CZA_3_tutorial

i průměry (z jediné realizace)
... shodují-li se výsledky se souborovými průměry stacionárního náh. procesu
() ()
∑∑
==
∞→
≈=
N
n
w
N
n
w
N
f
nf
N
nf
N
lim
ii
11
11
µ
... stejné pro všechny w
i
() () ( ) () ( )
∑∑
==
∞→
+≈+=
N
n
ww
N
n
ww
N
w
nfnf
N
nfnf
N
limr
iiiii
11
11
τττ
( )()( )τττ
ffww
rrr
ji
==
... stejné pro všechny w
i
Ergodické náhodné procesy jsou podmnožinou stacionárních náhodných procesů
4. Korelační analýza signálů
... jak pochopit postup výpočtuVzájemná korelace konečných posloupností
x(n) a y(n), n=0,1,...,M-1
3
5
8
3
5
8
3
5
8
120
120
1203
x(i)
y(i)
y(i-1)
r
xy
(0)=5.5+8.8+3.3
r
xy
(1)=8.5+3.8
...........
i
i
n
() ()( ) ()()
∑∑
==
+=−=
M
i
M
i
xy
iyix
M
iyix
M
r
00
11
τττ
() ()( ) ()()
∑∑
==
+=−=
M
i
M
i
yx
ixiy
M
ixiy
M
r
00
11
τττ
() ( )ττ −=
yxxy
rr
Autokorelace konečné posloupnosti
x(n), n=0,1,...,M-1
() ()( ) ()()
∑∑
==
+=−=
M
i
M
i
xx
ixix
M
ixix
M
r
00
11
τττ
( )()ττ −=
xxxx
rr
konvoluce konečných posloupností
x(n) a y(n), n=0,1,...,M-1
() () () ()( )
∑
=
−=∗=
M
i
inyixnynxnv
0
3
5
8
3
5
8
120
120
x(i)
y(i)
v(0)=5.5
...........
i
i
y(-i)
3
5
8
-1 0-2
i
y(1-i)
3
5
8
01-1
i
v(1)=8.5+5.8
... jak pochopit postup výpočtu
()
Konvoluční teorém
( ) ( ) ( )ωω YXnynx
DTFT
⎯⎯→←∗
Korelační teorém
a souvislost korelace s konvolucí
( )()ωXnx
DTFT
⎯⎯→←
( )()( )ωω
*DTFT
XXnx =−⎯⎯→←−
pro reálnou posl.
() ( )() ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωτ
*
YXYXnynxr
DTFT
xy
=−⎯⎯→←−∗=
souvislost korelace s konvolucí
Detekce přítomnosti periodického signálu ve směsi se šumem
( ) ( ) ( )nwnxny +=
předpokládejme signál
bílý šum
periodický signál, perioda N
předpokládejme M>>N
() ()( ) () ()[]()()[]
()( ) () ( ) () ( ) ()( )
() () () ()ττττ
ττττ
ττττ
ττττ
ττ
wxxwwwxx
M
i
M
i
M
i
M
i
M
i
M
i
yy
rrrr
ixiw
M
iwix
M
iwiw
M
ixix
M
iwixiwix
M
iyiy
M
r
+++=
=−+−+−+−=
=−+−+=−=
∑∑∑∑
∑∑
−−
=
−−
=
−−
=
−−
=
−−
=
−−
=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1111
11
periodický signál není korelovaný se šumem
0
0
()
00
0
2
≠
=
=
τ
τσ
τ
pro
pro
r
ww
… ideálně
( )nx
() ( )()nwnxny +=
( )τ
yy
r
( )τ
xy
r
Detekce přítomnosti nepravidelných impulsů ve směsi se šumem
( ) ( ) ( )nwnxny +=
předpokládejme signál
bílý šum
(krátký) impuls známého tvaru
() ( )()( )[]( )
() ( ) () ( )
() ()nrnr
nxnwnxnx
nxnwnxnxny
wxxx
+=
=−∗+−∗=
=−∗+=−∗
… postup pro detekci
nepravidelných impulsů známého tvaru
( )()nxnh −=
0
signál není korelovaný se šumem
Impulsní charakteristika
přizpůsobeného filtru
5. Spektrální analýza signálů
5.1 Spektrální analýza deterministických signálů
5.1.1 Diskrétní spektrální analýza periodických signálů
5.1.2 Diskrétní spektrální analýza obecných signálů
1.2.1 Vlastnosti analýzy pomocí DFT ve srovnání s integrální FT spojitých signálů
1.2.2 Časově - frekvenční analýza, spektrogram
5.2. Spektrální analýza stochastických signálů
5.2.1 Podstata odhadu spekter stochastických procesů
5.2.2 Neparametrický odhad výkonových spekter
5.2.2.1 Metoda periodogramu
5.2.2.2 Metoda korelogramu
5.2.3 Odhad výkonového spektra bankou filtrů
Úvodní poznámky
¾ Spektrum chápeme ve smyslu (integrální) Fourierovy transformace -
signál je chápán jako aditivní směs (obecně nekonečného počtu)
harmonických složek
¾ Oboustranné spektrum vychází z vyjádření harmonického signálu
()
ϕωϕω
ϕω
jtjjtj
ee
A
ee
A
tA
−−
+=+
00
22
cos
0
¾ Spektra diskrétních signálů jsou periodická – perioda je ω
vz
pro jednu harmonickou složku můžeme psát
() ,2cos2cos)cos(
0
0
0
0
000
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+= ϕπϕπϕω n
f
kff
n
f
f
nTns
vz
vz
vz
Úvodní poznámky
Vlastnosti spekter deterministických
signálů
Časová
oblast
Spojité signály Diskrétní signály
periodické neperio-
dické
periodické neperio-
dické
Spektrum
diskrétní
neperio-
dické
spojité
neperio-
dické
diskrétní
periodické
spojité
periodické
Výpočet
spektra
Fourierova
řada
integrální
FT
DFT DTFT
Poznámka
spektrem
jsou
koeficienty
FŘ
používá se
pojmu
spektrální
hustota
spektrum -
koef. DFŘ
shodné
sDFT
praxe -
počítáme
vzorky
spektra
(DFT)
5.1. Spektrální analýza deterministických signálů
5.1.1 Analýza periodických signálů
Spojité periodické signály
analýza pomocí Fourierových řad (FŘ)
signál
Diskrétní periodické signály
analýza pomocí diskrétní FŘ
perioda signálu
()
NT
,ecnTs
N
k
nTjk
k
π2
1
0
=Ω=
∑
−
=
Ω
základní
kmitočet s(nT)
()
s
k
tjk
k
T
,ects
π2
=Ω=
∑
∞
−∞→
Ω
perioda
signálu s(t)
komplexní koeficienty FŘ
(tj. komplexní spektrální čáry)
()
∫
Ω−
=
s
T
tjk
s
k
dtets
T
c
0
1
základní
kmitočet s(t)
perioda
signálu s(nT)
T=1/f
vz
koeficienty DFŘ
(vzorkovaná
perioda spektra)
()
∑
−
=
Ω−
=
1
0
1
N
n
nTjk
k
enTs
N
c
Shodné výsledky: 1. s(t) je korektně vzorkován (f
vz
>2f
max
),
2. do DFT vstupuje celočíselný počet period s(nT)
Analýza periodických signálů
Příklad
Diskrétní harmonický signál, perioda T
s
=1/5 s (f
s
=5 Hz), f
vz
=32 Hz.
¾ Transformovat musíme násobek 32 vzorků (5 period původního spojitého signálu),
jinak nezískáme spektrální čáry na 5 (resp. 27) Hz ... protože 32/5 není celé číslo
¾ Perioda diskrétního signálu obsahuje N=32 vzorků.
N=32
Příklad spektrální analýzy
periodického signálu pomocí DFT
N
Harmonický signál o kmitočtu 5 Hz, f
vz
= 500 Hz