Základy lineární algebry

ic) Jestliže A = (aij),B = (bij) jsou matice téhož typu
(m,n), pak součtem matic A,B rozumíme matici C = (cij) typu (m,n), píšeme
C = A + B, jejíž prvky jsou součtem odpovídajících si prvků, tj. cij = aij + bij
pro i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n.
Příklad 5. Jestliže
A =
parenleftBigg 1 2 3
3 1 −5
parenrightBigg
, B =
parenleftBigg −1 −2 3
2 5 −3
parenrightBigg
, pak
A + B =
parenleftBigg 1−1 2−2 3 + 3
3 + 2 1 + 5 −5−3
parenrightBigg
=
parenleftBigg 0 0 6
5 6 −8
parenrightBigg
.
Definice 9.(Násobení matice číslem)K-násobkemmaticeA = (aij) typu (m,n)
rozumíme matici C téhož typu jako A, píšeme C = kA, jejíž prvky jsou k-násobky
prvků matice A, tj. cij = kaij pro i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n.
14
2. Matice
Poznámka 3. Při násobení matice číslem se násobí všechny prvky matice, tj.
k

 a11 ··· a1n.............
am1 ··· amn

 =

 ka11 ··· ka1n................
kam1 ··· kamn

.
Tuto poslední rovnost můžeme ovšem užít i obráceně k vytknutí společného
činitele všech prvků, např.
parenleftBigg 5 10
15 20
parenrightBigg
= 5·
parenleftBigg 1 2
3 4
parenrightBigg
.
Definice 10. Matice (−1)·A se nazývá opačná matice k matici A a označujeme
ji−A.
Jsou-li A,B matice téhož typu, pak výraz A + (−B) se nazývá rozdíl matic
A,B a píšeme A + (−B) = A−B.
Příklad 6. Vypočteme rozdíl matic z předcházejícího příkladu. Zřejmě platí
A−B =
parenleftBigg 1−(−1) 2−(−2) 3−3
3−2 1−5 −5−(−3)
parenrightBigg
=
parenleftBigg 2 4 0
1 −4 −2
parenrightBigg
.
Pro součet matic a pro násobení matice číslem platí jednoduchá početní pra-
vidla, která uvedeme v následující větě.
Věta 1. Jsou-li A,B,C libovolné matice téhož typu, k,k1,k2 libovolná reálná
čísla, pak platí následující vztahy.
1. A + B = B + A (komutativní zákon)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon)
3. A + O = A, kde O je nulová matice téhož typu jako A.
4. A + (−A) = O, kde O je nulová matice téhož typu jako A.
5. 1·A = A
6. k1(k2A) = (k1k2)A (asociativní zákon pro násobení číslem)
7. (k1 + k2)A = k1A + k2A (1. distributivní zákon pro násobení matice
číslem)
8. k(A+B) = kA+kB (2. distributivní zákon pro násobení matice číslem)
15
Lineární algebra
Důkaz věty je snadný. Uvedené vlastnosti vyplývají z definic příslušných početních
operací a vlastností reálných čísel.
Definice 11. (Součin matic) Nechť A = (aij) je matice typu (m,n) a B = (bjk)
je matice typu (n,p). Součinem matice A s maticí B v daném pořadí rozumíme
matici C = (cik) typu (m,p), píšeme C = A·B, pro jejíž prvky platí
cik =
nsummationdisplay
j=1
aijbjk pro i = 1,2,...,m; k = 1,2,...,p.
Poznámka 4. Definice říká, že chceme-li určit prvek cik, musíme odpovídající
členy i-tého řádku první matice vynásobit odpovídajícími členy k-tého sloupce
druhé matice a takto vzniklá čísla sečíst. Proto musí mít první matice řádek
stejně dlouhý jako druhá matice sloupec. Tedy první matice musí mít stejný
počet sloupců jako druhá řádků.
Součin matice A s maticí B můžeme schematicky znázornit takto:
k−tý sloupec k−tý sloupec
i−tý řádek

 ................a
i1 ai2 ··· ain
................







... b
1k
...
... b
2k
...
... ... ...
... b
nk
...





=

 ...........··· c
ik ···
...........

i−tý řádek
cik = ai1·b1k + ai2·b2k + ... + ain·bnk
Příklad 7. Určíme součiny C = A·B a D = B·A pro matice
A =
parenleftBigg 3 1 −2 4
2 1 0 −1
parenrightBigg
, B =



1 3
−1 2
2 −1
−2 −2


.
Řešení. Platí
A·B =
parenleftBigg
3 1 −2 4
2 1 0 −1
parenrightBigg
·



1 3
−1 2
2 −1
−2 −2


=
=
parenleftBigg
3·1 + 1·(−1) + (−2)·2 + 4·(−2) 3·3 + 1·2 + (−2)·(−1) + 4·(−2)
2·1 + 1·(−1) + 0·2 + (−1)·(−2) 2·3 + 1·2 + 0·(−1) + (−1)·(−2)
parenrightBigg
=
=
parenleftBigg
−10 5
3 10
parenrightBigg
= C ,
16
2. Matice
B·A =



1 3
−1 2
2 −1
−2 −2


·
parenleftBigg
3 1 −2 4
2 1 0 −1
parenrightBigg
=



1·3 + 3·2 1·1 + 3·1 1·(−2) + 3·0 1·4 + 3·(−1)
(−1)·3 + 2·2 (−1)·1 + 2·1 (−1)·(−2) + 2·0 (−1)·4 + 2·(−1)
2·3 + (−1)·2 2·1 + (−1)·1 2·(−2) + (−1)·0 2·4 + (−1)·(−1)
(−2)·3 + (−2)·2 (−2)·1 + (−2)·1 (−2)·(−2) + (−2)·0 (−2)·4 + (−2)·(−1)



=



9 4 −2 1
1 1 2 −6
4 1 −4 9
−10 −4 4 −6


= D .
Poznámka 5.
1. Již z příkladu vidíme, že pro násobení matic obecně neplatí komutativní
zákon A·B = B·A. Matice A je typu (2,4), matice B je typu (4,2), proto
součin A·B je typu (2,2), kdežto součin B·A je typu (4,4).
2. Je-li např. matice A typu (2,4), matice B typu (4,5), pak součin A·B
existuje a je to matice typu (2,5), kdežto součin matic B·A není defino-
ván, protože počet sloupců matice B je různý od počtu řádků matice A.
O rovnosti A·B = B·A tedy nemá smysl hovořit.
3. Je-li matice A typu (m,n) a matice B typu (n,m), pak součin A·B je
čtvercová matice řádu m a B·A je čtvercová matice řádu n. Pokud mnegationslash= n,
opět nelze uvažovat o rovnosti matic A·B a B·A, protože nejsou stejného
řádu.
4. Z uvedeného vyplývá, že o platnosti komutativního zákona pro součin matic
lze uvažovat pouze v případě, kdy obě matice jsou čtvercové a stejného řádu.
Na příkladě však uvidíme, že ani v tomto případě komutativní zákon obecně
neplatí. Proto má smysl následující definice.
Definice 12. Čtvercové matice A,B řádu n se nazývají zaměnitelné (komuta-
tivní), jestliže platí A·B = B·A.
Jak snadno zjistíme vynásobením, platí následující tvrzení.
Věta 2. Jsou-li matice A, nulová matice O a jednotková matice E čtvercové
matice stejného řádu n, pak platí
A·O = O·A = O , A·E = E·A = A .
17
Lineární algebra
Tj. nulová a jednotková matice jsou zaměnitelné s libovolnou čtvercovou ma-
ticí stejného řádu.
Příklad 8. Jestliže A =
parenleftBigg 2 0
−3 6
parenrightBigg
, B =
parenleftBigg 1 −1
5 7
parenrightBigg
, pak
A·B =
parenleftBigg 2 0
−3 6
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 −1
5 7
parenrightBigg
=
parenleftBigg 2 −2
27 45
parenrightBigg
B·A =
parenleftBigg 1 −1
5 7
parenrightBigg
·
parenleftBigg 2 0
−3 6
parenrightBigg
=
parenleftBigg 5 −6
−11 42
parenrightBigg
takže A·Bnegationslash= B·A.
Příklad 9. Jestliže A =
parenleftBigg 5 2
4 5
parenrightBigg
, B =
parenleftBigg 2 1
2 2
parenrightBigg
, pak
A·B =
parenleftBigg 5 2
4 5
parenrightBigg
·
parenleftBigg 2 1
2 2
parenrightBigg
=
parenleftBigg 14 9
18 14
parenrightBigg
a B·A =
parenleftBigg 2 1
2 2
parenrightBigg
·
parenleftBigg 5 2
4 5
parenrightBigg
=
parenleftBigg 14 9
18 14
parenrightBigg
takže dané matice A,B jsou zaměnitelné.
Příklad 10. Jestliže A =
parenleftBigg 0 1
0 0
parenrightBigg
,B =
parenleftBigg 1 1
0 0
parenrightBigg
, pak
A·B =
parenleftBigg 0 1
0 0
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 1
0 0
parenrightBigg
=
parenleftBigg 0 0
0 0
parenrightBigg
.
Tedy z rovnice A·B = O neplyne, že některý z činitelů je roven nulové matici.
Příklad 11. Jestliže A =
parenleftBigg 0 1
0 2
parenrightBigg
, B =
parenleftBigg 5 1
3 1
parenrightBigg
, C =
parenleftBigg 2 2
3 1
parenrightBigg
, pak
A·B =
parenleftBigg 0 1
0 2
parenrightBigg
·
parenleftBigg 5 1
3 1
parenrightBigg
=
parenleftBigg 3 1
6 2
parenrightBigg
a A·C =
parenleftBigg 0 1
0 2
parenrightBigg
·
parenleftBigg 2 2
3 1
parenrightBigg
=
parenleftBigg 3 1
6 2
parenrightBigg
.
Tedy z rovnice A·B = A·C nelze činit závěr, že B = C. Tj. při násobení matic
nelze krátit.
Z uvedených příkladů vyplývá, že početní operace s maticemi mají některé
odlišné vlastnosti od početních operací s reálnými čísly. I když nezavádíme nové
názvy a hovoříme stejně jako u reálných čísel o součtu, rozdílu a součinu matic,
je třeba si uvědomit, že jde o početní operace s novými matematickými objekty.
18
2. Matice
Věta 3. (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A,B,C jsou matice, k číslo.
Pak platí následující vztahy.
1. (A·B)·C = A·(B·C) (asociativní zákon)
2. k(A·B) = (kA)·B = A·(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu
matic číslem)
3. (A + B)·C = A·C + B·C (1. distributivní zákon)
4. A·(B + C) = A·B + A·C (2. distributivní zákon)
Důkaz: Především je třeba říci, že ve vlastnostech 1 – 4 nejsou uvedeny typy pří-
slušných matic. Těmto vztahům je třeba rozumět tak, že v případě existence matic na
levé straně existuje i matice na pravé straně a platí uvedená rovnost.
Platnost vztahů se dokáže tak, že matice představující levou i pravou stranu rovnic
jsou stejného typu a odpovídající prvky jsou shodné. Například 2. vlastnost, která říká,
že součin matic lze násobit číslem k v livolném pořadí, pokud pořadí matic zůstane
zachováno, vyplývá z platnosti vztahů k(aij ·bjk) = (k aij)·bjk = aij ·(k bjk)
plynoucí ze záměnnosti násobení čísel.
Poznámka 6. Se součinem matic úzce souvisí mocniny čtvercové matice s
přirozeným exponentem. Místo A·A píšeme stručněji A2, A·A·A = A3, atd.
Mocniny matice rozšiřujeme i pro případ, že exponent je roven nule, a to vztahem
A0 = E, kde E je jednotková matice stejného řádu jako A.
Příklad 12. Vypočteme
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg3
.
Řešení. Platí
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg3
=
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
=
parenleftBigg −5 0
0 −5
parenrightBigg
,
parenleftBigg −5 0
0 −5
parenrightBigg
·
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg
=
parenleftBigg −5 15
−10 5
parenrightBigg
Tedy
parenleftBigg 1 −3
2 −1
parenrightBigg3
=
parenleftBigg −5 15
−10 5
parenrightBigg
.
Na závěr tohoto odstavce uvedeme ještě další operaci maticového počtu.
Definice 13. (Transponování matice)
Jestliže A =



a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
...................
am1 am2 ··· amn



19
Lineární algebra
je matice typu (m,n), potom matici
AT =



a11 a21 ··· am1
a12 a22 ··· am2
..................
a1n a2n ··· amn



typu (n,m) nazýváme transponovaná matice k matici A.
Poznámka 7. Transponovaná matice AT vznikne tedy z matice A tak, že
i-tý řádek matice A napíšeme do i-tého sloupce matice AT. Zaměníme řádky za
sloupce a naopak při zachování jejich pořadí. Označíme-li prvky transponované
matice aTij, pak platí aTij = aji, tj. prvek transponované matice v i-tém řádku a
j-tém sloupci je roven prvku původní matice, který leží v j-tém řádku a i-tém
sloupci.
Příklad 13.
Jestliže A =



2 −1 3
0 −3 1
2 5 −2
1 0 0


 , pak AT =

 2 0 2 1−1 −3 5 0
3 1 −2 0

.
Příklad 14.
Jestliže A =
parenleftBig
a b c
parenrightBig
, pak AT =

 ab
c

.
Tedy transponováním řádkového vektoru dostaneme sloupcový vektor a naopak.
Věta 4. (Základní vlastnosti transponování matic) Nechť A,B,C jsou matice
vhodných typů a k reálné číslo. Pak platí následující vztahy.
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (A·C)T = CT ·AT
4. (kA)T = kAT
Důkaz: Omezíme se jen na důkaz třetí vlastnosti. Ostatní vlastnosti se snadno na-
hlédnou z definice transponování. U druhé vlastnosti předpokládáme, že matice A,B
jsou stejného typu, aby existoval součet A+B.
20
2. Matice
Nechť A = (aij)m,n, pak C = (cjk)n,p, aby existoval součin A·C, a tedy CT =
(cTjk)p,n, AT = (aTi