Priklady_ze_cviceni

Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
1 Intro
1.1. Určete absolutní a relativní chyby následujících aproximací: x = 1.31, ˆx = 1.30 a y = 0.13,
ˆy = 0.12
1.2. Mějme dánu kvadratickou rovnici x2+bx+2 = 0 a předpokládejme, že počítáme na počítači
s pětimístnou mantisou. Chceme spočítat kořen x1 podle vztahu
x1 = −b +
√b2 − 4ac
2a .
Volme b postupně rovno 5.1234, 12.345, 123.45, 512.34 a 1234.5. Určete relativní chyby při jed-
notlivých výpočtech.
1.3. Jak byste „opravilicsquotedblright následující výpočet, aby v něm nedocházelo k podobným chybám, jako
u předchozího příkladu?
d = sqrt(b^2-4*a*c); x1 = (-b+d)/(2*a); x2 = (-b-d)/(2*a)
1.4. Navrhněte vhodný rekurentní vztah pro výpočet integrálu
En =
integraldisplay 1
0
xn ex−1 dx,n = 1,2,3,....
1.5. Vyzkoušejte „miniprográmkycsquotedblright a vysvětlete jejich výsledky.
epsi = 1.0; psik = 1.0;
while (1.0 + epsi > 1.0) while (psik > 0.0)
epsi = epsi/2; psik = psik/2;
end; end;
epsi psik
1.6. V rovině jsou dány vektory u a v. Najděte geometrické místo vektoru w = (w1,w2) tak, že
platí bardblu −wbardblk = bardblv −wbardblk.
• u = (0,0), v = (1,1) a k = 2
• u = (1,0.5), v = (1,0) a k = 1
• u = (1,0), v = (0,1) a k = 2
• u = (1,0), v = (0,1) a k = 1
1.7. Pro matice A,B,C určete normy bardbl·bardbl1, bardbl·bardbl2, bardbl·bardbl∞ a bardbl·bardblF:
A =


2 1 1
2 3 2
1 1 2

, B =
parenleftbigg1 −1
0 2
parenrightbigg
, C =


1 0 2
0 1 0
−2 0 1

.
2 Nelinární rovnice
2.1. Metodou bisekce nalezněte kořen rovnice f(x) = x3 + 4x2 − 10 s přesností ε = 0.01 ležící v
intervalu I = [1,1.5]
2.2. Metodou bisekce nalezněte kořeny rovnice f(x) = ex +x2 − 3 s přesností ε = 0.01.
2.3. Najděte alespoň čtyři různé iterační funkce pro nalezení kořene rovnice f(x) = x3+4x2−10
metodou prosté iterace. Jsou všechny iterační funkce, které jste našli, konvergentní?
1
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
2.4. Metodou prosté iterace nalezněte kořen rovnice f(x) = x − cosx. Co se stane, budete-li
zaokrouhovat vždy na 3 desetinná místa?
2.5. Metodou prosté iterace nalezněte všechny kořeny rovnice 2lnx−x+2 = 0. Pro každý kořen
zvolte vhodnou iterační funkci.
2.6. Najděte nejmenší kladný kořen rovnice f(x) = x− tgx.
2.7. Navrhněte vhodnou iterační funkci pro výpočet 3√25.
2.8. Newtonovou metodou spočítejte kořen rovnice f(x) = x− cosx.
2.9. Newtonovou metodou najděte 3√10 s přesností ε = 10−7.
2.10. Newtonovou metodou nalezněte záporný kořen rovnice x4+x−3 = 0, počáteční aproximaci
volte podle Fourierových podmínek.
2.11. Proč nekonverguje Newtonova metoda pro funkci f(x) = arctgx s počáteční aproximací
x0 = 1.5? Co a jak je třeba „opravitcsquotedblright, aby metoda kovergovala?
2.12. Mějme dánu funkci f(x) = 1x − 5. Které z počátečních aproximací x01 = −2, x02 = 0,
x03 = −0.001, x04 = 0.6, x05 = 0.1, x06 = 2 jsou vhodné pro Newtonovu metodu?
2.13. Metodou sečen nalezněte kořeny následujících rovnic
• f(x) = x3 − 4x2 − 10, ξ ∈ [1,1.5],
• f(x) = x− 2−x, ξ ∈ [0,1],
• f(x) = 0.5x + 0.8 − 0.4sinx, ξ ∈ [−3,−1].
2.14. Spočtěte kořeny rovnic z předchozího příkladu metodou regula falsi.
2.15. Je x0 = 0.5 a x1