BCZA7_spektr_anal

1
()
ϕωϕω
ϕω
jtjjtj
ee
A
ee
A
tA
−−
+=+
00
22
cos
0
Spektrální analýza signálů
Spektrum: vyjádření signálu jako aditivní směsi harmonických složek
(konečného, obecněji nekonečného počtu)
Spektrální analýza signálu:
¾ u deterministického signálu zjištění amplitud a počátečních fází harm. složek signálu,
¾ u náhodných signálů odhad výkonového spektra
Použití spektrální analýzy:
• popis deterministického signálu pro účely rozpoznávání nebo klasifikace
• alternativní vyjádření determ. signálu pro zpracování (přenos, kompresi, konvoluci, korelaci)
• spektrální charakterizace stochastického procesu, generujícího náhodný signál (např. pro
charakterizace zdroje signálu)
•…
Poznámka: Oboustranné spektrum vychází z vyjádření harmonického signálu pomocí Eulerova vztahu:
Základní vlastnosti spekter deterministických signálů
Spojité (analogové) signály Diskrétní (digitální) signály
periodické neperiodické periodické
(eventuelně
s vnucenou
periodicitou)
neperiodické
Spektrum
diskretní -
čarové
(ω od -∞ do ∞)
spojité
(ω od -∞ do ∞)
diskretní -
čarové
(ω od -ω
vz
do ω
vz
)
mimo tento rozsah –
periodické opakování
spojité
(ω od -ω
vz
do ω
vz
)
mimo tento rozsah –
periodické opakování
Výpočet spektra integrální FT integrální FT DFT DTFT
váhy spektrálních čar
jsou dány koeficienty
Fourierovy řady
spojité spektrum dané
spektrální hustotou
hodnoty spektra DFT =
koeficienty FŘ
(při správném
vzorkování)
obvykle se vyčíslují jen
vzorky spektra (pomocí
DFT – vnutí signálu
periodicitu)
() (){} () tetftfF
tj
d
∫
∞
∞−
−
==
ω
ω F ()
∑
∞
−∞=
−
=
n
nTj
n
efF
ω
ω()
∑
−
=
Ω−
=Ω
1
0
N
n
nTjk
n
efkF
()
∫
Π
Ω−
Π
=
0
1
dtetfc
tjk
k
2
Spektrální analýza číslicových signálů
Spektrální analýza deterministických signálů
– Diskretní spektrální analýza periodických signálů
– Diskretní spektrální analýza obecných signálů
• Vlastnosti analýzy pomocí DFT ve srovnání s integrální FT spojitých signálů
• Časově - frekvenční analýza, spektrogram
Spektrální analýza stochastických signálů
– Podstata odhadu spekter stochastických procesů
– Neparametrický odhad výkonových spekter
• Metoda periodogramu
• Metoda korelogramu
– Odhad výkonového spektra bankou filtrů
Spektrální analýza deterministických signálů
Diskretní analýza periodických signálů
spojité periodické signály
analýza pomocí Fourierových řad (FŘ)
signál (vyjádřený pomocí FŘ)
()
Π
=Ω=
∑
∞
−∞→
Ω
π2
,
k
tjk
k
ectf
perioda
signálu f(t)
koeficienty FŘ
(tj. komplexní váhy spektrálních čar)
()
∫
Π
Ω−
Π
=
0
1
dtetfc
tjk
k
diskretní (navzork.) period. signály
analýza pomocí DFT
signál (vyjádřený pomocí DFT
-1
)
základní kmitočet
signálu f(t)
koeficienty DFT
()
∑
−
=
Ω−
=
1
0
N
n
nTjk
k
enTfF
Tedy
,
pokud
• s(t) je frekvenčně omezený a korektně vzorkován (f
vz
>2f
max
)
• vzorkovací kmitočet je celistvým násobkem Ω, tj.
poznámka o přesném výpočtu integrálu obdélníkovou metodou
()
∑
−
=
Ω
=
1
0
1
N
k
nTjk
k
eF
N
nTf
c
N
F
kk
=
1
Π = NT
3
Příklad spektrální analýzy
periodického signálu pomocí DFT
N
jedna perioda signálu (1s)
obsah: 2 Hz/2V, 3 Hz/3V, 4Hz/2V, 5Hz/1V
perioda signálu = NT perioda signálu ≠ NT
navzorkovaný signál
vypočtené DFT spektrum
Diskretní analýza obecných deterministických signálů
Co vlastně poskytuje diskretní analýza?
Obvykle požadujeme spojité spektrum původního analogového signálu –tj. časově spojitého a
nekonečně dlouhého signálu,
avšak číslicová analýza umožňuje jen :
- jen diskretní vzorky
- jen konečný úsek signálu, tj. N vzorků
Vzorkovaný signál v „kvazispojité“ reprezentaci je
jeho spektrum ve smyslu integrální FT
toto spektrum je ovšem periodické. Navzorkujeme-li jednu periodu spektra N vzorky, je
DFT tedy poskytuje přesné vzorky spektra (ve smyslu FT) konečného a navzorkovaného signálu
(ale nikoli přesné vzorky spektra původního analogového signálu)
() ( )ft f t nT
sn
n
N
=−
=
−
∑
δ
0
1
() () (){} {}
n
N
n
nTj
n
N
n
n
N
n
ns
fefnTtfnTtfF DTFTFF ==−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
∑∑∑
−
=′
−
−
=
−
=′
1
0
1
0
1
0
ω
δδω
{} ( ){} {}
n
N
n
nTjk
nsk
fefkFF DFT=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=Ω=
∑
−
=
Ω−
1
0
4
Jaké jsou rozdíly oproti požadovanému spektru spojitého a neomezeného signálu?
kroky diskretizace při ω
0
= kΩ
časová oblast frekvenční oblast
Signál vyjádření v časové oblasti vyjádření ve frekvenční oblasti


původní signál () ()ft t11= cos ω
()
()()
F
1
11
ω
πδω ω δω ω
=
=−++


časové okno
()wt
t
NT NT
jinak
=
−
1
22
0
,,
,

()WNTω
π
ω
π
ω
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟sin
Ω
Ω
,
Ω=
2π
NT

omezený úsek
signálu
() ()wt f t.
1
() ()
1
2
1
π
ωωWF*
vzorkovací signál () ( )st t nT
n
=−
=−∞
∞
∑
δ () ()S
T
kN
k
ω
π
δω=−
=−∞
∞
∑
2
Ω
navzorkovaný a
omezený úsek
signálu
() () ()st wt f t..
1

() () ()
1
4
21
π
ωωωSWF**
vzorkovací
funkce ve
spektrální oblasti
() ( )st NT t kNT
F
k
=−
=−∞
∞
∑
δ () ( )Sk
F
k
ωπδω=−
=−∞
∞
∑
2 Ω
periodizovaný
originál ke
vzorkovanému
spektru
() () () ()st wt f t s t
F
.. *
1
() () () ()SWFS
F
ωωωω**.
Rozdíly vývoje spekter při krocích diskretizaci signálu (pro jedinou harmonickou složku)
při ω
0
= kΩ při ω
0
≠ kΩ
signálová oblast spektrální oblast signálová oblast spektrální oblast
5
důsledky zkrácení a diskretizace signálu a jejich ovlivnění
• omezená frekvenční rozlišovací schopnost a prosakování na jiné frekvence
náprava: zvolit delší okno, popř. jiný typ okna s „lepšími“ spektrálními vlastnostmi
• možné zkreslení aliasingem v důsledku periodizace spektra,
náprava: zvýšit f
vz
a /nebo použít antialiasingový filtr před A/D převodem
důsledky diskretizace spektra
• nemusí být jasný rozdíl mezi spektrem původně čarovým a spektrem s původně spojitou hustotou
náprava: pokud je signál periodický, zvolit délku okna NT přesně rovnou periodě signálu,
popř. celistvému násobku periody signálu (viz příklad)
• výskyt a poloha extrémů spektra (např. čáry) nemusí být vizuálně dost zřetelné
náprava: m-krát hustší vzorkování spektra - doplněním signálu (m-1)N nulami
Vlastnosti diskretní frekvenční analýzy
Příklad: výsledky spektrální analýzy směsi signálů s použitím různých oken (amplitudová spektra)
Složení směsi: 1Hz/1V, 1,5Hz/0,02V, 1,58Hz/0,01 V
Použitá okna: pravoúhlé trojúhelníkové (Bartlettovo)
Hammingovo Hannovo
6
Příklad spekter dvou signálů (směsí dvou harmonických složek)
frekvence složek jsou na uzlových kmitočtech DFT frekvence složek nejsou na uzlových kmitočtech DFT
táž spektra podrobněji vzorkována (i mezi uzlovými frekvencemi kmitočtové osy)
(výskyt dvou různých kmitočtů je patrný v obou případech)
Příklad (necelý, ale r