CZA_2_tutorial

Číslicové zpracování a analýza
signálů
(KCZA)
2. část
Řešení příkladů
Příklad 1:
Navrhněte úzkopásmovou kmitočtovou zádrž 2. řádu se středním kmitočtem
potlačovaného pásma f
s
=50 Hz. Předpokládejte vzorkovací kmitočet f
vz
=500 Hz.
A. Zvolte vhodné rozložení nulových bodů a pólů přenosové funkce, ze kterého
budete vycházet.
B. Z rozložení nulových bodů a pólů odvoďte přenosovou funkci H(z), ve které
zajistěte, aby H(e
j0
)=1.
C. Odvoďte diferenční rovnici filtru. (Reálné konstanty filtru nevyčíslujte, ale vyjádřete
je výrazy s dosazenými hodnotami potřebnými k jejich vyčíslení.)
Řešení příkladu 1:
A. Rozložení nulových bodů a pólů
π
π
20
500
50
2
21
,j
j
,
een
±
±
==
Re(z)
„z”
1
Im(z)
-1
-j
j
nulové body:
π
π
20
500
50
2
21
9090
,j
j
,
e,e,p
±
±
==
póly:
B. Přenosová funkce
()
( )( )
()()
( )
()
( )
()
21
21
2
2
21
21
81020811
2021
8102081
1202
−−
−−
+−
+−
=
+−
+−
=
−−
−−
=
z,,cosz,
z,cosz
,,cosz,z
,coszz
K
pzpz
nznz
KzH
π
π
π
π
()
()
()12021
81020811
1
0
+−
+−
=⇒=
π
π
,cos
,,cos,
KeH
j
Chceme-li
C. Diferenční rovnice
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )28101208121202 −−−+−+−−= ny,ny,cos,nKxnx,cosKnKxny ππ
Konec příkladu 1
Příklad 2:
Je dána přenosová funkce filtru FIR ve tvaru
()
2
8
1
1
−
−
+
−
=
z
z
zH
A. Odvoďte diferenční rovnici pro výpočet odezvy daného rekursivního filtru.
B. Odvoďte impulsní charakteristiku filtru.
C. Načtněte přibližný tvar kmitočtové charakteristiky daného filtru s vyznačením
důležitých bodů na obou osách.
Pomůcka:
Daná přenosová funkce může být upravena do podoby
()
( )( )( )( )
2
1124
1
1111
−
−−−−
+
−+++
=
z
zzzz
zH
ze které lze odvodit nerekursivní realizace filtru shodných vlastností, případně
realizace obsahující 3 jednoduché nerekursivní filtry v sérii.
Řešení příkladu 2:
()
( )
()
() () ( ) ( )28
1
1
2
8
−−−−=⇒=
+
−
=
−
−
nynxnxny
zX
zY
z
z
zHA. Diferenční rovnice
()
( )( )( )( )
()()()
()() (){} ()
(){}() (){}{ }101010160
111
111
1
1111
6
0
64224
114
2
1124
−−==⇒
⇒==−+−=−+=
=−++=
+
−+++
=
∑
=
−−−−−−
−−−
−
−−−−
,,,,,,h,...,hnh
znhnhZzzzzz
zzz
z
zzzz
zH
n
n
B. Impulsní charakteristika
C. Přibližný tvar kmitočtové charakteristiky daného filtru
Konec příkladu 2
f/f
vz
1/21/41/8 3/8
|H(f/fvz)|
0
4
Re(z)
„z”
1
Im(z)
-1
-j
j
6
()
()1
1
27
8
+
−
=
zz
z
zH
( )
jez
/j
zH
==
2π
výpočet |H(e
jωT
)|
max
pro
1
8
−z 1
4
+zaPoznámka k nalezení kořenů polynomů, např.
8
2
8 2
28
8
1
01
k
j
kj
k
kj
eez
ez
z
π
π
π
==
==
=−
... pro k=0,1,...,7 nalezneme 8 různých kořenů
()
()
4
2
4 2
24
4
1
01
k
j
kj
k
kj
eez
ez
z
ππ
ππ
ππ
+
+
+
==
=−=
=+
... pro k=0,1,...,3 nalezneme 4 různé kořeny
Lineární filtrace signálů
(dokončení)
Komplexní signály a modulace SSB
Jiří Kozumplík
Osnova, literatura
2. Lineární filtrace signálů a návrhy filtrů (dokončení)
¾ Filtry FIR a jejich vlastnosti [Jan, kap. 5.2.1]
¾ Metody návrhu filtrů FIR [Jan, kap. 5.2.2], [Kozumplík, kap. 1.4 a 1.5]
¾ Způsoby realizace filtrů FIR [Jan, kap. 5.2.3]
¾ Filtry IIR a jejich vlastnosti, metody jejich návrhu [Jan, kap. 5.3.1 a 5.3.2]
[Kozumplík, kap. 1.6]
¾ Způsoby realizace filtrů IIR [Jan, kap. 5.3.3.1 a 5.3.3.2]
¾ Jednoduché transformace frekvenčních charakteristik [Kozumplík, kap. 1.7]
¾ Změny vzorkovacího kmitočtu signálu [Kozumplík, kap. 1.7]
3. Komplexní signály a jejich využití
¾ Komplexní signály, Hilbertova transformace, analytický signál, modulace SSB
[Jan, kap. 7] [Kozumplík, kap. 3]
Základní vlastnosti filtrů FIR
Pozn.:
Filtry FIR nemají spojité protějšky, jsou realizovatelné pouze jako diskrétní
( ){ }10 −∈= N,nnhh
¾ Filtry FIR jsou vždy stabilní
nerekursivní ... mají všechny póly přenosové funkce v počátku,
rekursivní ... póly nacházející se mimo počátek jsou eliminovány nulovými body
¾ Filtry FIR lze navrhnout s přesně lineární fázovou frekvenční charakteristikou
Podmínky lineární fázové charakteristiky:
- symetrie impulsní charakteristiky
- antisymetrie impulsní charakteristiky
( )( ) 101 −∈−−= N,n,nNhnh
( ) ( ) 101 −∈−−−= N,n,nNhnh
pro sudé N
symetrická i.ch.
() ()
()
()()
∑∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±=±=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
−
−
−−−−
n
N
n
N
n
/N
n
N
nNn
zznhzzznhzH
2
1
2
1
12
0
2
1
1
antisymetrická i.ch.
() () ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−==
∑
−
=
−
−
2
1
2
1
2
0
2
1
N
nTcosnheeHG
N
n
T
N
j
Tj
ωω
ω
ω
2
αα
α
jj
ee
cos
−
+
=
j
ee
sin
jj
2
αα
α
−
−
=
poznámka:
frekvenční charakteristika pro sudé N a symetrickou i.ch.
frekvenční charakteristika pro sudé N a antisymetrickou i.ch.
() () ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−==
∑
−
=
−
−
2
1
2
1
2
0
2
1
2
N
nTsinnheeeHG
N
n
T
N
jj
Tj
ωω
ω
π
ω
j
Obdobně pro liché N ...
Obecný tvar kmitočtové charakteristiky
( ) ( )
( )ω
ωω
Gargj
eGG =
Fázové zpoždění filtru je při symetrické impulsní charakteristikce konstantní
(nezávislé na kmitočtu ω)
()
()
[]sT
N
T
N
Garg
2
1
2
1
−
−=
−
−=−=
ω
ω
ω
ω
ωτ
při antisymetrické impulsní charakteristice je na kmitočtu závislé
() []sT
N
T
N
ω
π
ω
π
ω
ωτ
22
1
22
1
+
−
−=
−
−
−=
Interpretace τ(ω
i
):
časové zpoždění harmonické složky o kmitočtu ω
i
po průchodu filtrem
Důsledek konstantního τ(ω) = τ :
nedochází k fázovému zkreslení signálu,
tj. všechny harmonické složky se po průchodu filtrem zpozdí o stejný časový interval
Metody návrhu filtrů FIR
Metoda vzorkování frekvenční charakteristiky
Spojitá frekvenční charakteristika diskrétního systému je G(ω) = DTFT{h(n)}.