujeme bod W
tak, aby | AW | = | u |.| OP’|. Potom oriento-vaná úsečka OW je polohovým reprezentan-tem vektorového součinu w.
1.12 VLASTNOSTI VEKTOROVÉHO SOUČINU.
Jsou-li u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3}, w = {w1, w2, w3} libovolné geometrické vektory a , β libovolná reálná čísla, po- VLASTNOSTI VEKTOROVÉHO SOUČINU tom platí:
a) u  v = - (v × u) antikomutativní zákon , b) .u  β.v = .β.(u  v) , c) (u + v )  w = u  w +