BCZA3_filtry_IIR

,0
1058,01/146.01/1
1058,0
−−
−−
+−
++
=
++−++−
=
zz
zz
zzzz
zH
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2121
206757,04124,01422,1
−−−−
+++−= zzXzzXzXzzYzzYzY
15
příklad:
návrh IIR filtru bilineární transformací
(odpovídá předchozímu
ilustračnímu příkladu)
příklad: návrh IIR pásmové zádrže metodou bilineární transformace na základě Čebyševova filtru
16
pokračování příkladu: návrh téže IIR pásmové zádrže metodou bilineární transformace na základě
Butterworthova filtru
Transformace frekvenčních charakteristik digitálních filtrů
Účel: získání digitálního filtru na základě již existujícího digitálního filtru jiného typu
(většinou z digitální DP: HP, PP, PZ nebo DP s jiným mezním kmitočtem,
možné jsou i jiné kombinace vstupního a výstupního filtru)
Princip:
transformací přenosu H(z) z roviny z výchozího filtru do roviny z’ navrhovaného filtru → H´(z’)
transformace musí splňovat:
()
( )( )Hz Hz Hg z
zg z
'( ') ( )==′
=′
−
−1
1
()zg z
z
z
i
ii
k
==±
−
−
−
=
∏
1
1
1
'
'
'
α
α
ƒ celá rovina z se musí zobrazovat na celou rovinu z´
ƒ jednotková kružnice roviny z se musí jednoznačně zobrazovat
na jednotkovou kružnici roviny z´
ƒ vnitřek jednotkové kružnice v rovině z se musí zobrazovat
na vnitřek jednotkové kružnice v rovině z´
ƒ použitá transformace musí transformovat racionální lomenou funkci H(z)
na rovněž racionální lomenou funkci H´(z’)
je-li určena taková konkrétní transformace g, určí se nová přenosová funkce jako
uvedené požadavky splňuje rodina transformací
konkrétní výrazy pro funkci jsou známy (viz např. tab. 5-1), včetně formulí pro parametry
k = 1, 2
17
Příklad transformace kmitočtové charakteristiky (1.řádu)
konverze dolní propusti na horní propust
transformací
(z formule v limitě pro )
tedy substituce argumentu H(..)
∞→α
()
()( ) ( )'')()'('
1
1
zHzgHzHzH
zgz
−===
−
′=
−
'zz −→
α
α
−
−
=
,
,
1
z
z
z
'zz −=
Příklad transformace kmitočtové charakteristiky (1.řádu)
změna charakteristiky filtru: DP na DP s jiným mezním kmitočtem
transformací
tedy substitucí v H(..)
α
α
−
−
→
,
,
1
z
z
z
()
( )( ) ( )
α
α
−
−−
′=
=′==
−
'
'11
1
)()'('
z
z
zgz
HzgHzHzH
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
=
2
sin
2
sin
,
1
0
0
,
,
TT
TT
z
z
z
m
m
ωω
ωω
α
α
α
18
Příklady jednoduché transformace (2. řádu)
substitucí
dolní propust se konvertuje
na
pásmovou zádrž
resp. na
pásmovou propust
(pozn.: abs. kmitočet v rovině z’ je polovinou kmitočtu v rovině z)
zz→± '
2
Realizace IIR filtrů
Přímé realizace
•přímá forma
vychází z diferenční rovnice
• kanonická forma – jako kaskáda rekurzivní a nerekurzivní části
yLx Ky
nini
i
r
ini
i
m
=−
−
=
−
=
∑∑
01
( ) ( )()Hz H zH z=
12
19
Realizace IIR filtrů
Přímé realizace
• kanonická forma – jako kaskáda rekurzivní a nerekurzivní části
mezilehlý signál (v obraz. oblasti)
výstup (v obraz. oblasti)
přenos prvé části (rekursivní)
přenos druhé části (nerekursivní)
tedy signály v časové oblasti vyjádřené pomocí mezilehlého signálu
stačí tedy jeden zpožďovací řetězec pro w
i
→ realizace je úspornější, neboť vyžaduje pouze zpožď.
registrů
()Hz
Kz
i
i
i
m1
0
1
=
−
=
∑
()Hz Lz
i
i
i
r
2
0
=
−
=
∑
( ) ( ) ( )Hz H zH z=
12
( )()()Wz H z Xz=
1
( )()()Yz H zWz=
2
wx Kw
nn ini
i
m
=−
−
=
∑
1
yLw
nini
i
r
=
−
=
∑
0
max( , )m r
Kombinace systémů 2. řádu
• Kaskádní (seriová) realizace
z podsystémů (bloků) 1. a 2. řádu
Poznámka:
– každá sekce „pokrývá“ některé nulové body a póly,
– jen bloky prvého řádu nestačí – je třeba pokrýt i komplexní nulové body a póly,
– naopak – bloky 1. řádu lze obvykle sloučit po dvou do bloků 2. řádu, pak se vystačí
s unifikovanými stavebními bloky 2.řádu (s různými koeficienty)
()()
()()
rm
m
i
m
i
iii
r
i
i
r
i
ii
z
fzdzcz
ezbzaz
A
zQ
zP
zH
−−
==
==
∏∏
∏∏
−++
−++
==
12
21
11
2
11
2
)(
)(
)(
()Hz
az bz
cz dz
k
kk
kk
=
++
++
−−
−−
1
1
12
12
20
• Paralelní realizace
z podsystémů (bloků) 1. a 2. řádu
rozkladem ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky
poznámka:
• každý blok pokrývá některé dva póly; nulové body vznikají
součinností všech paralelních bloků obecně 2. řádu:
() ()
()
( )
Hz
Pz
Qz
z
Pz
Qz
zAz B
zczd
zF
zf
ii
ii
i
ii
m
i
m
()
()
== =
+
++
+
−
==
∑∑
1
2
11
21
()
21
1
1
−−
−
++
+
=
zdzc
zBA
zH
kk
kk
k
Realizace, založené na stavovém popisu
specielní případ realizace z velmi široké třídy možností:
soustava podsystémů prvního řádu
tj. yAy Bx
nn n
= +
−1
1
11
1
112
2
111
2
21
1
122
2
121
1
1
12
2
11
yay ay ay x
yay ay ay
yay ay a y
nn n m
m
nn
nn n m
m
n
m
nmn mn m
m
n
=++ +
=++
=++
−− −
−− −
−− −
...
...
... ,
M
21
výchozí obecná realizace IIR filtru jako soustavy podsystémů 1. řádu
diferenční rovnice soustavy podsystémů prvního řádu
tj.
z- transformací dostaneme
tedy
yAy Bx
nn n
= +
−1
1
11
1
112
2
111
2
21
1
122
2
121
1
1
12
2
11
yay ay ay x
yay ay ay
yay ay a y
nn n m
m
nn
nn n m
m
n
m
nmn mn m
m
n
=++ +
=++
=++
−− −
−− −
−− −
...
...
... ,
M
() () ( ) ( ) ( )
() () () ()
() () () ()
Y z aY zz a Y zz a Y zz Xz
Y z aY zz a Y zz a Y zz
Y z a Y zz a Y zz a Y zz
mm
mm
mm m mm
111
1
12 2
1
1
1
221
1
22 2
1
2
1
11
1
22
11
=++ +
=++
−− −
−− −
...
...
...
M
( )
()
()
( )az a a
aaz a
aa az
Yz
Yz
Yz
Xz
m
m
mm m m
11 12 1
21 22 2
12
1
2
0
0
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
L
L
M
L
MM
22
řešením tohoto systému lineárních rovnic podle Cramerova pravidla
tedy standardní řešení s přenosem ve tvaru racionální lomené funkce jako u klasické realizace
diferenční rovnice, jde tedy o
realizační možnost ekvivalentní standardním přímým realizacím
vlastnosti:
- vysoký počet parametrů – složitá realizace
- velká pružnost nastavení
- možnosti zjednodušování
()
( )
()
()
()Yz
Xz a a
az a
aaz
az a a
aaz a
aa az
Pz
Qz
Xz
m
m
mmm
m
m
mm m
1
12 1
22 2
2
11 12 1
21 22 2
12
0
0
=
−
−
−
−
−
−
=
L
L
M
L
L
L
M
L
příklad omezené soustavy podsystémů 1. řádu (s pásovou maticí A)
23