CZA_3_tutorial

transformace necelého počtu period signálu → perioda signálu ≠ NT
vypočtené
DFT spektrum:
obdélníkové okno
trojúhelníkové okno
Hammingovo okno
Analýza periodických signálů
5.1.2 Analýza obecných signálů
(neperiodických)
Ω= kω
Spojité signály
analýza pomocí Fourierovy transformace (FT)
Spektrum
Diskrétní signály
analýza pomocí DTFT (Discrete-Time FT)
() (){} dte)t(stsFTS
tj
∫
∞
∞−
−
==
ω
ω
vzorkovaný signál
()
∑
−
=
−=
1
0
N
n
nv
nTts)t(s δ
( ){ }
()
nTjtj
edtenTt
nTtFT
ωω
δ
δ
−
∞
∞−
−
∫
=−=
=−
spektrum Dirac. impulsu posunutého o nT
{} DTFTes)t(sFT
N
n
nTj
nv
⇒=
∑
−
=
−
1
0
ω
v praxi pomocí DFT
( ) ( ){ }
()
∑
−
=
−
=
==
1
0
N
n
nTj
enTs
nTsDTFTS
ω
ω
( ) ( ){ }
()
110
1
0
−=
=
==Ω
∑
−
=
Ω−
N...,,,k
enTs
nTsDFTkS
N
n
nTjk
spektrum vzorkovaného signálu pak je
5.1.2.1 Změny spektra při diskretizaci signálu (pro jednu harmonickou složku)
při ω
0
= kΩ při ω
0
≠ kΩ
signálová oblast spektrální oblast signálová oblast spektrální oblast
Analýza obecných signálů
spektrum obdélníkového okna má velké boční laloky
Analýza obecných signálů
Důsledky diskretizace signálu
¾ snížení rozlišovací schopnosti
náprava: delší okno, jiné okno (s lepšími spektrálními vlastnostmi)
¾ periodizace spektra, zkreslení aliasingem
náprava: zvýšit f
vz
, použít antialiasingový filtr
Důsledky diskretizace spektra (při použití DFT)
¾ nemusí být jasný rozdíl mezi spektrem původněčarovým a spektrem s
původně spojitou hustotou
náprava: šířka okna celistvým násobkem periody signálu
¾ výskyt a poloha extrémů nemusí být vizuálně dost zřetelné
náprava: m-krát hustší vzorkování - doplněním (m-1)N nulami
5.1.2.2 Časově-frekvenční analýza, spektrogramy
¾ rozdělení signálu na segmenty o délce N
↑ N →↓časové rozlišení, ↑ frekvenční rozlišení ( ∆Ω = 2π/NT )
¾ segmenty se mohou překrývat
¾ stanovení spektra z každého segmentu (STFT – Short Time FT)
analyzovaný signál
spektrogram
N=50 vzorků
překrytí 45 vzorků
spektrogram
N=100 vzorků
překrytí 90 vzorků
Ukázka spektrogramu zobrazeného v 3D prostoru
čas
kmitočet
5.2. Spektrální analýza stochastických signálů
Výkonová spektra náhodných procesů
Je-li náhodný proces stacionární (resp. ergodický) z hlediska autokorelace,
pak je svou autokorelační funkcí plně reprezentován
Autokorelační funkce stacionárního (ergodického) náhodného procesu
je deterministická
náhodný signál
f(n)
deterministická autokorelace
r
ss
(τ)=f(n)∗f(-n)
DTFT
náhodné spektrum
F(ω)
DTFT
deterministické spektrum
R
ss
(ω)= F(ω)F
*
(ω)=|F(ω)|
2
?
F(ω)=|F(ω)|e
jargF(ω)
... náhodné je fázové spektrum argF(ω).
výkonové spektrum
Vysvětlující poznámky:
¾ spektrum reálné reverzní posloupnosti
( ) ( )ω
∗
⎯⎯→←− Fnf
DTFT
D.:
(){} () () ( ) ()ωω
ωω ∗
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∑∑
=−==−==−=− FFemfnmenfnfDTFT
m
mTj
n
nTj
( ) ( ) ( ) ( )ωωω
∗
=⎯⎯→← FFRnr
ff
DTFT
ff
¾ autokorelační teorém
Wienerova – Chinčinova věta
D.:
() () ()( )
() ( ) () ()
()
() () () () ()
2
ωωω
ω
ωω
ωω
ωω
FFFemfekf
emfkf
mkn
mnk
enkfkf
enkfkfenrR
m
mTj
k
kTj
m
Tmkj
kn
nTj
k
n
nTj
kn
nTj
ffff
===
==
−=
=−
=−=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−==
∗
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
Výkonové spektrum náhodného procesu
() () () () ()
∑
=
∗
≈
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
M
i
i
wwwff
F
NM
F
N
EFF
N
ER
w
1
2
2 1111
ωωωωω
jedná se o souborový průměr jednotlivých výkonových spekter
z M realizací o délce N vzorků
Periodogram
Princip výpočtu periodogramu z úseku signálu
f(n) ... signál (N vzorků)
váhování oknem w(n)
DFT
N
umocnění složek spektra, násobení 1/N
F(k) ... spektrum (N vzorků)
f(n)w(n)
|F(k)|
2
/ N ... výkonové spektrum (N vzorků)
konvoluce s oknem W‘(k)
vyhlazené výkonové spektrum
odhad individuálního
výkonového spektra
periodogramem
3 až 15 vzorků
Princip výpočtu periodogramu ze segmentovaného signálu
ƒ signál (N vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů
ƒ segmenty o délkách N
m
, když N
1
= N
2
=...= N
M
odhad individuálního
výkonového spektra
periodogramem
vstup po segmentech o délkách N
m
1/M
kumulace
konvoluce s oknem W’(k)
vyhlazené výkonové spektrum
3 až 15 vzorků
Alternativou k periodogramu je korelogram
Korelogram vychází z Wienerova-Chinčinova vztahu
() () (){}() () ()
N
N
w,erwrwDTFTR
N
N
Tj
ffff
ff
τ
τττττω
τ
ωτ
−
===
∑
−
+−=
−
1
1
() () ( )
∑
−−
=
+≈
τ
ττ
1
0
1
N
n
www
nfnf
N
'r
iii
vychýlený odhad
() ()τ
τ
τ
ii
ww
r
N
N
'r
−
=
() () ( )
∑
−−
=
+
−
≈
τ
τ
τ
τ
1
0
1
N
n
www
nfnf
N
r
iii
nestranný odhad
Princip výpočtu korelogramu
(B – s možností vyhlazení spektra konvolucí)
korelátor
vstup (N vzorků)
váhování (N-τ)/N
konvoluce s oknem W’(k)
vyhlazené výkonové spektrum
3 až 15 vzorků
DFT
N
vychýlený odhad
Výpočet korelogramu ze segmentovaných dat
signál (N vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů
segmenty o délkách N
m
, když N
1
= N
2
=...= N
M
konvoluce s oknem W’(k)
vyhlazené výkonové spektrum
kumulace
korelátor
vstup po segmentech o délkách N
m
váhování (N
m
-τ)/N
m
vychýlený odhad
DFT
Nm
3 až 15 vzorků
Princip odhadu výkonového spektra pomocí banky filtrů
PP
1
PP2 PP
M
vstupní signál
pásmové
propusti se
stř. kmit. ω
m
.........
( )
2
( )
2
( )
2
krátkodobý
integrátor
krátkodobý
integrátor
krátkodobý
integrátor
S(ω
1
) S(ω
2
)
S(ω
M
)