Sbírka M1

RNDr. Jiří Dočkal, CSc.


MATEMATIKA I

Řešené příklady










Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku
Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka řešených příkladů je určena jako
orientační pomůcka pro samostatnou přípravu ke konzultacím kombinovaného studia FSI VUT v Brně.










BRNO, září 2002 autor




















2

Řazení příkladů:


1) Množiny …………………………………………
2) Matematická logika ………………………………………...
3) Reálná a komplexní čísla ……………………………………….. .
4) Matice a algebraické vektory …………………………………… .
5) Determinanty …………………………………………
6) Soustavy lineárních rovnic ………………………………………
7) Polynomy a jejich podíly ……………………………………….
8) Geometrické vektory …………………………………………
9) Analytická geometrie v prostoru ………………………………... .
10) Funkce jedné reálné proměnné ………………………………...
11) Limita a spojitost …………………………………………. .
12) Derivace funkce …………………………………………..
13) Taylorova věta a aplikace ………………………………………. .
14) Primitivní funkce …………………………………………… .
15) Riemannův integrál ……………………………………………
16) Aplikace Riemannova integrálu …………………………………







Seznam použité literatury:



1. Eliaš,J.,Horváth,J.,Kajan,J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky.1.časť (4.vydanie),Bratislava, Alfa,1976

2. Jirásek,F.,Kriegelstein,E,Tichý,Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha,SNTL-Alfa,1987

3. Mrhačová,H.: Cvičení z lineární algebry, Skriptum, VUT v Brně, ES Brno, 1982

4. Nedoma,J.: Matematika I,Shrnutí a přehled, Orientační metodická pomůcka, rukopis,2002

5. Nedoma,J.: Matematika I. Skriptum FSI VUT v Brně, 2002

6. Skála,J.: Matematika I, řešené úlohy pro cvičení, Skriptum, VŠST v Liberci, 1982

7. Tomica,R.: Cvičení z matematiky pro I.ročník, Skriptum, VUT Brno, SNTL Praha, 1965

8. Vosmanská,G.,Rádl,P.: Cvičení z matematické analýzy, Skriptum,(3.vydání), VŠZ Brno,1994














2
3
1. Množiny


1.1.1 Určete všechny podmnožiny množiny M={ }3, 4, 5− .
Množina M má tyto podmnožiny:
Prázdná množina ∅
Podmnožiny o jednom prvku
{ } { } { }
3, 4,5−
Podmnožiny o dvou prvcích
{ } { } { }
3, 4 , 3, 5 , 4, 5−−
Podmnožiny o třech prvcích { }3, 4, 5− = M
Množina M obsahuje 8 podmnožin včetně prázdné množiny a dané množiny.


1.1.2 Určete průnik A B množin A , B , kde A je množina všech prvočísel, B množina všech ∩
sudých čísel .

A=
{ }
2,3,5,7,11,... , B=
{ }
2, 4,6,8,10,... A∩B =
{ }
2


1.1.3 Jsou dány množiny A={1,3,5,7}, B={4,5,6,7,8}, C={2,5,6,7,8,9}. Určete
a) A B , B∩C ∩
b) A B∩C ∩
c) A B , B∪C ∪
d) A B∪C ∪

Hledané množiny jsou :
a) A B={5,7}, B∩C ={5,6,7,8} ∩
b) A B∩ ∩C = {5,7}
c) A B = {1,3,4,5,7,8}, B C = {2,4,5,6,7,8,9} ∪ ∪
d) A B∪C ={1,3,4,5,6,7,8,9} ∪

1.2.1 Jsou dány intervaly A = (-4,3) , B = , C=(1,5> .
Určete:
a) A B c) B C e) A∪ ∪ ∩B g) B∩C
b) A∪C d) A B ∪C f) A∪ ∩C h) A∩B C ∩

Hledané množiny jsou :
a) A B = (-4,3) c) B C = e) A∪ ∪ ∩B =
b) A∪C = (-4,5> d) A B ∪C = (-4,5> f) A∪ ∩C = (1,3)
g) B C = (1,2> h) A∩ ∩B ∩C =(1,2>

1.2.2 Jsou dány intervaly A=(-∞,2), B= 1, 3〈 〉 , C= 〈 -1,1 〉 ∪ 〈 2, ∞) .
Určete:
a) (A B) C ∪ ∩
b) ( C B) A ∪ ∩
c) A B ∩C ∩
d) A∪B C ∪

Výsledné intervaly jsou:
a) (A∪B) C = -1,1∩ 〈 〉∪ 2,3〈 〉
b) ( C∪B) ∩A = -1,2) 〈
c) A∩B C = { 1 } ∩
d) A B ∪C = ( -∞, ∪ ∞)
3
4
2. Matematická logika

2.1.1 Rozhodněte, které z následujících slovních spojení je výrok . Pokud se jedná o výrok, určete
jeho pravdivost:
a) Číslo x je nezáporné.
b) Číslo 5 je záporné.
c) Každý obdélník je rovnoběžník.
d) Trojúhelník ABC je pravoúhlý.
e) 3:0 je 0

Řešení :
a) není výrok, protože o x nic nevíme
b) je výrok a to nepravdivý
c) je výrok a to pravdivý
d) není výrok, protože o trojúhelníku ABC nic nevíme
e) není výrok, protože dělení nulou není definováno



2.1.2 Utvořte negaci výroků:
a) dnes je svátek
b) všichni žijící lidé jsou menší než 280 cm
c) x>1, je-li x reálné číslo

Řešení:
a) dnes není svátek
b) existuje žijící člověk, který má 280 cm nebo více
c) x≤1, je-li x reálné číslo



2.1.3 Utvořte disjunkci ∨ dvou výroků p , q a určete pravdivost složeného výroku, je-li
p = číslo 12 je násobkem čísla 2,
q = číslo 12 je násobkem čísla 5 ,

Řešení :

(číslo 12 je násobkem čísla 2) (číslo 12 je násobkem čísla 5)=
= číslo 12 je násobkem čísla 2 nebo 5
Složený výrok je pravdivý přesto, že výrok q je nepravdivý.
pq∨= ∨



2.1.4 Určete konjunkci ∧ dvou výroků p, q , je-li
p = reálné číslo x je menší než 2 ,
q = reálné číslo x je větší nebo rovno číslu –1 ,

Řešení :
( 2) ( 1) ( 1,2pq x x∧=≤∧>−=−〉

4
5




2.1.5 Dosaďte výroky p= 4=−2, q= 34 7+ = do uváděné výrokové formule
a) p q⇒
b) p q¬⇒
c) qp⇒
d) qp¬⇒¬

Řešení :
a) je-li 4 2, pak 3+4=7 výrok pravdivý
b) je-li 4 2, pak 3+4=7 výrok pravdivý
c) je-li 3+4=7 , pak 4 2, výrok nepravdivý
d) je-li 3+4 7
=−
≠−
=−
≠ , pak 4 2, výrok pravdivý ≠−






2.1.6 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ((2.3 6) (3.4 16)) (1 2)= ∨=∧<



(2.3 6), (3.4 16), ((2.3 6) (3.4 16)),
(2.36)(3.416))(12)
Pravdivostní tabulka pak má tvar:
p
10 1 1
Z uvedené tabulky plyne, že složený výrok je pravdivý.
pqpq
v
qpqv
== == ∨= =∨=
==∨=∧<
∨





2.1.7 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku
()()( )p qpqp⇒⇔¬∨⇔¬∧¬q
)



()( )(p qpqp⇒∨¬ ∧¬ ¬

q⇔ ⇔
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0








5
6





3. Reálná a komplexní čísla

3.1.1 Určete supremum, infimum, maximum a minimum množiny M
a) M = -5,-2) 〈
b) M = 〈 0,1 2,3 〉∪〈 〉
c) M = (-1, ∞)

a) sup M = -2 , inf M =-5 , max M neexistuje (otevřená množina), min M =-5
b) sup M = 3 , inf M =0 , max M = 3, min M = 0
c) sup M neexistuje , inf M =-1 , max M neexistuje (otevřená množina), min M neexistuje


3.1.2 Zapište pomocí nerovnic s absolutní hodnotou okolí daného čísla o daném poloměru:

a) okolí čísla 6 o poloměru 2
b) okolí čísla –3 o poloměru 1
c) okolí čísla 1.5 o poloměru 0.5

Řešením jsou nerovnice:

a) (6-2,6+2) = (4 , 8 ) = {x∈ R ; 62x − < }
b) (-3-1,-3+1) = (-4 , -2 ) = {x∈ R ; 31x + < }
c) (1.5-0.52,1.5+0.5) = (1 , 2 ) = {x∈ R ; 1.5 0.5x − →>→∈∞)
Tedy () { ; 1}Df x x=∈ >null




30
31
10.2.2 Určete definiční obor funkce ()f x =
2
4
x−
arcsin


Složená cyklometrická funkce má za argument polynom 1.stupně.
Tento argument je tedy určen nerovnicí
2
114246
4
26 2,6
x
xx
xx
−
−≤ ≤ →−≤−≤ →−≤−≤
−≤≤ →∈〈− 〉
2


Definiční obor () { ; 2 6}Df x x=∈ −≤≤null


10.2.3 Určete definiční obor funkce () .lnf xx= x




11
2 2
12
je součin dvou funkcí f která má
a která