CZA_2_tutorial

oba filtry shodný přenos
() ( )
Tj
DA
eHjH
Ω
=ω
2
1
1
1
1 T
tg
e
e
j
z
z
p
Tj
Tj
Ω
=⇒
+
−
=⇒
+
−
=
Ω
Ω
ωω
Nejjednodušší postup návrhu číslicového protějšku k systému analogovému:
ƒ Volba řádu výchozí spojité normované dolní propusti H
NDP
(s jednotkovou mezní úhlovou frekvencí ω
m
=1)
ƒ Návrh H
NDP
- odvození přenosové funkce H
NDP
(p) z rozložení pólů v p-rovině
ƒ Frekvenční transformace ve spojité oblasti
(odvození přenosové funkce H(p) příslušného typu filtru z H
NDP
(p))
a navazující bilineární transformace
Příklad odvození spojitého filtru
z H
NDP
(p)
Příklad odvození diskrétního filtru
z H
NDP
(p)
() ()zHpH
DP
z
z
T
tg
p
NDP
m
⎯⎯⎯⎯⎯→⎯
+
−
Ω
→
1
1
2
1
() ()pHpH
DP
p
p
NDP
m
⎯⎯⎯→⎯
→
ω
Číslicové protějšky k základním typům analogových filtrů
Buterwothův Čebyševův (1. a 2. druhu) Cauerův
(eliptický)
Filtry 4.řádu:
roste
strmost
roste
nelinearita
Jednoduché transformace
frekvenčních charakteristik
filtrů
Re(z)
„z”
1
Im(z)
-1
-j
j
Re(z)
„z”
1
Im(z)
-1
-j
j
( )
( )πωπωωω +
==−→
TjjTjTjTj
AeeAeAeAe
Zrcadlový filtr ... vznikne substitucí z→ -z
výsledkem je změna poloh nulových bodů a pólů
v
ý
c
h
o
z
í
v
ý
s
l
e
d
n
á
Filtr s N-krát stlačenou frekvenční charakteristikou
... vznikne substitucí z→ z
N
frekvenční charakteristika výsledného filtru
() () ()
N
f
f
nj
n
nTNj
n
N
Tj
vz
enThenTheH
π
ωω
2−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑
==
perioda f.ch. bude f
vz
/N,
ale také f
vz
Ukázky modulových charakteristik
výchozí filtr H(z) zrcadlový filtr H(-z)
filtr H(-z
2
) filtr H(z
2
)
Konverze vzorkovacího kmitočtu
Decimace signálu
změna fvz → fvz/D (pro D celočíselné)
x(n)
↓
H
dec
(z)
↓
↓D
↓
y(n)
vstupní signál
↓
decimační filtr (DP k zabránění vzniku aliasingu)
↓
podvzorkování (s faktorem D)
↓
výstupní signál
Mezní frekvence decimační dolní propusti = polovina finálního vzork. kmitočtu
Interpolace signálu
změna fvz → Mfvz (pro M celočíselné)
x(n)
↓
↑M
↓
H
int
(z)
↓
y(n)
vstupní signál
↓
expanze (s faktorem M)
↓
interpolační filtr (DP)
↓
výstupní signál
Pozn.:
expanze s faktorem M ... vložení M-1 nulových vzorků mezi sousední vzorky signálu
Mezní frekvence interpolační dolní propusti = polovina výchozího vzork. kmitočtu
Poznámka k expanzi signálu
x(n) →↑M → y
M
(m)
()
( )
mhodnotyjinépro,
celé...i,Mim,M/mx
my
L
0
=
=
() ( ) () ()
expandovaný signál
jeho obraz
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
===
0
2
0 n
M
f
f
nj
n
TjnMMjj
L
vz
enxenxeXeY
π
ωωω
a spektrum
() () ( ) () ( )
M
n
nM
n
nM
M
m
m
LL
zXznxznMyzmyzY ====
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
000
Interpretace:
tvarově se spektrum signálu po expanzi nezmění,
pouze se výchozí vzorkovací kmitočet f
vz0
posune na hodnotu Mf
vz0
(perioda spektra bude i po expanzi odpovídat hodnotě výchozího f
vz0
)
perioda f
vz
/M = f
vz0
ukázka interpolace s faktorem 2
x(n)
X(k)
↑2
y(n)
|H
int
(ω)|
H
ideal
(f
vz0
)
(f
vz1
=
= 2f
vz0
)
Konverze vzorkovacího kmitočtu
f
vz
→ Mf
vz
/D (pro M, D celočíselné)
x(n)
↓
↑M
↓
H
int
(z)
↓
H
dec
(z)
↓
↓D
↓
y(n)
postačí jen jedna dolní propust s nižší mezní frekvencí
Použitá dolní propust: H
int
(z) pro M/D1
3. Komplexní signály a jejich využití
Multiplikativní AM
AM s potlačenou nosnou
() ()ωXnx
DTFT
↔
Posun spektra: pro pár
() ( )
0
0
ωω
ω
−↔ Xnxe
DTFT
nTj
platí
() ()
()
() (){ }nxeDTFTenxeenxX
nTj
n
nTjnTj
n
nTj
000
0
ωωωωω
ωω ===−
∑∑
∞
−∞→
−
∞
−∞→
−−
protože
()() ()()
000
2
1
2
1
cos ωωωωω ++−↔ XXnxnT
DTFT
Modulační teorém
()( )
nTjnTj
een
00
2
1
cos
0
ωω
ω
−
+=
protože
demodulace
amplitudová modulace
Modulační
signál s(n)
x
Zdroj nosné
s
o
(n)=cos(ω
ο
nT)
s
m
(n) s
m
(n)
x
Pomocný
signál
cos(ω
ο
nT)
Dolní propust
ω
mezní
=ω
ο
s
dem
(n)
modulovaný
signál
() () ()
2
1
2
2
1
2
1
2
1
+=−++=
=
αβαβαβα
βα
coscoscoscos.cosplatí
součin modulovaného
signálu s nosným
()()() ()()nxnTcosnxnxnTcos
00
2
2
2
1
2
1
ωω +=
()() () ()()
000
2
2
4
1
2
4
1
2
1
cos ωωωωωω ++−+↔ XXXnxnT
DTFT
DTFT
Spektrum modulačního signálu
Spektrum modulovaného signálu
demodulace
Modulace s jedním postranním pásmem (SSB)
Spektrum modulačního signálu
Spektrum analytického (komplexního) modulačního signálu
ideální analytický filtr
Spektrum (komplexního) nosného signálu
Spektrum (komplexního) modulovaného signálu
x
Spektrum Re(komplexního modulovaného signálu)
modulace SSB demodulace
s
m
(n)
x
Pomocný
signál
cos(ω
ο
nT)
Dolní propust
ω
mezní
=ω
ο
s
dem
(n)
Modulační
signál s(n)
Analytický
filtr
x
Zdroj nosné
s
o
(n)=exp(jω
ο
nT)
s
A
(n) s
mA
(n)
Re{s
mA
(n)}
s
m
(n)
Návrh analytického filtru
()
)2,0
),01
ππω
πω
ω
∈
∈
=
Tpro
Tpro
H
A
ideální analytický filtr
impulsní charakteristika jako koeficienty FŘ (z periody ideální f.ch.)
() () ()
nj
T
nTj
T
nTjnTj
A
vz
A
e
n
j
jnT
eT
de
T
deHnh
vz
π
πω
ω
ω
π
ω
ω
ω
ππ
ω
π
ωω
ω
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
===
=
=
∫∫
1
22
1
2
1
000
()
()
0npro
n2
11
j
0npro
2
1
nh
n
A
≠
−−
=
=
π
s(n)
zpoždění
τ
Im{h
A
(n)}
Re{s
A
(n-τ)}
1/2
Im{s
A
(n-τ)}
Hilbertův transformátor
r
e
al
i
z
ac
e
Re{h
A
(n)} = {…, h(-2), h(-1), h(0), h(1), h(2), …} = {…, 0, 0, 1/2, 0, 0, …},
Im{h
A
(n)} = {…, -1/(5π), 0, -1/(3π), 0, -1/π, 0, 1/π, 0, 1/(3π), 0, 1/(5π), …},
ampl. char.
analytického
filtru
s
obdélníkovým
oknem
ampl. char.
analytického
filtru
s
Hammingovým
oknem
spektrum
analytického
signálu
(analytický filtr
s Hammingovým oknem)
spektrum
reálného
signálu