MO01-pohyblivé zatížení

VYSOKÉ U
ENÍ TECHNICKÉ V BRN
FAKULTA STAVEBNĂŤ
Ing. ROSTISLAV ZĂŤDEK, Ph.D.
Ing. LUDK BRDE
KO, Ph.D.
STAVEBNĂŤ MECHANIKA
MODUL CD01 - MO1
POHYBLIVÉ ZATÍŽENÍ

STUDIJNĂŤ OPORY
PRO STUDIJNĂŤ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

- 2 (32)



































© Rostislav Zídek, Lud
k Brdeko, 2007
Obsah
- 3 (32) -
OBSAH
1.1 CĂ­le ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíová slova.........................................................................................5
1.5 Znaménková konvence .........................................................................5
2 Píinkové áry .............................................................................................7
2.1 Vyhodnocování píinkových ar .........................................................8
2.1.1 Vyhodnocování píinkových ar pro stálé zatížení...............8
2.1.1.1 Jediné bemeno F ....................................................................8
2.1.1.2 Soustava osam
lých bemen...................................................8
2.1.1.3 Spojité rovnom
rné zatížení ...................................................9
2.1.2 Vyhodnocování píinkových ar pro pohyblivé zatížení ......9
2.1.2.1 Jediné pohyblivé bemeno F ...................................................9
2.1.2.2 Soustava pohyblivých bemen s konstantními
vzdálenostmi .........................................................................10
2.1.2.3 ástené rovnom
rné zatížení ..............................................10
2.2 Sestrojení píinkových ar prostého nosníku analytickou
metodou...............................................................................................11
2.2.1 Píinkové áry reakcí...........................................................11
2.2.2 Píinkové áry posouvajících sil a moment ......................11
2.3 Sestrojení píinkových ar prostého nosníku kinematickou
metodou...............................................................................................13
2.3.1 Píinkové áry prostého nosníku s pevislými konci
kinematickou metodou..........................................................16
2.4 Píinkové áry statických veliin spojitých nosník.........................19
2.4.1 Píinková ára nadpodporového momentu Mb....................19
2.4.2 Píinková ára mezipodporového momentu Mx ..................21
2.4.3 Píinková ára posouvající síly Vx.......................................21
2.4.4 Píinková ára podporové reakce Rb ...................................22
2.4.5 Tvary píinkových ar.........................................................23
2.4.6 Extrémy od nahodilých zatížení............................................23
2.5 Poznámka k poítaovému ešení píinkových ar statických
veliin..................................................................................................23
2.6 Píinkové áry pemíst
nĂ­..................................................................24
3 Urení maximálních úink pohyblivého zatížení na prostém
nosnĂ­ku.........................................................................................................25
3.1 Nejv
tší ohybový moment maxM v daném prezu x. Winklerovo
kritérium..............................................................................................25
3.2 Nejv
tší ohybový moment maxMFk pod daným bemenem Fk.
Bemenové kritérium ..........................................................................26
3.3 Nejv
tší ohybový moment na prostém nosníku maxmax M.
Šolínovo kritérium ..............................................................................28

- 4 (32)


4 Závr ........................................................................................................... 31
4.1 Poznámka k poítaové analýze úink pohyblivých zatížení........... 31
4.2 ShrnutĂ­ ................................................................................................ 31
4.3 Pod
kování ......................................................................................... 31
4.4 Seznam použité literatury................................................................... 32
4.5 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 32

Ăšvod
- 5 (32) -

1.1 CĂ­le
Po nastudování modulu bude tená znát n
které metody, které se používají pro
ešení prutových konstrukcí zatížených pohyblivým zatížením. V praxi se ta-
kové zatížení vyskytuje zejména u dopravních staveb. Z hlediska stavební me-
chaniky jde zejména o problematiku urení maximálních úink pohyblivého
zatížení na konstrukci. Diskutované postupy jsou však užitené i pro b
žné
konstrukce napíklad v pozemním stavitelství a to pro vyšetování nejúinn
jší
polohy nahodilého zatížení u spojitých nosník a u rám.
1.2 Požadované znalosti
Pro nastudování tohoto modulu je teba zvládnout výpoet vnitních sil a pe-
mĂ­st
ní na rovinných staticky uritých prutových konstrukcích. Dále se u te-
náe pedpokládá znalost ešení spojitých nosník metodou tímomentových
rovnic.
1.3 Doba potebná ke studiu
Doba pro ádné nastudování a pochopení textu siln
závisí na pedchozích zna-
lostech tenáe. Odhadovaná doba pro prm
rn
znalého studenta je minimáln

jeden den intenzivní práce.
1.4 Klíová slova
Statika, prutové konstrukce, pohyblivé zatížení, píinková ára, extrémní
Ăşinky.
1.5 Znaménková konvence
Uvažujeme pravotoivý souadný systém. Budeme pracovat v rovin
xz. Osa x
prutu je totožná s t
žištní osou, osa z jde shora dol. Kladné pootoení je proti
sm
ru hodinových ruiek.

Píinkové áry
- 7 (32) -


2 Píinkové áry
Pi výpotu n
kterých stavebních konstrukcí je teba uvažovat s pohyblivým
zatížením. Jedná se zejména o mosty, ale i o jeábové dráhy a další konstrukce.
Zamyslíme-li se nad charakterem obvyklých pohyblivých zatížení zjistíme, že
se dá dobe vyjádit soustavou osam
lých sil
1. s konstantnĂ­ velikostĂ­,
2. se vzájemnou konstantní vzdáleností.
Typickým píkladem je vlak nebo silniní vozidlo.
Reakce i vnitní síly se pi psobení pohyblivého zatížení m
ní v závislosti na
poloze tohoto zatížení na konstrukci. Pi ešení vyvstávají dv
základní úlohy:
1. je teba urit reakce a vnitní síly pi libovolné poloze pohyblivého za-
tĂ­ĹľenĂ­,
2. je teba najĂ­t nejnepĂ­zniv
jší polohu zatížení. Pro zvolené místo kon-
strukce je teba najít extrémní namáhání (nejv
tší nebo nejmenší).
Každému místu konstrukce písluší nejúinn
jší poloha zatížení.
Na první pohled je ešení konstrukcí za pohyblivého zatížení komplikovaná
úloha, zvlášt
, pokud se soustava sil skládá ze sil rzné velikosti s rznými
vzájemnými vzdálenostmi. V dalším textu vezmeme tedy v úvahu princip su-
perpozice, který umožuje vyšetovat úinek každého bemene zvláš a vý-
sledky sítat. Uvažovaný problém tedy mžeme zjednodušit na vyšetování
vlivu jediné pohyblivé síly. Uvážíme-li, že velikost vnitní síly je podle princi-
pu Ăşm
rnosti lineárn
závislá na velikosti zatížení, mžeme vyšetovat pouze
úinek jediné síly o velikosti F = 1.
Princip superpozice platí pouze pro výpoty geometricky i materiálov
lineár-
ní, proto budeme v dalším textu pedpokládat, že pro vyšetovanou konstrukc
je použití lineárního výpotu dostaten
pesné.
Platí-li výše uvedené pedpoklady, mžeme vyšetování úink pohyblivého
zatížení zjednodušit zavedením píinkových ar (obr. 1).
Definice
Píinková ára P statické veliiny S znázoruje jak se m
ní statická ve-
liina S v uritém míst
konstrukce pi zatížení pohyblivým bemenem
F = 1. Poadnice h píinkové áry P v libovolném míst
udává velikost
veliiny S v mĂ­st
x, pro které je píinková ára sestrojena.
Píinková ára je vždy vázána na jedinou veliinu S a na jediné místo x kon-
strukce. Poloha poadnice h odpovídá poloze bemene F (obr. 1). Pro deskové
konstrukce se sestrojují píinkové plochy, pro prutové konstrukce píinkové
áry. V dalším textu se omezíme na rovinné prutové konstrukce.
Píinkovou áru lze intuitivn
sestrojit tak, Ĺľe bemeno F = 1 umĂ­sujeme
postupn
do ady poloh na nosnĂ­ku a odpovĂ­dajĂ­cĂ­ hodnoty vnitnĂ­ sĂ­ly
v prezu x vynášíme do jednotlivých psobiš bemene.

- 8 (32)



Obr. 1. Vztah mezi ohybovými momenty vyvolanými pohyblivým zatížením
a p
Ă­inkovou arou
Píinkové áry statických veliin staticky uritých nosník jsou složeny pouze
z úseek. Píinkové áry staticky neuritých konstrukcí (spojitých nosník,
rám) jsou obecné kivky.
2.1 Vyhodnocování píinkových ar
Pomocí píinkové áry lze stanovit libovolnou hodnotu veliiny S v prezu x
pro libovolné zatížení.
2.1.1 Vyhodnocování píinkových ar pro stálé zatížení
2.1.1.1 Jediné bemeno F
Vyvodí-li jednotkové bemeno F, psobící v prezu u, veliinu S v prezu x
o hodnot
h, pak podle principu Ăşm
rnosti vyvodĂ­ bemeno F (obr. 2)
hFSx = . (1)
2.1.1.2 Soustava osam
lých bemen
Zat
Ĺľuje-li konstrukci soustava osam
lých bemen F1, F2, F3, .... Fn, vypote-
me veliinu S v prezu x superpozicĂ­ Ăşink (obr. 3)


=
=++=
n
i
iinnx FFFFS
1
2211 ,..., hhhh . (2)

Píinkové áry
- 9 (32) -


Obr. 2. Osamlé b
emeno Obr. 3. Soustava osamlých b
emen
2.1.1.3 Spojité rovnom
rné zatížení
Pi výpotu je teba seíst úinky diferenciálních sil qdx
( ) ( )=
b
a
x dxxxqS h . (3)
V pĂ­pad
spojitého rovnom
rného zatížení (obr. 4) se vzorec (3) zm
nĂ­ na
( ) qAqAqAdxxqS
b
a
x =+==  21h . (4)

Obr. 4. Spojité rovnomrné p
íné zatížení
2.1.2 Vyhodnocování píinkových ar pro pohyblivé zatížení
Pro rzné typy zatížení se stanoví extrémní úinek pro prez x pomocí píin-
kových ar.
2.1.2.1 Jediné pohyblivé bemeno F
Maximální úinek nastává umístíme-li bemeno do místa nejv
tší poadnice
píinkové áry (obr. 5). Potom
maxmax hFSx = . (5)

- 10 (32)


Obr. 5. Jediné pohyblivé b
emeno Obr. 6. Pohyblivá soustava b
emen
2.1.2.2 Soustava pohyblivých bemen s konstantními vzdálenostmi
Nejv
tší úinek nastane, umístíme-li soustavu bemen