BCZA6_korel_an

N
fnfn
ff
N
ww
n
N
ii
ττ=+
→∞
=
∑
lim
1
1
() ( )xn A nT=+sin ωϕ
() ()() ()R
A
N
Tn T n
A
T
ff
N
n
N
τωϕωτϕωτ+=
→∞
=
∑
lim sin sin cos
22
1
2
( ) ( )( ){ }
{}{}{}{}
() () () ()ττττ
νννν
νντ
νννν
ττττ
ττ
RRRR
xxxx
xxR
xxxx
nnnnnnnn
nnnnff
+++=
=+++=
=++=
++++
++
EEEE
E
5
Vlastnosti vzájemné korelační a kovarianční funkce
(vzájemně stacionárních a ergodických procesů)
výpočet (lze chápat jako jistý operátor nad signály, i deterministickými)
aplikováno na harmonické signály:
vzájemná korelační funkce dvou součtů signálů
() ( )
gffgfg
RC µµττ −=
( )()RR
fg fg
τ τ≠− ( ) ( )RR
fg gf
τ τ= −
() () ()RRR
fg ff gg
τ ≤+
1
2
00
() () ()RRR
fg ff gg
τ
2
00≤
() () ( )
∑
=
∞→
+=
N
n
ww
N
fg
ngnf
N
R
ii
1
1
lim ττ
() ( )xn A nT=+sin ωϕ () ( )yn B nT=+sin ωϑ
() ()()()()
∑
=
∞→
−+=+++=
N
n
N
xy
T
AB
nTnT
N
AB
R
1
cos
2
sinsinlim ϑϕτωϑτωϕωτ
( ) ( )( ){ }
{}{}{}{}
() () () ()ττττ
ηννη
ηντ
νηνη
ττττ
ττ
RRRR
yxyx
yxR
yxxy
nnnnnnnn
nnnnfg
+++=
=+++=
=++=
++++
++
EEEE
E
periodický signál odhad jeho autokorelační funkce (váhovaný)
realizace náhodného signálu s omezenou odhad jeho autokorelační funkce
šířkou frekvenčního pásma
příklad korelačních funkcí dvou signálů a jejich směsi
6
aditivní směs předchozích signálů odhad autokorelační funkce směsi
(periodického a náhodného)
referenční kosinový signál s nulovou fází odhad vzájemné korelační funkce
mezi aditivní směsí a referenčním signálem
aditivní směs harmonického signálu a šumu
7
Metody odhadu korelačních funkcí
(pro signály generované stacionárními ergodickými procesy)
–v časové oblasti, z konečných úseků signálů o N vzorcích
s váhováním korel. funkce oknem
zrychlení výpočtu
- metoda polovičních čtverců (bez násobení)
- hrubé kvantování (až na 1 bit – znaménko)
–prostřednictvím frekvenční oblasti, z konečných úseků signálu o N vzorcích
signály {x
n
}, {y
n
} → prostřednictvím DFT spektra { X
k
}, { Y
k
}→ nové spektrum {V
k
} násobením po
prvcích
zpětnou DFT z {V
k
} nový „signál“ (časová posloupnost korel. funkce) {r
n
}
kruhová korelace (s hlavní hodnotou indexu, jsou nutné
úpravy při výpočtu pro zajištění výsledků
numericky identických s lineární korelací)
() () ( )R
N
fnfn
ff w w
n
N
ii
τ
τ
τ
τ
≈
−
+
=
−
∑
1
1
() () ( )R
N
fngn
fg w w
n
N
ii
τ
τ
τ
τ
≈
−
+
=
−
∑
1
1
() () ( )R
N
fnfn
ff w w
n
N
ii
ττ
τ
≈+
=
−
∑
1
1
( )NN−τ
() () ( )R
N
fngn
fg w w
n
N
ii
ττ
τ
≈+
=
−
∑
1
1
() ()()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+≈
∑∑∑
−
=
+
−
=
−
=
+
τ
τ
ττ
τ
τ
N
n
n
N
n
n
N
n
nnfg
yxyx
N
R
1
2
1
2
1
2
2
1
kkk
YXV
*
=
[]∑
−
=
+
=
1
0
N
n
nn
yxr
ττ
Výpočet korelační funkce prostřednictvím frekvenční oblasti
–doplnění obou korelovaných posloupností nulovými prvky na délku 2N
– diskretní Fourierova transformace obou prodloužených posloupností
– konjugace spektra prvé korelované posloupnosti
– vynásobení spekter člen po členu
–zpětná DFT součinového spektra
– podle zvoleného váhování vynásobení všech prvků získané posloupnosti nebo
blokové schema
1 N ( )1 N −τ
8
Aplikace korelační analýzy
Korelační analýza signálů
Korelační detekce – přizpůsobený filtr
hledaný signál impulsní charakteristika
přizpůsobeného filtru
čit. i jmen. oba velké čitatel velký, jmen. malý realizační schema přizpůsobeného filtru
hledaný signál
přijatý signál
vzájemná korelační funkce
maximum odezvy (pro )
zlepšení výkonového poměru s/š
→
() ( ) ()yn axn n=−+τν
0
( )xn
() ()( ){}
() ( ) ()){}τνττ
ττ
++−+=
+=
nnxnaxnx
nynxR
xy
EE
E
0
()()τττ
νxxx
RaR +−=
0
τ τ=
0
() ()aR
a
N
xn
xx
n
N
0
2
1
=
=
∑
(){}
(){}
()
()0
0
2
2
22
1
νν
ν R
Ra
n
nxa
SRN
xx
==
E
E ( )
(){}
SRN
aR
R
xx
x
2
22
2
0
0
=
E
ν
τ
Příklad korelačního příjmu –dva přizpůsobené detektory
hledané signály A B
složky signálu: bílý šum, signál A a signál B
aditivní směs šumu a signálů A, B,
odezvy přizpůsobených filtrů pro A a pro B
9
Korelační příjem (signálu s výraznými harmonickými složkami)
Postup:
1. za zpracovávaný signál y dosadit přijatou směs signálu a šumu,
i=0
2. vypočíst autokorelační funkci R
yy
zpracovávaného signálu
3. pokud není v R
yy
zjistitelná harmonická komponenta, KONEC
analýzy → na bod 9
4. stanovit kmitočet ω
i
nejsilnější harmonické složky v R
yy
(pomocí DFT)
5. vypočíst vzájemnou kor. funkci R
ys
s pomocným signálem
6. z téměř periodické R
ys
stanovit amplitudu harmonické složky a její
počáteční fázi
7. odečíst a
i
od y:
8. i← i+1, zpět na bod