Vektorová algebra a analytická geometrie

o součinu
[a126a97a59a126a98a59a126a99] =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a991 a992 a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a58
2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 16
Tento vzorec lze snadno ověřit na základě definice skalárního a vektorového sou-
činu: zřejmě platí
[a126a97a59a126a98a59a126a99] =a126a97 a113 (a126a98a2a126a99) = (a971a59a972a59a973) a113
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a981 a982 a983
a991 a992 a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a59
ale také
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a991 a992 a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= a971a58
a12a12
a12a12
a12
a982 a983
a992 a993
a12a12
a12a12
a12a0a972a58
a12a12
a12a12
a12
a981 a983
a991 a993
a12a12
a12a12
a12+a973a58
a12a12
a12a12
a12
a981 a982
a991 a992
a12a12
a12a12
a12 =
(a971a59a972a59a973) a113
a32a12a12
a12a12
a12
a982 a983
a992 a993
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
a981 a983
a991 a993
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
a981 a982
a991 a992
a12a12
a12a12
a12
a33
= (a971a59a972a59a973) a113
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a981 a982 a983
a991 a992 a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a58
Z tohoto odvození také vidíme, že výměnou dvou vektor˚u v uspořádané tro-
jici a126a97a59a126a98a59a126a99 jejich smíšený součin skutečně vždy změní znaménko, jak ihned plyne
z vlastností determinant˚u. Dále je zřejmé, že [a126a97a59a126a98a59a126a99] = 0, právě když aspoň jeden
z vektor˚u a126a97a59a126a98a59a126a99 je nulový nebo vektory a126a97a59a126a98a59a126a99 jsou lineárně závislé, a tedy kom-
planární (lze je umístit v jediné rovině). V následující větě se zaměříme na již
zmiňované (ale zatím nedokázané) tvrzení o geometrickém významu smíšeného
součinu:
Věta 2.1: Umístíme-li tři lineárně nezávislé vektorya126a97a59a126a98a59a126a99va823 do společného
bodu a77 a sestrojíme-li rovnoběžnostěn s hranami a126a97a59a126a98a59a126a99 (podle obrázku), platí
pro objem a86 takového rovnoběžnostěnu
a86 = a106[a126a97a59a126a98a59a126a99]a106a58
a77
a39
a45a126a97a17a17
a17a51a126a98
a0
a0
a0
a0a18a126a99
a17a17
a17
a17a17
a17
a17a17
a17
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a112 a112 a112 a112 a112
a112 a112 a112 a112 a112
a112 a112 a112 a112 a112
a112 a112 a112 a112 a112
a112
a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112
a54a126a110
a104a112a112a112a112
a112a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112a112
D˚ukaz: Uvažujme jednotkový vektor a126a110 kolmý na vektorya126a97 aa126a98. Zřejmě je
a126a110 = a126a97a2
a126a98
a107a126a97a2a126a98a107a58
Výška a104 rovnoběžnostěnu je rovna délce pr˚umětu vektorua126a99 do směrua126a110. Svírají-li
vektory a126a99 a a126a110 úhel a39, platí tedy
a106a126a99 a113a126a110a106 = a107a126a99a107a58a107a126a110a107a58a106cosa39a106 = a107a126a99a107a58a106cosa39a106 = a107a126a99a107a1 a104a107a126a99a107 = a104a59
2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 17
z čehož dostaneme
a104 = a106a126a99 a113a126a110a106a58
Protože obsah základny rovnoběžnostěnu určené vektory a126a97a59a126a98 je roven a107a126a97a2a126a98a107,
vychází
a86 = a104a58a107a126a97a2a126a98a107 = a106a126a99 a113a126a110a106a58a107a126a97a2a126a98a107 = a106a126a99 a113 a126a97a2
a126a98
a107a126a97a2a126a98a107a106a58a107a126a97a2
a126a98a107 = a106a126a99 a113 (a126a97a2a126a98)a106 = a106[a126a97a59a126a98a59a126a99]a106a58
Všimněme si ještě, že každý rovnoběžnostěn lze rozdělit na dva trojboké hra-
noly stejného objemu s vrcholy ve vrcholech p˚uvodního rovnoběžnostěnu; každý
z těchto trojbokých hranol˚u lze obdobným zp˚usobem ještě dále rozdělit na tři
čtyřstěny . Objem čtyřstěnu o zadaném vrcholu a77 s hranami a126a97a59a126a98a59a126a99 z předchozí
věty tedy je a86a3 = a86a616. Chceme-li využít d˚ukazu předchozí věty, m˚užeme ke stej-
nému závěru dospět i výpočtem
a86a3 = 13 a1 a107a126a97a2
a126a98a107
2 a1a104 =
1
6 a1a107a126a97a2
a126a98a107a1a104 = a86
6 a58
Příklad 2.1: Vypočítejte smíšený součin vektor˚ua126a97 = (2a591a59a03),a126a98 = (1a592a593),
a126a99 = (1a591a591).
Řešení:
[a126a97a59a126a98a59a126a99] =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
2 1 a03
1 2 3
1 1 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 4 + 3a03 + 6a01a06 = 3a58
Příklad 2.2: Čtyřstěn je určen body a65 = [a04a594a59a02], a66 = [0a593a591], a67 =
[a02a59a04a593] a a68 = [1a59a05a594]. Zjistěte jeho objem a86a3 a vzdálenost a14 vrcholu a68 od
stěny a65a66a67.
Řešení: Označme a126a97 = a0a33a65a68 = (5a59a09a596),a126a98 = a0a33a66a68 = (1a59a08a593) a a126a99 = a0a33a67a68 =
(3a59a01a591). Pak
[a126a97a59a126a98a59a126a99] =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
5 a09 6
1 a08 3
3 a01 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a013 a03 6
a08 a05 3
0 0 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12
13 3
8 5
a12a12
a12a12
a12 = 65a024 = 41a59
hledaný objem je tedy a86a3 = 41a616. Pro geometrickou představu m˚užeme použít
obrázek z předešlé věty; a65a59a66a59a67 jsou koncové body vektor˚u a126a97a59a126a98a59a126a99, místo bodu
a77 zde máme zadaný vrchol a68. Podstava a65a66a67 má hrany určené vektory a126a117 =
a126a97a0a126a98 = (4a59a01a593) aa126a118 =a126a99a0a126a98 = (2a597a59a02). Pro obsah a80 podstavy a65a66a67 tedy platí
2a58a80 = a107a117a2a118a107, přitom
a117a2a118 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
4 a01 3
2 7 a02
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12
a32a12a12
a12a12
a12
a01 3
7 a02
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
4 3
2 a02
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
4 a01
2 7
a12a12
a12a12
a12
a33a12a12
a12a12
a12 =
3. Rovnice roviny 18
(2a021a598 + 6a5928 + 2) = (a019a5914a5930)a59
takže
2a58a80 = a106(a019a5914a5930)a106 = a112361 + 196 + 900 = a1121457a58
Pro hledanou vzdálenost a14 tedy dostaneme
a14 = a86a3a61a80 = 41a616a1121457a612 = 413a58a1121457 a58
Vzdálenost a14 bychom mohli vyčíslit také ze vzorce pro vzdálenost bodu a68 od
roviny zadané body a65, a66 a a67; tomuto postupu se budeme věnovat podrobněji,
až se budeme v rámci analytické geometrie zabývat vzdálenostmi v a823.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 2.3: Zjistěte, pro kterou hodnotu reálného parametru a11 a50 a82 vlast-
nosti 0 a20a11a20 4 má čtyřstěn o vrcholech a65 = [0a590a590], a66 = [a11a59a11a59a11], a67 = [a11a592a590]
a a68 = [a01a590a591] maximální objem a pro kterou degeneruje v trojúhelník.
Výsledek: Objem zadaného čtyřstěnu je a11a58(4a0a11)a616; maximální (rovný 4) je
pro a11 = 2, minimální (nulový) pro a11 = 0 nebo a11 = 4.
Příklad 2.4: Jsou dány body a65 = [1a592a59a03]a59a66 = [0a597a59a01]a59a67 = [4a59a05a59a09]a58
Najděte bod a68 tak, aby ležel na ose a120 a rovnoběžnostěn určený body a65a66a67a68 měl
objem 48.
Výsledek: Úloha má dvě řešení a681 = [a07a612a590a590]a59a682 = [5a612a590a590].
Příklad 2.5: Dokažte, že dané bodya65 = [1a592a59a01]a59a66 = [0a591a595]a59a67 = [a01a592a591],
a68 = [2a591a593] leží v jedné rovině, ale neleží na jedné přímce.
Příklad 2.6: Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory
a126a97 = 3a58a126a1011 + 2a58a126a1012a59a126a98 = 2a58a126a1011 + 3a58a126a1012a59a126a99 = a126a1011 + 2a58a126a1012 + 3a58a126a1013, obsah stěny sestrojené nad
vektorya126a97a59a126a98 a velikost výšky na tuto stěnu.
Výsledek: a86 = 15a59 a80 = 5, výška a118 = 3.
3 Rovnice roviny
V řadě příklad˚u jsme poukázali na geometrickou interpretaci vektor˚u v a823 a ope-
rací s nimi. Ve zbytku tohoto učebního textu uplatníme v jistém smyslu obrácený
přístup – jednotlivé geometrické objekty v a823 budeme studovat s využitím zna-
lostí vektor˚u v a823. Nejprve se seznámíme s možnými tvary rovnic rovin a přímek,
pak se budeme zabývat jejich vzájemnými polohami, pr˚uniky, vzdálenostmi a
dalšími vlastnostmi.
Při studiu geometrických objekt˚u v a823 (na rozdíl od formálních operací s vek-
tory) musíme vždy nejprve vymezit umístění geometrických objekt˚u. Chceme-
li studovat rovnice roviny a26, tj.jistého lineárního podprostoru a823 dimenze 2,
3. Rovnice roviny 19
zvolme pevně nějaký bod a800 = [a1200a59a1210a59a1220] roviny a26 a uvažujme nenulový vektor
a126a110 = (a97a59a98a59a99) kolmý k této rovině. Je-li a80 = [a120a59a121a59a122] libovolný bod roviny a26 (obecně
r˚uzný od pevně zvoleného bodu a800), tvoří vektora126a110 a vektor s počátečním bodem
a800 a koncovým bodem a80 vzájemně ortogonální dvojici vektor˚u (speciálně pro
a80 = a800 je druhý z těchto vektor˚u nulový). Platí tedy
a126a110 a113 a0a33a800a80 = 0
neboli (a97a59a98a59a99) a113 (a120a0a1200a59a121a0a1210a59a122a0a1220) = 0a58 Tuto rovnost m˚užeme přepsat ve tvaru
a97a58(a120a0a1200) +a98a58(a121a0a1210) +a99a58(a122a0a1220) = 0 nebo také
a97a58a120+a98a58a121+a99a58a122 +a100 = 0a59 kde a100 = a0a97a58a1200 a0a98a58a1210 a0a99a58a1220a58
Tento tvar nazýváme obecnou rovnicí roviny a26, příslušný vektor a126a110 pak nazý-
váme normálovým vektorem roviny a26.
a121
a122
a0
a0
a0
a0
a0
a0a120
a1
a1
a1
a1
a1
a1a26
a64
a64
a64
a64
a64
a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a27a80 a112a112a112a112a112
a112a112a112a112a125a800a8a8
a8a25
a0a0a18
a126a110
Ukážeme si nyní, že libovolná rovnice zapsaná v tomto tvaru je za předpo-
kladu, že aspoň jedno z čísel a97a59a98a59a99 a50 a82 je nenulové (což m˚užeme zapsat ve
formě podmínky a972 +a982 +a992 a54= 0 čili a107(a97a59a98a59a99)a107 a54= 0), vždy skutečně rovnicí ro-
viny v a823. Vyberme libovolný pevný bod a800 = [a1200a59a1210a59a1220], který splňuje rovnici
a97a58a1200 +a98a58a1210 +a99a58a1220 +a100 = 0. Vzájemným odečtením rovnic a97a58a120+a98a58a121 +a99a58a122 +a100 = 0
a a97a58a1200+a98a58a1210+a99a58a1220+a100 = 0 ihned dostaneme a97a58(a120a0a1200)+a98a58(a121a0a1210)+a99a58(a122a0a1220) = 0.
Vidíme tedy, že (a97a59a98a59a99) a113 (a120a0a1200a59a121a0a1210a59a122a0a1220) = 0, což nás přivádí zpět k výchozí
rovnici
a126a110 a113 a0a33a800a80 = 0 pro a126a110 = (a97a59a98a59a99) a a0a33a800a80 = (a120a0a1200a59a121a0a1210a59a122a0a1220)a59
jde tedy vždy o rovnici roviny v a823.
Rovinu a26, jež prochází bodem a800 kolmo k vektoru a126a110 = (a97a59a98a59a99), m˚užeme určit
také vektorovou rovnicí roviny
a126a110 a113 (a126a114a0a126a1140) = 0a59
3. Rovnice roviny 20
v němž a126a114 = (a120a59a121a59a122) m˚užeme interpretovat jako polohový vektor obecného bodu
a80 a a126a1140 = (a1200a59a1210a59a1220) jako polohový vektor pevně zvoleného bodu a800 a50 a26 (viz
obrázek). Vektor a126a110 není ovšem určen jednoznačně: rovnice
a126a109 a113 (a126a114a0a126a1140) = 0a59
v níž a126a109 = a107a58a126a110 pro jakékoli nenulové reálné číslo a107, je také vektorovou rovnicí
téže roviny a26 a obdobně rovnice
(a107a58a97)a58a120+ (a107a58a98)a58a121+ (a107a58a99)a58a122 + (a107a58a100) = 0
je rovněž obecnou rovnicí roviny a26. V praxi někdy pracujeme jen s jednotkovým
normálovým vektorem a126a110 – i jeho výběr je však dvojznačný, zpravidla však není
d˚uležité, které orientaci vektoru a126a110 bychom měli dávat přednost.
Je-li a100 = 0, protíná rovina a26 všechny souřadnicové osy v počátku souřadnic,
případně m˚uže jednu i dvě ze souřadnicových os obsahovat. Ve všech ostatních
případech lze obecnou rovnici roviny a26 dělit číslem a0a100; dostáváme tedy
a0(a97a61a100)a58a120a0(a98a61a100)a58a121a0(a99a61a100)a58a122 = 1a58
Z této rovnice již dokážeme snadno určit, jaké úseky vytíná rovina a26 na souřadni-
cových osách: např.položíme-li a121 = a122 = 0 (tj.zabýváme se pouze body na ose a120),
obdržíme a0(a97a61a100)a58a120 = 1, tedy pokud a97 a54= 0 ihned a120 = a0a100a61a97, což je hledaný úsek
na ose a120. Za předpokladu a97 = 0 dostaneme neřešitelnou rovnici 0a58a120 = 1, která
říká, že rovina nemá s osou a120 žádný reálný pr˚usečík, a je s ní tedy rovnoběžná.
Za dodatečných předpoklad˚u a97 a54= 0, a98 a54= 0 a a99 a54= 0 jsme tedy schopni určit čísla
a11 = a0a100a61a97, a12 = a0a100a61a98 a a13 = a0a100a61a99, která udávají úseky vyt’até rovinou a26 na osách
a120a59a121a59a122. Dostáváme tak úsekovou rovnici roviny a26
a120
a11 +
a121
a12 +
a122
a13 = 1a58
Levá část obrázku ukazuje polohu roviny a26 v˚uči osám souřadnic: viditelné jsou
stopy roviny na souřadnicových rovinách (v deskriptivní geometrii „pr˚umětnáchcsquotedblright)
a část roviny v prvním oktantu v případěa97a54= 0,a98a54= 0 aa99a54= 0, pravá část obrázku
názorně ukazuje, co se změní v případě a97 a54= 0, a98 = 0 a a99 a54= 0. Vrátíme-li se ještě
k předchozímu obrázku (s jehož pomocí jsme odvozovali rovnice roviny), vidíme,
že zde bylo a97a54= 0, a98a54= 0 a a99a54= 0; pr˚unik roviny a26 s osou a120 ovšem nebyl viditelný,
protože úsek a11 vyšel záporný.
3. Rovnice roviny 21
a121
a122
a0
a0
a0
a0
a0
a0a120
a8a8
a8a8
a8a8
a8a8
a8a8
a11
a64
a64
a64
a64
a64
a12
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a13
a121
a122
a0
a0
a0
a0
a0
a0a120
a11a1a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1a13
Představme si nyní, že na obrázku, na němž jsme ukázali odvození obecné
rovnice rovinya26, jsme do bodua800 umístili takovou dvojici nekolineárních vektor˚u
a126a117 = (a1171a59a1172a59a1173) aa126a118 = (a1181a59a1182a59a1183) za823, která leží v roviněa26. Protože vektorya126a114a0a126a1140,
a126a117 a a126a118 jsou komplanární, můžeme každý vektor a126a114, jenž má počáteční bod a800 a50 a26
a koncový bod v rovině a26 (tedy i vektor s koncovým bodem a80), zapsat ve tvaru
a126a114 =a126a1140 +a115a58a126a117+a116a58a126a118a59
kde a115 a a116 jsou reálné parametry. Rozepíšeme-li tuto vektorovou rovnici do složek,
dostaneme parametrickou rovnici roviny a26
a120 = a1200 +a115a58a1171 +a116a58a1181a59
a121 = a1210 +a115a58a1172 +a116a58a1182a59
a122 = a1220 +a115a58a1173 +a116a58a1183a58
Je-li rovina určena bodem a800 = [a1200a59a1210a59a1220] a dvěma nekolineárními vektory
a126a117 = (a1171a59a1172a59a1173) aa126a118 = (a1181a59a1182a59a1183), snadno získáme její obecnou rovnici z podmínky
komplanárnosti vektor˚u a126a117, a126a118 a vektoru s počátečním bodem a800 a koncovým bo-
dem a80 = [a120a59a121a59a122] s využitím smíšeného součinu trojice vektor˚u. Pro komplanární
vektory totiž platí
[ a0a33a800a80a59a126a117a59a126a118] = 0a59
a tedy a12
a12a12
a12a12
a12a12
a120a0a1200 a121a0a1210 a122a0a1220
a1171 a1172 a1173
a1181 a1182 a1183
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 0a59
odtud už snadno vychází obecná rovnice zadané roviny. Přímo m˚užeme také najít
normálový vektor a126a110 roviny a26 jako vektorový součin libovolných dvou nekolineár-
ních vektor˚u, které leží v rovině a26, tedy např.a126a110 =a126a117a2a126a118.
Příklad 3.1: Najděte parametrickou a obecnou rovnici roviny a26, která je
určena body a65 = [4a594a594], a66 = [a01a5910a59a04] a a67 = [2a59a02a595].
Řešení: Zvolíme např.jako počáteční bod (dosud a800) bod a65 = [4a594a594] a dále
3. Rovnice roviny 22
a126a117 = a0a33a65a66 = (a05a596a59a08)a59 a126a118 = a0a33a65a67 = (a02a59a06a591)a58
Parametrický tvar rovnice roviny a26 je tedy
a120 = 4a05a58a115a02a58a116a59
a121 = 4 + 6a58a115a06a58a116a59
a122 = 4a08a58a115+a116a59
kde a115a59a116 a50 a82. Uvažujeme-li obecný bod a80 roviny a26, vyjde obecná rovnice této
roviny snadno ze smíšeného součinu
[ a0a33a65a80a59 a0a33a65a66a59 a0a33a65a67] = 0
neboli a12a12
a12a12
a12a12
a12
a120a04 a121a04 a122a04
a05 6 a08
a02 a06 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 0a58
Rozvojem uvedeného determinantu podle prvního řádku dostáváme postupně
a12a12
a12a12
a12
6 a08
a06 1
a12a12
a12a12
a12a58(a120a04)a0
a12a12
a12a12
a12
a05 a08
a02 1
a12a12
a12a12
a12a58(a121a04) +
a12a12
a12a12
a12
a05 6
a02 a06
a12a12
a12a12
a12a58(a122a04) = 0a59
(6a048)a58(a120a04)a0(a05a016)a58(a121a04) + (30 + 12)a58(a122a04) = 0a59
a042a58(a120a04) + 21a58(a121a04) + 42a58(a122a04) = 0a59
2a58(a120a04)a0(a121a04)a02a58(a122a04) = 0a59
2a58a120a0a121a02a58a122 + 4 = 0a58
Jiný postup výpočtu využívá znalosti normálového vektoru
a126a110 = a0a33a65a66 a2 a0a33a65a67 a59
čili po složkách
a126a110 = (a97a59a98a59a99) =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a05 6 a08
a02 a06 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a58
Rozvojem uvedeného determinantu podle prvního řádku vychází
a12a12
a12a12
a12
6 a08
a06 1
a12a12
a12a12
a12a58a126a1011 a0
a12a12
a12a12
a12
a05 a08
a02 1
a12a12
a12a12
a12a58a126a1012 +
a12a12
a12a12
a12
a05 6
a02 a06
a12a12
a12a12
a12a58a126a1013 =
(6a048)a58a126a1011 a0(a05a016)a58a126a1012 + (30 + 12)a58a126a1013 =
a042a58a126a1011 + 21a58a126a1012 + 42a58a126a1013 = a021a58(2a58a126a1011 a0a126a1012 a02a58a126a1013)a59
4. Rovnice přímky 23
je tedy možné volit a97 = 2, a98 = a01 a a99 = a02. Reálný parametr a100 jsme tímto
postupem neurčili, víme však, že rovnici a97a58a120+a98a58a121+a99a58a122 +a100 = 0 musí vyhovovat
např.souřadnice bodu a65, tj. 2a584a04a02a584 +a100 = 0, takže a100 = 4.
Protože víme, že všechny tři body a65a59a66a59a67 leží v rovině a26, mohli bychom dokonce
přímo i bez znalosti vektorového nebo smíšeného násobení vektor˚u v a823 sestavit
a např.Gaussovou eliminací řešit soustavu 3 lineárních algebraických rovnic pro
4 neznámé a97a59a98a59a99a59a100; tento postup by však byl pracnější než oba předešlé.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 3.2: Určete a) parametrický b) obecný c) úsekový tvar rovnice roviny
a26, jestliže rovina a26 prochází body a65 = [2a593a591]a59a66 = [3a591a594]a59a67 = [2a591a595].
Výsledek: Parametrický tvar roviny
a26 : a120 = 2 +a115a59 a121 = 3a02a58a115+a116a59 a122 = 1 + 3a58a115a02a58a116a59
obecný tvar a26 : a120+ 2a58a121+a122a09 = 0, úsekový tvar
a120
9 +
a121
9a612 +
a122
9 = 1a58
Příklad 3.3: Určete rovnici roviny a26, která
a) je rovnobežná se souřadnou rovinou a120a122 a prochází bodem a65 = [2a59a05a593]
b) prochází osou a122 a bodem a65 = [a03a591a59a02]
c) je rovnoběžná s osou a120 a prochází body a66 = [4a590a59a02]a59 a67 = [5a591a597].
Výsledek: a) a26 : a121+ 5 = 0 b) a26 : a120+ 3a58a121 = 0 c) a26 : 9a58a121a0a122a02 = 0.
4 Rovnice přímky
Víme už, že máme-li zadán nějaký pevný bod, m˚užeme v prostoru a823 přisoudit
každému lineárnímu podprostoru dimenze 2 geometrický význam roviny. Jak brzy
uvidíme, m˚užeme obdobně přisoudit každému lineárnímu podprostoru dimenze
1 geometrický význam přímky. Z dřívějšího středoškolského studia matematiky
také víme, že (použijeme-li už zavedenou terminologii) v prostoru a822 lze přímky
interpretovat jako lineární podprostory dimenze 1. Tedy m˚užeme přiřadit každé
přímce va822 jedinou obecnou rovnici typua97a58a120+a98a58a121+a99 = 0 proa97a59a98a59a99a50a82, formálně
analogickou obecné rovnici roviny v a823. Jak vzápětí uvidíme, popis přímky v a823
tak snadný nebude – budeme mít totiž tři parametrické rovnice pro jednotlivé
souřadnice v a823, z nichž jediný parametr nelze vyloučit takovým zp˚usobem, aby
k popisu přímky postačovala jediná rovnice.
Přímka v prostoru a823 je zřejmě určena bud’ dvěma body, kterými prochází,
nebo jedním takovým bodem a směrovým vektorem z a823, s nímž je rovnoběžná.
4. Rovnice přímky 24
První případ (se dvěma body) m˚užeme snadno převést na druhý (směrový vek-
tor určíme jako rozdíl polohových vektor˚u zadané dvojice bod˚u), a nemusíme se
jím tedy zvlášt’ zabývat. Rovnici přímky m˚užeme zapsat několika zp˚usoby; jejich
odvození je zřejmé z následujícího obrázku. Uvažujme přímku a112, která prochází
bodema80 = [a1200a59a1210a59a1220] a je rovnoběžná s nenulovým vektorema126a115 = (a97a59a98a59a99), obecný
bod přímky a112 označme a80 = [a120a59a121a59a122]. S použitím polohového vektorua126a1140 bodu a800 a
polohového vektorua126a114 bodua80 dostávámea126a114a0a126a1140 = a116a58a126a115a odtud snadno vektorovou
rovnici přímky a112
a126a114 =a126a1140 +a116a58a126a115
pro libovolné reálné číslo a116. Rozepsáním do složek a120a59a121a59a122 dostáváme dále para-
metrické rovnice přímky a112
a120 = a1200 +a97a58a116a59 a121 = a1210 +a98a58a116a59 a122 = a1220 +a99a58a116a59 a116a50a82a58
Vyloučením parametrua116z parametrických rovnic, není-li žádné z čísela97a59a98a59a99rovno
nule (aspoň jedno musí být vždy nenulové v d˚usledku předpokladu a107a126a115a107 a54= 0),
dostaneme ještě kanonickou rovnici přímky a112
a120a0a1200
a97 =
a121a0a1210
a98 =
a122a0a1220
a99 a59
ve skutečnosti jde o dvě rovnice, z nichž každou lze považovat za rovnici jisté
roviny. Není-li podmínka (a97a59a98a59a99) a54= (0a590a590) plněna, není použití kanonické rovnice
vhodné (lze jí přisoudit