BCZA6_korel_an

1
Korelační analýza signálů
Náhodný signál - základní pojmy
– náhodný proces
– náhodný signál jako realizace náhodného procesu
– časová souvislost uvnitř jednoho procesu a mezi dvěma procesy
– autokorelační, autokovarianční a vzájemné korelační a kovarianční funkce
– stacionární a ergodické procesy
Metody odhadu korelačních a kovariančních funkcí
– založené na časových průměrech
–prostřednictví frekvenční oblasti
Aplikace korelační analýzy
– korelační analýza signálů
• korelační detekce signálu
• korelační příjem signálu
– korelační analýza systémů
• autokorelační analýza systémů
•vzájemně korelační analýza systémů
Náhodný signál - základní pojmy
• náhodný proces
jako rodina realizací
• náhodný signál – realizace náh. procesu
• lokální (okamžité) náh. veličiny v okamžiku m
– lokální rozdělení pravděpodobnosti
• distribuční funkce
• lokální (diskretní) rozdělení pravděpodobnosti
– lokální parametry rozdělení
•střední hodnota
•rozptyl
(){ }zfmzP
mf
≤=P,
( ) { }
jmjf
zfmzp ==P,
() {} () ()
∑∑
=∈
≈==
M
w
ww
w
Jj
jfjmwf
mf
M
mzpzfm
1
1
,Eµ
() (){ } ()()( )mzpmzmfm
jf
Jj
fjfmf
,
2
2
2
∑
∈
−=−= µµσ E
() () ()σµ
fwf
w
m
M
fm m
2
21
≈−
∑
2
Náhodný signál - základní pojmy
• sdružené veličiny (dvojice, trojice,…)
– sdružené pravděpodobnosti (2D)
pro dvojici okamžiků m,n
– sdružené pravděpodobnosti (r-dimenzionální)
• sdružené dvojice ze dvou signálů
– sdružené pravděpodobnosti (2D)
• korelace a kovariance
– korelace dvojice m,n
– kovariance dvojice
• dvojice se mohou týkat různých signálů f, g
( ) () (){ }
kwjwkjf
znfzmfnmzzp
ll
=== ,,,, P
()pz z z mm m
fj j j r
r12
12
,,,,,,,KK=
() () ( ){ }
riii
jrwjwjw
zmfzmfzmf ==== ,,,
21
21
KP
( ) () (){ }
kwjwkjfg
zngzmfnmzzp
ll
=== ,,,, P
() ()(){ }nfmfnmR
wwff
E=,
() () ()( ) () ( )( ){ }nnfmmfnmC
fwfwff
µµ −−=E,
Korelační a kovarianční funkce
odhad ze souborových průměrů
Korelace dvojice náhodných proměnných
Kovariance dvojice náhodných proměnných
vztah mezi R
ff
a C
ff
Autokorelační a autokovarianční funkce
- závisí na volbě časových okamžiků t
m
, t
n,
resp. indexů m,n - pak tedy dvojrozměrné funkce těchto časů
Vzájemně korelační a kovarianční funkce odhad ze souborových průměrů
( ) ( ) ( ){ }nfmfnmR
wwff
E=,
() () ( )( ) ( ) ( )( ){ }nnfmmfnmC
fwfwff
µµ −−=E, () () () ()≈−−
=
∑
1
1
M
fm m fn n
wfwf
ww
w
ii
M
µµ
() () ( ) ( )nmnmRnmC
ffffff
µµ−= ,,
() ()
∑
=
≈
M
ii
w
ww
ww
ngmf
M
1
1
( ) () () () (){}() () () ()
∑
=
−−≈−−=
M
ii
w
ww
gwfwgwfwfg
nngmmf
M
nngmmfnmC
1
1
, µµµµE
() ()
∑
=
≈
M
ii
w
ww
ww
nfmf
M
1
1
( ) ( ) ( ){ }ngmfnmR
wwfg
E=,
3
příklad: 2D autokorelační a vzájemně korelační funkce bílého šumu
jedna realizace šumového signálu
(s rovnoměrným – bílým – spektrem)
Dvojrozměrná autokorelační funkce šumu Dvojrozměrná vzájemně korelační funkce mezi
šumem a jeho vlastní zpožděnou verzí
Stacionární procesy – nezávislost pravděpodobnostních charakteristik na čase
autokorelační funkce – jednorozměrná (závisí jen na rozdílu časů)
vzájemně korelační funkce – jednorozměrná
Ergodické procesy (vzhledem ke korelaci) časový průměr
df.:
Vzájemně stacionární a ergodické procesy (vzhledem ke korelaci) časový průměr
df.:
() ( ) () ( ){}ττ
ωω
+=−= nfnfnmRR
ffff
E ( ) ( ){ } ( ) ( )ττ
ωω
−=−=+=
ffff
RmnRnfnfE
() ()()Rmn Rmdnd Rmn
ff ff ff
,,=++=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }τ
ωω
+=−=++= ngnfnmRdndmRnmR
fgfgfg
E,,
() ()RR
fg gf
τ τ≠
() () ( )
∑
=
∞→
+=
N
n
ww
N
w
nfnf
N
R
iii
1
1
lim ττ
() ( ) ( )RRR ij
ww f
ij
τ τ τ τ= = ∀,,,
() ( ) ( ) ττττ ,,, jiRRR
fgwfgwfg
ji
∀==
() () ( )
∑
=
∞→
+=
N
n
ww
N
wfg
ngnf
N
R
iii
1
1
lim ττ
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }()ττττ
ωωωω gffgfg
RnfngmnRngnfR =+=−=+=− EE
(sudá funkce)
4
příklad: odhady korelačních funkcí pro stacionární případ (1D) :
autokorelační funkce bílého šumu vzájemně korelační funkce bílého šumu a jeho
posunuté varianty
R
xx
(τ)R
xy
(τ)
Vlastnosti autokorelační a autokovarianční funkce (stacionárních a ergodických procesů)
energie signálu
výpočet (lze chápat jako jistý operátor nad signály, i deterministickými)
aplikováno na harmonický signál:
autokorelační funkce součtu dvou signálů (např. užitečného signálu a šumu)
( )()RR
ff ff
τ τ=− ( ) ( )CC
ff ff
τ τ= −
( ) ( )CR
ff ff f
ττµ=−
2
( )()(){}{ }
2
0
wwwff
fnfnfR EE == ( ) ( )( ){ }
22
0
ffwff
nfC σµ =−=E
( )()RR
ff ff
00≥± ≠τ τ,
() () ()
∑
=
∞→
−+−=
N
n
fwfw
N
ff
nfnf
N
C
ii
1
1
lim µτµτ() () ( )R