Vektorová algebra a analytická geometrie

2a126a1013
a45
a126a1013a2a126a1011
a54a126a1013
a0
a0
a0
a0a9a126a1011
Užitím souřadnicového vyjádření bychom mohli také počítat, např.
a126a1013 a2a126a1011 = (0a590a591)a2(1a590a590) =
a32a12a12
a12a12
a12
0 1
0 0
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
0 1
1 0
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
0 0
1 0
a12a12
a12a12
a12
a33
= (0a591a590) =a126a1012a59
a126a1012 a2a126a1012 = (0a591a590)a2(0a591a590) =
a32a12a12
a12a12
a12
1 0
1 0
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
0 0
0 0
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
0 1
0 1
a12a12
a12a12
a12
a33
= (0a590a590) =a126a111a58
Z výše uvedených vztahů pro počítání vektorového součinu vektorůa126a1011a59a126a1012a59a126a1013 ihned
vidíme, že na rozdíl od skalárního součinu není vektorový součin komutativní. Pro
skalární součin obecně platía126a97 a113a126a98 =a126a98 a113a126a97, avšak vektorový součin mění při záměně
pořadí vektorů a126a97a59a126a98 znaménko:a126a98a2a126a97 = a0(a126a97a2a126a98). Říkáme, že vektorový součin je
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 9
antikomutativní. Tuto vlastnost si za chvíli pro obecné vektory a126a97a59a126a98 dokážeme
– plyne lehce ze souřadnicového vyjádření vektorua126a97a2a126a98.
Poznamenejme, že vektorový součin libovolné z dvojic souřadnicových vektorů
a126a1011a59 a126a1012a59 a126a1013 si můžeme snadno zapamatovat z následujícího diagramu:
a45 a64
a64a64a73
a64
a64a64a0a0
a0a9
a0
a0a0a113
a126a1011 a113a126a1012
a113a126a1013
Postupujeme-li ve směru šipek, je vektorovým součinem dvou po sobě jdoucích
vektorů třetí vektor s kladným znaménkem, postupujeme-li proti směru šipek,
musíme u třetího z vektorů (výsledného vektorového součinu) změnit znaménko,
např. a126a1011 a2a126a1013 = a0a126a1012. Vektorový součin dvou stejných souřadnicových vektorů
je roven nulovému vektoru – plyne to buď přímo z definice vektorového součinu
(a39 = 0) nebo z výpočtu v souřadnicích.
V následující větě si shrneme všechny důležité vlastnosti vektorového součinu,
jejich platnost plyne bez dlouhého počítání ze souřadnicového vyjádření vektoro-
vého součinu (z determinantů). Přímo z definice vektorového součinu bychom je
dokazovali mnohem hůře.
Věta 1.2: Nechťa126a97a59a126a98a59a126a99a50a82, kde a107 a50a82. Pak platí :
1) a126a98a2a126a97 = a0(a126a97a2a126a98) (antikomutativní zákon)
2) a126a97a2(a126a98+a126a99) =a126a97a2a126a98+a126a97a2a126a99, (a126a97+a126a98)a2a126a99 =a126a97a2a126a99+a126a98a2a126a99
(distributivní zákony)
3) a107a58(a126a97a2a126a98) = (a107a58a126a97)a2a126a98 =a126a97a2(a107a58a126a98)a58
D˚ukaz: Všechny vzorce plynou bez problémů z pravidel pro počítání s deter-
minanty. Např.
a126a98a2a126a97 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a981 a982 a983
a971 a972 a973
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= a0
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= a0(a126a97a2a126a98)a59
neboť vyměníme-li v determinantu dva řádky, determinant změní znaménko. Po-
dobně
a126a97a2(a126a98+a126a99) =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a981 +a991 a982 +a992 a983 +a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 10
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
+
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a991 a992 a993
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=a126a97a2a126a98+a126a97a2a126a99a59
analogicky (a126a97+a126a98)a2a126a99.
Poslední vztah také dokážeme snadno, neboť platí:
a107a58(a126a97a2a126a98) = a107a58
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a107a58a971 a107a58a972 a107a58a973
a981 a982 a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973
a107a58a981 a107a58a982 a107a58a983
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a58
Dokázali jsme, že vektorový součin splňuje distributivní zákony. Na první
pohled by se mohlo zdát, že splňuje také zakon asociativní, tedy že dva vektory
(a126a97 a2a126a98) a2a126a99a59 a126a97 a2 (a126a98 a2a126a99) jsou stejné. To však obecně neplatí, neboť např. pro
a126a97 =a126a1011a59 a126a98 =a126a1011a59 a126a99 =a126a1012 dostaneme
(a126a97a2a126a98)a2a126a99 = (a126a1011 a2a126a1011)a2a126a1012 =a126a111a2a126a1012 =a126a111a59
a126a97a2(a126a98a2a126a99) =a126a1011 a2(a126a1011 a2a126a1012) =a126a1011 a2a126a1013 = a0a126a1012a58
Za chvíli uvidíme, že (a126a97a2a126a98) a2a126a99a59 a126a97a2 (a126a98a2a126a99) jsou obecně skutečně dva různé
vektory, neboť platí
(a126a97a2a126a98)a2a126a99 = (a126a99 a113a126a97)a58a126a98a0(a126a99 a113a126a98)a58a126a97a59 a126a97a2(a126a98a2a126a99) = (a126a97 a113a126a99)a58a126a98a0(a126a97 a113a126a98)a58a126a99a58
Vektora126a97a2(a126a98a2a126a99) má dokonce svůj speciální název: dvojný vektorový součin.
Praktické počítání s vektory si procvičíme v následujících příkladech.
Příklad 1.1: Vypočítejte vektorový součin vektor˚ua126a97 aa126a98, znáte-li
a)a126a97 = (2a593a59a01), a126a98 =a126a1011 + 2a58a126a1012 +a126a1013,
b)a126a97 = (1a59a03a592), a126a98 = 2a58a126a97a0(5a59a015a5910).
Řešení: V případě a) je
a126a97a2a126a98 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
2 3 a01
1 2 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a32a12a12
a12a12
a12
3 a01
2 1
a12a12
a12a12
a12a59a0
a12a12
a12a12
a12
2 a01
1 1
a12a12
a12a12
a12a59
a12a12
a12a12
a12
2 3
1 2
a12a12
a12a12
a12
a33
= (5a59a03a591)a58
Vektor a126a97 a2a126a98 je přitom skutečně kolmý na vektory a126a97 i a126a98, nebot’ (a126a97 a2a126a98) a113a126a97 =
(5a59a03a591) a113 (2a593a59a01) = 10a09a01 = 0 a (a126a97a2a126a98) a113a126a98 = (5a59a03a591) a113 (1a592a591) = 5a06+1 =
0. To je odlišné od případu b): pro vektor a126a98 = (a03a599a59a06) totiž platí a126a98 = a03a58a126a97
(vektorya126a97 aa126a98 jsou kolineární), takže
a126a97a2a126a98 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
1 a03 2
a03 9 a06
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
1 a03 2
0 0 0
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 0a58
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 11
Příklad 1.2: Najděte jednotkový vektor a126a1100, který je kolmý k rovině prochá-
zející body a80 = [1a59a01a590]a59 a81 = [2a591a59a01]a59 a82 = [a01a591a592].
Řešení: Vypočítejme si nejdříve dva vektory, které v dané rovině leží, např.
a0a33a80a81 = (2a01a591a0(a01)a59a01a00) = (1a592a59a01), a0a33a80a82 = (a01a01a591a0(a01)a592a00) =
(a02a592a592). Pak vektor a126a110, který je kolmý k oběma vektorům a0a33a80a81a59 a0a33a80a82, je jejich
vektorovým součinem, tedy
a126a110 = a0a33a80a81a2 a0a33a80a82 =
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
1 2 a01
a02 2 2
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12
2 a01
2 2
a12a12
a12a12
a12a58a126a1011a0
a12a12
a12a12
a12
1 a01
a02 2
a12a12
a12a12
a12a58a126a1012+
a12a12
a12a12
a12
1 2
a02 2
a12a12
a12a12
a12a58a126a1013 =
(4a0(a01)a582)a58a126a1011a0(2a0(a01)a58(a02))a58a126a1012+(2a02a58(a02))a58a126a1013 = 6a58a126a1011+0a58a126a1012+6a58a126a1013 = (6a590a596)a58
Jednotkový vektor (vektor délky jedna) odtud snadno dostaneme, když vydělíme
vektor a126a110 jeho délkou a11262 + 02 + 62 = a11236 = 6a58a1122. Odtud
a126a1100 = a126a110a106a106a126a110a106a106 = (6a590a596)6a58a1122 = (1a590a591)a1122 = ( 1a1122a590a59 1a1122) = 1a1122a58a126a1011 + 1a1122a58a126a1012a58
Protože orientace vektoru normály nebyla zadaná, dostáváme dvě řešení :
( 1a1122a590a59 1a1122)a59 (a0 1a1122a590a59a0 1a1122)a58
Příklad 1.3: Určete obsah a80 trojúhelníka a65a66a67 s vrcholy a65 = [3a591a594], a66 =
[0a592a591] a a67 = [5a590a598].
Řešení: Obsah a80 vypočítáme jako polovinu obsahu rovnoběžníku a65a66a67a68
určeného vektory a126a97 = a0a33a65a66 = (a03a591a59a03) a a126a98 = a0a33a65a67 = (2a59a01a594) (zbývající
vrchol a68 = [2a591a595] bychom snadno určili ze vztahu a0a33a65a68 =a126a97+a126a98). Je tedy
a80 = a106a126a97a2a126a98a106a612 = a106(1a596a591)a106a612 = a1121 + 36 + 1a612 = a11238a612a58
Příklad 1.4: Zjistěte velikost vektoru a126a118 = (3a58a126a97a0 2a58a126a98) a2 (a126a97a0 4a58a126a98), jestliže
a107a126a97a107 = 1, a107a126a98a107 = 3 a úhel a39 sevřený vektorya126a97 aa126a98 je roven 5a25a616.
Řešení: Zřejmě je
a107a126a118a107 = a1073a58a126a97a2a126a97a012a58a126a97a2a126a98a02a58a126a98a2a126a97+ 8a58a126a98a2a126a98a107a58
Protože všaka126a97a2a126a97 ia126a98a2a126a98 musí být nulové vektory a navíca126a97a2a126a98 = a0a126a98a2a126a97, takže
a012a58a126a97a2a126a98a02a58a126a98a2a126a97 = a010a58a126a97a2a126a98, dostáváme
a107a126a118a107 = 10a58a107a126a97a2a126a98a107 = 10a58a107a126a97a107a58a107a126a98a107a58sina39 = 10a581a583a581a612 = 15a58
Příklad 1.5: S využitím vektorového součinu vypočítejte obsah a80 rovnoběž-
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 12
níka a65a66a67a68, jsou-li dány jeho úhlopříčky a0a33a65a67 = 2a58a126a97a0a126a98 a a0a33a68a66 = 4a58a126a97a05a58a126a98, kde
a126a97a59a126a98a59a126a99 jsou nekomplanární jednotkové vektory, které svírají úhel a25a614.
Řešení: M˚užeme použít přímý výpočet
a80 = a107 a0a33a65a66 a2 a0a33a65a68a107 = a107(( a0a33a65a67 + a0a33a68a66)a612)a2(( a0a33a65a67 a0 a0a33a68a66)a612)a107 =
a107( a0a33a65a67 + a0a33a68a66)a2( a0a33a65a67 a0 a0a33a68a66)a107a614 = a107(6a58a126a97a06a58a126a98)a2(a02a58a126a97+ 4a58a126a98)a107a614 =
6a582
4 a1a107(a126a97a0
a126a98)a2(a126a97a02a58a126a98)a107 = 3a58a107a126a97a2a126a97a02a58a126a97a2a126a98a0a126a98a2a126a97+ 2a58a126a98a2a126a98a107 =
3a58a107a0a126a97a2a126a98a107 = 3a58a107a126a97a2a126a98a107 = 3a58a107a126a97a107a58a107a126a98a107sin(a25a614) = 3a581a581a581a61a1122 = 3a61a1122a58
Kratší je však výpočet využívající vztahu mezi stranami a úhlopříčkami rovno-
běžníku a65a66a67a68
a80 = a107 a0a33a65a67 a2 a0a33a68a66a107a612 = a107(2a58a126a97a0a126a98)a2(4a58a126a97a05a58a126a98)a107a612 =
a1078a58a126a97a2a126a97a010a58a126a97a2a126a98a04a58a126a98a2a126a97+ 5a58a126a98a2a126a98a107a612 = a107a06a58a126a97a2a126a98a107a612 =
6a612a58a107a126a97a2a126a98a107 = 3a58a107a126a97a107a58a107a126a98a107sin(a25a614) = 3a581a581a581a61a1122 = 3a61a1122a58
Víme už, že vektorový součin nesplňuje asociativní zákon, tedy že vektory
a126a97 a2 (a126a98 a2a126a99) a (a126a97 a2a126a98) a2a126a99 jsou r˚uzné. Pro libovolné vektory a126a97a59a126a98a59a126a99 a50 a823 (dále
budeme pracovat i s libovolným vektorem a126a100a50a823) však platí
a126a97a2(a126a98a2a126a99) =a126a98a58(a126a97 a113a126a99)a0a126a99a58(a126a97 a113a126a98)
(a126a97 a113a126a99 i a126a97 a113a126a98v tomto vztahu jsou pouhá reálná čísla). Výraza126a97a2(a126a98a2a126a99) na levé straně
rovnice nazýváme dvojným vektorovým součinem vektor˚u a126a97a59a126a98a59a126a99 (v tomto
pořadí); tedy dvojným vektorovým součinem vektor˚ua126a97a59a126a98a59a126a99 je jistý vektor, který
je lineární kombinací vektor˚u a126a98a59a126a99 a současně je kolmý na vektor a126a97 i na vektor
a126a98a2a126a99. Je to vidět z obrázku a také z výrazu na pravé straně rovnice, nebot’a126a97 a113a126a99 i
a126a97 a113a126a98 jsou reálné konstanty. Na obrázku také vidíme, že vektora126a98a2a126a99 je kolmý na
a126a98 i a126a99, (a také vektora126a97a2(a126a98a2a126a99) je kolmý naa126a97); přitom vektorya126a97a2(a126a98a2a126a99),a126a98 a a126a99
jsou komplanární.
a1
a1
a1
a1
a1
a1a21a126a97
a45a126a98a0
a0
a0
a0a18
a126a99a54
a126a98a2a126a99
a64
a64
a64
a64a82a126a97a2(a126a98a2a126a99)
Platnost vzorce pro dvojný vektorový součin m˚užeme ověřit přímým výpoč-
tem vektorua126a97a2(a126a98a2a126a99) na levé straně rovnice a vektorua126a98a58(a126a97 a113a126a99)a0a126a99a58(a126a97 a113a126a98) na straně
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 13
pravé. Porovnáním koeficient˚u u vektor˚u a126a1011a59a126a1012a59a126a1013 pro oba tyto vektory zjistíme,
že jsou shodné. Ukážeme si tento výpočet pro srovnání koeficient˚u např.u sou-
řadnicového vektoru a126a1011. Na levé straně máme
a126a97a2(a126a98a2a126a99) = (a971a59a972a59a973)a2
a32a12a12
a12a12
a12
a982 a983
a992 a993
a12a12
a12a12
a12 a59a0
a12a12
a12a12
a12
a981 a983
a991 a993
a12a12
a12a12
a12 a59
a12a12
a12a12
a12
a981 a982
a991 a992
a12a12
a12a12
a12
a33
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a126a1011 a126a1012 a126a1013
a971 a972 a973a12
a12a12
a12a12 a982 a983a99
2 a993
a12a12
a12a12
a12 a0
a12a12
a12a12
a12
a981 a983
a991 a993
a12a12
a12a12
a12
a12a12
a12a12
a12
a981 a982
a991 a992
a12a12
a12a12
a12
a12a12
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
(a972a58a981a58a992 a0a972a58a982a58a991 +a973a58a981a58a993 a0a973a58a983a58a991)a58a126a1011 + (a58a58a58)a58a126a1012 + (a58a58a58)a58a126a1013a58
Stejný koeficient a972a58a981a58a992 a0a972a58a982a58a991 +a973a58a981a58a993 a0a973a58a983a58a991 u vektoru a126a1011 přitom do-
staneme pro vektora126a98a58(a126a97 a113a126a99)a0a126a99a58(a126a97 a113a126a98) na pravé straně rovnice:
(a981a59a982a59a983)a58(a971a58a991 +a972a58a992 +a973a58a993)a0(a991a59a992a59a993)a58(a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983) =
[a981a58(a971a58a991 +a972a58a992 +a973a58a993)a0a991a58(a971a58a981 +a972a58a982 +a973a58a983)]a58a126a1011 + (a58a58a58)a58a126a1012 + (a58a58a58)a58a126a1013 =
(a971a58a981a58a991 +a972a58a981a58a992 +a973a58a981a58a993 a0a971a58a981a58a991 a0a972a58a982a58a991 a0a973a58a981a58a993)a58a126a1011 +
(a58a58a58)a58a126a1011 + (a58a58a58)a58a126a1013 =
(a972a58a981a58a992 +a973a58a981a58a993 a0a972a58a982a58a991 a0a973a58a983a58a991)a58a126a1011 + (a58a58a58)a58a126a1012 + (a58a58a58)a58a126a1013a58
Užitím vzorce pro dvojný vektorový součin lze dokázat mnoho identit, které
platí mezi vektory. Uved’me alespoň tři z nich i s krátkými d˚ukazy:
(a126a97a2a126a98)a2a126a99 = a126a98a58(a126a97 a113a126a99)a0a126a97a58(a126a98 a113a126a99)a59
(a126a97a2a126a98)a2(a126a99a2 a126a100) = [a126a97a59a126a98a59a126a100]a58a126a99a0[a126a97a59a126a98a59a126a99]a58a126a100a59
(a126a97a2a126a98) a113 (a126a99a2 a126a100) =
a12a12
a12a12
a12
a126a97 a113a126a99 a126a97 a113 a126a100
a126a98 a113a126a99 a126a98 a113 a126a100
a12a12
a12a12
a12 a58
První vztah ověříme snadno přímým výpočtem
(a126a97a2a126a98)a2a126a99 = a0(a126a99a2(a126a97a2a126a98)) = a0a126a97a58(a126a99 a113a126a98)a0a126a98a58(a126a99 a113a126a97) =
a126a98a58(a126a99 a113a126a97)a0a126a97a58(a126a99 a113a126a98)a58
Ve druhém vztahu jde geometricky o vektor, který leží jak v rovině určené vektory
a126a97 aa126a98 (je totiž kolmý ka126a97a2a126a98), tak v rovině určené vektorya126a99 a a126a100 (je rovněž kolmý
k a126a99a2 a126a100). Celkově má vektor
(a126a97a2a126a98)a2(a126a99a2 a126a100) =a126a99a58((a126a97a2a126a98) a113 a126a100)a0 a126a100a58((a126a97a2a126a98) a113a126a99) =
[a126a97a59a126a98a59a126a100]a58a126a99a0[a126a97a59a126a98a59a126a99]a58a126a100
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 14
směr pr˚usečnice roviny určené vektory a126a97 a a126a98 s rovinou, která je určena vektory
a126a99 a a126a100 (na konkrétním umístění žádné z těchto dvou rovin v a823 přitom nezáleží).
Pro pochopení třetího vztahu označme a126a117 =a126a97a2a126a98. Pak m˚užeme psát
(a126a97a2a126a98) a113 (a126a99a2 a126a100) =a126a117 a113 (a126a99a2 a126a100) = [a126a117a59a126a99a59a126a100] = (a126a117a2a126a99) a113 a126a100 = ((a126a97a2a126a98)a2a126a99) a113 a126a100 =
a0(a126a99a2(a126a97a2a126a98)) a113 a126a100 = a0(a126a97a58(a126a99 a113a126a98)a0a126a98a58(a126a99 a113a126a97)) a113 a126a100 = (a126a98 a113 a126a100)a58(a126a97 a113a126a99)a0(a126a97 a113 a126a100)a58(a126a99 a113a126a98)a59
což je právě uvedený determinant.
Příklad 1.6: Vypočítejte dvojný vektorový součin a126a118 = a126a97 a2 (a126a98 a2a126a99), je-li
a126a97 = (1a59a02a594),a126a98 = (5a59a01a593) a a126a99 = (0a596a591).
Řešení: S využitím jedné z odvozených vlastností dvojného vektorového sou-
činu dostáváme
a126a118 =a126a98a58(a126a97 a113a126a99)a0a126a99a58(a126a97 a113a126a98) =
(5a59a01a593)a58((1a59a02a594) a113 (0a596a591))a0(0a596a591)a58((1a59a02a594) a113 (5a59a01a593)) =
a08a58(5a59a01a593)a019a58(0a596a591) = (a040a59a0106a59a043)a58
Vektor a126a118 je skutečně lineární kombinací vektor˚ua126a98 a a126a99: a126a118 = a08a58a126a98a019a58a126a99. Dále je
a126a97 a113a126a118 = (1a59a02a594) a113 (a040a59a0106a59a043) = a040 + 212a0172 = 0a59
(a126a98a2a126a99) a113a126a118 = (a019a59a05a5930) a113 (a040a59a0106a59a043) = 760 + 530a01290 = 0a59
tedy vektor a126a118 je kolmý k oběma vektor˚um a126a97 a a126a98a2a126a99. Vektor a126a118 bychom mohli
určit i bez skalárního násobení: pracnějším postupem (který vyžaduje výpočet 2
determinant˚u třetího řádu) bychom postupně dospěli ke stejnému výsledku
a126a118 = (1a592a59a04)a2((5a59a01a593)a2(0a596a591)) =
(1a592a59a04)a2(a019a59a05a5930) = (a040a59a0106a59a043)a58
Dvojný vektorový součin má ještě jednu zajímavou geometrickou vlastnost:
lze jej využít k rozkladu zadaného vektoru do dvou složek, z nichž jedna má
zadaný směr a druhá je na tento směr kolmá (geometricky tedy jde o kolmý
pr˚umět vektoru do roviny a do její normály).
Příklad 1.7: Rozložte v a823 vektor a126a118 = (1a592a593) do směru vektoru a126a97 =
(2a59a01a591) a do směru vektoru a126a100 kolmého naa126a97.
Řešení: Vektor a126a100 musí být kolmý naa126a97 i na a126a118a2a126a97, takže
a126a100 =a126a97a2(a126a118a2a126a97) =a126a118a58(a126a97 a113a126a97)a0a126a97a58(a126a97 a113a126a118) = a107a126a97a1072a58a126a118a0(a126a97 a113a126a118)a58a126a97 =
6a58a126a118a03a58a126a97 = (0a5915a5915)a58
Odtud a126a118 = 16 a1 a126a100+ 12 a1a126a97 = 16 a1(0a5915a5915) + 12 a1(2a59a01a591).
2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 15
Skalární a vektorový součin se často objevují ve fyzikálních a obecně technic-
kých úlohách; tak např.práci síly na nějaké dráze lze interpretovat jako skalární
součin, zatímco při výpočtu otáčivého momentu se neobejdeme bez vektorového
součinu. Barevné tečky na zapnutém televizoru se pohybují podle zákon˚u elek-
tromagnetismu, které využívají jak skalární, tak vektorový součin: ve dvou ze
čtveřice slavných Maxwellových rovnic najdeme skalární součin, ve dvou součin
vektorový.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 1.8: Vypočítejte obsah rovnoběžníka a65a66a67a68, jestliže a65 = [4a59a03a596],
a66 = [0a591a590]a59 a68 = [a02a59a02a592].
Výsledek: Obsah rovnoběžníka je roven 30.
Příklad 1.9: Určete jednotkový vektor kolmý k daným vektorům
a126a97 = 2a58a126a1011 a0a126a1012 +a126a1013,a126a98 =a126a101+2a58a126a1012 a0a126a1013.
Výsledek: Dostaneme dva vektory a0 135 a1(a01a593a595)a59 135 a1(a01a593a595).
Příklad 1.10: Vypočítejte obsah a velikost výšek rovnoběžníka sestrojeného
nad vektorya126a97 = 2a58a126a1012 +a126a1013,a126a98 =a126a1011 + 2a58a126a1013.
Výsledek: a80 = a11221,a1181 = a1182 =
a113
21a615.
Příklad 1.11: Vypočítejte dvojný vektorový součin a126a97 a2 (a126a98 a2a126a99), pro dané
vektory a97 = 2a58a126a1011a59a126a98 = 3a58a126a1012a59a126a99 =a126a1011 +a126a1013.
Výsledek: a126a97a2(a126a98a2a126a99) = 6a58a126a1012.
2 Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti
Jsou-li a126a97 = (a971a59a972a59a973),a126a98 = (a981a59a982a59a983) a a126a99 = (a991a59a992a59a993), vektory v a823, má reálné
číslo a126a97 a113 (a126a98a2a126a99) zcela určitý geometrický význam: absolutní hodnota tohoto čísla
je objemem a86 rovnoběžnostěnu, jehož tři sousední hrany jsou určeny vektory a126a97,
a126a98 a a126a99. Součin a126a97 a113 (a126a98a2a126a99) nazýváme smíšeným vektorovým součinem vektor˚u
a126a97a59a126a98a59a126a99; běžně pro něj budeme používat zkrácené označení [a126a97a59a126a98a59a126a99] = a126a97 a113 (a126a98 a2a126a99).
V tomto definičním vzorci záleží na pořadí vektor˚u: např.[a126a97a59a126a99a59a126a98] =a126a97 a113 (a126a99a2a126a98) =
a0a126a97 a113 (a126a98a2a126a99) = a0[a126a97a59a126a98a59a126a99], tedy při lichém počtu změn v pořadí vektor˚u změní jejich
smíšený součin znaménko. Vyjádříme-li vektory a126a97a59a126a98a59a126a99 v jednotlivých složkách
(čili v ortonormálních souřadnicích v a823), dostaneme podle definice skalárního a
vektorového součinu jednoduchý vzorec pro výpočet smíšenéh