BCZA3_filtry_IIR

lsní odezva analogového systému jako kombinace komplexních exponenciel :
(*)
z požadavku impulsní invariance plyne
(**)
Laplaceovou transformací z (* )
a z-transformací z (**)
(***)
(stejné koeficienty, přímo transformované póly)
postup v krocích:
•vyjádřit ve formě (*) pomocí rozvoje do parciálních zlomků
• vytvořit přepisem výraz pro podle výrazu (***)
• upravit získaný výraz do podoby vhodné pro realizaci (sloučit konjugované členy → reálné koeficienty systému)
• realizační schema (ilustrační příklad)
ht Ae
ak
pt
k
m
k
()=
=
∑
1
t ≥ 0
hhnT Ae
na k
pnT
k
m
k
==
=
∑
()
1
Hs A
sp
ak
kk
m
()=
−
=
∑
1
1
Hz A
ez
A
z
ze
k pT k pT
k
m
k
m
kk
()=
−
=
−
−
==
∑∑
1
1
1
11
()Hs
a
( )Hz
ilustrační příklad
V katalogu analogových filtrů byl nalezen vzor pro návrh, jehož přenosová funkce je
postup návrhu podle vzoru v krocích:
•vyjádřit ve formě (*) pomocí rozvoje do parciálních zlomků :
jmenovatel se rozloží na součin kořenových činitelů (kořeny jsou póly přenosu, a je nulový bod):
výpočtem se určí koeficienty jednotlivých parciálních zlomků:
• vytvořit přepisem výraz pro podle výrazu (***)
• upravit získaný výraz (sloučit konjugované členy → reálné koeficienty systému)
z posledního vyjádření je patrná poloha nulových bodů a pólů
•z
()sH
a
( )Hz
()
() basbasbas
as
sH
a
j
5,0
j
5,0
22
−+
+
++
=
++
+
=
()
()
22
bas
as
sH
a
++
+
=
( ) bapbaassbas j,02
2,1
22222
±−=⇒=+++=++
()
1j1j
1
5,0
1
5,0
−+−−−−
−
+
−
=
zeze
zH
bTaTbTaT
()
( )
()()
( )
()()
bTaTbTaT
aT
bTaTbTaT
aT
eezeez
zbTez
zeze
zbTe
zH
jj1j1j
1
cos
11
cos1
+−−−
−
−+−−−−
−−
−−
−
=
−−
−
=
11
ilustrační příklad (pokr.)
náčrt konfigurace nulových bodů a pólů
• upravit získaný výraz do podoby vhodné pro realizaci (sloučit konjugované členy → reálné koeficienty systému)
• realizační schema
()
()
()()
( )
221
1
1j1j
1
.cos21
cos1
11
cos1
−−−−
−−
−+−−−−
−−
+−
−
=
−−
−
=
zezebT
zbTe
zeze
zbTe
zH
aTaT
aT
bTaTbTaT
aT
( )()( )
() ()
1
221
.cos
.cos2
−−
−−−−
−+
−=
zzXbTezX
zzYezzYebTzY
aT
aTaT
2.B Metoda přímé transformace nulových bodů a pólů
Definice podobnosti mezi analogovým a digitálním systémem:
v transformačních oblastech - tj. v konfiguraci nulových bodů a pólů
(v s-oblasti lze brát v úvahu pouze základní pás)
Postup:
• všechny nulové body i póly H
a
(z) se transformují podle vztahu z = e
(sT)
• získaná konfigurace nul a pólů H(z) definuje digitální filtr
reprezentuje kořeny polynomů → vyjádření polynomů v H(z) pomocí součinů kořenových činitelů
definuje následně i frekvenční charakteristiku digitálního filtru
poznámka: faktický rozdíl oproti metodě impulsní invariance:
nejen póly, ale i nuly se transformují podle vztahu z = e
(sT),
následně je poněkud odlišná i frekvenční charakteristika
porovnání konfigurace a charakteristiky pro předchozí demonstrační příklad
12
Metoda přímé transformace nulových bodů a pólů
Příklad (navazující na ilustrační návrh předchozí metodou)
získaná konfigurace nul a pólů H(z)
nejen póly, ale i nuly se transformují podle vztahu z = e
(sT),
následně je poněkud odlišná i frekvenční charakteristika
2.C Metoda bilineární transformace
definice podobnosti – ve frekvenční oblasti,
s požadavkem zobrazení celé frekvenční charakteristiky analogového filtru na
přípustný rozsah kmitočtu digitálního filtru
vysvětlení
hledá se jedno-jednoznačné zobrazení
takže
( H(z) a následně i g(..) musí být rovněž racionální lomená funkce)
vyhovující funkce: bilineární transformace
odtud zobrazení kmitočtové osy
a tedy – zkreslení kmitočtové osy při transformaci
demonstrační náčrt
( ) ( ) 1lim,10:)( −===
∞→
sggsgz
s
( )( )zgHsHzH
a
zgs
a
1
)(
1
)()(
−
=
==
−
s
s
sgz
−
+
==
1
1
)(
1
1
)(
1
+
−
==
−
z
z
zgs
α
ω
ω
2
.1
1
1
j
a
a
e
j
j
z =
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
arctan
a
ω
α
( )
ad
T ωαω arctan22 ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
tan
T
d
a
ω
ω
13
Zobrazení z s-roviny do z-roviny bilineární transformací
Vlastnosti zobrazení:
– bilineární transformace inverzibilně transformuje racionální lomenou funkci na jinou, rovněž
racionální lomenou funkci
– celá rovina s se zobrazuje na celou rovinu z inverzibilně, tj. jednojednoznačně
– celá imaginární osa v s-rovině se transformuje jednoznačně a monotónně na jednotkovou kružnici v z-rovině
– levá polorovina v s na vnitřek jednotkové kružnice v z (stabilita)
– nutnost „předzkreslení“ charakteristiky v analogové oblasti podle ω
ω
am
dm
T
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟tan
2
Postup návrhu:
– stanovit význačné body na požadované frekvenční charakteristice digitálního filtru (např. mezní
kmitočty nebo kmitočty nulového přenosu)
–výpočet odpovídajících frekvencí v analogovém vzoru
– návrh vhodného analogového vzoru (zpravidla nalezení v katalogu analogových filtrů)
– substitucí v stanovit potřebné
– úprava výrazu pro do tvaru, vhodného pro realizaci
– vytvoření realizačního schematu
(ilustrační příklad)
ω
ω
am
dm
T
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟tan
2
s
z
z
→
+
−
1
1
( )Hs
a
( )Hz
()Hz
14
ilustrační příklad
Máme navrhnout metodou BLT číslicovou dolní propust s hladkou monotónní frekv. charakteristikou:
() -10 dB na 2000 Hz (toleranční schema)
jako vzor zvolen Butterworthův filtr
– stanovit význačné body na požadované frekvenční charakteristice digitálního filtru:
–výpočet odpovídajících frekvencí v analogovém vzoru podle
– návrh vhodného analogového vzoru (zpravidla nalezení v katalogu analogových filtrů):
Butterworthův filtr s
z tabulek analog. filtrů poloha pólů p
1,2
= - 0,23 ± j 0,23, odtud přenos
ω
ω
am
dm
T
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟tan
2
[ ] [ ] [ ]
2,0.21,0.2
10,rad/s20002,rad/s10002
21
4
21
πωπω
πωπω
==
===
−
TT
sT
DD
DD
[] []rad/s7265,0
2
2 . 0,2
tgrad/s3249,0
2
2 . 0,1
tg
21
====
π
ω
π
ω
AA
2filtruřád235,2,3249,0
0
2
10
=⇒=== n
A
A
ω
ω
ωω
()
()() 1058,046,0
1058,0
2
21
21
++
=
−−
=
sspsps
pp
sH
a
ilustrační příklad (pokr.)
– substitucí v stanovit potřebné
– úprava rovnice do tvaru, vhodného pro realizaci, tedy
– vytvoření realizačního schematu
s
z
z
→
+
−
1
1
()Hs
a
( )Hz
() () ()zXzHzY =
()
()() ()()
21
21
22
4124,01422.11
21
06757