BCZA7_spektr_anal

yl odhadu (následně hladší spektra i bez vyhlazování)
12
3. Princip výpočtu periodogramu z mnoha realizací
– průměrováním individuálních výkonových spekter jednotlivých realizací signálu
rozdíly oproti předchozímu přístupu:
• nevyžaduje ergodicitu, stačí stacionarita
• libovolná spektrální rozlišovací schopnost úměrně délce realizací
• rozptyl odhadu klesající s počtem zahrnutých realizací
w
1
w
2
w
M
…
historická poznámka:
– metoda korelogramu již v 19. století (první metoda statistické spektrální analýzy časových řad)
– po objevu Wiener-Chinčinova vztahu převládla metoda korelogramu
– po objevu rychlého algoritmu diskrétní Fourierovy transformace (FFT) opět nejčastěji užívaný
postup
13
Odhad výkonových spekter metodou korelogramu
Vychází z Wiener-Chinčinova vztahu:
kroky:
1. odhad váhované autokorelační funkce kteroukoli metodou
2. následná DFT odhadu autokorelační funkce (τ značí index zpoždění)
délka transformace vyplývá z max. délky korelační funkce
poznámka: průměrování je obsaženo již v odhadu korelační funkce
() () (){}() ()
∑
−
+−=
−
==
1
1
N
N
Tj
ffffff
eRwRwS
τ
τω
ττττω DTFT
12 −=′ NN
( ) ( )ττ
ff
Rw
1. Princip výpočtu korelogramu z jediné dostatečně dlouhé realizace
(průměrování je obsaženo ve výpočtu korelační funkce ergodického procesu)
(A - bez vyhlazení, B – s vyhlazením spektra konvolucí)
14
2. Princip výpočet korelogramu ze segmentovaných dat
•lze průměrovat již (reálnou) korelační funkci
(A - bez dodatečného vyhlazení, B – s vyhlazením odhadu spektra konvolucí)
3. Princip výpočtu korelogramu z více realizací
• odpadá požadavek ergodicity
• lze volit libovolně dlouhé realizace
•lze průměrovat již (reálnou) korelační funkci
(A - bez dodatečného vyhlazení, B – s vyhlazením odhadu spektra konvolucí)
w
1
w
2
w
M
…
15
Příklad: dvě různé realizace téhož náhodného procesu
jejich individuální výkonová spektra
teoretické výkonové spektrum odhad výkon. spektra korelogramem (ze 100 relizací)
Odhad výkonových spekter pomocí banky filtrů
Princip odhadu výkonového spektra pomocí banky filtrů
16
Vlastnosti metody a banky filtrů
– propustná pásma jednotlivých filtrů
• na sebe navazují (s ohledem na rovnoměrnost odhadu na úrovni -3 dB)
•určují frekvenční rozlišení
– kvalita filtrů určuje prosakování
– výstupy filtrů po umocnění reprezentují okamžitý výkon v pásmu
– integrátory (se zvolenou časovou konstantou) určují ekvivalentní časové okno odhadu
(umožňuje sledovat vývoj spektra signálu s časem podobně jako u spektrogramů)
– tento přístup umožňuje neekvidistantní, zpravidla exponenciální dělení kmitočtové osy
například oktávové,
výkony v kanálech je ovšem nutno normovat, tj. podělit šířkou pásma, aby údaje odpovídaly hustotě výkonu [W/Hz]
Analyzátor s postupným odhadem výkonového spektra
(s frekvenční translací signálu)
17
Princip parametrických metod odhadu výkonového spektra
–představa modelu vzniku signálu
spektrum modelového signálu ξ
aproximuje co nejlépe spektrum analyzovaného signálu x
–představa bělicího filtru
bělicí filtr upraví analyzovaný signál x tak, že výkonové spektrum bude rovnoměrné, tj. na bílý šum:
přenos bělicího filtru zřejmě musí být inverzní k přenosu filtru v modelu vzniku signálu
– odhad výkonového spektra, známe-li parametry bělicího filtru
( ) ( )SS
xx
ωω
ξξ
≈
() ( ) ()ωω
νν
ω
ξξ
SeHS
Tj
2
=
( )S
ee e
ωσ=
2
e(t)
()
()
Hz
Hz
B
2
2
1
=
()
()
S
He
xx
e
B
jT
ω
σ
ω
≈
2
2
typy modelů:
– čistě rekursivní (AR – modely, autoregresive)
– čistě nerekursivní (MA – modely, moving average)
– kombinované (ARMA – modely)
AR modely (většinou lze s nimi vystačit)
s přenosem
bělicí filtr pak má zřejmě přenos
a tedy dává výstup
výstup bělicího filtru: rozdíl mezi skutečnou
hodnotou signálu x a její lineární predikcí
() () ( )ξν ξnn ani
i
i
P
=+ −
=
∑
1
ξ
n
()Hz
az
i
i
i
P
=
−
−
=
∑
1
1
1
()Hz az
Bi
i
i
P
=−
−
=
∑
1
1
() () ( )en xn a xn i
i
i
P
=− −
=
∑
1
() ( )
~
xn axn i
i
i
P
=−
=
∑
1
18
• Jde o to, jak nastavit vektor koeficientů a
tak, aby rozdílový signál e byl bílým šumem při daném vstupním signálu x
– Lze ukázat, že bude-li lineární predikce optimálním odhadem ve smyslu LMS, bude e bílým šumem
• Jde tedy vlastně o návrh optimálního (predikčního) filtru
–buď na základě apriorní informace, např. Wienerova filtru
– nebo jako adaptivního filtru
• Jsou-li známy parametry filtru, tj. také parametry modelu zdroje signálu, je výkonové spektrum
• Porovnání neparametrických a parametrických metod odhadu výkonových spekter
– klasické (neparametrické) odhady:
• kompromis mezi frekvenční rozlišovací schopností a délkou zpracovávaného signálu
• velký rozptyl (nutnost vyhlazování spekter)
• snadná a spolehlivá interpretace
– parametrické odhady na základě AR modelů:
• nutnost vhodné volby řádu modelu
• nutnost návrhu filtru
• hladké odhady spekter (příp. zavádějící při interpretaci)
• podstatně vyšší frekvenční rozlišovací schopnost při krátkých úsecích signálu
• ale rozlišovací schopnost silně klesá s úrovní šumu v signálu
()
()
S
He
ae
xx
e
B
jT
e
i
jiT
i
P
ω
σσ
ω
ω
≈=
−
−
=
∑
2
2
2
1
2
1
odkazy na učebnici:
- náhodný proces a náhodný signál - kap. 4.1, 4.2 a 4.3
- spektrální analýza deterministických signálů kap. 9.2.1, 9.2.2, 9.2.3
- spektrální analýza stochastických signálů kap. 9.3.1, 9.3.2.1 (mimo metodu minimálního rozptylu),
kap. 9.3.2.2 (přehledově, mimo rozbor LMS filtru a mimo Pisarenkovu dekompozici), 9.3.3.3
doporučené experimenty ve cvičení
– syntéza simulované rodiny náhodných signálů se známým výkonovým spektrem:
• bílý šum filtrovat filtrem se známou frekvenční charakteristikou,
• uchovat krátké realizace o N vzorcích
• uchovat jednu „dlouhou“ realizaci o kN vzorcích
•vypočíst kvadrát amplitudové frekvenční charakteristiky filtru
–výpočet odhadů výkonového spektra různými metodami
• odhad výkonového spektra prostou metodou periodogramu
–vypočíst individuální výkonové spektrum dlouhé realizace
• odhad výkonového spektra metodou periodogramu s průměrováním
–vypočíst individuální výkonová spektra jednotlivých krátkých realizací
–vypočíst průměr individuálních spekter
• odhad výkonového spektra prostou metodou korelogramu
–vypočíst individuální váhovanou autokorelační funkci dlouhé realizace
–vypočíst DFT spektrum autokor. funkce
• odhad výkonového spektra metodou průměrovaných korelogramů
–vypočíst individuální váhované autokorelační funkce jednotlivých krátkých realizací
–vypočíst průměr těchto autokor. funkcí
–vypočíst DFT spektrum průměrované autokor. funkce
– porovnání jednotlivých odhadů korelačních funkcí ve vztahu k ideálnímu tvaru podle filtru,
zhodnocení a odůvodnění rozdílů mezi odhady podle užité metody
19
m