Sbírka M1

+−
+

52
53

14.6.3 Univerzální metodou integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:



2
22
2
22
22
22
22
2
2arctan ,
1
1
sin , cos
22
11
12
sin sin(2 ) 2sin cos 2
2221
11
cos cos(2 ) cos sin
2 22111
t dx dt
t
xt x
tt
x xx t t
x
t
tt
x xx t
x
tt
+
==
++
== = =
+
++
−
==− =−=
+ ++

.tan,
2
x
x
sub t ===
1 t+=
2
t
t

{}
2 22
22
...pomocí rozkladu na parciální zlomky..........
12 1 1
2
21164
1
3s 322
34
11
(2 1)( 2)
2tan 1
21 11 21 1 1
2
ln 2 1 ln 2 ln
52 1 5 2 52 5 5
t
in 4cos
an 2
2
dt dt dt
ttttttt
tt
dt
tt
x
dt dt t t C
x
x
t
x
t
d
x
= ==
− +−+−+
−
++
== =
−+
−
=−=− = +
−
++
−+
+
⌠

⌡
∫∫∫
∫∫
∫
C
=




14.7.1 Integrujte iracionální funkci:


{}
2
2
2 2
1
2
2
1 1
2
2
1
2 2 2 ...rozklad na parciální zlomky...
(1)(1)
211
22ln1ln
.221
1221ln
11
211
t
xtt
tdt dt
t t
dx dt dx t dt
dt dt dt
tt
d
sub x
tdt x
dt t t t C x C
tt
x
x
dx
x
−
=
===
− −
==
=+ =+ =
−+
++
=+ − =++
+
− −+ = ++ +
+−
+−
⌠
⌠


 ⌡
⌡
⌠

⌡
⌠
⌠

⌠

⌡⌡
⌡
∫∫
∫

=
53
54

14.7.2 Integrujte iracionální funkci:


45
3
33
124
22
22 3
3
4
34
3
334
1
44
14
1
43 4 4
44 4 ln1
333
.
11
44
ln 1
33
tt
tdt dt
tdx t dt
t
tt
t dt dt t dt dt t t C
t
x
d
sub x
xx
x
t
x
t
C
== ==
+=
+
=− =− =−++
++
=− ++
+
⌠
⌠


⌡
⌠

⌡ ⌡
⌠⌠⌠⌠

⌡⌡⌡⌡

4
=
2.sub xt+ =
.3cossub x t=
=






14.7.3 Integrujte iracionální funkci:


2 22
2
11
5( 4 4)4 9( 2)
1
arcsin
3
9
2
arcsin
1
4
3
5
dx dx
xx x
t
dt C
dx dt
t
x
C
dx
xx
==
− +++ −+
==+
=
−
+
−
+
=
−
=
=
⌠ ⌠
⌠


⌡
⌡
⌠

⌡


⌡

=
=





14.8.1 Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci:


22
2
2
99cos(3)sin 9 sin sin
3sin
1cos2 1 sin2 9 9
9 sin 9 9( ) arccos sin(2arccos )
224234 3
99 9
arccos 2sin arccos arccos cos arccos
234 3 3 3
9
2
t tdt t tdt
dx tdt
ttxx
tdt dt t C C
xxxx
xdx
C
==−−=−=
=−
−
=− =− =− − + =− + + =
=− + + = +
−
−
⌠

⌠ ⌠

⌡
⌡⌡
∫∫
2
2
1 (cos arccos )
23
9
arccos 9
232
xx
C
xx
xC
−+
=− + − +
=









54
55

14.8.2 Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci:


22
222
2
2
2
2
2
1
( 4 4) 4 ( 2) 4
2sin 4 2sin cos 2sin 1
cos cos cos cos
4
21 cos
4
2
cos
cos
2
.sin
cos cos
coscos1sin
4
1
d
dx
dx
xx x
tttt
dx dt dt dt dt
t
t
tarc
x
sub t u
tt
dt dt
tdt
x
x x
===
++− +−
== = = = =
−
−
=
+
=
== =
−
+
⌠
⌠


⌡
⌡
⌠
⌠
⌠



⌡
⌡
⌠

⌡
⌡
⌠⌠

⌡⌡
{}
{}
2
2
2
2
... . ...
1
111 1 11sin
ln 1 ln 1 ln
21 21 2 2 21sin
22
11( )1 sin arccos
11
22
ln ln ... ...
2
222
1 sin arccos
11( )
2
2
ln( 2 4 )
du
rozklad na parc zlomky
du u
du du t
uuC C
uu t
xx
C C úpravou
x
x
xxxC
= ==
= −
+
=+=+−−+= +=
+− −
+−+
++
=+= ==
−
−−
+
+
=++++
⌠

⌡
⌠⌠

⌡⌡

2
.2
cos
sub x
t
+=
t





























55
56

15. Riemannův určitý integrál



15.1.1 Metodou „per partes“ vypočtěte hodnotu určitého integrálu:


[]
[] [] [ ]
1
1
0
0
11
1
00
0
1
0
1
0
l
.. ´1
ln( 1)
1
1ln(1)´
1
1
1ln 2 0ln1 ln 2 ln( 1) 2ln
)
1
(
2
n
1
1
pp u u x
x
x xd
xvx v
x
dx x
x
x
x
dx+
==
==+
+=+ =
+

=−−− =−++=

+

∫
∫∫
∫
−=
−


15.1.2 Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu:

(pomocí transformací mezí)


3 3
3 2
1 1
13
1
.ln
19
(1 ) 3 1 8
222
13
1ln
e
e
sub x t
t
dx dt t dt t
x
x ee
t
x
dx
x
− −
−
=

===+=+=+−


+
−
∫∫
=



15.1.3 Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu:

(pomocí dosazení do primitivní funkce)


2
8
8
2
4
8
4 4
2
122 1 1
(ln 45 lnln
1
23
5) ln 3
223 2
2
2
3
x
dx
x
x
dx
xx x
xx
−

== =−

−−−
−
−
∫∫

=− −
Výpočet primitivní funkce:


2
2
2
.2322
ln
23 (2 2
ln 2
)
3
sub x x txd
dx t C C
xx txdxdt
xx
−−=−
===+=
−−
−
−
−
=
∫∫
+














56
57

16. Aplikace Riemannova integrálu


16.1.1 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou , osou x a přímkami ,15xx==
1
y
x
=
32
23yx x x= +−






5
1
5
1
( ln ln 5 5
1
1) ln ln
b
a
dxfxdxPx
x
====−=
∫∫

16.1.2 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou a osou x




Průsečíky s osou x jsou :

32
23 (3)(1)0
3, 0, 1
v intervalu 3,0 je funkce nezáporná
v intervalu 0,1 je funkce záporná
xxxxx x
xxx
+−=+−=
=− = =
〈− 〉
〈〉

57
58

0
432
3
1
43
01
32
3
2
2
0
0
3
123
432
123 81 27123 457
018 0
432 4 2 432 412
135 7 142 71
1
(23) (23
2126
)Px
xxx
xxxdx xxxdx
−−

==+



++− =−++
+− + +− x+
+ +−− = +− =


+
===
∫∫



16.1.3 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami
2
2
,
11
12
yyx
x
==
+



Vypočteme souřadnice průsečíků grafů:



2
42
2
22
11,223,4
2
2
Integrujeme v intervalu -1,1 , kde Proto
1
20
12
.20
(2)(1)0
2,1
11
.
12
x
xx
x
sub z x z z
zz
zxzx
x
x
〈〉
=⇒+−=
+
=⇒+−=
+−=
=− ⇒ ∉ = ⇒ =±
≥
+
null 1


1
3
1 2
2
1 1
1
arctan
6
1111
arctan1 arc
1
( ()
tan( 1)
6646
()
4
)
2
()
2
63
b
a
fx gP
x
dx xx
x
xxd
πππ
− −

===−


=−−−−=−+−
+
=
−−
−
∫ ∫
=











58
59
16.1.4 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami
2
(1) 1 0,2yxxy− =+ −=
223
22x tt y t t=− = −





Záměnou závislosti proměnných při průsečících y=0 a y=4 obdržíme:


4
4
223
0
4
2
0
0
1 1 64 16
(2 ) 16
26
(
3
1
)
2
yy yd yydy yy

==−=−=−


−

+
∫∫
=Py

16.1.5 Vypočtěte obsah P kruhu o poloměru r

Kruh je obrazec symetrický dle osy x , proto vezmeme dvakrát obsah horní poloviny
222 22 22
12
0
22 2 2 2
0
222
2
0
2
22
0
,
.cos
sin 2 cos ( sin ) 2 sin
0
1cos2 1 1
sin22
2
224
r
r
xyr y rxy rx
sub x r t
Pdrx rtdt rr trtdtr tdt
xrr
t
t
rdrtt
d
rr
x
π
π
π
π
π
π
π
−
+= ⇒=+ − =− −
=
==−=−−=
−
−

==−==


−
∫∫
∫
∫
=


16.1.6 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami, které jsou dány parametrickými rovnicemi





2
1
2
23
2
22
23 4 3 2 5 4 3
000
() 2 () (2 2)
() 2 0,2
1 3 2 112
(2 )(2 2 ) 2 ( 3 2 ) 2
54
() ()
31
t
t
x t t t dx t dt t dt
P
yttt t
tt tdt t t tdt t t t
ttdt
ϕϕ
ψ
ψ
ϕ
==− = =−
== =
==− ∈〈〉

=−−=−+ = −+=


∫∫
∫
&
&
5

59
60
16.2.1 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o rovnici pod
22
(1)4xy+ −=
pro 0,112 txt y t ∈〈〉==+
osou x

3
2
3
2
22
2
12
3 23 2
2
33
2
2
2
2
1
4
rovnice dolní půlkružnice je tvaru y=1-
průsečíky s osou x jsou x
1(
4-x ´
4
3, 3
4
2
4
.2cos
2sin
2sin 2 (
44cos
33
5
66
´( )
4
) 1
b
a
dx
x
x
y
x
x
xx
Ld
x
sub x t
t
x
d
dx tdt
t
x
y x
t
xdx
x
ππ
−
− −
=
−
=
−
=− =+
−+
==+
−
+ ==
−
=
−
==− =
−
−
∫∫∫∫
[ ]
55
5666
6
5 6
sin
)2()2 2
sin
54
2
66 3
t
dt dt dt t
t
πππ
π
π
ππ
π
= ==

=−=


∫∫∫
=

16.2.2 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o parametrických rovnicích





[]
2
1
1
0
1
1
0
0
22
() () 1
0,1
() 1 2 () 2
55 5(10)
(
1
()
4
)
5
t
t
xtt t
L
d
t
yt tt
dxt
tt
t
tdϕψ
ϕϕ
ψψ
== =
==+ 〉=
==+ =
====−+ =
∫
∫ ∫
&&
&
&
∈〈

60
61
16.3.1 Vypočtěte objem rotačního tělesa , které vznikne rotací obrazce P kolem osy x.
Obrazec P je omezen křivkami .
2
3,2 xypx ==
1,
4
, 4xyx
x
== =
,12xx= = 0y =
2
9yx=−


3
3
0
2
2
0
2() 9(
2
2 0) 9
b
a
x
p xf dx xxd ππ ππVpppπ

====−=


∫ ∫





16.3.2 Vypočtěte objem rotačního tělesa , které vznikne rotací obrazce P kolem osy x.
Obrazec P je omezen křivkami .


4
4
2
11
2
2
4
1
111
16 16 16 ( 1) 12
4
(
4
)
b
a
fxVddx
x
x
x
d
x
π π πππ
−

=====−−







∫∫ ∫
π=




16.4.1 Vypočtěte obsah rotační plochy (plášť rotačního tělesa) vzniklého rotací rovinného obrazce
P omezeného přímkami , osou a grafem funkce



[]
2
2 2
2
2
1
2
2
222
2
1
2
11
() 9
1, 2
´´()
9
39
2666(
2()1(()
29 1
21) 6
9
)
9
b
a
yfx x
Sx
x
y
x
xdx
fx
x
x
dx dx x
fx fx d
x
x
x
ππππ
π
π
π −
==−
= =∈
==
⋅+
−
−
−
==
−
====−=
−
+
∫
∫
∫
∫
〈〉
















61


62
62