Geometrie

determinant na předchozí ROVINA straně.
2.6 ÚSEKOVÁ ROVNICE ROVINY.
Jako příklad k minulému odstavci odvodíme rovnici roviny procházející body :
A = [p, 0, 0], B = [0, q, 0], C = [0, 0, r], kde p, q, r jsou libovolná nenulvá čísla. Říkáme jim úseky na souřadnicových osách. V bo-dech A, B, C protíná rovina  souřadnicové osy. Po dosazení dostáváme: ROVINA
Po rozvinutí determinantu podle prvního řádku máme: ROVINA


tj.


tedy ROVINA
Vydělením pravou stranou rovnice máme:
Poslední rovnici nazýváme úsekovou rovni-cí roviny. ROVNICE PŘÍMKY 2.7 PARAMETRICKÉ ROVNICE
PŘÍMKY.
O přímce v prostoru E3 řekneme, že má směr nenulového vektoru s = {s1, s2, s3},
jestliže obsahuje orientovanou úsečku
Takovou že  s.
Nechť jsou zadány body A a P se svými po- ROVNICE PŘÍMKY lohovými vektory a = {a1, a2, a3} a
p = {p1, p2, p3} , potom existuje právě jedno takové číslo t (parametr), že platí rovnice
p = a + s.t
Rovnici nazýváme parametrickou rovnicí přímky q.
Souřadnice bodu P je zvykem označovat ROVNICE PŘÍMKY x, y, z místo p1, p2, p3 a parametrickou rovnici přímky zapisujeme ve tvaru
x = a1 + s1.t
y = a2 + s2.t
z = a3 + s3.t
Vyloučíme-li parametr t , dostáváme kano-nické rovnice přímky q : ROVNICE PŘÍMKY
Vidíme, že prostřední rovnice je nadbyteč-ná. Kanonická rovnice se tak redukuje na dvě rovnice: ROVNICE PŘÍMKY které zkráceně zapisujeme:
2.8 OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY
Dvě různoběžné roviny  a  se protínají právě v jedné přímce. Přímka q leží v obou rovinách. Souřadnice každého jejího bodu ROVNICE PŘÍMKY musí proto vyhovovat rovnicím obou rovin a naopak, každý bod, jehož souřadnice vy-hovují rovnicím obou rovin leží na přímce q. Následující soustava dvou rovnic rovin
kde n = {n1, n2, n3}, r = {r1, r2, r3} jsou da- ROVNICE PŘÍMKY né nekolineární vektory je přímkou.
2.9 SVAZEK ROVIN
Nechť je dána v E3 přímka q. Množina všech rovin procházejících přímkou q se na-zývá svazkem rovin určených přímkou q.
Je zřejmé, že normálový vektor w = {w1, w2, w3} ke každé rovině svazku je kolmý na přímku q a tedy normálové vektory všech SVAZEK ROVIN rovin ze svazku jsou rovnoběžné s jednou rovinou (kolmou na přímku q). Zvolíme-li v této množině dva libovolné nekolineární vektory u, v, potom každý další vektor z té-to množiny je s nimi komplanární, tj. exis-tují čísla 1, 2 přičemž alespoň jedno z nich je různé od nuly, taková, že
w = 1u + 2v . SVAZEK ROVIN Nechť přímka q je dána obecnou rovnicí
Potom libovolná rovnice svazku je dána rovnicí :
SVAZEK ROVIN Příklad. Napište rovnici roviny  , která prochází bodem A = [4, 3, 2] a přímkou q danou obecnou rovnicí:
Ověříme si nejdříve, zda vektory {1, 2, 6}, {3, 1, 8} nejsou kolineární. (vekt. součin).
Dále ověříme, že bod A neleží na q. Je tomu SVAZEK ROVIN tak, neboť jeho souřadnice nevyhovují obě-ma rovnicím. Hledaná rovina patří do svaz-ku určeného přímkou q. Existují tedy reálná čísla 1, 2 taková, že rovnice roviny  je dána vztahem:
.
Aby bod A ležel v rovině  musí jeho souřadnice vyhovovat poslední rovnici, tj. SVAZEK ROVIN 151 + 132 = 0.
Čísly 1, 2 jsou například 1 = -13 a 2 = 15. Po dosazení a úpravách dostáváme rovnici hledané roviny  :
32x – 11y + 42z –179 = 0 .
2.10 POLOHA PŘÍMKY A ROVINY v E3.
Přímka q a rovina  v prostoru E3 mohou mít jednu z navzájem se vylučujících poloh: POLOHA PŘÍMKY A ROVINY V PROSTORU a) přímka q protíná rovinu  právě v jed-nom bodě,
b) přímka q leží v rovině  ,
c) přímka q nemá s rovinou  žádný spo-lečný bod (říkáme, že je rovnoběžná s ).
O tom, která eventualita nastává, rozhodne-me v případě, kdy rovina  je dána obecnou rovnicí a přímka q je dána také obecnou POLOHA PŘÍMKY A ROVINY V PROSTORU rovnicí anebo parametricky. V prvním případě máme systém tří rovnic
V němž první rovnice je obecnou rovnicí roviny  a další dvě rovnice tvoří tvoří POLOHA PŘÍMKY A ROVINY V PROSTORU obecnou rovnici přímky q. Zřejmě platí:
Jestliže soustava má právě jedno řešení (x*, y*, z*), potom přímka q protíná rovinu  právě v jednom bodu P = (x*, y*, z*). Má-li soustava více řešení, potom přímka q leží v rovině . Jestliže soustava nemá řešení, po-tom přímka q je rovnoběžná s rovinou .
Druhý případ je poněkud komplikovanější a POLOHA PŘÍMKY A ROVINY V PROSTORU nebudeme jej v rámci této přednášky řešit. Řešení lze najít např. na straně 117 a 118 skript doc. Ing. RNDr. Josefa Nedomy CSc. MATEMATIKA I, Část první, která jsem recenzoval.
2.11 POLOHA DVOU PŘÍMEK V E3.
Dvě přímky p, q v prostoru E3 mohou mít jednu ze tří navzájem se vylučujících poloh: POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU a) mohou být mimoběžné (nemají žádný společný bod),
b) mohou být různoběžné, tj. nají společný právě jeden bod (zvaný jejich průsečíkem),
c) mohou být totožné, tj. mají společné alespoň dva různé body.
Ukážeme si, jak zjistit polohu přímek p a q v případě, že jsou zadány parametrickými POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU rovnicemi:
Kdyby přímky p, q měly společný bod H = [h1, h2, h3], potom by musely existovat hodnoty parametrů tp, tq takové, že by plati-lo: POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU
Porovnáním levých a pravých stran vzhle-dem k h1, h2 a h3 příslušných tří dvojic rovnic dostaneme následující systém : POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU
Označíme-li pro jednoduchost tp = u a
tq= v , potom následující systém tří rovnic o dvou proměnných u a v POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU
by musel mít řešení pokud by se přímky protínaly v jednom bodě. Nemá-li systém řešení, jsou přímky mimoběžné, má-li více POLOHA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU řešení, jsou přímky totožné.
Příklad. Určete vzájemnou polohu přímek p, q zadaných parametrickými rovnicemi
Soustava má jediné řešení u = 2, v = 1, jde tedy o různoběžky. ÚHEL DVOU PŘÍMEK V E3 2.12 ÚHEL DVOU PŘÍMEK V PROSTO-RU E3.
Dvě různoběžné přímky p, q svírají dva úh-ly jejichž součet je  (viz obr.15). Aby nev-zniklo nedorozumění, úhlem  dvou přímek p, q nazýváme vždy ten úhel pro který platí 0    /2. Připomeňme, že platí ÚHEL DVOU PŘÍMEK V E3 Z toho však plyne
Jestliže přímky p, q mají směry vektorů s, r, potom platí | s . r | = | s |.| r |.cos .
Úhel ÚHEL DVOU PŘÍMEK V E3 Který svírají přímky p, q dané směrovými vektory s, r je určen vztahem
(*)
neboť
V prostoru mohou být přímky i mimoběžné,
Jejich úhel definujeme přímo vztahem (*). ÚHEL PŘÍMKY A ROVINY 2.13 ÚHEL PŘÍMKY A ROVINY.
Úhel přímky q a roviny  nazýváme úhel, který svírá přímka q se svým pravoúhlým průmětem q’ do roviny  (viz obr. 16). Víme, že 0, /2. Proto pro úhel , který svírá přímka q se směrem normály k rovině  platí  = /2 -  a tedy
cos  = sin 
Odtud dostáváme : ÚHEL DVOU PŘÍMEK V E3ÚHEL PŘÍMKY A ROVINY





Obr.15 Obr. 16 ÚHEL PŘÍMKY A ROVINY
Příklad. Přímky p, q jsou dány rovnicemi:
Nalezněte úhel, který svírají. (/4) ÚHEL DVOU ROVIN 2.14 ÚHEL DVOU ROVIN.
Úhlem dvou rovin  a  nazýváme úhel, který svírají normály obou rovin. Jsou-li m a n normálové směry rovin  a  , potom úhel , který svírají roviny  a  je dán : VZDÁLENOST BODU OD ROVINY 2.15 VZDÁLENOST BODU OD ROVINY.
Vzdáleností bodu Q = [q1, q2, q3] od roviny  rozumíme délku v úsečky , kde R je kolmý průmět bodu Q do roviny . (viz. obr. 17). Nechť rovina  prochází bodem A = [a1, a2, a3] a nechť s je vektor induko-vaný úsečkou . Z obrázku 17 je zřejmé, že , odtud máme VZDÁLENOST BODU OD ROVINY
,
kde q = (q1, q2, q3) a a = (a1, a2, a3) jsou polohové vektory bodů Q a A.
Je-li  dána obecnou rovnicí : VZDÁLENOST BODU OD ROVINY a bod Q = [q1, q2, q3] . Potom vzdálenost bodu Q od roviny  je dána vztahem:
Příklad. Je dána rovina  obecnou rovnicí:
VZDÁLENOST BODU OD ROVINY na ose Ox nalezněte bod H jehož vzdále-nost od od roviny  je rovna vzdálenosti od bodu B = [4, 2, ].
Bod H má druhou a třetí souřadnici nulo-vou, tedy H = [h1, 0, 0]. Jeho vzdálenost od bodu B je dána vztahem: VZDÁLENOST BODU OD ROVINY a jeho vzdálenost od roviny  vztahem:
Obě vzdálenosti se musí rovnat, z této pod-mínky dostáváme kvadratickou rovnici: VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY Dostáváme dvě řešení, hledané body jsou dva [133/13, 0, 0] a [7, 0, 0].
2.16 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY.
Vzdálenost v bodu Q = [q1, q2, q3] od přímky p v prostoru E3 rozumíme délku úsečky , kde P je kolmý průmět bodu Q na přímku p.
Nechť přímka p prochází bodem A a má směro-vý vektor s. Nechť m = {q1 - a1, q2 - a2, q3 - a3} je
vektor indukovaný orientovanou úsečkou VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY



Obr.18 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY Z obrázku 18 je zřejmé, že
| m  s | = | s |.| m |.sin = | s |.v .
Odtud dostáváme pro vzdálenost bodu Q od přímky p vztah: 3.NĚKTERÉ KVADRIKY 3.1 OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY.
Většina ploch nejčastěji uvažovaných v technické praxi má rovnici tvaru
kde A, B, C, D, E, G, a, b, c, d jsou zadaná reálná čísla. Je-li alespoň jedno z čísel A, B, C, D, E, G různé od nuly, potom plocha za-daná uvedenou rovnicí se nazývá kvadratic- NĚKTERÉ KVADRIKY kou plochou nebo krátce kvadrikou.
3.2 ELIPSOIDY A KULOVÁ PLOCHA.
Kvadrika o rovnici
se nazývá:
a) trojosý elipsoid, je-li a  b  c  a; NĚKTERÉ KVADRIKY b) rotační elipsoid, jestliže z veličin a, b, c jsou právě dvě sobě rovny;
c) kulová plocha, jeli a = b = c.
Přitom se veličiny a > 0, b >0, c >0 nazýva-jí délky poloos příslušného elipsoidu, Je-li a = b = c hovoříme o poloměru a značíme r.
Elipsoid zadaný předchozí rovnicí má střed v počátku a jeho osy jsou rovnoběžné s osa- NĚKTERÉ KVADRIKY mi souřadnic. (Viz obr. 18).
Rovnice elipsoidu se středem S = [m, n, p] a s osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami má rovnici: NĚKTERÉ KVADRIKY 3.3 HYPERBOLOIDY
K plochám druhého stupně patří dva druhy hyperboloidů:
a) Jednodílný hyperboloid (Obr. 19) o rovnici: NĚKTERÉ KVADRIKY b) dvoudílný hyperboloid (Obr. 20) o rovni-ci
Vlastnosti hyperboloidů.
1. Souřadnicové roviny jsou jejich rovinami souměrnosti. Souřadnicové osy x, y, z jsou NĚKTERÉ KVADRIKY Jejich osami (souměrnosti) a počátek je středem (souměrnosti).
2. U jednodílného hyperboloidu s danou rovnicí, neprotíná osa z nikde jeho plochu, kdežto u dvojdílného hyperboloidu o dané rovnici neprotínají jeho plochu osy x a y.
3. Roviny jdoucí osou z protínají plochy hyperboloidů v hyperbolách, kdežto roviny NĚKTERÉ KVADRIKY Rovnoběžné s rovinou xOy je protínají v elipsách. U dvojdílného hyperboloidu jsou tyto elipsy reálné, pokud sečné roviny mají rovnici z = h, kde | h | > c.
4. Hyperboloidy jsou neohraničené plochy.
5. Roviny y = b (kde  = 1) protínají jed-notlivé hyperboloidy v přímkách s paramet-rickými rovnicemi x = at, y = b, z = ct pro t  R. – Podobně roviny x = a proti- NĚKTERÉ KVADRIKY nají jednodílný hyperboloid v přímkách o rovnicích x = a, y = bt, z = ct pro t  R.
6. Pro a = b jsou rovnice v 3.3 rovnicemi rotačních hyperboloidů s osou rotace z.
3.4 PARABOLOIDY
K plochám druhého stupně (tj. kvadrikám) patří tyto dva paraboloidy: NĚKTERÉ KVADRIKY a) eliptický paraboloid s rovnicí


b) hyperbolický paraboloid NĚKTERÉ KVADRIKY Význačné rovinné průseky eliptického para-boloidu jsou:
1) rovinou z = k2 v elipse b2x2 + a2y2 = 2k2
kde k  0;
2) rovinou x = h
v parabole y2 = b2(2z – h2/a2); NĚKTERÉ KVADRIKY 3. Rovinou y = h
v parabole x2 = a2(2z – h2/b2) .
Význačné rovinné průseky hyperbolického paraboloidu jsou:
1. Rovinou x = h
v parabole y2 = b2(h2/a2-2z) ;
2. Rovinou y = h NĚKTERÉ KVADRIKY v parabole x2 = a2(2z + h2/b2) ;
3. Rovinou z = h
v hyperbole b2x2 – a2y2 = 2a2b2h pro
h  0;
4. Rovinou z = 0 ve dvou přímkách o parametrických rovnicích
x = at, y = bt, z = 0 . NĚKTERÉ KVADRIKY 3.5 VÁLCOVÉ A KUŽELOVÉ PLOCHY