Geometrie

v  w první dis-tributivní zákon, d) u  (v + w) = u  v + u  w druhý dis-tributivní zákon. 1.13VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU Výpočet souřadnic vektorového součinu vektorů u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3} se provádí podle vztahu
uv=(u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
V dalším si ukážeme, jak si lze snadno za-pamatovat tento velmi důležitý vzorc. Z jed-notkových vektorů i, j, k a z vektorů u, v vytvoříme tak zvaný symbolický determi- VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU nant třetího řádu VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU Porovnáním posledního výsledku s definicí vektorového součinu vektorů u, v dostává-me
u×v =
Poslednímu vzorci se říká definice vektoro- VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU vého součinu pomocí symbolického deter-minantu.
Příklad. Vypočítejte obsah trojúhelníka s vr-choly A=[7, 3, 4], B=[1, 0, 6], C=[4, 5, -2] a úhel , který svírají strany , trojú-helníku.
Orientovné úsečky , indukují vek-tory u = {1-7, 0-3, 6-4}, v = {-3, 2, -6}. Ob- VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU = .
Tedy
| R | = | uv | =
Obsah trojúhelníka je roven polovině obsa-hu rovnoběžníku, tedy | T | = 492. Dále pla-tí u.v = |u|.|v|.cos. Odtud máme . VÝPOČET SOUŘADNIC VEKTOROV0HO SOUČINU sah |R| rovnoběžníka je roven velikosti vek-toru u  v. Máme OBJEMY Trojúhelník ABC je tedy pravoúhlý.
1.14 OBJEM ROVNOBĚŽNOSTĚNU a ČTYŘSTĚNU.
Zabýváme se nyní problémem nalezení ob-jemu VR rovnoběžnostěnu a objemu VC čtyřstěnu zadaných úsečkami .
Vypočítejme nejdříve objem VR. Ten je roven součinu obsahu základny a výšky.
OBJEMY Jsou-li u, v, w geometrické vektory induko-vané orientovanými úsečkami , potom obsah základny je roven velikosti vektorového součinu | uv | a výška je rov-na velikosti úsečky , kde P je kolmý prů-mět bodu B na základnu. Z obrázku 10. vi-díme, že velikost úsečky se rovná abso-lutní hodnotě čísla |w|.cos, kde  je OBJEMY odchylka vektorů u a vw . Objem VR
je dán tedy vztahem:
VR = ||u|.|vw|.cos| ,
tj.
VR = |u.(vw)|
Analogicky pro objem čtyřstěnu dostaneme
VC = | u.(vw) | .
OBJEMY





obr. 9 obr.10 SMÍŠENÝ SOUČIN 1.15 SMÍŠENÝ SOUČIN VEKTORŮ. Výpočty objemů v minulém odstavci a také další pojmy v aplikacích nás motivují k nás-ledující definici: Nechť u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3}, w = {w1, w2, w3} jsou libo-volné geometrické vektory. Smíšeným sou-činem vektorů u, v, w (v tomto pořadí) ro-zumíme číslo, které značíme [u v w] a které definujeme vztahem: SMÍŠENÝ SOUČIN [u v w] = u.(v  w)
Jestliže [u v w] = 0 a vektory u, v  w jsou nenulové, pak vektor u je kolmý na vektor v  w . Jeho polohový reprezentant leží v rovině určené polohovými reprezentanty vektorů v a w. Existují tedy reálná čísla , taková, že u = v + w tj. u je lineární kombinací vektorů v,w. V takovém případě
SMÍŠENÝ SOUČIN říká,me, že vektory jsou komplanární.
Ukážeme si výpočet smíšeného součinu. Ví-me, že
a tedy SMÍŠENÝ SOUČIN Odtud ihned dostáváme
Tomuto vztahu se říká definice smíšeného součinu geometrických vektorů pomocí de-terminantu.
1.16 VLASTNOSTI SMÍŠENÉHO SOUČINU Jestliže u = {u1, u2, u3}, v = {v1, v2, v3}, w = {w1, w2, w3}, z = {z1, z2, z3}, jsou libo-volné geometrické vektory a  je libovolné reálné číslo, potom platí
a) [u v w] = [v w u] = [w u v]
b) [u +v w z] = [u v z] + [v w z] (distribuční zákon)
c) [u v w] = [u v w] VLASTNOSTI SMÍŠENÉHO SOUČINU d) Jsou-li alespoň dva vektory smíšeného součinu sobě rovny, potom smíšený součin je roven nule. Např.: [u v u] = 0.
Příklad. Vypočítejte objem čtyřstěnu VC s vrcholy A = [2, 0, 0], B = [0, 2, 0], C = [0, 0, 0,], D = [1, 1, 3] .
Čtyřstěn je zadán vektory u, v, w , jejichž reprezentanty jsou následující orientované VLASTNOSTI SMÍŠENÉHO SOUČINU úsečky: . Platí tedy u = {2, 0, 0},
v = {0, 2, 0}, w = {1, 1, 3}.Pro objem VC
čtyřstěnu platí VC = . Smíšený sou-čin můžeme počítat dvojím způsobem: V prvním případě dostaneme:
VLASTNOSTI SMÍŠENÉHO SOUČINU Ve druhém případě máme
[u v u] = u.(v w) =
=
Dostáváme tak VC = APLIKACE VEKTORŮ 1.17 NĚKTERÉ APLIKACE VEKTORŮ.
1) Obsah OT trojúhelníku ABC je dán vzta-hem
kde
2) Obsah rovnoběžníku OR ABCDA je dán:
APLIKACE VEKTORŮ kde
3) Objem VR rovnoběžnostěnu ACEDBFGH (obr.10)je dán vzorcem
VR = | [u v w] | ,
kde ,
4) Objem VC čtyřstěnu ABCD (obr.11) je dán vzorcem APLIKACE VEKTORŮ VR = | [u v w] | ,
kde ,
5) Pro odchylku   [ 0,  ] dvou vektorů u, v platí
6) Podmínka kolineárnosti vektorů u,v je
APLIKACE VEKTORŮ | u  v | = 0 .
7) Podmínka kolmosti vektorů u, v je
u . v = 0 .
8) Podmínka komplanárnosti vektorů u, v, w je
[ u v w] = 0 . OTÁZKY a ÚLOHY 1. Co je kartézský prostor.
2. Co je euklidovský prostor E3.
3. Co je metrika.
4. Co je geometrický vektor.
5. Jaký je vztah mezi geometrickým a alge-braickým vektorem.
6. Uveďte a zdůvodněte rozklad geometric-kého vektoru na orty. OTÁZKY a ÚLOHY 7) Co je skalární součin dvou geometric-kých vektorů a jaké jsou jeho základní vlastnosti.
8) Co jsou směrové kosiny geometrických vektorů a jak se počítají.
9) Co je vektorový součin dvou geometrických vektorů.
10) popište geometrickou konstrukci vekto- OTÁZKY a ÚLOHY Rového součinu dvou geometrických vekto-rů.
11) Uveďte a zdůvodněte postup při výpoč-tu souřadnic vektorového součinu dvou geo-metrických vektorů.
12) Co je smíšený součin tří geometrických vektorů.
13) Uveďte a zdůvodněte vzorce pro výpo-čet objemu rovnoběžnostěnu a čtyřstěnu. OTÁZKY a ÚLOHY 14) Uveďte a zdůvodněte vzorce pro výpo-čet smíšeného součinu geometrických vek-torů.
15) Uveďte a zdůvodněte základní vlastnos-ti smíšeného součinu geometrických vekto-rů. 2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU GEOMETRICKÉ ÚTVARY v PROSTORU 0.ÚVOD.
Analytická geometrie je obor geometrie ve kterém se geometrické útvary charakterizují číselnými údaji. Například bod v prostoru uspořádanou trojicí čísel (souřadnicemi). Geometrické problémy se tak stávají problé-my algebraickými (výpočtovými). Výsledky výpočtů se pak interpretují geometricky. GEOMETRICKÉ ÚTVARY v PROSTORU Předpokládá se, že jste dobře obeznámeni s analytickou geometrií v rovině, zejména pak s vyjádřením kuželoseček (tj. kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly) v kanonickém tvaru a řešením úloh o přímkách.
2.1 ZADÁVÁNÍ GEOMETRICKÝCH ÚT-VARŮ v PROSTORU.
Budeme výlučně pracovat v kartézské pros- GEOMETRICKÉ ÚTVARY v PROSTORU toru s euklidovskou metrikou, kde každý bod A je jednoznačně vyjádřen (popsán) uspořádanou trojicí reálných čísel : [a1, a2, a3], zvaných jeho souřadnice. Pros-tor je pak množina všech těchto trojic. Geo-metrickými útvary (plochami, křivkami, tě-lesy atd.) jsou potom množiny bodů z toho-to prostoru. Množiny se zadávají způsobem GEOMETRICKÉ ÚTVARY v PROSTORU Obvyklým v logice, tj. uvede se jedna nebo více podmínek, které musí souřadnice bodu splňovat, aby bod patřil do příslušné množi-ny. Při jejich nesplnění pak do dané množi-ny nepatří.
2.2 OBECNÁ ROVNICE ROVINY.
Mějme bod A = [a1, a2, a3] ležící v rovině ,
Která je kolmá na vektor n , udávající směr ROVINA všech kolmic na rovinu . Zvolme nyní v rovině  bod X, různý od A. Označme u vektor generovaný orientovanou úsečkou
= {x – a1, y – a2, z – a3}. Vektory u, n jsou kolmé, proto jejich skalární součin je roven nule. Označíme li souřadnice vektoru n
{a, b, c} dostaneme po vynásobení:
ROVINA a(x – a1) + b(y – a2) + c(z – a3) = 0
což zapisujeme ve tvaru
ax +by +cz +d = 0 (  )
kde
d = - (aa1 + ba2 + ca3) .
Rovnici ( ) nazýváme obecným, někdy také normálovým tvarem rovnice roviny. ROVINA Nyní si všimneme speciálních případů rovin
1) a  0, b = c = 0, d  0, čili
ax + d = 0
rovnoběžná
s rovinou yOz
(viz obr. 11)
obr.11 ROVINA 2) a = 0, b  0, c =0, d  0
by + d = 0
rovnoběžná
s rovinou xOz
(viz obr.12)
Obr. 12 ROVINA 3) a = b = 0, c  0, d  0
cz + d = 0
rovnoběžná
s rovinou xOy
(viz obr. 13)

obr. 13 ROVINA Další speciální případy rovnic rovin
ax + by +cz = 0 rovnice roviny prochá-zející počátkem,
by + cz + d = 0 rovnice roviny rovno-běžné s osou x-ovou,
ax + cz + d = 0 rovnice roviny rovno-běžné s osou y-ovou, ROVINA ax + by + d = 0 rovnice roviny rovno-běžné s osou z-ovou.
Příklad. Napište rovnici roviny, která pro-chází body A = [0, 1, 2 ], B = [3, 0, 4 ] a je rovnoběžná s osou z.
Řešení: Rovnice rovnoběžná s osou z má neúplný tvar ax + by +d = 0. Této rovnici musí vyhovovat body A a B. Dostáváme tak ROVINA b + d = 0
3a + d = 0,
To je soustava dvou rovnic o třech nezná-mých. Jednu z nich můžeme volit libovolně, růyný od nuly, za předpokladu, že není nu-la. Položme d = -3, potom b = 3 a a = 1. Je tedy
x + 3y – 3 = 0. ROVINA Je-li dána rovnice roviny  v obecném tvaru
4x + 12y –3x +6 = 0,
přímo z ní dostáváme pro vektor normálu
n = {4, 12 , -3 }.
Vydělíme-li rovnici () velikostí normálo-
vého vektoru | n | = dostane-me rovnici ROVINA
kde
jsou směrové kosiny normálového vektoru. Rovnici s kosiny nazýváme normální rovni- ROVINA cí roviny. Tak například rovnice roviny  má normální rovnici:
2.3 PARAMETRICKÉ ROVNICE ROVINY
O rovině v prostoru E3 řekneme, že má směr
dvou daných nekolineárních vektorů r a s , ROVINA kde r = {r1, r2, r3}, s = {s1, s2, s3}, jestliže obsahuje orientované úsečky ta-kové, že .
Nechť je dán bod A = [a1, a2, a3] a dva ne-nulové vektory r = {r1, r2, r3}, s = {s1, s2, s3}. V prostoru existuje právě jedna rovina , která prochází bodem A a má směr vek-torů r a s (viz obr. 14) ROVINA






obr.14 ROVINA Rovnice se pak zapisují ve tvaru:
a nazývají se parametrické rovnice.
Příklad. Nechť jsou dány tři body :
ROVINA A = [1, 2, -3], B = [3, 4, 1], C =[2, -1, 1]. Napište parametrické rovnice roviny  procházející těmito body.
Řešení: Jako bod A = [a1, a2, a3] můžeme vzít bod A = [1, 2, -3] a jako směrové vek-tory r, s roviny  můžeme zvolit vektory indukované orientovanými úsečkami
a , tj. vektory r = [2, 2, 4], s = [1,-3, 4]. ROVINA Tyto vektory jsou kolineární. Parametrické rovnice roviny  jsou:
x = 1 + 2u + v
y = 2 + 2u – 3v
z = -3 + 4u + 4v
Tyto rovnice nejsou jedinými možnými pa-rametrickými rovnicemi roviny . Jako vý-chozí můžeme vzít bod C = [2, -1, 1] a jako ROVINA směrové vektory, tytéž vektory r, s nebo vektory indukované orientovanými úsečkami .
2.4 VEKTOROVÁ ROVNICE ROVINY URČENÁ SMĚROVÝMI VEKTORY.
Z odstavce 2.3 plyne, že rovnici roviny  lze psát v parametrickém tvaru:
x = a + u.r + v.s
ROVINA Odtud plyne, že vektor x – a je lineární kombinací vektorů r a s. Jsou tedy vekto-ry x – a , r, s komplanární. Pro smíšený součin platí :
[x r s] = 0.
Poslední rovnici nazýváme vektorovou rov-nicí roviny určené směrovými vektory r a s. Tu lze rozepsat ve složkách vektorů ROVINA p – a, r, s takto:
2.5 ROVNICE ROVINY URČENÉ TŘEMI BODY,
Předchozí rovnici s výhodou použijeme u ROVINA úlohy typu : „ Jsou dány tři body A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3], C = [c1, c2, c3] nele-žící na jedné přímce. Napsat rovnici roviny  procházející těmito třemi body.“ V tomto případě můžeme za r a s zvolit vektory
r = {b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3}
s = {c1 – a1, c2 – a2, c3 – a3}
Po dosazení za r a s dostáváme: ROVINA
Poslední determinant se v literatuře zapisuje pomocí determinantu čtvrtého řádu. Pak má tvar: ROVINA
Odečteme-li druhý řádek od ostatních řádků a provedeme rozvoj podle posledního sloup-ce dostaneme