CZA_3_tutorial

Číslicové zpracování a analýza
signálů
(KCZA)
3. část
Řešení příkladů
Příklad 1: Návrh jednoduché dolní propusti metodou vzorkování frekvenční
charakteristiky. (2 body)
Předpokládejte navzorkovanou periodu frekvenční charakteristiku vzorky H(k),
k=0,1,2,3,4 podle obrázku.
A. Uveďte, na jakých kmitočtech leží (červené) vzorky frekvenční charakteristiky,
jestliže je vzorkovací kmitočet f
vz
=100 Hz.
B. Odvoďte impulsní charakteristiku výsledného kauzálního filtru.
C. Uveďte postup výpočtu interpolované frekvenční charakteristiky s využitím DFT,
abyste dosáhli kmitočtový krok 0,1 Hz. Načrtněte přibližný tvar výsledné
amplitudové charakteristiky.
D. Uveďte jaké zpoždění výstupního signálu oproti vstupnímu signálu (kauzální) filtr
zavádí.
0 1234 k
1
H(k)
Řešení příkladu 1
A. Kmitočtový krok (vzdálenost sousedních vzorků f.ch.)
je ∆f=f
vz
/N=100/5=20 Hz
(viz obrázek, kde je vyznačena kmitočtová osa,
vzorky jsou na kmitočtech 0, 20, 40, 60, 80 Hz)
0 1234 k
1
H(k)
f
f
vz
0 ∆f
f
vz
-∆f
() (){} ()
(){ } ()()()()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
−===
∑
−
=
−
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
43210
110
1
2
1
0
1
,,,,h,h,h,h,hnh
N,...,,n,ekH
N
kHDFTnh
N
jkn
N
k
π
B. Impulsní charakteristika výsledného
kauzálního filtru je
Pozn.: formálně je nutné vzorky h(3) a h(4) předsunout před h(0) a celou i.ch.
posunout o τ=2 doprava, protože reálná f.ch. odpovídá nekauzálnímu filtru
s i.ch. symetrickou kolem 0. Vzhledem ke shodným hodnotám vzorků i.ch.
se tato úprava nijak neprojeví...
C. Postup výpočtu interpolované frekvenční charakteristiky s využitím DFT:
abychom dosáhli kmitočtový krok 0,1 Hz, musíme doplnit i.ch. nulami na délku
1000
10
100
==
∆
=
,f
f
N
vz
Pak spočítáme její DFT.
Přibližný tvar periody výsledné amplitudové charakteristiky je na obrázku
0 1234 k
1
H(k)
f
f
vz
0 ∆f
f
vz
-∆f
D. Výsledný kauzální filtr zavádí zpoždění
2
2
15
2
1
=
−
=
−
=
N
τ
Díky symetrii i.ch. není zpoždění
závislé na kmitočtu
Příklad 2: Výpočet odezvy filtru FIR ve frekvenční oblasti (2 body)
Předpokládejte impulsní charakteristiku filtru {h(n)| n=0,1,...,10} a vstupní signál
konečné délky {x(n)| n=0,1,...,100}. Uveďte postup výpočtu odezvy filtru s
použitím DFT
N
. Zajistěte přitom, aby se výsledná odezva shodovala s
odezvou spočítanou konvolucí v časové oblasti, tj. aby výsledná odezva
obsahovala přechodný děj, ustálenou část i doznění.
Řešení příkladu 2
h(n) a x(n) doplnit nulami na K=M+N-1 vzorků
N=10
()nh
()nx
()ny
přechodný děj ustálená část odezvy
(zajímavý úsek)
M=100
(N-1 vzorků)
doznění odezvy
(N-1 vzorků)
DFT
K
{h(n)}
DFT
K
{x(n)}
Π
IDFT
K
Příklad 3: Jednoduchá transformace frekvenční charakteristiky (prémie 2 body)
Jaký filtr vznikne substitucí z→ z
-1
, tj. nahradíme-li v přenosové funkci
komplexní proměnnou z výrazem z
-1
?
A. Jak se změní impulsní charakteristika?
B. Jak se změní amplitudová a fázová frekvenční charakteristika?
Pomůcka: Vyjděte z filtru typu FIR
Řešení příkladu 3
A. Přenosové funkce a impulsní charakteristiky - pro filtr typu FIR
() () () () ( )
()
()
∑
−
=
−−−−−
=−++++=
1
0
121
1210
N
n
nN
znhzNh...zhzhhzH
() ( ) () () () ( )
()
()
∑
−
=
−−
=−++++==
1
0
1211
1210
N
n
nN
znhzNh...zhzhhzHzG
(){}
... kauzální
... nekauzální
( )() ( ){ }110 −= Nh,...,h,hnh
(){} ( )()( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )nhng,h,h,...,Nhg,g,...,Ngng =−−=−−−= 011011
() ()
∑
−−=
−
=
0
1Nn
n
zngzG
Obdržíme systém s reverzní impulsní charakteristikou
B. Frekvenční charakteristiky
( ) () ( )
()
Tj
eHargjTj
N
n
nTjTj
eeHenheH
ω
ωωω
==
∑
−
=
−
1
0
( )( ) () ( ) ( )
()
Tj
eHargjTjTj*
N
n
nTjTjTj
eeHeHenheHeG
ω
ωωωωω −
−
=
−
====
∑
1
0
( ) ( )
TjTj
eHeG
ωω ∗
= Výsledná frekvenční charakteristika
bude komplexně sdružená
( ) ( )
TjTj
eGeH
ωω
=
... amplitudová charakteristika se nezmění
( ) ( )
TjTj
eHargeGarg
ωω
−=
... fázová charakteristika změní znaménko
Korelační analýza signálů
Spektrální analýza signálů
Jiří Kozumplík
Osnova, literatura
4. Korelační analýza signálů
¾ Autokorelace a autokovariance [Jan, kap. 8.1 a 8.2]
¾ Metody odhadu korelačních funkcí [Jan, kap. 8.3], [Kozumplík, kap. 4]
5. Spektrální analýza signálů
¾ Spektrální analýza deterministických signálů [Jan, kap. 9.1 a 9.2]
[Kozumplík, kap. 5.1]
¾ Spektrální analýza stochastických signálů [Jan, kap. 9.3.2.1]
[Kozumplík, kap. 5.2]
Poznámka k náhodným procesům
¾ rodina (spojitých či diskrétních
funkcí jako zdroj náhodného
procesu (w)
¾ zvolíme časový okamžik t
m
¾ funkční hodnota f
w
(t
m
)
je náhodnou proměnnou
¾ lokální střední hodnota
f
w1
(t
0
)
t
0
f
w2
(t
0
)
f
wn
(t
0
)f
wn
(t
1
)
t
1
() {} ()
∑
=
≈=
M
i
wmwf
mf
M
fEm
i
1
1
µ
() ()
¾ lokální rozptyl
{ } () ()
∑
=
−≈−=
M
i
fwfmwf
mmf
M
mfEm
i
1
22
2
1
µµσ
Poznámka k náhodným procesům
¾ korelace dvojice náhodných proměnných f
m
, f
n
() ()(){} () ()
∑
=
≈=
M
i
wwwwff
nfmf
M
nfmfEn,mr
ii
1
1
¾ kovariance dvojice náhodných proměnných f
m
, f
n
() ( ) ( )( ) () ( )( ){ }
() () () ()
∑
=
−−≈
≈−−=
M
i
fwfw
fwfwff
nnfmmf
M
nnfmmfEn,mc
ii
1
1
µµ
µµ
( ) ( )
fff
dmm µµµ =+=
¾ stacionární náhodný proces
( ) ( ) ( ) ( )τ
ffffffff
rnmrdn,dmrn,mr =−=++=
stále se jedná o výpočty souborových průměrů (přes všechny realizace)
Poznámka k náhodným procesům
¾ ergodický náhodný proces
výpočty střední hodnoty (popř. autokorelace) lze realizovat
časovým