3

přednáška 3
23.02 a 01.03.2003
Výpočet klotoidy
Pro jednoznačné zadání klotoidy jsou potřebné dvě hodnoty. Bývají to často libovolné dvě ze tří v základní rovnici klotoidy, respektive ze čtyř definičních hodnot klotoidy, tou čtvrtou je koncový úhel klotoidy (. To umožňuje základní postup výpočtu, jak je uvedeno níže. Zadání může být také pomocí jedné z definičních hodnot a libovolnou další vytyčovací hodnotou. To pak vyžaduje použít iterační výpočet, ve kterém se k řešení přiblížíme opakovaným výpočtem s předem danou přesností.
Základní postup výpočtu
Ze zadaných dvou základních hodnot definujících klotoidu (mohou to být libovolné dvě z těchto: parametr, poloměr oskulační kružnice v koncovém bodě klotoidy, délka klotoidy, koncový úhel klotoidy). Dopočítá se podle následujících základních vztahů délka l a úhel ( (pokud nejsou přímo zadány).:
,
což je dříve uvedená základní rovnice klotoidy,
,
což je vztah pro koncový úhel klotoidy, který nám sděluje poměrně závažnou informaci, že úhel oblouku klotoidického je při stejné délce oblouku poloviční, než u kružnicového oblouku. Užitečnější je pro nás převrácená informace, že pro stejný úhel je klotoida dvakrát delší, než kružnice o stejném poloměru jako je koncový poloměr klotoidy (poloměr oskulační kružnice v koncovém bodě.
Vypočítá se x-ová a y-ová pořadnice koncového bodu. Dopočítají se všechny další základní vytyčovací hodnoty klotoidy. Příslušné odvozené vztahy mají tvar součtu členů nekonečně dlouhé řady (neexistuje přímý přesný výpočet):
Úhel ( se dosazuje v radiánech. Řada velmi rychle konverguje, stačí porovnávat absolutní velikost každého členu řady se stanovenou přesností běžně 0,001m). Pro běžné výpočty stačí první tři členy.
Po výpočtu souřadnic koncového bodu se snadno dopočítají všechny následující vytyčovací hodnoty pomocí goniometrických funkcí, jak lze snadno odvodit z . Dále jsou uvedeny názvy vytyčovacích hodnot a příslušné vztahy pro jejich výpočet z x a y. Vytyčení je vztažené k začátku klotoidy.
Poloha paty kolmice spuštěné ze středu oskulační kružnice na hlavní tečnu:
Poloha průsečíku koncové tečny s hlavní tečnou:
Délka koncové tečny:
Odsun tečny oskulační kružnice:
Vzepětí, vrcholová vzdálenost, vzdálenost průsečíku tečen od vrcholu oblouku (tato hodnota má rozumný význam jen pro čistě přechodnicový symetrický oblouk bez kružnicové části):
Začátek klotoidy se vytyčí (na samém začátku vytyčení) pomocí hlavní tečny klotoidy. Pouze u symetrického motivu čistě klotoidického (biklotoida) je hlavní tečna uvedena v tabulkách nebo se spočítá jednoduše z následujícího:
Pokud se jedná o motiv s kružnicovou částí oblouku nebo nesymetrický motiv, je výpočet hlavní tečny odlišný.
Iterační výpočet
Používá se tehdy, když potřebujeme dosáhnout některé konkrétní vytyčovací hodnoty ((R, xS, xM, st, z, t) při známé jedné hodnotě definiční. Nějakým kvalifikovaným postupem (pomocí tabulek, předběžným výpočtem, vhodným algoritmem) nebo náhodně zvolíme klotoidickou přechodnici tak, aby vyhovovala požadavkům na zadanou základní hodnotu (úhel, parametr, koncový poloměr, délka). Tedy pro výpočet (popsaný ) použijeme jednu hodnotu jako zadanou, druhou rozumně zvolíme. Provedeme výpočet a jeho výsledkem jsou konkrétní vytyčovací hodnoty ((R, xS, xM, st, z, t). Ty porovnáme s požadovanými a vhodnou metodou změníme proměnný parametr pro výpočet (například jednoduchá metoda půlení intervalu). To opakujeme tak dlouho, až se s požadovanou přesností dostatečně přiblížíme k požadovaným hodnotám.
Délka přechodnice
Požadavky na délku přechodnice jsou tyto:
přechodnice má být tak dlouhá, aby přírůstek odstředivého zrychlení za jednotku času byl v mezích zaručujících přiměřený komfort jízdy
Přírůstek odstředivého zrychlení k by se měl držet v doporučených mezích, což je k=0,3 až 0,6 m/s3 (Chochol, Lehovec, Pošvář, Rondoš: Cesty a diaľnice 1, str. 287)
Z toho:
a protože pro konstantní rychlost na délce přechodnice platí: ,
pro délku L lze psát:
Pokud chceme rychlost vkládat v km/h místo v m/s, ve vztahu se objeví přepočtový koeficient:
Když za R dosadíme podle ČSN 73 6101 , dostaneme závislost délky přechodnice L na návrhové rychlosti vn:
Pak pro k=0,3 a pro příčný sklon v hodnotě (například) 3% vychází délka L asi 0,7 * vn, pro k=0,3 a pro příčný sklon v hodnotě (například) 6% vychází délka L asi 1,4 * vn.
Pro parametr A klotoidy definované základní rovnicí lze pak psát závislost parametru na rychlosti:
a potom
Právě parametr klotoidy udává rychlost změny křivosti, které odpovídá rychlost změny dostředivého zrychlení.
přechodnice má být tak dlouhá, aby čas potřebný na změnu poloměru trajektorie z přímky na hodnotu na konci přechodnice odpovídal možnostem vozidla a řidiče
Doba potřebná ke změně křivosti trajektorie (natočení volantu do polohy odpovídající poloměru oblouku) závisí na hodnotě poloměru, rychlosti vozidla, typu vozidla a jeho konstrukci (nákladní – osobní, s nebo bez posilovače řízení, stabilita vozidla), na reakčních časech řidiče aj. Tato doba se uvádí v hodnotách přibližně 3 až 5 sekund (Chochol, Lehovec, Pošvář, Rondoš: Cesty a diaľnice 1, str. 288). Potom děl