Sbírka M1

má
( ) .ln , D(f ) 0. ) ,
f ln , D(f ) (0, ).
D(f)=D(f ) D(f ) , tedy D(f)= 0. ) (0, ) (0, )
fx x x x
x
==
==
∩
lu (1, ) funkce roste.
Bod x=-1 je bodem lokálního maxima, bod x=1 bodem lokálního minima.
∞




13.3.2 Zjistěte, kde funkce
2
()
x
f xe= je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého
lokálního minima a maxima.


22
1.derivace je stále kladná
funkce je rostoucí na celém definičním oboru D(f)= , nemá žádné extrémy
0() ´() 2
´( ) 0
xx
fx e f x e
fx
=
>
>=
→
R




13.3.3 Zjistěte, kde funkce
2
()
3
fx
x
=
+
je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého
lokálního minima a maxima.

2
s vyjímkou bodu x=-3, kde f(x) není definovaná
Funkce je tedy po částech rostoucí na intervalech (- ,-3) , (-3, )
22
() ´()
3 (3)
0fx f x
x x
∞∞
−
=
+ +
< , ) , nulový bod x=0 .
Platí Lokální minimum y=0 v bodě x=0,
okální maximum y= v bodě x= , na intervalech (- ,0) a ( je klesající.
Na intervalu (- ,0) je fu
-
y´ (0) ´ ( ) .
,)
y
π
+
∞∪ ∞
∞∞
∞
==−∞
l
2
3
nkce konkávní a na intervalu ( je konvexní.
π
Asymptota se směrnicí y= pro x i pro x - .
3
,)∞
→+∞ → ∞






46
47
13.5.7 Vyšetřete průběh funkce ()
X
f xx=






1
e
D(f)=(0, ) , funkce je kladná , nulový bod nemá.
11
Lokální minimum y=( ) v bodě x=
ee
Na intervalu (0, je klesající , na intervalu ( ) je rostoucí.
Na celém definičním intervalu je konve
.
) ,

∞
∞
0
xní.
( ) 1 , ( )

lim lim
xx
fx fx
→+ →+∞
==∞





13.5.8 Vyšetřete průběh funkce
2
() sin3
x
f xe
−
= x




D(f)=(- , ), spojitá, ani sudá ani lichá.
Nulové body jsou x=k kde k je celé číslo.
3-
V bodech, kde tan(3 x) = , má lokální extrémy, inflexní body v x, pro něž tan(3 x) =
25
,
3
.
π
∞∞
12










47
48


14. Primitivní funkce


14.1.1 Užitím základních vzorců integrujte:
1313
55
3424
3
23766
7332
324
1
(1)
243 2 4 3
63 7 2 63 7 2
x x x dx x dx x dx x dx x dx dx
x
xx
x xxxC xxxx xx
−
+−++ = + − + +
+−+++=+ − + ++
∫∫∫∫
C
=



14.1.2 Užitím základních vzorců integrujte:


cos 1 1
(3sin ) 3 sin cos 3cos sin
55 5
x
x dx xdx xdx x x C−=− =−−
∫∫∫
+

14.1.3 Užitím základních vzorců integrujte:


2
11
arctan
93 3
x
dx C
x
=+
+
∫


14.1.4 Užitím základních vzorců integrujte:


cos
ln sin
sin
x
dx x C
x
= +
∫


14.2.1 Integrujte pomocí úpravy integrandu:


43
2
22
1
(1 ) arctan
113
xx
dx vydělíme x dx x x C==−+=−+
++
∫∫
+

14.2.2 Integrujte pomocí úpravy integrandu:


22 2
5551
.t
1 cos 2 1 cos sin 2 cos 2
dx gon vzorce dx dx x C
xxxx
== = =
++−
∫∫∫
5
+

14.2.3 Integrujte pomocí úpravy integrandu:


2
1cos2 1 1
cos . cos 2
222
11
sin 2
24
x
xdx gon vzorce dx dx xdx
xxC
+
== =+
=+ +
∫∫∫
=


14.3.1 Pomocí substituce integrujte:


2
33
.2
1
( 2) 2 2( 2)
sub x t
dx dt t
CC
dx dtxt
−
−=
2
x
= ==+=− +
=−−
∫∫





48
49

14.3.2 Pomocí substituce integrujte:


2 2
2
.
11
2
22
1
2
xt
sub x t
xdx dt x
xedx edt e C
xdx dt
=
=
= ==
=
∫∫
+

14.3.3. Pomocí substituce integrujte:


.
cos
cot ln
cossin
sub
xdt
xdx dx t C
xdx dtxt
= ===
=
∫∫ ∫
+
tx =
5 3x t=+
cos x t=
2
´
x
v x=
=
.. ´1pp v=



14.3.4. Pomocí substituce integrujte:


.
11 1
sin cos cos(5 3)
5
sin(5 3
5
)
55
sub
tdt t C x C
dx d
xdx
t
===−+=−
=
++
∫ ∫


14.3.5. Pomocí substituce integrujte:


22
2
3
2
sin 1 cos
sin sin
2cos 2cos
(2)(2).
14
sin
2co
3
sin 22
s
xx
xdx xdx
tts
x
ub
tt
dt dt
xdx dt t
dx
x
t
−
===
++
−+
−−+
==
−= ++
+
∫
∫∫
∫ ∫
==
(2)t +
22
3
2
cos
2 3ln 2 2cos 3ln cos 2
dt
dt
t
tx
ttC x xC
+=
+
=−+ ++= − + ++
∫∫


14.4.1 Pomocí „per partes“ integrujte:


2
22 222
1
11 11
2
22 24
´1
..
x
xx xxx
ue
xeedxxeexe
pp u
v
e
dx
=
==−=
=
∫ ∫

C−+
14.4.2 Pomocí „per partes“ integrujte:


1
ln ln ln
1
ln
l 1.
´
n
ux
vx
xdx x x x dx x x x C
xu
xdx
x
=
== =−=
=
−+
=
∫∫∫










49
50

14.4.3 Pomocí opakované „per partes“ integrujte:



22
2
2
´2
cos 2 cos
cos
´1
cos 2( sin si
sin
n)
sin
cos 2 sin 2cos
vx
x xxxdx
v
xxxx xdx
x
x
xxx x
xdx
C
=
==−+
=−
=
==−+
=
=− + + +
∫∫
∫

2
..
´ sin
..
´cos
pp v x
ux
pp v x
ux
ux
ux
=
=
=
=
´
´
cos
´
sin
x
x
vvx
v x
=
=−=
=
=
.3 2sub xt+ =
=



14.4.4 Pomocí „per partes“ a převedením na rovnici integrujte:


cos sin
sin
cos sin
´c
co
os
cos sin
..
..
1
(cos sin)
s
cos
2cos
cos
2
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
ue
exexdx
x
ue
exex
vx
exe
pp u e
pp u e
exdx
exdx
exdx
ex
x
exd xx e
=
==+
=
==+−
=
=+
=+
∫
∫
∫
∫
∫

=


14.5.1 Integrujte racionální funkci:


3
2
3
32
2
55 5 513
33 326
5
5
3
51
6(
5
(3 2)
32)
dt tdx dt
tdt C
tt
dx d
x
t
C
x
d
x
−
−
=
=====
−
=
=− +
+
+
∫∫ ∫

+=


14.5.2 Integrujte racionální funkci:

12
2
2
2
2 22
44
2()2
55 52
55
2 2 10 2 2 10 2 2 10
56 1 5 5 1
() 3 ln 10arctan
25 210 2 2
52
210
3
xx
x
dx dx dx
xx xx x
x
dx
I
x
x
dx x x C
xx
x
I
x
++−+
+
== =
++ ++ ++
+
+− = − = ++
+
+
+
+
+
−+
∫∫ ∫∫
∫
+


Integrál
1
I řešíme podle vzorce
´( )
ln ( )
()
fx
dx f x c
fx
= +
∫


1
I =
2
1
2
22
ln 10
10
x
dx x x C
xx
+
= ++ +
++
∫

50
51
Integrál
2
I řešíme úpravou a substitucí

2
2
22
22
2
.1
111
210 ( 21)9 (1)9
11 1(1)
arctan( ) arctan
(9 ) 3 3 3 3
sub x t
dx dx dx
dx dtxx xx x
tx
dt C C
t
I
+=
== ==
=++ +++ ++
+
==+=
+
∫∫ ∫
∫





14.5.3 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:


32
2
71 3 1
(2 3)(3 1)
6( ) 6( )( )
92 2 3
673
dx dx dx
xx x
xx x xx x
dx
I
xxx
====
− −
−
− +
−−+
∫ ∫∫∫

Rozklad na parciální zlomky:
114
,,
(2 3)(3 1) 2 3 3 1 3 33 11
11 4 1 9 1
33323131
14 9 12 3
ln ln 2 3 ln 3 1
3 33 2 3 11 3 1 3 33 11
AB C
ABC
xx x x x x
xx x
dx dx dx
9
x xxC
x xx
I

=+ + = =− = = =

−+ − +

=− + +
−+
=− + + =− + − + + +
− +
∫∫ ∫



14.5.4 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:


2
2
2
2
32
(1)
32
(21)
xx
Idx
xx
dx
xxxx x
−+
+
−+
==
++
∫ ∫


Rozklad na parciální zlomky:
{}
2
22
2
2
32
2, 1, 6
1(1) (1)
21 6
1 (1)
1
26lnln16
11(1)
6
2ln ln 1
1
xx AB C
AB C
xxxx x
xx x
dx dx dx
xI x C
xx xx
xx C
x
−+
=+ + = = =− =−=
+++
−−
=+ +
+ +
−

=−− =−+− +

+++

=−+++
=
+
⌠ ⌠ ⌠

⌡⌡⌡










51
52

14.5.5 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:


3 2
(1) 11 (
dx
x
dx
x
I
xx +−
=
+ )+
=
∫ ∫


Rozklad na parciální zlomky:

22 2
22 2
2
2
11121
,,
(1)( 1) 1 1 3 3 3 3(1)3( 1)
11 1 2 11 124 11 1213
313 1316 1316 1
11 121 1
316 12
(
AMxN x
AM N
xxx x xx x xx
xx
dx dx dx dx dx dx
xxxxxx xxx
xd
dx dx
xxx
x
I

=+ == =−== +

+−+ + −+ + −+

−−
=− =− =−
+−++−++−+
−
=− +
+−+
−
⌠ ⌠⌠⌠

⌡⌡⌡⌡
=
2
2
2
2
11 1
ln 1 ln 1
13 1 3
36 2
)(
44 2 4
1(1) 1 21
ln arctan
61
33
dx
xxx
xx
C
xx
)
= +− −++ =
++ − +
=+ +
−+
⌠
⌠
⌠⌠







⌡⌡
⌡
⌡





14.6.1 Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:


22
22
3
.cos
sin 1 cos
sin sin
sin2cos 2cos
(2)(2)
1
sin
2cos
43
22
sub x t
xx
xdx xdx
xdx dt
tt
tt
dt dt
t
x
dx
t
x
=
−
===
=−++
−+
−−+
=
++
+
∫∫ ∫
∫
2t +
()
3(2)3
22
cos
2 3ln 2 2cos 3ln cos 2
dx dx
dt t dt
tt
tx
ttC x xC
+ =− +
++
=−+ ++= − + ++
∫∫ ∫∫∫
= ==



14.6.2 Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:


{}
22
2
....pomocí rozkladu na parciální zlomky......
(2 cos )s
sin sin
(2 cos )sin (2 cos )(1 cos )
.cos
.....
sin (2 )( 1)
1111 1 1
ln 2 ln 1 ln
32 6 12
in
13 6 2
xx
dx dx
xx x x
sub x t
dt
xdx dt tt
dt dt dt
tt t
tt t
dx
xx
== =
++−
=
===
=− +−
=+−=+ − +
+−+
+
∫∫
∫
∫∫∫
∫
=
2
3
1
1(cos 2)(cos1)
ln
6(cos1)
C
xx
C
x
+=