CZA_2_tutorial

Ekvidistantní vzorky jedné její periody můžeme vypočítat jako G(kΩ) = DFT{h(n)}.
Odtud zřejmě h(n) = DFT
-1
{H(kΩ)}.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0
0.5
1
vzorkovana realna frekvencni charakteristika
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
IFFT realne frekvencni charakteristiky
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.5
0
0.5
impulsni charakteristika po prerovnani
H(k)
g(n)
h(n)
Příklad návrhu
pro N=19
vzorky f.ch.:
H(0) až H(18)
H(19)... H(f
vz
)
DFT
-1
přerovnání
vzorkovaná perioda f.ch.
výsledná impulsní charakteristika nekauzálního filtru
Interpolovaná modulová frekvenční charakteristika
Výpočet: impulsní charakteristiku (N) doplníme nulami (M>>N) a použijeme DFT,
výsledkem je jedna perioda frekvenční charakteristiky vyčíslená v M bodech.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Amplitudova charakteristika prochazejici zvolenymi hodnotami vzorku
0
fvz/2
fvz
f
korekce vedoucí
ke snížení zvlnění
Konec příkladu
Metoda váhové posloupnosti (okénka)
0 100 200 300 400
0
0.5
1
Perioda reálné frekvenční charakteristiky H0(f) dolní propusti
-40 -20 0 20 40
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Část nekonecné impulsové charakteristiky h0(nT)
0 100 200 300 400 500
-20
0
20
40
60
Spektrum okna W(f)
-40 -20 0 20 40
0
0.5
1
Okno w(nT)
0 100 200 300 400
0
0.5
1
Výsledná frekvenční charakteristika |H(f)|=|H0(f)*W(f)|
-40 -20 0 20 40
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Useknutá impulsová charakteristika h(nT)=h0(nT).w(nT)
koef. FŘ
DTFT
DTFT
A
B
C D
E
F
fm fvz
součin
konvoluce
()
∑
∞
−∞→
−
=
n
nTj
enhG
ω
ω )( () () ωω
ω
π
π
ω
deHnh
T
T
nTj
vz
∫
−
=
/
/
1
i
d
e
á
l
n
í
D
P
koef. F.Ř. n
e
k
o
n
e
č
n
á
i
.
c
h
.
posun (kauzalita)
τ
obdélníkové okno má
velké zvlnění spektra
DP: (Nekonečná, z ideální DP s ω
m
odvozená) impulsní charakteristika
()
( )
∞−−∞===
∫
−
,...,1,0,1,...,,
sin21
n
nT
nT
denh
m
m
vz
mnTj
vz
dp
m
m
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
() 1,...,1,0,
2
1
2
1
sin
2
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
= Nn
T
N
n
T
N
n
nh
m
m
vz
m
dp
ω
ω
ω
ω
Po useknutí a posunutí (kvůli kauzalitě)
Charakteristiky PP
pro různá okna
o
b
dé
l
n
í
k
o
v
éH
am
m
i
n
go
v
o
Ka
i
s
e
r
o
v
o
s

p
a
r
a
m
e
t
r
e
m
PP: posunutí f.ch. doprava o ω
0
… korespondující i.ch. bude komplexní:
( ) ( )nhenh
dp
nTj
P
0
ω
=
posunutí f.ch. doleva o ω
0
… korespondující i.ch. bude komplexně sdružená:
( ) ( )nhenh
dp
nTj
L
0
ω−
=
po součtu dostaneme i.ch. PP se střední frekvencí ω
0
,
v kauzální podobě bude mít tvar (pro obdélníkové okénko)
() () 110
2
1
2
0
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−= N,...,,npro,nhT
N
ncosnh
dppp
ω
kde ω
m
u h
dp
(n) je ω
m
= ω
h
- ω
0
, resp. ω
m
= ω
0
- ω
d
HP: vzorec pro imp. char. shodný s PP, jen ω
h
= ω
vz
PZ: imp. char. je součtem imp. char. DP a HP.
Optimalizační metody návrhu ... poměrně složité
Realizace filtrů FIR
Přímá realizace
Konvoluce (aperiodická)
() ()( )
∑
−
=
−=
1
0
N
i
inxihny
(možnost využití symetrie nebo antisymetrie h(n) ke snížení pracnosti)
Realizace v kmitočtové oblasti (rychlá konvoluce ... používá se FFT)
Kruhová (periodická) konvoluce
( ) ( ){ } ( ){ }{ }nxDFT.nhDFTDFTny
MMM
1−
=
posloupnosti je třeba na délku M doplnit nulami
DFT má kruhově konvoluční vlastnost,
v časové oblasti odpovídá výpočet vzorci
() ()
⎣⎦ ⎣⎦
1,0
1,0
,1,...,1,0,
1
0
−∉−
−∈−
+−
−
=−−=−=
∑
−
=
Minpro
Minpro
Min
in
inkdeMninxihny
M
i
( ){ }10 −∈ N,nnh
( ){ }10 −∈ M,nnx
Předpokládejme:
NM >
Výstupní vzorky jsou
y(0)=h(0)x(0)+ h(1)x(M-1)+ h(2)x(M-2)+ h(3)x(M-3)+...+ h(N-1)x(M-(N-1))
y(1)=h(0)x(1)+ h(1)x(0)+ h(2)x(M-1)+ h(3)x(M-2)+...+ h(N-1)x(M-(N-2))
y(2)=h(0)x(2)+ h(1)x(1)+ h(2)x(0)+ h(3)x(M-1)+...+ h(N-1)x(M-(N-3))
:
:
y(N-1)=h(0)x(N-1)+ h(1)x(N-2)+ h(2)x(N-3)+ h(3)x(N-4)+...+ h(N-1)x(0)
:
:
y(M-1)=h(0)x(M-1)+ h(1)x(M-2)+ h(2)x(M-3)+ h(3)x(M-4)+...+ h(N-1)x(M-N)
aperiodická konvoluce ... podtržené členy jsou nulové, neboť
(prvních N-1 výstupních vzorků tvořípřechodný děj)
periodická konvoluce ... předpokládá periodické posloupnosti, v podtržených
členech jsou vzorky z předchozí periody posloupnosti x(n)
( ) ( ) 021 ==−=− ...xx
aperiodická konvoluce
()nh
N vzorků
()nx
M vzorků
()ny
M+N-1 vzorků
přechodný
děj
ustálená část odezvy
(zajímavý úsek)
doznění
odezvy
(N-1 vzorků) (N-1 vzorků)
periodická konvoluce (s využitím DFT)
DFT
M
{h(n)}
DFT
M
{x(n)}
Π
IDFT
M
()nh
N vzorků h(n) doplnit nulami na M vzorků
()nx
M vzorků
()ny
M vzorků
ustálená část odezvy
(zajímavý úsek)
přechodný děj
+ doznění
= neužitečná směs
(N-1 vzorků)
Segmentovaná rychlá konvoluce
Metoda přičtení přesahu
()nh
()nx
()ny
1
()ny
2
( )ny
3
M vzorků
h(n) a x
i
(n) doplnit nulami na M+N-1 vzorků
N vzorků
M+N-1 vzorků
+
+
součet
doznění y
1
(n)
a
přechodného děje y
2
(n)
+
( )ny
4
Metoda přičtení přesahu
h(n) doplnit nulami na M+N-1 vzorků
x
i
(n) rozšířit zleva o posledních N-1 vzorků x
i-1
(n)
()nh
N vzorků
()nx
()ny
1
()ny
2
( )ny
3
M+N-1 vzorků
M+N-1 vzorků
( )ny
4
Základní vlastnosti filtrů IIR
¾ Vždy nelineární fázová frekvenční charakteristika
¾ Možnost nestability
Metody návrhu filtrů IIR
¾ Optimalizační přístupy
¾ Metody založené na podobnosti s analogovými filtry (historicky nejstarší)
... zaměříme se jen na metodu bilineární transformace
Metoda bilineární transformace
Re(p)=σ
Im(p)=jω
„p“ Im(z)
„z“
1-1
j
j
j∞
() ()zHpH
D
z
z
p
A
⎯⎯⎯→⎯
+
−
=
1
1
Re(z)
z bilineární transformace
vyplývá vztah mezi kmitočty,
na kterých mají