otázky ke zkoušce

ý úhlovou frekvencí dává výkon,
snadno vytušíme, že energie se zachovává. Tyto úvahy platí pro všechny typy převodovek, protože jejich
15
Obr. 9: Známe-li počet zubů na převodníku i pastorku a velikost kola, můžeme z frekvence šlapání vypočítat rychlost
jízdního kola.
smyslem je měnit moment síly a frekvenci otáčení na jiné hodnoty, přičemž energie se musí zachovávat
(tepelné ztráty zanedbejme). V běžném životě se s převodovkou setkáme u jízdního kola.
Nebudeme již situaci podrobně rozebírat, pouze napíšeme vztah mezi úhlovou frekvencí kliky a rych-
lostí, kterou se bicykl pohybuje.
vx = −NrN
R
Rωz
kde Nr je počet zubů na převodníku, NR je počet zubů na pastorku, R je poloměr zadního kola a ωz je
úhlová frekvence otáčení klik. Odvození výše uvedeného vztahu doporučuji jako cvičení, protože se v něm
uplatňují všechny principy probrané v této kapitole.
2.1 Rovnováha tuhého tělesa, výpočet namáhání
Rovnováhou tělesa rozumíme stav, kdy se těleso nijak nepohybuje, setrvává v klidu, a tudíž jeho hybnost
i moment hybnosti jsou nulové. Tuhé těleso nemění svůj tvar, a tak jedinou možností jeho pohybu je
translace a rotace. Translací rozumíme pohyb středu hmotnosti (těžiště). Z první impulsové věty vyplývá,
že těžiště můžeme rozpohybovat pouze vnějšími silami. Jestliže chceme, aby těžiště zůstalo bez pohybu,
musí být součet vnějších sil roven nule. Tím jsme zformulovali jednu podmínku pro statickou rovnováhu,
ale tato podmínka nestačí. I kdyby vnější síly dávaly v součtu nulu, mohly by způsobit roztočení tělesa
kolem osy procházející těžištěm. Jestliže chceme zabránit i roztočení (změně momentu hybnosti), musí být
také součet působících momentů roven nule. Je to důsledek druhé impulsové věty. Pro statickou rovnováhu
musí platit
summationdisplay
BYi = 0
summationdisplay
C5i = 0
což představuje šest rovnic (síla i moment síly mají tři složky). Při řešení příkladů postupujeme tím
způsobem, že zvolíme souřadnou soustavu, rozepíšeme složky všech působících sil a souřadnice jejich
působišť. Součet všech sil musí být roven nule. Dále pomocí vektorového součinu vyjádříme momenty
sil a jejich součet musí být opět roven nule. Z toho vyplyne soustava rovnic, jejichž řešení už je pouze
matematickou záležitostí. Tímto způsobem můžeme obvykle vypočítat některou neznámou sílu, její velikost
i směr, případně namáhání nějaké části tělesa. Neznámou může být také působiště některé ze sil, přesněji
řečeno přímka, podél které musí síla působit.
16
Nutno podotknout, že s řešením statické rovnováhy těles se v běžném životě potkáváme velmi často.
Stačí se rozhlédnout kolem sebe a vidíme mnoho těles, které se nepohybují a přitom na ně působí gravitační
síla. Znamená to tedy, že na ně musí působit ještě nějaké jiné síly a můžeme hned zjišťovat, které to jsou, jak
jsou velké a kam směřují. Snad právě proto existuje nepřeberné množství způsobů, jak při řešení uvažovat.
V mnoha případech se využívá symetrie, či podobnosti trojúhelníků, zcela se opomíjí souřadná soustava,
šikovným posunutím působiště podél síly lze příklad zjednodušit, intuitivně lze odhadnout správný poměr
sil a vzdáleností, příklady lze řešit i čistě geometricky, mluví se o jednozvratných či dvojzvratných pákách,
sleduje se plocha vytvořená ramenem a silou ...
Přesto budeme i nadále využívat podmínky pro statickou rovnováhu, tedy nulový součet sil a nulový
součet momentů sil získaných vektorovým součinem a to vše ve zvolené souřadné soustavě. Tento zdánlivě
těžkopádný postup má totiž nespornou výhodu – nikdy nezklame ani u složitějších trojrozměrných situací
a hlavně si nemusíme nic dalšího pamatovat!
1. Stabilita rovnováhy
Je poměrně snadné vypočítat, ve kterém místě je nutné podepřít dlouhou tyč, aby zůstala v rovnováze.
Intuitivně tušíme, že musíme najít těžiště, a to se zcela jistě nachází uprostřed. Zkuste to ale realizovat
prakticky. I při té nejlepší snaze a pečlivosti tyč vždy spadne, což může být pro mnohé překvapením.
Problém spočívá ve stabilitě (tedy spíše nestabilitě) tyče. Situaci vidíme na následujícím obrázku.
Obr. 10: Přestože dlouhou tyč podepřeme přesně v těžišti, zůstane její rovnováha labilní.
Při její teoretické rovnovážné poloze je součet všech sil i součet všech momentů sil nulový. Stačí však
drobná výchylka a tyč se nikdy samovolně nevrátí do své původní rovnovážné polohy. Naopak, vznikne
moment sil, který výchylku ještě více zvyšuje. Větší výchylka způsobí ještě další zvětšení momentu sil a
dříve či později tyč spadne.
V běžném životě bychom mohli takových případů najít mnoho. Notoricky známé je například Ko-
lumbovo vejce, tedy úkol postavit vejce na špičku, aby zůstalo stát bez vnější pomoci. Kolumbus údajně
problém vyřešil tím, že u špičky mírně naklepl skořápku, a pak již lze vejce postavit relativně snadno.
Popsané situace byly příkladem labilní rovnováhy, kdy reálné těleso vždy spadne, překlopí se nebo se
skutálí. Opakem je stabilní rovnováha. Například, položíme-li minci na rovnou podložku, zůstane ležet bez
pohybu. Minci bychom mohli s trochou opatrnosti postavit i na hranu a zůstala by taktéž v klidu aniž by
spadla, ale je zřejmé, že mince nastojato bude méně stabilní než mince naležato. Jiným příkladem může
být váza – ze zkušenosti víme, že vysoká a štíhlá váza je méně stabilní než nižší a širší. Přesněji řečeno,
rozhodující je podstava vázy. Váza s květinami bývá méně stabilní než váza bez květin, nicméně u těžší
vázy se rozdíl ve stabilitě projeví méně. A nalijeme-li do vázy vodu, její stabilita se zvyšuje, ale jen do
určité míry. Uvažujme jiný příklad – ramínko na šaty. Víme, že spočívá ve stabilní rovnováze, přestože se
věšákové tyče dotýká v jediném bodě, takže u něj vůbec nemá význam mluvit o velikosti podstavy.
Jak vidíme, se stabilitou rovnováhy se setkáváme často a mnohdy intuitivně víme, které faktory ji
ovlivňují. Co je oním měřítkem stability? Je to síla, kterou musíme vyvinout, abychom těleso vychýlili?
17
Obr. 11: Teoreticky je možné postavit vejce na špičku tak, aby zůstalo stát ve stabilní rovnováze. Podmínkou však
je, aby se jeho těžiště nacházelo velmi blízko špičky, což běžné vejce v žádném případě nesplňuje.
Nebo energie, kterou musíme tělesu dodat, aby se převrhlo? Nebo úhel, o který musíme těleso vychýlit, aby
spadlo? Kritérií existuje celá řada, ale abychom rovnováhu rozlišili na stabilní a labilní, budeme si všímat
pouze polohy těžiště tělesa. Jestliže těleso nepatrně vychýlíme, jeho těžiště se může zvýšit, snížit nebo
zůstat v původní výšce. Chceme-li zvýšit těžiště tělesa, musíme působit silou a konat práci, což samovolně
nenastane. Proto jde o stabilní rovnováhu, jestliže se při drobné výchylce zvyšuje těžiště. Naproti tomu,
všechna tělesa mají tendenci vlivem gravitační síly snižovat své těžiště, pokud tomu nezabráníme. Takže
snižuje-li se těžiště při drobné výchylce, jde o rovnováhu labilní. Jestliže se výška těžiště při vychylování
nemění, mluvíme o indiferentní rovnováze.
2.2 Moment setrvačnosti
Velmi často se setkáváme s případem, kdy nějaké těleso rotuje. Tělesa mohou mít různý složitý tvar a
mohou mít komplikované rozložení hmotnosti a mohou rotovat kolem libovolné osy. Ukazuje se, že některé
rotační charakteristiky těles lze vyjádřit pomocí několika málo čísel, což výrazně zjednoduší představy a
usnadní výpočty. Veličina, která nese tyto užitečné informace o tělese, se nazývá moment setrvačnosti a
značí se J. Ve svém obecném pojetí se jedná o tzv. tenzor, což je matice, která v tomto případě obsahuje
devět prvků (třikrát tři), přičemž šest z nich je nezávislých. Budeme se zabývat speciálním případem, kdy
máme předem zvolenou osu rotace a vlastnosti tělesa lze vystihnout pouze jedním číslem namísto šesti.
Začněme tím, že vypočítáme, jakou energii musíme dodat tělesu, abychom jej roztočili z klidu na
úhlovou rychlost ω. Pro i-tý bod bude platit
Ei = 12miv2i
Protože ve vztahu vystupuje druhá mocnina rychlosti, což je skalár, můžeme pracovat pouze se skaláry.
Nechť Ri je vzdálenost od osy rotace. Pak musí platit, že DA2i = R2iω2 a vztah můžeme přepsat pomocí
úhlové rychlosti. 5
Ei = 12miR2iω2
Máme-li zjistit celkovou dodanou energii, posečítejme všechny rovnice pro jednotlivé body.
E =
Nsummationdisplay
i=1
1
2miR
2
iω
2
5Je vhodné připomenout, co znamená zápis
BT
2, tj. co je to druhá mocnina vektoru. Můžeme to považovat za součin
velikostí
BT
2 = |
BT| |BT| = A2x +A2y +A2z
anebo skalární součin vektoru se sebou samým
BT
2 =
BT·BT = AxAx +AyAy +AzAz
Oba způsoby chápání jsou správné a dávají stejný výsledek.
18
Úhlová rychlost je stejná pro všechny body, tak ji spolu s jednou polovinou vytkněme před sumu.
E = 12ω2
Nsummationdisplay
i=1
miR2i
SumusummationtextNi=1 miR2i budeme nazývat moment setrvačnosti a značit J. Pak lze rotační energii napsat ve tvaru
E = 12Jω2
Takže známe-li moment setrvačnosti tělesa, pak lze snadno vypočítat, jak souvisí dodaná energie s rychlostí
jeho rotace.
Moment setrvačnosti můžeme využít nejen k výpočtu energie, ale také ke zjištění momentu hybnosti.
Odvození bude poněkud komplikovanější než u energie, protože si již nevystačíme jen se skaláry.
V kapitole o otáčení těles jsme definovali, že vektor úhlové rychlosti ω je rovnoběžný s osou rotace.
Abychom měli jednodušší situaci, zvolme počátek souřadné soustavy právě na osu rotace. Pak pro každý
(i-tý) bod soustavy bude platit
DAi = ω ×D6i
Vidíme, že rychlost je vždy kolmá na polohový vektor D6 i na vektor úhlové rychlosti ω. Všechny body
rotují se stejnou úhlovou rychlostí ω, a proto u tohoto vektoru není uveden index i.
Pokusme se pomocí výše uvedeného vztahu vypočítat celkový moment hybnosti rotujícího tělesa. Mo-
ment hybnosti i-té částice se vypočítá
D0i = miD6i×DAi, takže je zřejmé, jaké úpravy musíme s rovnicí provést, abychom na levé straně získali moment
hybnosti. Obě strany rovnice vektorově vynásobíme zleva polohovým vektorem D6i, čímž dostaneme:
D6i ×DAi = D6i ×(ω ×D6i)
Na pravé straně rovnice jsme získali tak zvaný dvojitý vektorový součin. Pro úpravu je možné využít
identity (kterou dokazovat nebudeme)
BT× (BU ×BV) = (BT·BV)BU − (BT·BU)BV
a tím můžeme rovnici přepsat do tvaru
D6i ×DAi = D6
2
i ω −(D6i ·ω)D6i
Když rovnici vynásobíme hmotností i-tého bodu, tak na levé straně získáme vztah pro moment hybnosti
miD6i ×DAi = miD62i ω −mi(D6i ·ω)D6i
to znamená
D0i = miD6
2
i ω −mi(D6i ·ω)D6i
a jestliže chceme zjistit celkový moment hybnosti tělesa, pak posečítáme rovnice zapsané pro všechny body
v soustavě.
C4 =
Nsummationdisplay
i=1
miD6
2
i ω −
Nsummationdisplay
i=1
mi(D6i ·ω)D6i
Pravá strana rovnice je ale poměrně komplikovaná, a tak uvažujme speciální případ, kdy všechny body
obíhají v jedné rovině kolem počátku souřadnic. Půjde o „plochécsquotedblright těleso, u kterého bude vše snadné.
Protože je počátek souřadné soustavy ve středu otáčení všech bodů, bude velikost polohového vektoru
znamenat vzdálenost od osy rotace. Současně bude polohový vektor vždy kolmý na vektor úhlové rychlosti,
19
což znamená, že jejich skalární součin bude roven nule, a tím se zbavíme druhého členu na pravé straně
rovnice.
C4 =
Nsummationdisplay
i=1
miD62i ω
Vzhledem k tomu, že úhlová rychlost ω je stejná pro všechny body, můžeme ji vytknout před sumu
C4 = ω
Nsummationdisplay
i=1
miD6
2
i
a člen summationtextNi=1 miD62i budeme nazývat moment setrvačnosti a značit J. To znamená, že
C4 = Jω
Jestliže obě strany této rovnice zderivujeme podle času, dostáváme
dC4
dt = Jε
a to je ve spojitosti s druhou impulsovou větou velmi užitečný vztah. Z druhé impulsové věty víme, že
derivace hybnosti podle času je rovna součtu externích momentů, takže musí platit
C5 = Jε
Známe-li moment sil a moment setrvačnosti, můžeme zjistit úhlové zrychlení tělesa. Zde je možné vidět
jistou podobnost se vztahem BY = mCP. Dále si můžeme všimnout zajímavého důsledku zákona zacho-
vání momentu hybnosti. Jestliže na těleso nebudeme působit vnějšími momenty sil, zůstane jeho moment
hybnosti konstantní a tím i součin Jω. Ale jeho moment setrvačnosti se změnit může. Jestliže těleso pře-
uspořádá své rozložení hmotnosti, může změnit svůj moment setrvačnosti a tím i rychlost rotace. Tento
efekt využívají krasobruslaři při provádění piruety – upaží ruce a roztočí se. Poté, co připaží, rychlost
rotace se výrazně zvýší. Podobný fyzikální důvod má i vytvoření víru v umyvadle při vypouštění vody.
Také u vesmírných objektů se setkáváme s tím, že zmenšení rozměrů v důsledku gravitace má za následek
zmenšení momentu setrvačnosti a tím zrychlení rotace. Proto se například některé neutronové hvězdy otočí
kolem své osy více než stokrát(!) za sekundu.
Nutno připomenout, že jsme při odvozování momentu setrvačnosti uvažovali pro jednoduchost pouze
ploché těleso. Reálná situace bývá komplikovanější, a tak shrňme některé důležité skutečnosti. Moment
setrvačnosti můžeme chápat jako
J =
Nsummationdisplay
i=1
R2imi
tedy jako sumu součinů hmotností a kvadrátu vzdálenosti od osy rotace. Tento přístup je vhodný pro
určení rotační energie jakéhokoli tělesa. Ale kdybychom chtěli zjistit moment hybnosti podle vztahu
C4 = Jω
tak musíme mít na paměti, že vztah funguje jen u některých těles vykazujících určitý druh symetrie.
Moment setrvačnosti zde považujeme za skalár, kterým když vynásobíme vektor úhlové rychlosti, získáme
moment hybnosti a tudíž vektory C4 a ω jsou rovnoběžné. Například pro rotačně symetrická tělesa (nebo
jiným způsobem „vyváženácsquotedblright) bude vše v pořádku, ale obecně pro zcela nepravidelná tělesa nemusí mít
moment hybnosti stejný směr jako osa rotace. To znamená, že nelze vektor úhlové rychlosti pouze vynásobit
konstantou, abychom získali moment hybnosti. Příklad takového tělesa vidíme na obrázku ??. Moment
hybnosti má zřetelně jiný směr než je osa rotace. U takových těles se směr momentu hybnosti bude při
rotaci měnit a z druhé impulsové věty víme, že měnit moment hybnosti lze jen použitím vnějších momentů.
Důsledkem je, že takové těleso by nemohlo samovolně rotovat kolem stanovené osy, protože nemůže měnit
20
svůj vlastní moment hybnosti. Museli bychom například osu uchytit do ložisek. Ložiska by samozřejmě byla
namáhaná, protože musí působit silou. Toto je důvod, proč se kola u aut vyvažují přídavnými závažími.
Stojí za povšimnutí, že těleso na obrázku ?? nelze vyvážit přidáním jednoho bodu o vhodné hmotnosti do
správného místa. Jeden bod navíc by sice mohl srovnat moment hybnosti do směru osy rotace, jenže by
posunul těžiště mimo osu.
Obr. 12: Těleso znázorněné na obrázku se skládá ze dvou stejně těžkých hmotných bodů, přičemž osa rotace prochází
těžištěm. Přesto se při rotaci nebude jevit jako vyvážené, protože moment hybnosti nebude mít stejný směr jako
osa rotace. To znamená, že při rotaci bude nutné na těleso působit momentem síly, což se v reálné situaci projeví
například namáháním ložisek.
Celá problematika je zajímavá, ale není zde prostor pro detaily. Proto na závěr připomeňme základní
poznatek: moment setrvačnosti určuje, jak obtížně lze těleso roztočit.
Obr. 13: Na obrázku vidíme těleso složené ze čtyř bodů, které rotují kolem osy procházející počátkem souřadné
soustavy. Vektor úhlové rychlosti je stejný pro všechny body tělesa. Vždy platí, že rychlost je kolmá na polohový
vektor D6 i na vektor úhlové rychlosti ω.
1. Steinerova věta
Steinerova věta umožňuje v určitých situacích snadno vypočítat moment setrvačnosti. Lze ji použít tehdy,
jestliže známe moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm a potřebujeme zjistit moment
setrvačnosti vzhledem k nějaké jiné ose, která je vůči původní ose posunuta o vzdálenost R.
21
Nový moment setrvačnosti J se vypočítá
J = J0 + MR2
kde J0 je moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm, M je hmotnost tělesa a R je vzdálenost těžiště
od nové osy rotace, tedy vzdálenost mezi oběma osami. Obě osy jsou samozřejmě rovnoběžné, protože
nová osa vznikla posunutím osy původní, jinak Steinerovu větu nelze použít. Situace je znázorněna na
následujícím obrázku: Vypočítat moment setrvačnosti nějakého tělesa může být často pracné a vyžaduje
Obr. 14: Steinerova věta umožňuje snadno vypočítat moment setrvačnosti, jestliže posuneme osu rotace z těžiště
o vzdálenost R.
to znalost integrálního počtu nebo jiných komplikovaných metod. Proto bývají momenty setrvačností
běžných těles k nalezení v tabulkách, a právě díky Steinerové větě je možné uvádět momenty setrvačnosti
vzhledem k ose procházející těžištěm, protože přepočet na jinou osu stejného směru je velmi snadný. Stačí
původní moment setrvačnosti zvětšit o MR2, kde M je hmotnost tělesa a R je vzdálenost, o kterou je osa
posunuta vůči původní těžišťové ose.
Příkladem použití Steinerovy věty může být stanovení momentu setrvačnosti tělesa nakresleného na
obrázku (??). Těleso se skládá ze tří koulí o poloměru r. Je možné odvodit či nalézt v tabulkách, že
moment setrvačnosti koule rotující kolem středu se vypočítá pomocí vztahu 25mr2. V našem případě ale
koule nerotují kolem svého středu, ale kolem osy, která je od středu vzdálena o R. Proto je potřeba v
souladu se Steinerovou větou moment setrvačnosti každé koule zvětšit o hodnotu mR2. Celkový moment
setrvačnosti tedy vypočteme podle vztahu
J = 3
parenleftbigg2
5mr
2 + mR2
parenrightbigg
Obr. 15: Těleso složené ze tří koulí o poloměru r, jejichž střed je od osy otáčení vzdálen R.
Steinerovu větu můžeme použít i v situaci, kdy máme zjistit zrychlení koule, která se kutálí po nakloněné
rovině. Poněkud netradičně můžeme počátek souřadné soustavy umístit do bodu, kde se koule dotýká
podložky a představit si, že právě kolem tohoto bodu se koule otáčí. Při pohybu koule bude zcela jistě
hrát svou roli i moment setrvačnosti, jenže osa rotace koule není v jejím středu, nýbrž na jejím okraji – a
22
Obr. 16: Koule na nakloněné rovině je ovlivňována třemi silami. Gravitační BZ, normálovou C6 (ta je vždy kolmá
na podložku) a třecí silou CC. Výslednice všech tří sil směřuje s kopce, což odpovídá běžné zkušenosti. V pravé části
obrázku jsou síly posunuty tak, aby bylo snadné zkonstruovat rovnoběžník, ze kterého je směr výslednice zřejmý.
proto, jak uvidíme dále, použijeme Steinerovu větu. Na následujícím obrázku jsou rozkresleny síly, které
na kouli působí.
Jestliže hned od začátku uvažujeme, že se koule otáčí kolem počátku souřadnic, nemusíme vůbec dále
rozebírat normálovou a třecí sílu. Spoléháme na to, že tyto dvě síly budou vždy fixovat kouli tak, aby
se její bod na podložce nikam nepohyboval. Na kouli pak působí jediný moment sil, který je způsoben
gravitační silou BZ. Působiště gravitační síly je v těžišti koule, takže platí
CAG = [0;r;0]
přičemž gravitační síla má složky
BZ = [mgsinα;−mgcosα;0]
a nyní pomocí vektorového součinu zjistíme moment gravitační síly C5G:
C5G = CAG ×BZ = [0;0;−rmgsinα]
Známe-li moment síly, pak je snadné zjistit úhlové zrychlení, když moment síly vydělíme momentem
setrvačnosti. Můžeme odvodit nebo najít v tabulkách, že moment setrvačnosti koule se vypočítá jako
2
5mr
2, jenže to platí pouze pro rotaci kolem těžiště (tedy středu) koule. V našem případě je osa rotace
posunuta o r, a tak moment setrvačnosti bude
J = 25mr2 + mr2 = 75mr2
Pro úhlové zrychlení platí vztah
ε = C5GJ =
bracketleftbigg
0;0; −rmgsinα7
5mr
2
bracketrightbigg
=
bracketleftbigg
0;0; −5gsinα7r
bracketrightbigg
a tím jsme zjistili úhlové zrychlení. Z toho již snadno vypočítáme, s jakým zrychlením se pohybuje koule
s kopce. Souřadnou soustavu jsme zvolili tak, že koule zrychluje pouze ve směru osy x a protože se po
nakloněné rovině pohybuje bez prokluzování, existuje vztah, který dává do souvislosti zrychlení středu
koule ax a úhlov