Vektorová algebra a analytická geometrie

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
VERONIKA CHRASTINOVÁ
MATEMATIKA
MODUL 3
VEKTOROVÁ ALGEBRAA ANALYTICKÁ GEOMETRIE
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
ca13 Veronika Chrastinová 2004
OBSAH 1
Obsah
0 Úvod 2
0.1 Cíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Požadované znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Doba potřebná ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 4
2 Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 15
3 Rovnice roviny 18
4 Rovnice přímky 23
5 Úlohy o rovinách a přímkách 26
6 Ukázka kontrolního testu 49
Úvod 2
0 Úvod
0.1 Cíle
Tento učební text pojednává o analytické geometrii roviny a přímky v trojrozměr-
ném euklidovském prostorua823, kterou popisuje s užitím metod vektorové algebry
a je určen studentům kombinovaného a distančního studia Fakulty stavební VUT
v Brně. Jeho cílem je prohloubení znalostí středoškolské analytické geometrie v
rovině i v trojrozměrném prostoru, potřebné při studiu deskriptivní geometrie i
dalších technických disciplín. V každé z kapitol textu je několik příkladů vyřeše-
ných, v závěru kapitoly je vždy uvedeno pár příkladů neřešených k procvičení s
výsledky, někdy i s nápovědou, jakým způsobem příklad počítat.
0.2 Požadované znalosti
Text předpokládá znalost základních pojmů a výsledků týkajících se řešení sys-
témů lineárních rovnic (Frobeniova věta), počítání s determinanty a některých
vlastností vektorů včetně skalárního součinu vektorů. Ve speciálním případě troj-
rozměrného prostoru však lze také definovat vektorový součina126a97a2a126a98 dvou vektorů
(což je opět vektor), smíšený součin [a126a97a59a126a98a59a126a99] tří vektorů (smíšeným součinem bude
reálné číslo, „skalárcsquotedblright) a tzv.dvojný vektorový součin a126a97a2 (a126a98a2a126a99) (opět vektor v
prostoru a823). Právě tyto pojmy jsou v prvních dvou kapitolách studovány a pak
použity při řešení různých geometrických úloh. Skripta nejsou příliš rozsáhlá a
zabývají se pouze geometrií útvarů lineárních (přímka, rovina).
Připomeňme nyní alespoň stručně některé vlastnosti vektorů, které známe z
předchozího učebního textu [4]. Množina M se nazývá lineárním (vektorovým)
prostorem, jestliže je definován součet a126a120+a126a121 a50 M dvou prvků (vektorů) a126a120a59a126a121 a50 M
a také násobek a107a58a126a120a50 M prvku a126a120 číslem a107. (Můžeme přitom předpokládat a107 a50a82,
obecněji také komplexní číslo a107 a50a67; podle toho hovoříme o vektorovém prostoru
nad množinoua82případněa67.) Platí přitom známá pravidla pro počítání s vektory.
Říkáme, že vektory a126a1181a59a58a58a58a126a118a110 a50 M tvoří bázi prostoru M, jestliže každý vektor
a126a97 a50 M lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru a126a97 = a971a58a126a1181 +a972a58a126a1182 + a1a1a1 +a97a110a58a126a118a110,
kde a971a59a972a59a58a58a58a59a97a110 jsou čísla, tzv.souřadnice vektoru a126a97 v bázi a126a1181a59a126a1182a59a58a58a58a59a126a118a110. Pí-
šeme a126a97 = (a971a59a972a59a58a58a58a59a97a110), přirozené číslo a110 a50 a82 nazýváme dimenzí prostoru
M. V našem případě je množinou M obyčejný trojrozměrný euklidovský prostor
a823, tedy a110 = 3, bází budeme v celém textu rozumět tzv.kanonickou ortonor-
mální bázi vektorů souřadných os a126a1011 = (1a590a590)a59a126a1012 = (0a591a590)a59a126a1013 = (0a590a591)a58
Vektory budeme vždy důsledně značit šipkami: a126a97 = (a971a59a972a59a973) a50 a823. V sa-
motném textu někdy připomeneme pojmy, které bychom už měli znát z před-
chozího studia (např.pojmy kladné resp. záporné orientace báze), zde na závěr
připomeňme alespoň základní vlastnosti skalárního součinu dvou vektorů o sou-
Úvod 3
řadnicích a126a97 = (a971a59a972a59a973)a59a126a98 = (a981a59a982a59a983). Jejich skalární součin definujeme jako
reálné číslo a126a97 a113a126a98 = a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983, přitom platí a126a97 a113a126a98 = a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106a58cosa39, kde
a106a106a126a97a106a106 =
a113
a9721 +a9722 +a9723, a106a106a126a98a106a106 =
a113
a9821 +a9822 +a9823 jsou velikosti (neboli normy) vektorů
a126a97a59a126a98 a a39 je úhel těmito vektory sevřený. Když tedy pro nenulové vektorya126a97a59a126a98 platí
a126a97 a113a126a98 = 0, pak vektorya126a97a59a126a98 jsou kolmé (ortogonální). Ve vzorci skalárního součinu
a126a97 a113a126a98 = a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983 a také v celém textu přitom výrazná tečka „ a113 csquotedblright vždy
značí součin skalární (dvou vektorů), obyčejná tečka „ .csquotedblright je pouhým násobením
reálným číslem.
0.3 Doba potřebná ke studiu
Pro studium vektorových prostorů, vektorové algebry a analytické geometrie jsou
novém učebním plánu řádného studia vyhrazeny celkem 4 hodiny přednášek a
4 hodiny cvičení. Je to vzhledem k rozsahu problematiky i k jejímu propojení s
dalším studiem poměrně málo a vyžaduje to kvalitní předběžné (středoškolské)
znalosti problematiky a rozvinutou schopnost logického uvažování. Kombinované
studium je více individuální, přesto však lze brát uvedené časové údaje aspoň
jako výchozí.
0.4 Klíčová slova
Klíčová slova: operace s vektory, analytická geometrie lineárních útvarů.
Na závěr alespoň stručně o doporučené studijní literatuře, která spolu s rejstří-
kem nejdůležitějších pojmů celý text uzavírá. Skripta [1], [2] a [3] byla vydána
přímo naší fakultou; [1] je pěknou sbírkou neřešených příkladů (uvedených vždy
s výsledky), [4] je text bezprostředně předcházející tomuto studijnímu textu.
Osvědčené učebnice [5], [6] a [7] jsou často velice podrobné a proto je můžeme
doporučit studentům zejména k samostatnému studiu. Z krásných, stále znovu
vydávaných učebnic s mnoha příklady a obrázky, které zejména v Irsku, Velké
Británii a v Americe zachránily spoustu studentů před špatnou známkou z ma-
tematiky, jsem do seznamu literatury zapsala alespoň učebnice [8], [9] a [10].
Druhou z nich už máme v brněnské Moravské zemské knihovně, třetí určitě brzy
objednáme. Poslední dvě učebnice [11] a [12] jsou volně přístupné v elektronické
podobě, ale vyžadují někdy hlubší předběžné znalosti.
Děkuji panu doc.Jiřímu Valovi za rady a podstatnou pomoc při přípravě to-
hoto textu a přeju všem, kteří budou vektorovou algebru a analytickou geometrii
studovat, pěkné příklady a úspěch u zkoušky.
Dr.Veronika Chrastinová 20.června 2004.
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 4
1 Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů
a jejich vlastnosti
Zatímco skalární součina126a97 a113a126a98 = a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983 dvou vektorů z prostoru a823 je
reálné číslo (neboli „skalárcsquotedblright), vektorovým součinem vektorů a126a97a59a126a98 a50 a82 bude opět
vektor; tento vektor označíme symbolema126a97a2a126a98. Jak navíc dále uvidíme, vektorový
součin a126a97a2a126a98 budeme na rozdíl od součinu skalárního počítat pouze pro vektory
a126a97 = (a971a59a972a59a973)a59 a126a98 = (a981a59a982a59a983) v prostoru a823. Zobecnění vektorového součinu pro
prostory vyšších dimenzí je sice možné, ale my se jím zde nebudeme zabývat.
Jak vypadá vektor a126a97a2a126a98 ? Mohli bychom si napsat přímo definiční vzorec
pro jeho souřadnice pro zadané vektory a126a97a59a126a98 v prostoru a823, ale z tohoto vzorce
bychom nic zajímavého nepoznali. Začněme raději geometrickým významema126a97a2a126a98;
definujme jeho směr a velikost.
Směr vektoru a126a97a2a126a98. Pokud vektory a126a97a59a126a98 nejsou kolineární (neleží v jedné
přímce), pak určují rovinu. Definujme nyní vektor a126a97a2a126a98 jako vektor, který je k
této rovině kolmý – musíme však kromě jeho velikosti definovat také jeho orien-
taci, protože vektor normály roviny může mít dvojí orientaci a126a110 a také a0a126a110. Nechť
vektorovým součinema126a97a2a126a98 je tedy vektor normály takový, že uspořádaná trojice
vektorůa126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98 je tzv. pozitivně orientovaná. Jak již víme z předchozího učeb-
ního textu z kapitoly o orientovaných bázích, pozitivní (neboli kladnou) orientaci
vektorůa126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98můžeme snadno popsat pomocí tzv.„pravidla pravé rukycsquotedblright takto:
ukazuje-li ukazováček pravé ruky ve směru vektoru a126a97 a prostředníček ve směru
vektoru a126a98, pak palec ukazuje směr vektoru a126a97a2a126a98. Pravidlo pravé ruky můžeme
také popsat tak, že ukazují-li naše zahnuté prsty pravé ruky ve směru od vektoru
a126a97 (prvního vektoru v dané trojici) k vektorua126a98 (druhému vektoru v dané trojici),
pak opět palec ukazuje směr vektoru a126a97a2a126a98. Poznamenejme, že pořadí vektorů v
trojici a126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98 je důležité – při změně v pořadí např. prvních dvou vektorů na
a126a98a59a126a97a59a126a97a2a126a98bychom z trojice vektorů pozitivních dostali trojici vektorů negativních.
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 5
K tomu se ještě později podrobněji vrátíme.
Velikost (neboli v a823 norma) vektoru a126a97a2a126a98. Opět předpokládejme, že
vektorya126a97a59a126a98 nejsou rovnoběžné. Pak tyto vektory určují rovnoběžník se stranami
a126a97a59a126a98a obsahema80, tento obsah lze snadno vypočítat. Označmea39úhel mezi vektory
a126a97a59a126a98, pak sina39 = a104a61a106a106a126a98a106a106, kde a104 je výškou rovnoběžníka, odtud a104 = a106a106a126a98a106a106a58sina39.
Plocha a80 rovnoběžníka sestrojeného nad vektory a126a97a59a126a98 je rovna součinu velikostí
jeho základny a výšky, tedy
a80 = a106a106a126a97a106a106a58a104 = a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106a58sina39a58
a45a2
a2
a2
a2
a2
a2a14
a112a112a112a112
a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112
a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112
a126a97
a126a98 a104
a39 a112 a45a2a2
a2
a2
a2
a2a14
a112a112a112a112
a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112a112
a112a112a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112
a126a97
a126a98
a54
a126a97a2a126a98
a112a112
Definujme nyní velikost a106a106a126a97 a2a126a98a106a106 jako obsah a80 rovnoběžníka sestrojeného nad
vektorya126a97a59a126a98, tedy a106a106a126a97a2a126a98a106a106 = a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106a58sina39.
V případě rovnoběžných vektorů a126a97a59a126a98 (tedy a126a97 = a107a58a126a98, kde a107 a50 a82) má rovnoběžník
nulový obsah – vektory ležící v přímce vlastně žádný rovnoběžník neurčují. V tom
případě vychází a126a97a2a126a98 = a126a111, neboť sina39 = sin0 = 0. Nulový vektor a126a111 dostaneme
také tehdy, je-li některý z vektorůa126a97a59a126a98 nulový (nebo i proa126a97 =a126a98 =a126a111).
Nyní můžeme vše shrnout do následující definice.
Definice 1.1: Nechť a126a97a59a126a98 jsou dané vektory, pak jejich vektorový součin
definujeme jako vektora126a97a2a126a98, pro který platí:
1) a126a97a2a126a98 je kolmý k rovině určené vektorya126a97a59a126a98 (a je tedy kolmý také ke každému
z vektorůa126a97a59a126a98),
2) uspořádaná trojice vektorůa126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98 je pozitivně orientovaná,
3) a106a106a126a97a2a126a98a106a106 = a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106a58sina39, kde a39 je úhel sevřený vektorya126a97a59a126a98.
Je-li některý z vektorůa126a97a59a126a98 roven nulovému vektoru, definujemea126a97a2a126a98 =a126a111.
Užitím vektorového součinu můžeme snadno najít vektora126a97a2a126a98 kolmý k oběma
vektorům a126a97a59a126a98 (tedy vektor normály roviny, která je jimi určena), dále obsah
rovnoběžníkaa80 = a106a106a126a97a2a126a98a106a106 sestrojeného nad vektorya126a97a59a126a98, odtud také snadno obsah
trojúhelníka se stranami a126a97a59a126a98. Obsah tohoto trojúhelníka je totiž rovna polovině
obsahu rovnoběžníkaa80a612 = a106a106a126a97a2a126a98a106a106a612, neboť každá z úhlopříček dělí rovnoběžník
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 6
na dva stejné trojúhelníky. V kapitole 5 budeme používat vektorový součin také k
výpočtu vzdáleností v prostoru a823; např. vzdálenosti dvou mimoběžných přímek.
Vysvětlili jsme si geometrický význam vektorového součinu, ale ještě jsme
se ho nenaučili počítat: neznáme prozatím jeho souřadnicové vyjádření. Uveďme
nyní vzorce pro počítání souřadnic vektorua126a97a2a126a98 :
Věta 1.1: Nechťa126a97 = (a971a59a972a59a973)a59a126a98 = (a981a59a982a59a983) v kartézské souřadné soustavě
vektorů a126a1011a59a126a1012a59a126a1013. Pak platí
a126a97a2a126a98 =
a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a58a126a1011 a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a58a126a1012 +
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12a58a126a1013a58
Podle uvedené věty lze tedy vektora126a97a2a126a98psát ve tvaru jednoduchého determinantu,
kde však v prvním řádku nejsou jen čísla (jak jsme zvyklí z lineární algebry), ale
vektory souřadnicových os a126a1011 = (1a590a590)a59 a126a1012 = (0a591a590)a59 a126a1013 = (0a590a591), ve druhém
a třetím řádku pak souřadnice vektorůa126a97a59a126a98. Rozvojem tohoto determinantu podle
prvního řádku totiž dostaneme okamžitě vzorec uvedený ve větě:
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a58a126a1011 a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a58a126a1012 +
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12a58a126a1013 =a126a97a2
a126a98a58
Vektora126a97a2a126a98 tedy můžeme psát přímo v souřadnicovém tvaru
a126a97a2a126a98 =
a32a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12
a33
a58
Nyní si větu 1.1 dokážeme – ověříme, že vektora126a97a2a126a98 uvedený v této větě splňuje
všechny tři podmínky z definice vektorového součinu. V důkazu poslední z těchto
podmínek budeme potřebovat tzv.Lagrangeovu identitu, prověřme si tedy její
platnost v následující poznámce.
Poznámka. Nechť a126a97 = (a971a59a972a59a973),a126a98 = (a981a59a982a59a983) jsou nenulové vektory, pak
platí
a106a106a126a97a2a126a98a106a1062 = a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062 a0(a126a97 a113a126a98)2a58
Je-li podle věty 1.1 vektor
a126a97a2a126a98 =
a32a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12
a33
=
(a972a58a983 a0a973a58a982a59 a973a58a981 a0a971a58a983a59 a971a58a982 a0a972a58a981)a59
můžeme vypočítat levou, resp. pravou stranu Lagrangeovy identity takto:
a106a106a126a97a2a126a98a106a1062 = (a972a58a983 a0a973a58a982)2 + (a973a58a981 a0a971a58a983)2 + (a971a58a982 a0a972a58a981)2a59
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 7
a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062 a0(a126a97 a113a126a98)2 = (a9721 +a9722 +a9723)a58(a9821 +a9822 +a9823)a0(a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983)2a58
Roznásobíme-li podrobně oba výrazy na pravé straně těchto dvou rovnic, ihned
uvidíme, že jsou stejné. Tím je Lagrangeova identita dokázána a máme vše při-
praveno k důkazu věty 1.1.
D˚ukaz: Dokážeme postupně všechny tři podmínky uvedené v definici vekto-
rového součinu.
První podmínku kolmosti vektorua126a97a2a126a98k oběma vektorůma126a97a59a126a98prověříme přímým
výpočtem. Víme, že pro navzájem kolmé vektory musí vyjít jejich skalární součiny
(a126a97a2a126a98) a113a126a97, (a126a97a2a126a98) a113a126a98 nulové. Počítejme
(a126a97a2a126a98) a113a126a97 =
a32a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12
a33
a113 (a971a59a972a59a973) =
a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a58a971 a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a58a972 +
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12a58a973 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a971 a972 a973
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 0a59
zcela analogicky bychom ověřili (a126a97 a2a126a98) a113a126a98. V tomto případě by ve výsledném
determinantu v prvním a ve třetím řádku byl tentýž vektor (a981a59a982a59a983) a takový
determinant je nutně nulový.
Abychom dokázali druhou podmínku pozitivnosti trojice vektorůa126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98, označme
nejdříve složky vektorua126a97a2a126a98 = (a1191a59a1192a59a1193), tedy
(a1191a59a1192a59a1193) =
a32a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12
a33
a58
Jestliže je trojice a126a97a59a126a98a59a126a97a2a126a98 pozitivně orientovaná, musí podle definice v před-
cházejících učebních textech platit
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a1191 a1192 a1193
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a62 0. Ale to je snadné ukázat,
neboť rozvojem podle posledního řádku dostaneme:
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a1191 a1192 a1193
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12
a972 a973
a982 a983
a12a12
a12a12
a12a58a1191 a0
a12a12
a12a12
a12
a971 a973
a981 a983
a12a12
a12a12
a12a58a1192 +
a12a12
a12a12
a12
a971 a972
a981 a982
a12a12
a12a12
a12a58a1193 =
a1191a58a1191 +a1192a58a1192 +a1193a58a1193 = a11921 +a11922 +a11923 = a106a106a126a119a106a1062 a62 0a58
Zbývá dokázat platnost poslední podmínky a106a106a126a97a2a126a98a106a106 = a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106a58sina39, k tomu bu-
deme potřebovat právě výše uvedenou Lagrangeovu identitu. Podle této identity
a známého vzorce cosa39 = (a126a97 a113a126a98)a61(a106a106a126a97a106a106a58a106a106a126a98a106a106) pro počítání skalárního součinu a126a97 a113a126a98
dvou vektorů svírajících úhel a39 platí:
a106a106a126a97a2a126a98a106a1062 = a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062 a0(a126a97 a113a126a98)2 = a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062 a0a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062a58cos2a39 =
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 8
a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062a58(1a0cos2a39) = a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062a58sin2a39a58
Odmocníme-li výsledný vztah a106a106a126a97a2a126a98a106a1062 = a106a106a126a97a106a1062a58a106a106a126a98a106a1062a58sin2a39, dostaneme ihned třetí
definiční podmínku, neboť a106sina39a106 = sina39 pro 0 a20a39a20a25.
Větu 1.1 bychom mohli také dokázat přímým výpočtem vektoru
a126a97a2a126a98 = (a971a58a126a1011 +a972a58a126a1012 +a973a58a126a1013)a2(a981a58a126a1011 +a982a58a126a1012 +a983a58a126a1013)a59
k tomu bychom však potřebovali znalost tzv. smíšeného součinu vektorů a důkaz
by určitě nebyl kratší ani přehlednější.
V následujícím odstavci si podrobněji všimneme vlastností vektorového sou-
činu. Nejdříve pro speciálně zvolené vektorya126a97a59a126a98– vypočítáme si vektorové součiny
pro případ vektorů souřadnicových os a126a1011 = (1a590a590)a59 a126a1012 = (0a591a590)a59 a126a1013 = (0a590a591).
Z definice vektorového součinu a také z jeho souřadnicového vyjádření snadno
vidíme, že platí
a126a1011 a2a126a1012 =a126a1013a59 a126a1012 a2a126a1011 = a0a126a1013a59 a126a1012 a2a126a1013 =a126a1011a59 a126a1013 a2a126a1012 = a0a126a1011a59
a126a1013 a2a126a1011 =a126a1012a59 a126a1011 a2a126a1013 = a0a126a1012a59 a126a1011 a2a126a1011 =a126a1012 a2a126a1012 =a126a1013 a2a126a1013 =a126a111a58
Např. chceme-li „uhodnoutcsquotedblright z obrázku, jak vypadá vektora126a1011a2a126a1012, stačí si uvědo-
mit, že vektor a126a1013 je skutečně kolmý k oběma vektorům a126a1011a59a126a1012, orientace a126a1011 a2a126a1012 =
+a126a1013 plyne ihned z pravidla pravé ruky. Změníme-li pořadí vektorůa126a1012a2a126a1011, vychází
užitím pravidla pravé ruky vektor opačný a126a1012 a2a126a1011 = a0a126a1013 :
a45
a126a1012
a54a126a1011a2a126a1012
a0
a0
a0
a0a9a126a1011
a45
a126a1012
a54a126a1013
a0
a0
a0
a0a9a126a1012a