MO01-pohyblivé zatížení

nitním kloubem. Dkaz lze provést pomocí Bettiho v
ty
o vzájemnosti virtuálních prací aplikovanou na dva zat
žovací stavy spojitého
nosnĂ­ku (obr. 16b, c).

Obr. 16. P
íinková ára spojitého nosníku o t
ech polĂ­ch
Podle Bettiho v
ty napíšeme virtuální práci momentu Mb (obr. 16b) na pooto-
enĂ­ Fba a Fbc (obr. 16c). SĂ­la F z prvnĂ­ho zat
ĹľovacĂ­ho stavu pak pracuje na
posunu h (obr. 16b)
( ) 0=+F+F- hFM bcbab (36)
Pootoení Fba a Fbc uvažujeme proti smyslu ohybového momentu Mb, proto je
první sítanec v rovnici (36) záporný. Uvážíme-li, že F = 1, Fba + Fbc = Fb =1,
dostaneme

- 20 (32)

bM=h . (37)
Vlastní ešení píinkové áry spojitého nosníku provedeme pomocí tímomen-
tových rovnic. Podle obr. 16c je vzájemné natoení prez v bod
b kladné
o velikosti +1. Jiné zatížení na nosníku neuvažujeme. Pro nadpodporové mo-
menty Mb a Mc sestavĂ­me rovnice
( ) 0=F+F++++ bcbabccbcbabbaa MMM baab , (38)
( ) 0=+++ cddcdcbccbb MMM baab . (39)
PootoenĂ­ Fba + Fbc = 1. Potom pro spojitĂ˝ nosnĂ­k s konstantnĂ­mi prezy
v jednotlivých polích bude platit (Ma = Md = 0)
1633 -=+



+
bc
bc
c
bc
bc
ab
ab
b EI
lM
EI
l
EI
lM , (40)
0336 =



++
cdbc
EI
l
EI
lM
EI
lM cdbc
c
bc
bc
b . (41)

Obr. 17. P
íinkové áry spojitého nosníku
ešením soustavy rovnic (40) a (41) získáme neznámé nadpodporové momen-
ty Mb, Mc. V dalším kroku uríme poadnice píinkové áry v jednotlivých
polích na prostých nosnících, zatížených koncovými momenty napíklad meto-
Píinkové áry
- 21 (32) -

dou jednotkových zatížení. Obvykle se urují poadnice v desetinách rozp
tĂ­.
Tvar výsledné píinkové áry je na obrázku 16c.
Podobným postupem uríme tvar píinkové áry pro nadpodporový mo-
ment Mc.
2.4.2 Píinková ára mezipodporového momentu Mx
Píinkovou áru mezipodporového momentu Mx je výhodné sestrojit analytic-
kou metodou, pĂ­padn
kombinací analytické a kinematické metody s využitím
píinkové áry nadpodporových moment Mb a Mc. Pro další výklad pijm
me
pedpoklad, že tvar píinkové áry bude uren dostateným potem poadnic.
Podle definice znázoruje poadnice píinkové áry h ohybového momentu
v prezu x velikost momentu v mĂ­st
x, zpsobeném pohyblivým zatížením
F = 1 v mĂ­st
u.

Obr. 18. Konstrukce p
íinkové áry mezipodporového momentu
ešení statických veliin na spojitém nosníku provádíme tak, že uvažujeme pro
každé pole prostý nosník zatížený koncovými momenty, které jsme obdrželi
jako ešení soustavy tímomentových rovnic. Tyto momenty (v našem pípad

Mb a Mc) mžeme snadno odeíst z píinkových ar pro nadpodporové mo-
menty. V dalším kroku vypoteme ohybový moment v míst
x na prostém nos-
níku zatíženém koncovými momenty Mb, Mc. Tento moment je zárove poad-
nice píinkové áry, protože zat
žovací síla je rovna jedné. Pokud je prez x
v poli nosníku, které ešíme, piteme k vypotené poadnici píinkové áry
poadnici píinkové áry na prostém nosníku pro prez x (obr. 18). Výsledný
tvar píinkové áry je na obr. 17c.
2.4.3 Píinková ára posouvající síly Vx
Z kinematického hlediska je píinková ára posouvající síly Vx pro prez x
ohybová ára nosníku vyvozená vzájemným jednotkovým posunutím konc
nosnĂ­ku v mĂ­st
x v kladném smyslu posouvající síly (obr. 17d).

- 22 (32)

Pro sestrojení píinkové áry posouvající síly spojitého nosníku op
t pouĹľije-
me analytickou metodu. Ze známých nadpodporových moment vypoteme
posouvající sílu pro nezatížené pole. Tu potom seteme s píinkovou arou
posouvající síly na prostém nosníku – pouze pro pole, ve kterém se nachází
pohyblivé zatížení.
Sestrojíme-li píinkovou áru posouvající síly pro prez t
sn
vpravo podpo-
ry a v poli ab (obr. 17e), získáme tím zárove píinkovou áru podporové
reakce Ra. Podobn
, sestrojením píinkové áry posouvající síly Vdc t
sn
zle-
va podpory d dostaneme záporn
vzatou píinkovou áru reakce Rd.
xV
a b
x
M
M
dop.
dop.
V
V
R =Va

Obr. 19. Silové psobení p
i sestrojenĂ­ p
íinkové áry kinematickou metodou
Poznámka
Na obrázku 17d vidíme, že píinková ára posouvající síly v prezu x v poli
a-b je obecnou kivkou i v Ăşseku a-x, kde by se pi povrchnĂ­m rozboru dala
ekat pĂ­mka, podobn
jako na prostém nosníku (obr. 12f). Vysv
tlenĂ­ je logic-
ké. V míst
x je sice zrušena vazba proti svislému posunu, pootoení na levé a
pravé ásti však musí zstat stejné (obr. 20). To zajistí doplkový ohybový
moment v mĂ­st
x, který požadavek stejného pootoení zajistí (obr. 19). Neboli,
posouvající síla na levé ásti zpsobí reakci stejné velikosti, opaného smyslu.
Aby byla ást nosníku a-x v rovnováze musí existovat doplkový ohybový
moment, který vyrovná úinek momentu dvojice sil posouvající síla – reakce
(obr. 19). Na prostém nosníku vzniká uvoln
ním i jediné vazby mechanismus,
posouvající síly zpsobující jednotkové vzájemné posunutí jsou nekonen

malé, doplkový moment tedy nevzniká. Podobnou úvahu mžeme uplatnit i
na píinkovou áru ohybového momentu.
2.4.4 Píinková ára podporové reakce Rb
Kinematickou metodou sestrojíme píinkovou áru podporové reakce Rb
uvoln
nĂ­m vn
jší vazby a ud
lením jednotkového posunu v podpoe b
(obr. 17g). Pokud známe píinkové áry nadpodporových moment, mžeme
urit píinkovou áru reakce Rb analytickou metodou. Pro podporovou reakci
Rb také platí
bcbab VVR +-= .
Píinkovou áru reakce podpory b spojitého nosníku sestrojíme superpozicí
píinkové áry posouvající síly Vbc t
sn
zprava podpory b a záporn
vzaté
posouvajĂ­cĂ­ sĂ­ly -Vab t
sn
zleva podpory b.
Píinkové áry
- 23 (32) -

2.4.5 Tvary píinkových ar
Podle kinematické definice se píinkové áry sestrojí ud
lením jednotkového
pemĂ­st
nĂ­ z uvoln
né vazby. Uvážíme-li statické podmínky rovnováhy
qVqV -=¢=+¢ 0 , (42)
VMVM =¢=-¢ 0 (43)
a geometrické podmínky
EIM=¢j , (44)
jj -=¢=+¢ ww 0 , (45)
ze kterých plyne vztah pro prhyb
EIVw -=¢¢¢ . (46)
Ud
lené pemíst
ní je zpsobené pínou silou nebo momentem na konstrukci
uvoln
né z vazby. Spojité zatížení je nulové, posouvající síla tedy musí být
konstantnĂ­, z ehoĹľ jednoznan
plyne, že prhybová ára je kivka tetího
stupn
. Píinkové áry spojitého nosníku jsou tedy kubické paraboly.
2.4.6 Extrémy od nahodilých zatížení
Pomocí píinkových ar statických veliin spojitého nosníku mžeme stanovit
zatížení nahodilým zatížením pro vyvození extrémních úink. K získání klad-
ného pípadn
záporného extrému statické veliiny zat
žujeme ásti nosníku
s kladnými pípadn
zápornými poadnicemi. Uvažujeme-li spojitý nosník
podle obr. 17, potom zatížíme pro
max Mc pole a-b, min Mc pole b-c, c-d,
max Mx pole a-b, c-d, min Mx pole b-c,
max Vx Ăşseky x-b, c-d, min Vx Ăşseky a-x, b-c,
max Ra pole a-b, c-d, min Ra pole b-c,
max Rb pole a-b, b-c, min Rb pole c-d.
2.5 Poznámka k poítaovému ešení píinkových
ar statických veliin
K poítaovému ešení konstrukcí se nejast
ji používá deformaní varianta
metody konených prvk, která je v pípad
prutových konstrukcí totožná
s obecnou deformaní metodou. Píinkové áry pemíst
nĂ­ se spotou jako
prhybové kivky. Pro píinkové áry statických veliin se používá výhradn

kinematická metoda. Vlastní výpoet pak spoívá v rozd
lenĂ­ nosnĂ­ku v mĂ­st
x
vloĹľenĂ­m uzl d a e (obr. 20). Na mĂ­sto prutu a-b vzniknou dva pruty a-d a e-b.
V matici tuhosti konstrukce se potom vyjádí geometrické závislosti pro pí-
inkovou áru pro posouvající sílu to jsou

- 24 (32)

1=- ed ww , ebad jj = , (47)
pro píinkovou áru ohybového momentu
ed ww = , 1=- daeb jj . (48)
Následuje ešení soustavy rovnic a výpoet poadnic prhybové áry.
xM
c
cx=d=e ba
ba
jeb
adj
Vx
x=d=e
(a)
(b)
jad
ebj

Obr. 20. Poítaové
ešení p
íinkových ar statických veliin
2.6 Píinkové áry pemístní
Definice
Píinková ára posunu resp. pootoení je totožná s prhybovou kivkou
(kivkou posunutĂ­ nebo pootoenĂ­) pro zat
ĹľujĂ­cĂ­ sĂ­lu, resp. moment rov-
ný jedné v míst
x konstrukce.
Dkazem je pĂ­mo Maxwellova v
ta. Na obrázku 21 jsou dva zat
ĹľovacĂ­ stavy
téže konstrukce. Za pedpokladu, že zat
žovací síla F je jednotková musí podle
Maxwellovy v
ty platit
ux dd = ,
což je pímý dkaz definice píinkové áry pemíst
ní. Pro ešení kivek pe-
mĂ­st
ní použijeme známé metody z pružnosti, nebo metodu jednotkových sil,
staí-li vyhledat ešení v izolovaných bodech. Na spojitém nosníku uríme
kivky na prostých nosnících zatížených koncovými momenty, jejichž velikost
uríme napíklad tímomentovými rovnicemi.

F=1
xa b
a b
x
F=1
u c
c
dx
ud
wx

Obr. 21 P
íinková ára prhyb
Záv
r
- 25 (32) -

3 Urení maximálních úink pohyblivého za-
tížení na prostém nosníku
Píinkové áry eší problematiku extrémních úink pouze ásten
. Existuje-
li vĂ­ce zat
ĹľovacĂ­ch sil, popĂ­pad
s rznými velikostmi nebo rznými vzdále-
nostmi je teba nalézt nejúinn
jší polohu sil a nalézt prez, ve kterém dojde
k extrémnímu úinku.
3.1 Nejvtší ohybový moment maxM v daném pre-
zu x. Winklerovo kritérium
V této kapitole odvodíme vztahy pro nalezení nejúinn
jší polohy soustavy
bemen F1, F2, … , Fn s pevnými vzájemnými vzdálenostmi pro vyvození ma-
ximálního ohybového momentu maxM v daném prezu x prostého nosníku
(obr. 22), kdy je v prezu x umĂ­st
no tzv. kritické bemeno Fk. Pro podporo-
vou reakci Ra platĂ­

= 0ibM :


= =
==+-
n
i
n
i
iiaiia bFlRbFlR
1 1
10 . (49)
Pro ohybovĂ˝ moment v prezu x




-
= = =
-=-=
1
1 1 1
k
i
n
i
k
i
iiiiiiax dFbFl
xdFxRM . (50)
Pi velmi malém posunu soustavy bemen doleva o délku du vzniká v prezu x
ohybovĂ˝ moment
( ) ( )


= =
+-+=
n
i
k
i
iiiilx dudFdubFl
xM
1 1
, . (50)
Platí-li, že Mx > Mx,l. Po dosazení a roznásobení dostaneme







= == ===
--+>-
k
i
k
i
iii
n
i
n
i
i
n
i
ii
k
i
iiii duFdFduFl
xbF
l
xdFbF
l
x
1 11 111
, (51)
z ehoĹľ odvodĂ­me



==
>
n
i
i
k
i
i Fl
xF
11
. (52)
Uplatníme-li podobný postup malého posunu o du na prez t
sn
vpravo, do-
staneme ohybovĂ˝ moment
( ) ( )


= =
---=
n
i
k
i
iiiipx dudFdubFl
xM
1 1
, . (53)
Platí-li zárove Mx > Mx,p dostaneme po dosazení a úprav


- 26 (32)




=
-
=
<
n
i
i
k
i
i Fl
xF
1
1
1
. (54)
OznaĂ­me-li


-
=
-=
1
1
1
k
i
ki RF ,

=
=
k
i
ki RF
1
,

=
=
n
i
i RF
1
, (55)
a spojĂ­me ob
nerovnosti (52) a (53) dostaneme
kk RRlxR