MO01-pohyblivé zatížení

na nosnĂ­k tak, aby nej-
v
tší bemena byla v blízkosti nejv
tší poadnice píinkové áry, piemž jed-
no z nich umĂ­stĂ­me pĂ­mo do tohoto mĂ­sta (obr. 6). Potom


=
=
n
i
iix FS
1
max h . (6)
2.1.2.3 ástené rovnom
rné zatížení
ástené rovnom
rné zatížení q na délce d vyvodí nejv
tší úinek umístíme-li
je do takové polohy, pi které mají poadnice h1 a h2 na zaátku 1 a na konci 2
stejnou velikost. Pro nejĂşinn
jší polohu zatížení platí
( )dllxu -=1 , duu += 12 , (7)
( ) qdAAAqSx =+= 21max , (8)
kde A je obsah obrazce omezený píinkovou arou Sx v úseku ásteného zatí-
ĹľenĂ­ q.

Obr. 7. Rovnomrné zatížení na omezené délce
Píinkové áry
- 11 (32) -

2.2 Sestrojení píinkových ar prostého nosníku ana-
lytickou metodou
V dalším textu se soustedíme na sestrojení píinkových ar na prostém nos-
nĂ­ku analytickou metodou.
2.2.1 Píinkové áry reakcí
Tvary píinkových ar reakcí vn
jších vazeb uríme z podmínek rovnováhy,
ve kterých budeme pedpokládat obecnou polohu bemene F = 1. Vodorovnou
reakci uríme ze silové podmínky, svislé reakce pak z podmínek momento-
vých.

Obr. 8. P
íinkové áry reakcí

= :0ixF 0==haxR , (9)

= 0iaM : luRFulR bb ===- h0 , (10)

= 0ibM : ( ) l ulRulFlR aa -==-- h0 . (11)
Píinková ára reakce Ra je pímka, která má v podpoe a poadnici ha = 1
a v podpoe b poadnici hb = 0. Píinková ára reakce Rb je op
t pĂ­mka s po-
adnicemi v podporách ha = 0 a hb = 1 (obr. 8).
2.2.2 Píinkové áry posouvajících sil a moment
Píné zatížení nebude generovat normálové síly, jejich píinková ára bude
nula (h = 0).
Posouvající síly a ohybové momenty v bod
u uríme z podmínek rovnováhy
na konstrukci rozd
lené myšleným ezem.
Je-li zat
žující síla v oblasti (0, x), napíšeme podmínky rovnováhy na pravé
ásti nosníku (obr. 9a)

- 12 (32)


= 0izF : 0=+=+ luVRV xbx ,
luVx -==h , (12)

= 0iuM : 0=¢-=¢- xluMxRM xbx ,
xluM x ¢== h . (13)
x
F=1
N V
M
u
u
Rb
l-u
x x' 'xx
l-u
aR
u
u
M
V
N
F=1
x
(a) (b)

Obr. 9. Výpoet p
íinkové áry

Bude-li zat
ĹľujĂ­cĂ­ sĂ­la v mĂ­st
x, dosame v rovnici (13) x za u dostaneme
lxxM x ¢==h . (14)
Je-li zat
žující síla na pravé ásti nosníku v oblasti (x, l), napíšeme podmínky
rovnováhy na levé ásti nosníku (obr. 9b)

= 0izF : 0=--=- l ulVRV xax
l ulVx -= (15)

= 0ixM : 0=--=- xl ulMxRM xax
xl ulM x -= (16)
Bude-li zat
ĹľujĂ­cĂ­ sĂ­la F = 1 v mĂ­st
x, dosadĂ­me za u hodnotu x, dostaneme
shodn
se (14)
lxxxl xlM x ¢=-= .
Píinkové áry
- 13 (32) -

2.3 Sestrojení píinkových ar prostého nosníku ki-
nematickou metodou
Je-li t
leso v rovnováze, je výslednice všech sil na t
leso psobĂ­cĂ­ch rovna nu-
le. JestliĹľe za tohoto stavu pemĂ­stĂ­me t
leso do nové polohy, nebude konat
výslednice R = 0 žádnou práci. Tohoto principu mžeme využít pi sestrojová-
ní píinkových ar spolen
s principem virtuálních prací.
F=1
Ra
u
d dA
F
u l-u
j

Obr. 10: Kinematická metoda
Máme-li urit prb
h píinkové áry pro reakci Ra na prostém nosníku
s pevislými konci, zrušíme doasn
vazbu v podpoe a. TĂ­m se z nosnĂ­ku stane
pohyblivĂ˝ mechanismus ve form
desky, která se mže otáet kolem podpo-
ry b. Ud
lme tomuto mechanismu libovolné pootoení d
, které vyvolá svislé
pemĂ­st
ní Av podpoe a a svislý posun psobišt
sĂ­ly F = 1 oznaenĂ˝ pro
libovolnou polohu síly F (viz obr. 10). Protože síla F je v rovnováze
s reakcemi, musí být práce sil na nosníku nulová.
0=+ FAa PR dd . (17)
Bude-li mĂ­t zat
žovací síla F velikost jedna, vychází funkní závislost

A
F
aR d
d= . (18)
VolĂ­me-li pootoenĂ­
tak, aby A byla rovna jedné, dostaneme rovnici píin-
kové áry
FaR d= . (19)
Zobecn
ním pedchozí úvahy dostaneme kinematickou definici píinkové
áry.
Definice
Píinková ára pro libovolnou statickou veliinu S je ohybová ára nos-
níku vyvolaná jednotkovým pemíst
nĂ­m ve vazb
této veliiny, duálním
k této veliin
.
Jednotkovým impulsem duálním k veliin
S se rozumí pro silové veliiny
(posouvající síly, normálové síly) vzájemné posunutí  = 1 ve sm
ru sĂ­ly. Pro
momentové veliiny je to vzájemné pootoení j =1 ve sm
ru M.

- 14 (32)

Na obrázku 11 je objasn
no sestrojení píinkových ar pro posouvající síly
a ohybové momenty. Pro píinkovou áru posouvajících sil platí podmínky
xbax jj = , (20)
1=- xbax ww . (21)
Rovnici (21) je dobré pro lepší názornost pepsat pomocí absolutních hodnot
1=+ xbax ww . (22)
Pro píinkovou áru ohybových moment bude platit
xbax ww = , (23)
1=- axxb jj . (24)
Rovnici (24) op
t pepišme pomocí absolutních hodnot
1=+ axxb jj . (25)
l-uu
u
aR
F=1
x
x l-x
V
a b
j
a
x
j

x
b
1
x
h
j = 1
j
a
x
h
j
x
b
xM
w
x
b
w
a
x
w
x

Obr. 11. Urování p
íinkové áry kinematickou metodou
Dkaz kinematické metody provedeme pomocí principu virtuálních prací pro
píinkovou áru ohybových moment (obrázek 12i, j, k). Podle definice ki-
nematické metody vytvoíme z nosníku pohyblivý mechanismus vložením
kloubu. Ke koncm nosníku v kloubu piložíme zat
žující momenty Mx stejné
velikosti avšak opaného smyslu tak, jakoby to byly kladné vnitní síly vyvola-
né pohyblivým bemenem F. V kloubu ud
lĂ­me ob
ma koncm nosníku vzá-
jemné virtuální natoení dj ve smyslu záporných ohybových moment. Levá
ást se pootoí o úhel dj1, pravá o úhel dj2. Momenty a zat
ĹľujĂ­cĂ­ sĂ­la konajĂ­
práci
021 =+--= hdjdjd FMML xx . (26)
Píinkové áry
- 15 (32) -

Podle obrázku 12j platí
21 djdjdj += a djh ulx ¢= , (27)
potom
0=¢+- djdj ulxFM x . (28)
Z toho plyne vztah pro velikost ohybového momentu v míst
x od zat
ĹľujĂ­cĂ­
sĂ­ly v mĂ­st
x
ulxFM x ¢= . (29)
Stojí za povšimnutí, že moment Mx je nezávislý na velikosti virtuálního pooto-
ení dj. Pi F = 1 dostáváme výraz shodný s (16).

Obr.12 P
íinkové áry prostého nosníku kinematickou metodou
Poznámka
Kinematickou metodou mžeme stanovit tvar píinkové áry libovolné static-
ké veliiny konstrukce staticky urité i neurité.
V dalším textu budeme posuny a potoení uvažovat podle vzorce (22) a (25),
tj. všechny posuny a pootoení pi sestrojování píinkových ar, budeme po-
važovat za kladné.
Vlastní poadnice píinkové áry se vypotou z geometrických závislostí pí-
inkové áry.
Pro reakce Ra a Rb mžeme podle obrázku 12c a 12d psát vztahy

- 16 (32)

lul ulRa ¢=-==h , (30)
luRb ==h . (31)
Pro posouvající sílu bude platit (obrázek 12f)
v intervalu ( )x,0 luVx -== h , (32)
a v intervalu ( )lx, luluVx -=¢== 1h . (33)
Obdobn
pro ohybové momenty z podobnosti trojúhelník platí (obrázek
12j, k)
v intervalu ( )x,0 ulxM x ¢==h , (34)
v intervalu ( )lx, ulxM x ¢==h , (35)
což jsou stejné výsledky jako u odvození píinkových ar analytickou meto-
dou.

2.3.1 Píinkové áry prostého nosníku s pevislými konci ki-
nematickou metodou
Leží-li prez x mezi podporami a, b, má v ásti ab stejný prb
h jako u pros-
tého nosníku bez pevislých konc. Prb
h píinkové áry hledané veliiny na
pevislých koncích obdržíme prodloužením píinkových pímek z ásti ab na
pevislé konce (obr. 13 b až g). Píinkové poadnice se urí z podobnosti troj-
ĂşhelnĂ­k.
Leží-li prez x na pevislém konci, sestrojíme píinkové áry kinematickou
nebo analytickou metodou. Píinková ára Vx posouvající síly je v duchu ki-
nematické definice úseka rovnob
žná s osou nosníku ve vzdálenosti 1 od zá-
kladní áry od volného konce po prez x (obr. 15i, k). Píinková ára ohybo-
vého momentu Mx má tvar rovnostranného trojúhelníka (obr. 15j, l).
Poznámka
Kinematická metoda je velmi efektivní zpsob sestrojení píinkových ar.
V pĂ­pad
staticky neuritých konstrukcí je totiž použití analytické metody
problematické. Doporuujeme tedy v
novat jĂ­ pozornost a osvojit si ji.
Píinkové áry
- 17 (32) -


Obr. 13. P
íinkové áry na nosníku s p
evislým koncem

PĂ­klad 3.1
Sestrojte p
íinkové áry pro podporovou reakci Ra, posouvající sílu
Vx a ohybový moment Mx pro místo x prostého nosníku s p
evislým koncem
podle obrázku 16. P
íinkové áry vyhodnote pro síly F1 = F3 = 20 kN,
F2 = 10 kN, F4 = 50 kN a spojité zatížení q = 10 kN/m.

ešení:
P
íinkové áry sestrojíme nap
Ă­klad kinematickou metodou (obr. 17). Pro
p
íinkovou áru reakce Ra platí, že v podpo
e a uvolnĂ­me vazbu a udlĂ­me
jednotkovou deformaci. Podobn pro p
íinkovou áru posouvající síly

- 18 (32)

a ohybového momentu uvolníme vazby tchto veliin a udlíme jednotkový
posun (pro posouvající sílu) resp. jednotkové pootoení (pro ohybový mo-
ment).
3 6 1,5
F
x
a b
q
1,5 1,5 1,5 1,5
41F 2F 3F
2 4

Obr 14. Zadání p
Ă­kladu 3.1

h
1 3
2 3
2
1
h
3
h
h
4
5
h
aR
Vx
xM
2*4
3 = 3
4
h
1
2
h
h
3 4
h
h
5
1
h
1
2
h
h
3
4
h
h
5
Ab5
b5A
Ab5

Obr. 15. P
íinkové áry
Po
adnice p
íinkové áry se urí z podobnosti trojúhelník. Pro reakci Ra,
h1 = 3/2, h2 = 3/4, h3 = 1/2, h4 = 1/4, h5 = -1/4. P
íinkové po
adnice pro
posouvajĂ­cĂ­ sĂ­lu jsou h1 = -1/2, h2 = 1/4, h3 = 1/2, h4 = 1/4, h5 = -1/4 a pro
ohybovĂ˝ moment h1 = -2, h2 = 1, h3 = 1, h4 = 1/2, h5 = -1/2.
Pro vyhodnocenĂ­ platĂ­
( ) ( )
+=
= 3
4
1 li
iix duuuqFS hh .
Pro zadané zatížení dostaneme
=++++= 544332211 ba qAFFFFR hhhh
kN125,585,14121104150212043102320 = - + + + = ,
kNVx 125,285,14121104150212041102120 = - + + - = ,
Píinkové áry
- 19 (32) -

kNmM x 25,115,12121102150120110220 = - + + + -= .
2.4 Píinkové áry statických veliin spojitých nos-
nĂ­k
Píinkové áry spojitých nosník mžeme ešit pomocí tímomentových rov-
nic, nebo obecn
ji deformanĂ­ metodou, pĂ­padn
metodou konených prvk
(která ovšem vede na stejné vzorce jako deformaní metoda). V dalším textu se
omezíme na ešení metodou tímomentových rovnic.
Pi ešení píinkových ar statických veliin postupujeme tak, že se nejprve
sestrojí píinkové áry nadpodporových moment vnitních podpor. Pomocí
nich urĂ­me prb
h píinkových ar statických veliin (reakcí, posouvajících
sil a ohybových moment). Podstatu výpotu píinkových ar vysv
tlĂ­me na
spojitém nosníku o tech polích.
2.4.1 Píinková ára nadpodporového momentu Mb
Pro konstrukci píinkové áry nadpodporového momentu Mb s výhodou pou-
žijeme kinematickou metodu. Do prezu b vložíme kloub k. Podle kinematic-
ké definice je píinková ára ohybového momentu ohybová ára pín
neza-
tíženého nosníku zpsobená vzájemným jednotkovým natoením prez b,
spojených v