Doplňovací testy

vdivým nebo nepravdivým výrokem
x+y=11; x=4, y=7 (1)
x=20, y=11 (0)
Výroková forma se stane výrokem: 1) dosazením konstant za proměnné
2) kvantifikací: ( - pro každé, pro všechna (obecný kvantifikátor)
( - existuje aspoň jedno (existenční kvantifikátor)
(! – existuje právě jedno (kvantifikátor jednoznačné existence)
( x(R; x+1( x .....1
( x(R; x+1( x .....1
(! x(R; x+1( x .....0
Záleží na pořadí kvantifikátoru. Podle toho jaký je první, pak je ten výrok pojmenován podle něho.
Negování výroků – není pravda, že
A ( B (Přijde Daní a Zebi)A‘( B‘ (Daní nepřijde nebo Zebi nepřijde)
A ( B (Přijde Daní nebo Zebi)A‘ ( B‘ (Nepřijde Daní a nepřijde Zebi)
A ( B (Jestliže přijde Daní, přijde Zebi)A ( B‘ (Daní přijde a Zebi nepřijde)
A ( B (Daní přijde právě tehdy, když (A ( B‘) ( (A‘ ( B) (Daní přijde a Zebi nepřijde, prijde Zebi)nebo Daní nepřijde a Zebi přijde.
(-2)0 – není pravda že –2 je záporné číslo
- je nezáporné číslo (ne kladné – tam nepatří 0!)
V negovaném kvantifikovaném výroku zaměníme kvantifikátor ( kvantifikátorem ( a naopak.
Každý ..... je ..... Existuje alespoň jeden ....., který není .....
Alespoň jeden ..... je .....Pro každý ..... platí, že není .....
Alespoň n ..... je .....Nejvýše (n-1) ..... je .....
Nejvýše n ..... je .....Alespoň (n+1) ..... je .....
Právě n ..... je .....Nejvýše (n-1) ..... je .....
Alespoň (n+1) ..... je .....
Bez práce nejsou koláče – Bez práce je aspoň jeden koláč.
Žádný učený z nebe nespadl – Aspoň jeden učený z nebe spadl.

3.
Logická výstavba matematiky
Pojmy: Axiom (postulát), vlastnosti axiomů, definice, věta, hlavní metody důkazů
Axiom (postulát) – výchozí matematický výrok, který se prohlásí za pravdivý bez dokazování (fakt – tráva je zelená). Obsahuje základní primitivní pojmy, které se nedefinují (pokládají se za zavedené soustavou axiomů). Nelze je odvodit z něčeho jednoduššího.
Vlastnosti soustavy axiomů
bezespornost – ze soustavy axiomů není možné vyvodit žádný výrok a zároveň negaci
úplnost – ze soustavy axiomů je možné vyvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného matematického výroku, který není axiomem
nezávislost – nelze odvodit jeden axiom z ostatních axiomů (každý je nezávislý na ostatních)
Euklides vyjmenoval všechny axiomy (14). 2 části (Aitemata – postuláty, Koinai ennoiai – všeobecně uznávané pravdy, zásady). Nezná slovo přímka – používal slovo Eutheia (rovná konečná čára, která jde podle potřeby prodloužit nebo zkrátit). Dokonalý axiomatický systém, Planimetrii, vypracoval David Hilbert na přelomu 19. a 20. století.
Definice – určení nově zaváděného pojmu pomocí pojmů již zavedených.
Ze soustavy axiomů s použitím definic se struktura matematiky buduje pomocí matematických vět.
Matematická věta (poučka, teorém) – matematický výrok, který na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět přináší nová tvrzení týkající se právě studovaného objektu. Specifický příklad vět jsou pravdila (Binomická, Pythagorova věta).
Pomocné věty – Lemmy – něco říkají
Věta se musí dokázat, obsahuje nová tvrzení!
Obecná věta - ( x ( D; A(x) ( B(x)
Existenční věta - ( x ( D; A(x) ( B(x)
(Př. Nultá mocnina neexistuje - 0)
Individuální věta – týkají se jediného objektu skupiny objektů množiny
(Př. Trojúhelník se stranami 3,4,5 je pravoúhlý)
Hlavní metody důkazů
1) přímý - implikace A ( B se provádí pomocí řetězce pravdivých implikací.
A(x) ( A1 (x1) ( A2 (x2) ..... ( B(x)
( n ( N; n je sudé ( n2 je sudé
n je sudé ( ( k ( N; n=2k ( n2=4k2 ( n2=2.2k2 ( n je sudé
A1(x) A2(x) A3(x) B(x)
2) nepřímý – implikace A ( B provádíme jako přímý důkaz její obměny B‘ ( A‘, neboť obě jsou ekvivalentní
A(x) ( B(x) dokážeme přímo
( B(x) ( ( A(x) má s původní stejné pravdivostní hodnoty
obměna původní věty
Není-li n sudé číslo není ani n2 sudé číslo
n liché ( n=2k+1
3) důkaz sporem – Výroku V (např. A( B) se provádí tak, že se daný výrok V neguje a pomocí řetězce implikací se dospěje k logickému sporu. Ze sporu vyplývá, že negované tvrzení V‘ neplatí, musí tedy platit původní výrok V.
A(x) ( B(x) neplatí
n2 je sudé ( n je sudé
( n2 sudé ( n liché
n2 – liché
n liché ( n2=(2k+1)2 ( n2=2(2k2+2k)+1 ( n2 je liché (spor)
4) důkaz matematickou indukcí – používá se pro výroky, kde proměnné jsou prvky množiny m
a) indukční předpoklad - dokážeme že věta platí pro n=n0 (výrok platí pro n0 – nejmenší možné přirozené číslo)
b) indukční krok - dokážeme pro každé přirozené číslo k, které je ( n0 jestliže platí výrok pro k, pak také platí výrok pro k+1. (V(k)=V(k+1)(
n( N
1+2+ .... +n=1/2