BCZA3_filtry_IIR

1
Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou - IIR filtry
realizovány obecnými rekurzivními systémy s dif. rovnicí
PřímárealizacefiltrutypuIIR (obecný rekursivní lin. diskretní systém)
yLx Ky
nini
i
r
ini
i
m
=−
−
=
−
=
∑∑
01
základní charakteristiky IIR filtrů
impulsní charakteristika (nekonečná) {h
n
}
diferenční rovnice
L,K – realizační konstanty
obrazový přenos
n,p – nulové body a póly
stabilita filtrů – kritéria
v časové oblasti (Hurewitzovo kritérium)
impulsní charakteristika absolutně konvergentní
v obrazové oblasti (kritérium polohy pólů)
všechny póly H(z) musí ležet uvnitř jednotkové kružnice
yLx Ky
nini
i
r
ini
i
m
=−
−
=
−
=
∑∑
01
()
()
Hz
Lz
Kz
A
zn
zp
i
mi
i
r
i
mi
i
m
i
i
r
i
i
m
()==
−
−
−
=
−
=
=
=
∑
∑
∏
∏
0
0
1
1
hV
n
n
=0)
Optimalizační kritérium resp.
Obraz výstupu při buzení jednotkovým impulsem
a tedy výstupní signál
z kauzality a požadavku, aby v
0
=1, plyne
()
∑
∞
=
→=
1
2
n
n
MinvE
()EvMin
Ln
n
L
=→
=
−
∑
2
1
1
Vz H z
Hz
Uz H z
az
b
dd
r
r
m
r
() ()
()
() () .==
−
=
−
∑
1
1
1
1
0
∑
=
−−=
m
r
drd
rnha
b
nh
b
nv
100
)(
1
)(
1
)(
( )bh
d0
0=
C. Metoda návrhu IIR filtru optimalizací podle impulsní charakteristiky
a tedy pro hodnotu kritéria je
první člen nezávisí na a, také činitel 1/b
0
2
je bez vlivu
vektor a zpětnovazebních koeficientů filtru plyne z požadavku extrému (minima) kritéria
pro i =1,2,...,m
a odtud po derivaci systém lineárních rovnic (snadno řešitelný)
kde (bez odvození)
()
∑∑∑
===
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−==
L
n
m
r
drd
L
n
rnhanh
b
nvE
1
2
1
2
01
2
)()(
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
∑∑∑∑∑
=====
2
11111
2
2
0
)()()(2)(
1
L
n
m
r
dr
L
n
L
n
m
r
drdd
rnharnhanhnh
b
0=
i
a
E
∂
∂
air i
r
r
m
ΦΦ(, ) (, )=
=
∑
0
1
∑
=
−−=Φ
L
n
dd
inhrnhri
1
)()(),(
7
2. Návrh IIR filtrů na základě podobnosti s analogovými filtry
(tato kapitola má základní význam pro pochopení vztahu mezi
analogovými systémy a signály a jejich digitálními protějšky)
Podobnost (nikoli ekvivalence) analogových a digitálních systémů:
Poznámka o obecné nedostatečnosti „dostatečně hustého“ vzorkování
Poznámka o digitální simulaci činnosti analogového systému a naopak
různé definice podobnosti (odtud různé metody návrhu):
• v originální oblasti – např. impulsní invariance
• ve frekvenční oblasti – podobnost frekvenčních charakteristik
• v transformačních oblastech s a z: podobnost konfigurace nul a pólů
Základní metody návrhu IIR filtrů
Poznámka o analogových filtrech (jako vzorech pro návrh)
základní charakteristiky
impulsní charakteristika
obrazový přenos v Laplaceově transformaci
frekvenční charakteristika
základní typy analogových filtrů
Butterworthovy filtry (DP)
Čebyševovy filtry (DP)
eliptické filtry (DP)
( )ht
a
Hs ht K
sn
sp
aa
i
i
r
i
i
m
() { ()}
()
()
==
−
−
=
=
∏
∏
L
1
1
GHjK
jn
jp
e
aa
i
i
r
i
i
m
j
i
i
r
i
i
m
() ( )ωω
ω
ω
ϕψ
==
−
−
∑∑
=
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
∏
∏
==
1
1
11
ma
G
2
0
2
1
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ω
ω
ω
G
C
a
m
p
()ω
ε
ω
ω
2
22
1
1
=
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
()G
E
a
m
p
ω
ε
ω
ω
2
22
1
1
=
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
náčrt rozložení pólů a frekvečních charakteristik
8
2.A Metoda impulsní invariance
Definice podobnosti (v časové oblasti):
Vlastnosti odpovídajícího číslicového filtru– v obrazové a frekvenční oblasti
připomenutí: obrazový přenos a frekvenční charakteristika číslicového filtru obecně:
Impulsní diskretní charakteristika jako „kvazispojitý“ signál:
Dvojí vyjádření frekvenční charakteristiky:
jako spektrum diskretní impulsní charakteristiky vypočtené po jednotlivých složkách
(tj. frekv. charakt. dle definice)
jako spektrum součinu signálů h
a
(t) a v(t), tj. konvoluce jejich spekter
Závěr:
je superposicí nekonečně mnoha replik , vzájemně posunutých o celistvé násobky vzorkovacího
kmitočtu
( )hht
na
tnT
=
=
{}Hz h hz
nn
n
n
()==
−
=
∞
∑
Z
0
()GHz he
ze
n
jnT
n
jT()ω ω
ω
==
=
−
=
∞
∑
0
() () () ( ) ( )( )
∑∑
∞
=
∞
=
−=−==
00
.)(
nn
aav
nTtδnThnTtδthtvthth
() ()(){}() () ()GhtvtGV
T
Gk
va a av
k
ω
π
ωω ωω== =−
=−∞
∞
∑
F. *
1
2
1
ω
π
v
T
=
2
()ωG ( )G
a
ω
() ()ωGehehehhωG
n
nTj
n
TjTj
v
==+++=
∑
∞
=
−−−
0
2.
210
...1.
ωωω
Získaná frekvenční charakteristika je tedy:
tj. je superposicí nekonečně mnoha replik , vzájemně posunutých o celistvé násobky
vzorkovacího kmitočtu
Důsledek:
Má-li být frekvenční charakteristika v pásmu shodná s charakteristikou analogového vzoru,
nesmí se repliky prolínat →
pro
tj. charakteristiky analogových vzorů musí být frekvenčně omezené,
následně nelze takto ani v principu přímo navrhovat horní propusti, pásmové zádrže a fázové korektory
(náčrt)
( )ωG ( )G
a
ω
()G
a
ω = 0
ω ω≥
v
/2
() ()
∑
∞
−∞=
−=
k
vav
kωωG
T
ωG
1
2/0
v
ω,
9
Obdobný závěr pro obrazový přenos :
(neboť jde o jedinečnou racionální lom. funkci → platí-li rovnost na ose jω, platí všude v rovině s)
základní pás, překrývání pásů – viz obr. ↓
Lze ukázat, že tento vztah odpovídá tzv. přímé transformaci mezi rovinami s a z
(zobrazení ) :
pak mezi H(z) a H
a
(s) platí (za předpokladu nepřekrývání)
*
z rovnice * vyplývá shoda frekvenčních charakteristik (v základním pásmu)
,
()Hz
T
Hs
ze
asT
=
=
1
()
ze
sT
=
() () ()ωωω
ω
aa
Tj
G
T
jH
T
eHG
11
)( ===
zs →
() ()Hs
T
Hs jk
vav
k
=−
=−∞
∞
∑
1
ω
Zobrazení z s-roviny do z-roviny přímou transformací z = e
(sT)
vlastnosti zobrazení
označení
• imag. osa v s-rovině na jednotkovou kružnici v z-rovině (navinutí - lineární transformace kmitočtových os)
• levá polorovina s na vnitřek jednotkové kružnice v z (zachování stability)
• póly se transformují podle vztahu , nuly nikoli (rušení a vznik nových nul „vrstvením“)
• transformace je jednoznačná ve směru , opačně nikoli (mnohost analogových charakteristik k daným
diskretním)
s j= +σ ω
TjTsT
eeez
ωσ
==
ze
sT
=
zs →
10
postup návrhu metodou impulsní invariance
pozn.: přímá transformace H
a
(s) na H(z) (dosazením za s) nelze (kvůli „vrstvení“)
vysvětlení postupu:
impu